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2011年高考文科数学新课标卷及答案(黑龙江、吉林、河南、宁夏、新疆、山西、海南) 最新整理


源头学子

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特级教师 王新敞

wxckt@126.com

2011 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学
新课标卷 (黑龙江、吉林、河南、宁夏、新疆、山西、海南)

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小

题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 (1)已知集合 M ? ?0,1,2,3,4?, N ? ?1,3,5?, P P ? M ? , 则 P 的子集共有 ? M ? NN , (A)2 个 (2)复数 (B)4 个 (C)6 个 (D)8 个

5i ? 1 ? 2i
(B) 1 ? 2i (C) ?2 ? i (D) ?1 ? 2i

(A) 2 ? i

(3)下列函数中,既是偶函数又在 ? 0, ??? 单调递增的函数是

(A) y ? x3
(4)椭圆

(B) y ? x ?1

(C) y ? ? x 2 ? 1

(D) y ? 2? x

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 16 8

(A)

1 3

(B)

1 2

(C)

3 3

(D)

2 2

(5)执行右面的程序框图,如果输入的 N 是 6,那么输出的 p 是 (A)120 (B)720

(C)1440 (D)5040

(6)有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加

各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 (A)
1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

3 4

(7)已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y ? 2 x 上,则

cos 2? =

(A) ?

4 5

(B) ?

3 5

(C)

3 5

(D)

4 5

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(8)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如右图所示,

则相应的侧视图可以为

(9) 已知直线 l 过抛物线 C 的焦点, 且与 C 的对称轴垂直。 与 C 交于 A,B 两点, AB =12, l P 为 C 的准线上一点,则 ? ABP 的面积为 (A)18 (B)24
x

(C)36

(D)48

(10)在下列区间中,函数 f ( x) ? e ? 4 x ? 3 的零点所在的区间为

1 (A) (? , 0) 4

1 1 1 1 3 (B) (0, ) (C) ( , ) (D) ( , ) 4 4 2 2 4 ? ? (11)设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? ) ,则 4 4 π π (A)y= f (x)在(0, )单调递增,其图像关于直线 x = 对称 2 4 π π (B)y= f (x)在(0, )单调递增,其图像关于直线 x = 对称 2 2 π π (C)y= f (x) 在(0, )单调递减,其图像关于直线 x = 对称 2 4 π π (D)y= f (x) 在(0, )单调递减,其图像关于直线 x = 对称 2 2

1? (12) 已知函数 y= f (x) 的周期为 2,当 x ? ?? 1,时 f (x) =x ,那么函数 y = f (x) 的
2

图像与函数 y = lg x 的图像的交点共有 (A)10 个 (B)9 个 (C)8 个 (D)1 个

第Ⅱ卷

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本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必 须回答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量 a+b 与向量 ka-b 垂直, 则 k= 。

(14)若变量 x , y 满足约束条件 ?

?3 ? 2 x ? y ? 9, 则 z ? x ? 2 y 的最小值为 ?6 ? x ? y ? 9,




(15)△ABC 中 B=120°,AC=7,AB=5,则△ABC 的面积为

(16)已知两个圆锥有公共底面,且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上, 若圆锥底面面积是这个球面面积的 大者的高的比值为 。

3 ,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较 16

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 已知等比数列 {a} 中, a1 ?

1 1 ,公比 q ? 。 3 3 1 ? an (I) Sn 为 {an } 的前 n 项和,证明: S n ? 2
(II)设 bn ? log3 a1 ? log 3 a2 ???? ? log 3 an ,求数列 bn 的通项公式。

(18) (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形。

?DAB ? 60? , AB ? 2 AD, PD ? 底面 ABCD 。
(I)证明: PA ? BD (II)设 PD ? AD ? 1 ,求棱锥 D ? PBC 的高。
A

P

D B

C

(19) (本小题 12 分) 某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标 值大于或等于 102 的产品为优质品,现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验, 各生产了 100 件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果: A 配方的频数分布表

