当前位置:首页 >> 数学 >>

北京市朝阳区2015届高三保温练习(二)数学理试题


理科保温练习二
(考试时间 120 分钟 满分 150 分) 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项. 1.若集合 A ? {x | x ? 0 或 x ? 1,

x ? R} , B ? x x ? 2, x ? R ,则 ( A. A ? B B. A ? B C. A ? B )

?

?

) D. A

B ??

2.下列函数中,在区间 ( ?1,1) 内有零点且单调递增的是( A. y ? log 1 x
2

B. y ? 2x -1

C. y ? x ?
2

1 2


D.

y??

2 x

3.如图所示的程序框图,若输入 x ?

1 则输出的结果 S ? ( 2,
C. ? 1

A. 2

B.

1 4

D. 1

开始 输入 x 是 否

x > 1?

S ? 2x

S ? log2 x
输出 S 结束

4.已知 a, b ? R ,则“ a ? b ? 1 ”是“ loga b ? 1 ”的( A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件

) B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

-1-

5.各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则.一考生从某大学所给的 7 个专业中, 选择 3 个作为自己的第一、二、三专业志愿,其中甲、乙两个专业不能同时兼报,则该考生 不同的填报专业志愿的方法有( ) A.210 种 B.180 种 C.120 种 D.95 种 6. 已知双曲线

x a

2 2

?

y b

2

2

? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左顶点与抛物线 y ? 2 px ? p ? 0 ? 的焦点的距离
2

为 4, 且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 ( ?2, ?1) , 则双曲线的焦距为 ( ) A. 2 A. 112 B. 5 B. C.

10

D. 2 5 D.

7.一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是

80

C. 72

64

3

4 4 正视图 侧视图

4 俯视图 8.已知向量 a ? e , e ? 1 ,对任意 t ? R ,恒有 a ? te ? a ? e ,则( A. a ? e B. a ? ( a ? e ) C. ( a ? e ) ? e



D. ( a + e ) ? ( a ? e )

-2-

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. 9.已知 b 为实数, i 为虚数单位,若

2 ? bi 为实数,则 b ? 1? i

.

10. 如图,两圆相交于 C、E 两点,CD 为小圆的直径,B 和 A 分别是 DC 和 DE 的延长线与大 圆的交点,已知 AE = 6,DE = 4,BC = 3,则 AB =________________.

B C

A

E

D

11.已知函数 f ?x ? ? sin ??x ? ? ? ( ? >0, 0 ? ? ? π )的图象如图所示,则 ? ?



?=

.

12.已知 A (?1,0) B (1,0) , 点 C 、 点 D 满足 AC ? 4, AD ? 是 ;点 D 的轨迹方程是 .

1 ( AB ? AC ) ,则点 C 的轨迹方程 2

? x ? y ? 4 ? 0, ? 13 .若直线 y ? 3x 上存在点 ? x, y ? 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 8 ? 0, 则实数 m 的取值范围 ? x ? m, ?
是 .

-3-

14.将正整数按如图排列,其中处于从左到右第 m 列从下到上第 n 行的数记为 A(m, n) , 如 A(3,1) ? 4 , A(4,2) ? 12 ,则 A(10,3) ? _________; A(1, n ) ? __________.

28 21 27 15 20 26 10 14 19 25 6 3 1 9 5 2 13 18 24 8 4 12 17 7 23 11 16 22

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos x ? m 在区间 [0,
2

?
3

] 上的最大值为 2 .

