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高中数学《2-2-5用样本的数字特征估计总体的数字特征》课件新人教A版新人教A版必修


用样本的数字特征估计 总体的数字特征

一、众数、中位数、平均数的概念
众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征 数,只是描述的角度不同,其中以平均数的应用最为广泛.

众数:在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据的
众数. 中位数:将一组数据按大小依次排列,把处在最中间位置的 一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组

数据的中位数. 平均数:一组数据的算术平均数,即

1 x ? ( x1 ? x 2 ? ?? x n ) n

二、由频率分布直方图如何估计众数,中位数, 平均数?

思考1:如何从频率分布直方图中估计众数?
频率 / 组距 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 o 0.5 1 1.5 2 2.5 3

3.5

4

4.5

月均用水量 /t

众数在样本数据的频率分布直方图中, 就是最高矩形的中点的横坐标。

2.2 5

思考2:如何从频率分布直方图中估计中位数?
频率 / 组距 0.50 0.40 0.30 0.15 0.20 0.10 0.04 0.08 0.14 0.22

前四个小矩形的面积 和=0.49
0.25

注:图中的数据是小矩形的面积即频率

后四个小矩形的 面积和=0.26

0.06
0.04 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0.5 0.02 4.5

o

月均用水量 /t

2.0 总结: 在频率分布直方图中,把频率分布直方图划分左右两 分析: 在样本数据中,有 50%的个体小于或等于中位数,也有 50%的个体大 2 于或等于中位数,因此,在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图 个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数。 的面积应该相等。 0.04 ? 0.08 ? 0.15 ? 0.22 ? ( x ? 2) ? 0.5 ? 0.5 上图中,设中位数为 x,则

x ? 2.02

思考3:如何从频率分布直方图中估计平均数 ?
频率 / 组距 0.50 0.40 0.30 0.15 0.20 0.08 0.22

0.25

0.14

0.10 0.04

o 0.25 0.50.75 1 1.25

.

0.06

.

. 1.5 .

1.75

2

2.25

. 2.5 .

2.75

3

.

3.25

. 3.5

0.04

3.75

0.02 4 4.5
4.25

.

月均用水量 /t

2.02 注:图中的数据是小矩形的面积即频率

平均数等于频率分布直方图中每个小矩形 的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和。

总结:由频率分布直方图中估计众数,中位数, 平均数 – 众数:众数通常是频率分布直方图中最高矩 形的中点的横坐标。 – 中位数:在频率分布直方图中,中位数左边 和右边的直方图的面积相等。 – 平均数:每个小矩形面积与小矩形底边中点 横坐标之积的和。

三 、三种数字特征的优缺点
1、众数体现了样本数据的最大集中点,但它对其它数据信息 的忽视使得无法客观地反映总体特征.如上例中众数是2.25t,它告 诉我们,月均用水量为2.25t的居民数比月均用水量为其它数值的 居民数多,但它并没有告诉我们多多少.

2、中位数是样本数据所占频率的等分线,它不受少数几个极
端值的影响,这在某些情况下是优点,但它对极端值的不敏感有 时也会成为缺点。如上例中假设有某一用户月均用水量为10t,那 么它所占频率为0.01,几乎不影响中位数,但显然这一极端值是不 能忽视的。

3、由于平均数与每一个样本的数据有关,所以任何

一个样本数据的改变都会引起平均数的改变,这是众数、
中位数都不具有的性质。也正因如此 ,与众数、中位数

比较起来,平均数可以反映出更多的关于样本数据全体
的信息,但平均数受数据中的极端值的影响较大,使平

均数在估计时可靠性降低。

例3
有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次, 每次命中的环数如下: 甲:7 8 7 9 5 4 9 10 7 4

乙:9



















如果你是教练,你应当如何对这次射击作出评价? 如果看两人本次射击的平均成绩,由于

x甲 ? 7, x乙 ? 7
两人射击 的平均成绩是一样的.那么两个人的水平就 没有什么差异吗?

?

?

甲的环数极差=10- 4=6

乙的环数极差=9-5=4.

它们在一定程度上表明了样本数据的分散程度,与平均数一 起,可以给我们许多关于样本数据的信息.显然,极差对极端值非 常敏感,注意到这一点,我们可以得到一种“去掉一个最高分,去 掉一个最低分”的统计策略. 考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是标准差. 标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s表示. 所谓“平均距离”,其含义可作如下理解:
假设样本数据是 x1 , x2 ,...xn , x 表示这组数据的平均数 。x i到 x 的距离是:
xi ? x (i ? 1 ,2, ?, n).
?

?

?

于是, 样本数据x1 , x2 ,? xn到 x 的“平均距离”是:
x1 ? x ? x 2 ? x ? ? x n ? x n .
? ? ?

?

由于上式含有绝对值,运算不太方便,因此,通常改用 如下公式来计算标准差.
? ? ? 1? 2 2 2? s? ( x ? x ) ? ( x ? x ) ? ? ? ( x ? x ) . 1 2 n ? ? n? ?

方差:
? ? ? 1? ? 2 2 s ? ?( x1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? ? ? ( x n ? x ) 2 ? n? ? 2

知识梳理
?
? ? ? 1 2 2 2 s ? [( x ? x ) ? ( x ? x ) ? ? ? ( x ? x ) ] 5.方差 1 2 n n 2
? ? ? 1 2 2 [( x 1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? ? ? ( x n ? x ) 2 ] n

标准差 s ? 标准差(方差)越大,数据的离散程 度越大,标准差(方差)越小,数据的离 散程度越小。

预习自测

?1 ?2 ?3

A C 1.25


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