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指标值分 [90,94) 组 频数 8 20 42 22 8 [94,98) [98,102) [102,106) [106,110]

B 配方的频数分布表 指标值分 [90,94) 组 频数 4 12 42 32 10 [94,98) [98,102) [102,106) [106,110]

(Ⅰ)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (Ⅱ)已知用 B 配方生产的一件产品的利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为

? ?2, t ? 94 ? y ? ? 2,94 ? t ? 102 ? 4, t ? 102 ?
估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率, 并求用 B 配方生产的上述 100 件产 品平均一件的利润。 (20) (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y ? x 2 ? 6 x ? 1与坐标轴的交点都在圆 C 上. (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若圆 C 与直线 x ? y ? a ? 0 交与 A,B 两点,且 OA ? OB ,求 a 的值。

(21) (本小题满分 12 分) 已 知 函 数 f ( x) ?

a ln x b ? , 曲 线 y ? f ( x) 在 点 ( 1 ,f ( 1处) 的 切 线 方 程 为 ) x ?1 x

x ? 2y ? 3 ? 0 。
(Ⅰ)求 a 、 b 的值; (Ⅱ)证明:当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x ) ?

ln x 。 x ?1

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。做答 时请写清题号。

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(22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲如图, D , E 分别为 ?ABC 的边 AB ,

AC 上的点,且不与 ?ABC 的顶点重合。已知 AE 的长为 m, AC 的长为 n,AD, AB 的长
是关于 x 的方程 x ? 14 x ? mn ? 0 的两个根。
2

C E A D B

(Ⅰ)证明: C , B , D , E 四点共圆; (Ⅱ)若 ?A ? 90? ,且 m ? 4, n ? 6 ,求 C , B , D , E 所在 圆的半径。

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为

? x ? 2cos ? ( ? 为参数) ? ? y ? 2 ? 2sin ?
M 是 C1 上的动点,P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2 (Ⅰ)求 C2 的方程; (Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求 AB .

uuv u

uuuv

?
3

与 C1 的异于极点的交

(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? x ? a ? 3x ,其中 a ? 0 。 (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集 (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ?x | x ? ?1

?

,求 a 的值

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2011 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 新课标卷 (黑龙江、吉林、河南、宁夏、新疆、山西) 参考答案 一、选择题 (1)B (7)B (2)C (3)B (8)D (9)C (4)D (10)C (5)B (11) D (6)A (12)A

(1)已知集合 M ? ?0,1,2,3,4?, N ? ?1,3,5?, P ? M ? N , 则 P 的子集共有 (A)2 个 (B)4 个 (C)6 个 (D)8 个

解析:本题考查交集和子集概念,属于容易题。显然 P= ? ,3? ,子集数为 22=4 1 故选 B (2)复数 (A) 2 ? i
5i ? 1 ? 2i

(B) 1 ? 2i

(C) ?2 ? i

(D) ?1 ? 2i

解析:本题考查复数的运算,属容易题。 解法一:直接法
5i 5i?1 ? 2i ? ? ? ?2 ? i ,故选 C 1 ? 2i ?1 ? 2i ??1 ? 2i ?

解法二:验证法 验证每个选项与 1-2i 的积,正好等于 5i 的便是答案。 (3)下列函数中,即是偶数又在 ? 0, ??? 单调递增的函数是 A. y ? x3 B. y ? x ?1 C. y ? ? x 2 ? 1 D. y ? 2? x

解析:本题考查函数的奇偶性和单调性,属于简单题 可以直接判断:A 是奇函数,B 是偶函数,又是 ? 0, ??? 的增函数,故选 B。 (4).椭圆
1 3

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 16 8

A.

B.

1 2

C.

3 3

D.

2 2 c 2 2 2 ? ? , a 4 2

解析;本题考查椭圆离心率的概念, 属于容易题, 直接求 e=

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故选 D。也可以用公式 e ? 1 ? b a
2

2 2

? 1?