(Ⅰ)求常数 m 的值; (Ⅱ) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边长分别为 a , b, c ,若 f ( A) ? 1 , sin B ? 3sin C , ?ABC 面

积为

9 3 ,求边长 a . 4

16. (本小题满分 13 分) 根据最新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在 0

50 ,各类人群可正常活

动. 某市环保局在 2014 年对该市进行了为期一年的空气质量检测, 得到每天的空气质量指数, 从 中 随 机 抽 取 50 个 作 为 样 本 进 行 分 析 报 告 , 样 本 数 据 分 组 区 间 为

?0,10? , ?10, 20? , ?20,30? , ?30, 40? , ?40,50? ,由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图,如图.
(Ⅰ)求 a 的值;并根据样本数据,试估计这一年度的空气质量指数的平均值; (Ⅱ)用这 50 个样本数据来估计全年的总体数据,将频率视为概率.如果空气质量指数不超 过 20,就认定空气质量为“最优等级” .从这一年的监测数据中随机抽取 2 天的数值,其中达 到“最优等级”的天数为 X,求 X 的分布列,并估计一个月(30 天)中空气质量能达到“最 优等级”的天数.

-4-

17. (本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 P - ABC 中, PA ? 平面 ABC , 2AC ? 2 BC ? PC ? 2 , AC ? BC , D 、 E 、 F 分别为 AC 、 AB 、 AP 的中点, M 、 N 分别为线段 PC 、 PB 上的动点,且 有 MN / / BC . (Ⅰ)求证: MN ? 平面 PAC ; (Ⅱ)当 M 为线段 PC 的中点时,求 DM 与平面 PBC 所成角的正弦值; (Ⅲ)探究:是否存在这样的动点 M,使得二面角 E ? MN ? F 为直二面角?若存在,求 CM 的长度;若不存在,说明理由. P

M F D A C E B N

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

2 ? a ln x , a ? R . x

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 P(1, f (1)) 处的切线垂直于直线 y ? x ? 2 ,求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 (0, e] 上的最小值.

-5-

19. (本小题满分 14 分) 已知 A(?2, 0) ,B(2, 0) 为椭圆 C 的左、 右顶点,F 为其右焦点,P 是椭圆 C 上异于 A ,

B 的动点,且 ?APB 面积的最大值为 2 3 .
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程及离心率; (Ⅱ)直线 AP 与椭圆在点 B 处的切线交于点 D ,当直线 AP 绕点 A 转动时,试判断 以 BD 为直径的圆与直线 PF 的位置关系,并加以证明.

20. (本小题满分 13 分) 设集合 S ? ?1,2,3,L , n? (n ? N , n ? 2) ,A, B 是 S 的两个非空子集, 且满足集合 A 中的
*

最大数小于集合 B 中的最小数,记满足条件的集合对 ( A, B) 的个数为 P n. (Ⅰ)求 P2 , P 3 的值; (Ⅱ)求 P n 的表达式.

理科保温练习二答案

-6-

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 (1) A (2) B (3) C (4) A (5) B (6) D (7) B ( 8) C

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 题 号 (9) (10) (11) (12) (13) (14)

答 案

?2

6

8 9 ; π 5 10

( x ? 1)2 ? y 2 ? 16 ; x2 ? y 2 ? 4

??1, ???

69,

n(n ? 1) 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 15. (本小题满分 13 分)
2 解答:(Ⅰ) f ? x ? ? 2 3 sin x ? cos x ? 2cos x ? m ? 2sin 2 x ? ? ? m ? 1 6

?

?

…4 分

? ? ,所以 2 x ? ? ? ? ? , 5? ? 因为 x ? ?0 , ? 6 ? ? 3? ? ?6 6 ? ?

? ? 上取到最大值 所以当 2 x ? ? ? ? 即 x ? ? 时,函数 f ? x ? 在区间 ?0 , ? 6 2 6 ? 3? ?
此时, f ? x ? ? f ? ? m ? 3 ? 2 ,得 m ? ?1 max 6 (Ⅱ)因为 f ? A ? ? 1 ,所以 2 sin( 2 A ?

? ?

……………………7 分

?
6

) ? 1,

即 sin( 2 A ?

?
6

)?

1 解得 A ? 0 (舍去)或 A ? ? , 3 2
a ? b ? c ,所以 b ? 3c . sin A sin B sin C

因为 sin B ? 3sin C ,

因为 ?ABC 面积为

9 3 1 1 3 9 3 , 所以 S ? bc sin A ? bc ,即 bc ? 9 . ? 4 2 2 2 4

由①和②解得 b ? 3 3, c ? 3
2 2 2 因为 a ? b ? c ? 2bc cos A ? 21,所以 a ?

