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1.4.2正弦、余弦函数的性质(一)导学案(1)


1.4.2 正弦、余弦函数的性质(一)
【教学目标】 : (1)理解周期函数,周期函数的周期和最小正周期的定义; (2)掌握正、余弦函数的周期和最小正周期,并能求出正、余弦函数的最小正周期。 (3)会判断三角函数的奇偶性 【教学重点】 :正、余弦函数的周期性,奇偶性 【教学难点】 ;正、余弦函数周期性、奇偶性的理解与应用; 【课前准备】 1.问题: (1)今天是星期一,则过了七天是星期几?过了十四天呢?…… (2)物理中的单摆振动、圆周运动,质点运动的规律如何呢? 2.观察正(余)弦函数的图象总结规律: 自变量

x
函数值

?2?
0

?

3? 2

??
0

?

? 2

0
0

?
2

?
0

3? 2

2?
0

sin x

1

?1

1

?1

请你画出正弦函数 f ( x) ? sin x 和余弦函数 f(x)=cosx 的图象

3、正弦函数 f ( x) ? sin x 性质如下: (观察图象) 1? 2? 3? 这个规律由诱导公式 结论:象这样一种函数叫做 。 文字语言: 符号语言: 也即: (1)当自变量 x 增加 2k? 时,正弦函数的值又重复出现; (2)对于定义域内的任意 x , sin( x ? 2k? ) ? sin x 恒成立。 余弦函数也具有同样的性质,这种性质我们就称之为周期性。 一、 【自主学习 发现问题】 1.周期函数定义: 。 2、最小正周期: 3、正弦函数 f ( x) ? sin x 是 期是 。 , 。 都是它的周期,最小正周 ; ; 可以说明。

1

问题: (1)对于函数 y ? sin x , x ? R 有 sin(

?
6

?

(2)正弦函数 y ? sin x , x ? R 是不是周期函数,如果是,周期是多少?
*

2? 2? ? ) ? sin ,能否说 是它的周期? 3 3 6

(3)若函数 f ( x) 的周期为 T ,则 kT , k ? Z 也是 f ( x) 的周期吗?为什么? (4)从图象上可以看出 y ? sin x , x ? R ; y ? cos x , x ? R 的最小正周期为 ; (5)判断:是不是所有的周期函数都有最小正周期? 4 、 奇 偶 性 : 由 诱 导 公 式 _________________________ 可 知 正 弦 函 数 是 奇 函 数 . 由 诱 导 公 式 _________________________可知,余弦函数是偶函数. 正弦函数图象关于____________________对称,正弦函数是_____________.余弦函数图象关于 ________________对称,余弦函数是_____________________. 二、 【合作探究 展示点评】 例 1 求下列三角函数的周期: ① y ? 3 cos x ② y ? sin 2 x (3) y ? 2sin( x ?

1 2

?
6

),x?R.

变式: 求下列函数的周期: 2 (1) y ? co s( x ? 3) (2)
y ? 2 sin( ? 1 3 x?

?
4

)

(3) y ? sin 2 x

【思考】 :从上例的解答过程中归纳一下这些函数的周期与解析式中的哪些量有关?

小结:形如

y ? As ?x n ?)(? b i ?



y ? Acos( x ??) ? b ?

的最小正周期为

T?

2?

?

例 2 判断函数 y ? 2 sin 2 x 的奇偶数性

2

变式:判断函数 f ( x) ? sin( x ?

3 4

3? ) 的奇偶性. 2

三、学习小结 1.周期函数及最小正周期的定义. 2.函数 y ? A sin(?x ? ? ) 及函数 y ? A cos(?x ? ? ) 的周期 T ? 3.正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数.

2?

?

四、当堂检测
1. 下列函数中,周期为 A. y ? sin

? 的是( 2

) C. y ? cos

x 2

B. y ? sin 2 x

2 在函数 y ? sin x , y ? sin x , y ? sin( 2 x ? 的个数为( A. 1 个 ) B. 2 个 C. 3 个

?
3

x 4

D. y ? cos 4 x

) , y ? cos( 2 x ?

2? ) 中,最小正周期为 ? 的函数 3

2? 3、函数 y ? sin(?x ? )(? ? 0) 的周期为 ,则 ? ? 3 4

?

D. 4 个

3


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