8 1 2 故选 D。 ? .? e ? 16 2 2

(5)执行右面得程序框图,如果输入的 N 是 6, 那么输出的 p 是 (A)120 (B)720 (C)1440 (D)5040 解析:本题考查程序框图,属于容易题。 可设 P1 ? 1, K1 ? 2 则 P2 ? 2, , 2 ? 3 K

P P P P

3

? 6, ,3 ? 4 K ? 24, ,4 ? 5 K ? 120 K ,5 ? 6 , ? 720 K ,6 ? 7 ? 6 ,

4

5

6

输出 720.故选 B (6)有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加 各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 (A)
1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

3 4

解析:本题考查古典概型,属于容易题。设三个兴趣小组分别为 A,B,C. 他们参加情况共一下 9 种情况,其中参加同一小组情况共 3 中,故概率为
3 1 ? . 故选 A。 9 3

(7)已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y=2x 上,则 cos 2? =

(A) ?

4 5

(B) ?

3 5

(C)

3 5

(D)

4 5

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解析:本题考查三角公式,属于容易题。 易知 tan ? =2,cos ? = ?
1 5

.由 cos2 ? =2 cos ? -1= ?
2

3 5

故选 B

(8)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如右图所示, 则相应的侧视图可以为

解析:本题考查三视图的知识,同时考察空间想象能力。属于难题。 由正视图和俯视图可以判断此几何体前部分是一个的三棱锥, 后面是一个圆 锥,由此可选 D (9)已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直。l 与 C 交于 A,B 两点, AB =12,P 为 C 的准线上一点,则 ? ABP 的面积为 (A)18 (B)24 (C)36 (D)48

解析:本题考查抛物线的方程,属于中等题。 易知 2P=12,即 AB=12,三角形的高是 P=6,所以面积为 36,故选 C。 (10)在下列区间中,函数 f ( x) ? e x ? 4 x ? 3 的零点所在的区间为
1 (A) (? , 0) 4 1 (B) (0, ) 4 1 1 (C) ( , ) 4 2 1 3 (D) ( , ) 2 4

解析:本题考查零点存在定理,属于中等题。只需验证端点值,凡端点值 异号就是答案。故选 C。
(11)设函数 f ( x) ? sin(2 x ? (A)y= f (x)在(0,

?

) ? cos(2 x ? ) ,则 4 4

?

π π )单调递增,其图像关于直线 x = 对称 2 4 π π (B)y= f (x)在(0, )单调递增,其图像关于直线 x = 对称 2 2

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π π )单调递减,其图像关于直线 x = 对称 2 4 π π (D)y= f (x) 在(0, )单调递减,其图像关于直线 x = 对称 2 2 解析:本题考查三角函数的性质。属于中等题。 π ? 解法一:f(x)= 2 sin(2x+ )= 2 cos2x.所以 f(x) 在(0, )单调递减,其图像 2 2 π 关于直线 x = 对称。故选 D。 2 π 解法二:直接验证 由选项知(0, )不是递增就是递减,而端点值又有意义, 2
(C)y= f (x) 在(0,

故只需验证端点值,知递减,显然 x = 故选 D

? 不会是对称轴。 4

(12) 已知函数 y= f (x) 的周期为 2, x ? ?? 1,时 f (x) =x2,那么函数 y = f (x) 的 当 1? 图像与函数 y = lg x 的图像的交点共有 (A)10 个 (B)9 个 (C)8 个 (D)1 个 解析:本题考查函数的图象和性质,属于难题。 本题可用图像法解。易知共 10 个交点

1

9

二、填空题 (13)1 (14)-6 (15)

15 3 4

(16)

1 3

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(13)已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量 a+b 与向量 ka-b 垂直,则 k= 。

解析:本题考查向量的基本运算和性质,属于容易题。 解法一:直接法 (a+b)(ka-b)=0 展开易得 k=1. a-b 数量积为 0,易知 k=1.