21 … …13 分

16. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)由题意,得 (0.03 ? 0.032 ? a ? 0.01 ? 0.008) ?10 ? 1, 解得 a ? 0.02. 50 个 样 本 中 空 气 质 量 指 数 的 平 均 值 为

X ? 0.1? 5 ? 0.2 ?15 ? 0.32 ? 25 ? 0.3 ? 35 ? 0.08 ? 45 ? 25.6

-7-

由样本估计总体,可估计 2014 年这一年度空气质量指数的平均值约为 25.6 (Ⅱ)利用样本估计总体,该年度空气质量指数在 ? 0, 20? 内为“最优等级” ,且指数 达到“最优等级”的概率为 0.3,则 ?
0 P(? ? 0) ? C2 (0.3)0 ? (0.7)2 ?

B(2, 0.3) . ? 的可能 取值为 0,1,2,

9 49 42 2 1 (0.3)2 ? , P(? ? 1) ? C2 (0.3) ? (0.7) ? , P(? ? 2) ? C2 100 100 100

? ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

49 100

42 100

9 100

E? ? 0 ?

49 42 9 ? 1? ? 2? ? 0.6 .(或者 E? ? 2 ? 0.3 ? 0.6 ), 100 100 100

故一个月(30 天)中空气质量能达到“最优等级”的天数大约为 30 ? 0.6 ? 18 天. 17. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)∵ PA ? 平面 ABC , ∴ PA ? BC , 又 AC ? BC ,∴ BC ? 面 PAC . 又∵ MN / / BC , ∴ MN ? 面 PAC . ????????????4 分 (Ⅱ) 由已知 CA ? CB ,以 C 为坐标原点,CA, CB 所在直线为 x, y 轴,过 C 作平面 ABC 的 垂线为 z 轴,作如图所示的坐标系. 则 D ( ,0,0) , M ( ,0,

1 2

1 2

3 ) , P(1,0, 3) , B(0,1,0) 2

DM ? (0,0,

3 , ) CP ? (1,0, 3) , CB ? (0,1,0) 2

设平面 PBC 的法向量为 u ? ( x, y, z ) ,则

P

z

? ?CP ? u ,令 z ? 1 ,解得 x ? ? 3, y ? 0 . ? CB ? u ? ?
∴ u ? (? 3,0,1) , 设 DM 与平面 PBC 所成角为 ? ,

M F D x A C y N

3 2 ?1. 则 sin ? ? cos ? u, DM ? ? 2 3 ?2 2

E

B

-8-

则 DM 与平面 PBC 所成角为

? . ????????????9 分 6

(Ⅲ) P

M F D A C E B N

由条件可得, ?FMD 即为二面角 E ? MN ? F 的平面角; 若二面角 E ? MN ? F 为直二面角,则 ?FMD ? 90? . 在直角三角形 PCA 中,设 CM ? t,(0 ? t ? 2) ,则 PM ? 2 ? t , 在 ?MDC 中,由余弦定理可得,

DM 2 ? CM 2 ? CD 2 ? 2CM ? CD cos 60? ? t 2 ?

1 1 ? t; 4 2

2 2 2 2 同理可得, FM ? PM ? PF ? 2 PM ? PF cos 30? ? (2 ? t ) ?

3 3 ? (2 ? t ) . 4 2

又由 FD 2 ? FM 2 ? MD 2 ,得 2t 2 ? 3t ? 1 ? 0 ,解得 t ? 1 或 t ? ∴存在直二面角 E ? MN ? F ,且 CM 的长度为 1 或 18. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)直线 y ? x ? 2 的斜率为 1. 函数 y ? f ( x) 的导数为 f ?( x) ? ? 则 f ?(1) ? ?

1 . 2

1 . 2

?????????14 分

2 a ? , x2 x
????????????5 分

2 a ? ? ?1 ,所以 a ? 1 . 12 1 ax ? 2 (Ⅱ) f ?( x ) ? , x ? (0, ? ?) . x2
①当 a ? 0 时,在区间 (0, e] 上 f ?( x ) ? ?

2 ? 0 ,此时 f ( x) 在区间 (0, e] 上单调递减, x2 2 则 f ( x ) 在区间 (0, e] 上的最小值为 f (e) ? . e 2 ②当 ? 0 ,即 a ? 0 时,在区间 (0, e] 上 f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 在区间 (0, e] 上单调递减, a

-9-

则 f ( x ) 在区间 (0, e] 上的最小值为 f (e) ? ③当 0 ?

2 ?a. e

2 2 2 2 ? e ,即 a ? 时,在区间 (0, ) 上 f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 在区间 (0, ) 上单 a a a e 2 2 调递减;在区间 ( , e] 上 f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 在区间 ( , e] 上单调递增;则 f ( x ) 在 a a 2 2 区间 (0, e] 上的最小值为 f ( ) ? a ? a ln . a a 2 2 ( x) ≤ 0 ,此时 f ( x) 在区间 (0, e] 上 ④ 当 ≥ e ,即 0 ? a ≤ 时,在区间 (0, e] 上 f ′ a e 2 为单调递减,则 f ( x ) 在区间 (0, e] 上的最小值为 f (e) ? ? a . e 2 2 2 综上所述,当 a ≤ 时, f ( x ) 在区间 (0, e] 上的最小值为 ? a ;当 a ? 时, f ( x ) 在 e e e 2 区间 (0, e] 上的最小值为 a ? a ln . ????????????????13 分 a

19.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)由题意可设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , F (c, 0) . a 2 b2

?1 ? 2 ? 2a ? b ? 2 3 ? a?2 由题意知 ? 解得 b ? 3 , c ? 1 . …………2 分 ? a2 ? b2 ? c2 ? ?
1 x2 y 2 ? ? 1 ,离心率为 . …………4 分 故椭圆 C 的方程为 2 4 3
(Ⅱ)以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切. 证明如下:由题意可设直线 AP 的方程为 y ? k ( x ? 2) (k ? 0) . 则点 D 坐标为 (2, 4k ) , BD 中点 E 的坐标为 (2, 2k ) .

? y ? k ( x ? 2), ? 2 2 2 2 由 ? x2 y 2 得 (3 ? 4k ) x ? 16k x ? 16k ?12 ? 0 . ?1 ? ? ?4 3
设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,则 ?2 x0 ? 所以 x0 ?

16k 2 ? 12 . 3 ? 4k 2

12k 6 ? 8k 2 , y0 ? k ( x0 ? 2) ? . 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k

因为点 F 坐标为 (1, 0) ,

- 10 -

当k ? ?

1 3 时,点 P 的坐标为 (1, ? ) ,点 D 的坐标为 (2, ? 2) . 2 2

直线 PF ? x 轴,此时以 BD 为直径的圆 ( x ? 2)2 ? ( y 1)2 ? 1 与直线 PF 相切. 当k ? ?

1 y0 4k ? 时,则直线 PF 的斜率 k PF ? . 2 x0 ? 1 1 ? 4k 2

所以直线 PF 的方程为 y ?

4k ( x ? 1) . 1 ? 4k 2

点 E 到直线 PF 的距离 d ?

8k 4k ? 2k ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 16k 2 ?1 (1 ? 4k 2 ) 2
1 | BD | . 2

2k ? 8k 3 1 ? 4k 2 ? ? 2 | k |. 1 ? 4k 2 |1 ? 4k 2 |

又因为 | BD |? 4 | k | ,所以 d ?