解法二:凭经验 k=1 时 a+b,

?3 ? 2 x ? y ? 9, (14) 若变量 x, 满足约束条件 ? y ?6 ? x ? y ? 9,

则 z=x+2y 的最小值为



解析:本题考查线性规划的基本知识,属于容易题。只需画出线性区域即可。 易得 z=x+2y 的最小值为-6。

(15)△ABC 中 B=120°,AC=7,AB=5,则△ABC 的面积为 解析:本题考查余弦定理和面积公式,属于容易题。 有余弦定理得



AB

2

?

AC ? BC
2

2

? 2 AC ? BC cos 120

0

所以 BC=3,有面积公式得 S=

15 3 4

(16)已知两个圆锥有公共底面,且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一 个球面上,若圆锥底面面积是这个球面面积的 积较小者的高与体积较大者的高的比值为
3 ,则这两个圆锥中,体 16



解析:本题考查球内接圆锥问题,属于较难的题目。 由圆锥底面面积是这个球面面积的 得
3 16

4?

?r

2 2

?

R

3 16

所以

R 3R r 3 ? ,则小圆锥的高为 , 大圆锥的高为 ,所以 2 2 R 2

比值为

1 3

三、解答题 (17)

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1 1 ,q ? 。 3 3 1 所以数列{an}的通项式为 an= n 。 3 1 1 1 (1 ? n ) 1 ? n 3 ? 3 故 Sn ? 3 1 2 1? 3 1 ? an 所以 S n ? 2
(Ⅰ)证明:因为 a1 ? (Ⅱ )解: bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log3 an

? ?(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n)
n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 故 bn ? ? 2 ??
(18)解: (Ⅰ)因为 ?DAB ? 60?, AB ? 2 AD , 由余弦定理得 BD ? 3 AD 从而 BD +AD = AB ,故 BD ? AD
2 2 2

又 PD ? 底面 ABCD,可得 BD ? PD,所以 BD ? 平面 PAD. 故 PA ? BD

(Ⅱ)过 D 作 DE⊥PB 于 E, 由(I)知 BC⊥BD,又 PD⊥底面 ABCD , 所以 BC⊥平面 PBD,而 DE ? 平面 PBD,故 DE⊥BC,所以 DE⊥平面 PBC 由题设知 PD=1,则 BD= 3 ,PB=2, 由 DE﹒PB=PD﹒BD 得 DE=
3 3 ,即棱锥 D ? PBC 的高为 2 2
22 ? 8 =0.3 ,所以用 100

(19)解(Ⅰ)由试验结果知,用 A 配方生产的产品中优质的平率为 A 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.3。 由试验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 方生产的产品的优质品率的估计值为 0.42

32 ? 10 ? 0.42 ,所以用 B 配 100

(Ⅱ)由条件知,用 B 配方生产的一件件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值 t≥ 94, 由实验结果知, 质量指标值 t≥94 的概率为 0.96.所以 B 配方生产的一件件产品的利润

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大于0的概率估计值为 0.96, 用 B 配方生产的一件件产品的平均利润为

1 ? (4 ? (?2) ? 54 ? 2 ? 42 ? 2) ? 2.68 (元) 100

(20)解析:本题考查圆的方程和直线和圆的关系。

(Ⅰ)曲线 y ? x2 ? 6 x ? 1与坐标轴的交点为(0,1) ? 2 2,0) (3 故可设圆的圆心坐标为(3,t)则有 3 ?
2

解得 t=1,则圆的半径为 所以圆的方程为
2

3 ? ?t ?1?
2
2

?t-1? ? ?2
2

2 +t

?

2

2

2

?3

?x?3? ? ?y ?1? ? 9
1 2

(Ⅱ)设 A( x1 , y ) B( x2 , y ) 其坐标满足方程组
x ? y ? a ? 02

?x?3? ? ?y ?1? ? 9
2 2

消去 y 得到方程 2 x ? (2a ? 8) x ? a ? 2a ? 1 ? 0
2 2

由已知可得判别式△=56-16a-4 a >0 由韦达定理可得 x ? x ? 4 ? a , x x ? a
1 2

2

2

? 2a ? 1 2
2

1

2



由 OA ? OB 可得 x1 x2 ?
所以 2

yy
1
2

2

? 0. 又 y ?
1

x ?a y
1

?

x

2

?a。

xx
1

2

? a ( x1 ? x2) ? a ? 0



由①②可得 a=-1,满足△>0,故 a=-1。

(21)解: (Ⅰ) f '( x) ?

?(

x ?1 ? ln x) b x ? 2 2 ( x ? 1) x
1 ,且过点 (1,1) , 2

由于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的斜率为 ?

? f (1) ? 1, ?b ? 1, ? ? 故? 1 即 ?a 1 ? f '(1) ? ? 2 , ? 2 ? b ? ? 2 , ? ?

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解得 a ? 1 , b ? 1 。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ?

ln x 1 ? ,所以 x ?1 x

f ( x) ?

ln x 1 x2 ?1 ? (2ln x ? )。 x ?1 1 ? x2 x
x2 ?1 ( x ? 0) ,则 x

考虑函数 h( x) ? 2ln x ?

( x ? 1)2 h '( x) ? ? 。 x2
当 x ? 1 时, h '( x) ? 0 。而 h(1) ? 0 ,故

1 h( x) ? 0 ; 1 ? x2 1 当 x ? (1,+ ? )时,h(x)<0,可得 h(x)>0 1? x2 ln x ln x 从而当 x>0,且 x ? 1 时,f(x)>0,即 f(x)> . x ?1 x ?1
当 x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 ,可得 (22)解: (I)连接 DE,根据题意在△ADE 和△ACB 中, AD×AB=mn=AE×AC, 即

AD AE ? . AC AB

C G E A D F

H

又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB 所以 C,B,D,E 四点共圆。 (Ⅱ)m=4, n=6 时,方程 x -14x+mn=0 的两根为 x1=2,x2=12. 故 AD=2,AB=12.
2

B

取 CE 的中点 G,DB 的中点 F,分别过 G,F 作 AC,AB 的垂线,两垂线相交于 H 点,连接 DH.因为 C,B,D,E 四点共圆,所以 C,B,D,E 四点所在圆的圆心为 H,半径为 DH. 由于∠A=90 ,故 GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5,DF= 故 C,B,D,E 四点所在圆的半径为 5 2
0

1 (12-2)=5. 2

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(23)解: (I)设 P(x,y),则由条件知 M(

X Y , ).由于 M 点在 C1 上,所以 2 2

? x ? 2 ? 2 cos ? ? ? ? y ? 2 ? 2sin ? ?2 ?
从而 C 2 的参数方程为 ?



? x ? 4cos ? ? ? y ? 4 ? 4sin ?

? x ? 4cos ? ( ? 为参数) ? y ? 4 ? 4sin ?

(Ⅱ)曲线 C 1 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 8sin ? 。 射线 ? ? 射线 ? ?

? ?
3 3

与 C 1 的交点 A 的极径为 ? 1 ? 4sin 与 C 2 的交点 B 的极径为 ? 2 ? 8sin

?
3

, 。

?
3

所以 | AB |?| ? 2 ? ?1 |? 2 3 . (24)解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 2 可化为 | x ? 1|? 2 。 由此可得

x ? 3 或 x ? ?1 。

故不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集为

{x | x ? 3 或 x ? ?1} 。
( Ⅱ) 由 f ( x) ? 0 得 x ? a ? 3x ? 0 此不等式化为不等式组

?x ? a ? ? x ? a ? 3x ? 0
?x ? a ? 即 ? a ?x ? 4 ?

或?

?x ? a ?a ? x ? 3 x ? 0

?x ? a ? 或? a ?a ? ? 2 ?
a 2

因为 a ? 0 ,所以不等式组的解集为 ? x | x ? ? 由题设可得 ?

?

a = ?1 ,故 a ? 2 2


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