故以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切. 综上得,当直线 AP 绕点 A 转动时,以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切.……14 分 20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)当 n ? 2 时,即 S ? ?1,2? ,此时 A ? ?1? , B ? ?2? ,所以 P 2 ?1, 当 n ? 3 时,即 S ? ?1,2,3? ,若 A ? ?1? ,则 B ? ?2? ,或 B ? ?3? ,或 B ? ?2,3? ; 若 A ? ?2? 或 A ? ?1,2? ,则 B ? ?3? ;所以 P 3 ? 5. (Ⅱ)当集合 A 中的最大元素为“ k ”时,集合 A 的其余元素可在 1, 2,
0 1 2 (包含不取) ,所以集合 A 共有 Ck ?1 ? Ck ?1 ? Ck ?1 ?

?????5 分

, k ? 1 中任取若干个

?1 k ?1 种情况, ? Ckk? 1 ?2

此时, 集合 B 的元素只能在 k ? 1, k ? 2,
1 2 3 有 Cn ?k ? Cn?k ? Cn?k ?

(至少取 1 个) , 所以集合 B 共 , n 中任取若干个

n ?k n ?k ? Cn ?1 种情况, ?k ? 2

所以,当集合 A 中的最大元素为“ k ”时, 集合对 ( A, B) 共有 2 当 k 依次取 1, 2,3,
k ?1

(2n?k ?1) ? 2n?1 ? 2k ?1 对,

, n ? 1 时,可分别得到集合对 ( A, B) 的个数,
???13 分

n?1 求和可得 P ? (20 ? 21 ? 22 ? L ? 2n?2 ) ? (n ? 2) ? 2n?1 ?1 . n ? (n ?1) ? 2

- 11 -


相关文章:
北京市朝阳区2015届高三保温练习(一)数学理试题
北京市朝阳区2015届高三保温练习()数学理试题_高考_高中教育_教育专区。理科...(2) D (3) C (4) D (5) B (6) D (7) D (8) A 二、填空题:...
北京市朝阳区2015届高三保温练习(二)数学文试题
北京市朝阳区2015届高三保温练习(二)数学试题_政史地_高中教育_教育专区。文科保温练习二 . 第一部分(选择题 1. 已知集合 A ? {x | x ? 2}, B ? ...
北京市朝阳区2015届高三保温练习(一)数学理试题
北京市朝阳区2015届高三保温练习()数学理试题_理化生_高中教育_教育专区。HLLY...(2) D (3) C ( 4) D (5) B (6) D (7) D (8) A 二、填空题...
北京市朝阳区2015届高三保温练习(一)数学文试题和答案
北京市朝阳区2015届高三保温练习()数学试题和答案_数学_高中教育_教育专区。...? x ,则此双曲线的离心率为___. 2 4 3 a . 11.某几何体的三视图如图...
2015朝阳保温练习(二)数学理试题
2015朝阳保温练习(二)数学理试题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。理科保温练习二(考试时间 120 分钟 满分 150 分) 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题...
2015朝阳保温练习(一)数学理试题
2015朝阳保温练习()数学理试题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。理科保温...共 30 分. 题号答案(9) (10) 2 3 3 (11) (12) (13) (14) 2;1...
2015北京朝阳保温练习二理科
2015北京朝阳保温练习二理科_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2015北京朝阳保温练习二理科朝阳理科保温练习二(考试时间 120 分钟 满分 150 分) 本试卷分为选择题...
2015朝阳保温练习(二)数学文试题
2015朝阳保温练习(二)数学试题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。文科保温练习二 . 第一部分(选择题 共 40 分) 一.选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共...
2017届朝阳区高三保温练习数学文科试题(二)及答案
2017届朝阳高三保温练习数学文科试题(二)及答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。北京市朝阳区高三年级 文科保温练习二(考试时间 120 分钟 满分 150 分) 本...
2015年北京市朝阳区高三物理保温练习 含答案
2015年北京市朝阳区高三物理保温练习 含答案_高三理化生_理化生_高中教育_教育专区...(填入 选用器材前的字母代号) (2)该实验操作的步骤有: ① 接通 S1,调节电...
更多相关标签: