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山东省聊城市莘县某重点高中2013届高三上学期第二次月考数学(文)试题 Word版含答案


莘州中学 2012—2013 学年阶段性测试题高三数学(文)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1. 复数 A.1
i ?1 ( i 为虚数单位)等于 i ?1

B.—1

C. i

D. ? i

2. 设集合 U ? ??2, ?1,0,1,

2?, A ? ?1,2?, B ? ? ?2, ?1,2? , 则A ? ?CU B? 等于 A. ?1? B. ?1, 2? C. ?2? D. ?0,1, 2?

3. 等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a3 ? a7 ? a11 ? 12 ,则 S13 等于 A.52 B.54 C.56 D.58

4. 在 ?ABC 中,若 A ? 60?, BC ? 4 3, AC ? 4 2 ,则角 B 的大小为 A.30° 5. ( )
1 2

B.45° 若 函

C.135° 数

D.45°或 135°
3 f ( x) ? x3 ? x 2 ? 1, 则f ( x) 2

A.极大值为 1,极小值为 C.极小值为
?

B. 极大值为 1,无极小值 D.既无极大值,又无极小值
? ? ? ?
? ?

1 ,无极大值 2
?

6.设向量 a ? (1,2) , b ? (x,1) ,当向量 a ? 2 b 与 2 a ? b 平行时,则 a ? b 等于 A.2 B.1 C.
5 2

D.

7 2

7. 已 知 f ( x) ? x3 ? ax 在 [1, ??) 上 是 单 调 增 函 数 , 则 a 的 最 大 值 是 ( ) A. 0 B.1 C.2 D.3 ? ? ? 8 . 若 直 线 ?x ? y ? a ? 过 圆 x ? y ? ? x ? ? ? 的 圆 心 , 则 a 的 值 为 ? y ( ) A. ? 1 B.1 C. 3 D. ? 3 ? ? 9. 将函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象先向左平移 , 然后将得到的图象上所有点的横 3 6 坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,则所得到的图象对应函数解析式为 ? A. y ? ? cos x B. y ? sin 4 x C. y ? sin( x ? ) D. y ? sin x 6 10. 考察下列命题: ①命题“若 lg x ? 0, 则 x ? 1 ”的否命题为“若 lg x ? 0, 则x ? 1 ;”

②若“ p ? q ”为假命题,则 p 、 q 均为假命题; ③命题 p : ?x ? R ,使得 sin x ? 1 ;则 ? p : ?x ? R ,均有 sin x ? 1 ; ④“ ?m ? R, 使f ( x) ? (m ? 1) ? x m ?4m?3是幂函数 且在(0,??) 上递减” ,
2

则真命题的个数为 A.1

B.2

C. 3

D.4

11.给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行;w.w.w..c.o.m ④若两个平面垂直, 那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也 不垂直. 其中,为真命题的是 A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④

12.一个空间几何体的正视图、侧视图均是长为 2、高为 3 的矩形,俯视图是直 径 为 2 的 圆 ( 如 右 图 ), 则 这 个 几 何 体 的 表 面 积 为

A.12+ ? 第Ⅱ卷

B.7 ? (非选择题

C. 8? 共 90 分)

D. 20?

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.

知 13.已 a

2 3 ? 0, b ? 0, 且2a ? 3b ? 1, 则 ? 的 小 为 _____________. 最 值 a b

?3e x ?1 , x ? 3 ? 14. 已知 f ( x) ? ? 则 f ( f (3)) 的值为 ?log3 ( x 2 ? 6), x ? 3, ?

15. 函数 y ? 2sin x ?1 的定义域是 16.经过圆 x 2 ? 2x ? y 2 ? 0 的圆心,且与直线 x ? y ? 0 垂直的直线方程是 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算

步骤. 17. (本题 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin x cos x ? 3 cos2 x. (1) 求 f (x) 的最小正周期; (2) 求 f (x) 的单调区间; (3) 求 f (x) 在区间 [ ?

? ?

, ] 上的最大值和最小值. 6 2

18. (本题 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD, 点 E 在线段 AD 上,且 CE∥AB。 (1) 求证:CE⊥平面 PAD; (2)若 PA=AB=1,AD=3,CD= 2 ,∠CDA=45°, 求四棱锥 P-ABCD 的体积. 19. (本题 12 分)已知等差数列 ?an ? 满足: a5 ? 9, a2 ? a6 ? 14 . (1)求 ?an ? 的通项公式; (2)若 bn ? an ? 2an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n .

20.(本题 12 分)已知点 M(3,1),直线 ax ? y ? 4 ? 0 及圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 (1)求过 M 点的圆的切线方程; (2)若直线 ax ? y ? 4 ? 0 与圆相切,求 a 的值; (3)若直线 ax ? y ? 4 ? 0 与圆相交于 A, B 两点,且弦 AB 的长为 2 3 ,求 a 的值。 21.(本题 13 分) 据统计某种汽车的最高车速为 120 千米∕时,在匀速行驶时每小时的耗油量
y (升)与

行驶速度 x (千米∕时)之间有如下函数关系: y ? 知甲、乙两地相距 100 千米。

1 3 x3 ? x ? 8 。已 128000 80

(I) 若汽车以 40 千米∕时的速度匀速行驶, 则从甲地到乙地需耗油多少升? (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少 升? 22.(本题 13 分)函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c ,过曲线 y ? f (x) 上的点 P(1,f (1)) 的切线方程为 y ? 3x ? 1 . (1)若 y ? f (x) 在 x ? ?2 时有极值,求 f (x) 的表达式; (2)在(1)的条件下,求 y ? f (x) 在[-3,1]上的最大值;

答案 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. CDABA CDBDC DC 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分. ? 5? ? ? 13. 25 14. 3 15. ? 2k? ? ,k? ? ? (k ? Z ) 16. x-y+1=0 2 6 6 ? ? 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17. 解: (1)? f ( x) ? sin x cos x ? 3 cos2 x

?

1 3 ? 2 sin x cos x ? (cos2 x ? 1) 2 2

?

1 3 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2

? sin(2 x ?

?
3

)?

3 2
2? ?? . 2

∴函数 f (x) 的最小正周期 T ? (2) f (x) 的单调递增区间

???????4 分

? ? 5? ? ? ? k? , ? k? ? k ? Z ? 12 12 ? ?

f (x) 的单调递减区间

7? ?? ? ? k? , ? k? ? k ? Z ??????8 分 ?12 12 ? ?
?
3 ? 4? , 3

(3)∵ ? ∴?

?
6

?x?

?
2

, 0 ? 2x ?

3 ? ? sin(2 x ? ) ? 1, 2 3

? 3 3 2? 3 ∴ 0 ? sin(2 x ? ) ? ? 1? ? , 3 2 2 2
∴ f (x) 在区间 [ ?

? ?

, ] 上的最大值为 6 2

2? 3 ,最小值为 0.????12 分 2

18.【解析】(1)证明:因为 PA⊥平面 ABCD,CE ? 平面 ABCD,所以 PA⊥CE, 因为 AB⊥AD,CE∥AB,所以 CE⊥AD,又 PA ? AD=A,所以 CE⊥平面 PAD????5 分 (2)解:由(1)可知 CE⊥AD,在直角三角形 ECD 中,DE=CD ? cos 45? ? 1 ,CE=CD ? sin 45? ? 1 .

又因为 AB=CE=1,AB∥CE,所以四边形 ABCE 为矩形,所以
1 1 5 S ABCD ? S ABCE ? S?BCD = AB ? AE ? CE ? DE = 1? 2 ? ? 1? 1 ? ,又 PA⊥平面 2 2 2 1 1 5 5 ABCD,PA=1,所以四棱锥 P-ABCD 的体积等于 S ABCD ? PA ? ? ? 1 ? ????.12 3 3 2 6

分 19.(1)设 ?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d ,

?a ? 4d ? 9, 则由 a5 ? 9, a2 ? a6 ? 14, 得 ? 1 ????2 分 ?2a1 ? 6d ? 14,
?a ? 1, 解得 ? 1 ?d ? 2.
所以 ?an ? 的通项公式 an ? 2n ?1. ????4 分 ????6 分 ????8 分

(2)由 an ? 2n ? 1得 bn ? 2n ?1 ? 22n?1 .

Sn ? ?1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? ? ? 21 ? 23 ? 25 ? ? ? 22 n ?1 ? ?10 分

?n ?
2

2 ?1 ? 22 n ? 1 ? 22

? n2 ?

22 n?1 ? 2 3

????12 分

20 .(1)3x ? 4 y ? 5 ? 0或x ? 3 4 3 (2)0或 () 3 3 4
21. (I)当 x ? 40 时,汽车从甲地到乙地行驶了
100 ? 2.5 (小时) , 40

1 3 ? 40 3 ? ? 40 ? 8) ? 2.5 ? 17.5 (升) 需蚝油 ( 。 128000 80 所以,汽车以 40 千米∕时的速度匀速行驶,从甲地到乙地需耗油 17.5 升?4 分. 100 (II)当汽车的行驶速度为 x 千米∕时时,从甲地到乙地需行驶 小时. x











h(x)















1 3 100 1 800 15 h( x ) ? ( x3 ? x ? 8) ? ? x2 ? ? 12800 80 x 1280 x 4 其中,0 ? x ? 120 .?????????????????????? 7分

h ' ( x) ?

x 800 x 3 ? 803 ? 2 ? (0 ? x ? 120) . 640 x 640x 2

令 h ' ( x) ? 0 ,得 x ? 80 . 因为当 x ? ?0,80? 时, h ' ( x) ? 0 , h(x) 是减函数;当 x ? ?80,120? 时,

h ' ( x) ? 0 , h(x) 是 增 函 数 , 所 以 当 x ? 80 时 , h(x) 取 得 最 小 值
h(80) ? 11.25 .

所以当汽车以 80 千米∕时的速度行驶时,从甲地到乙地耗油最少, 11 .25 最 少 为 升。???????????????????????? 13 分 22.解: (1)由 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c

? f ' ( x) ? 3x2 ? 2ax ? b .
过 y ? f (x) 上点 P(1,f (1)) 的切线方程为 y ? f (1) ? f ' (1)(x ? 1) , 即 y ? (a ? b ? c ? 1) ? (3 ? 2a ? b)(x ? 1) . 而过 y ? f (x) 上点 P(1,f (1)) 的切线方程为 y ? 3x ? 1 .

?3 ? 2a ? b ? 3 ?2a ? b ? 0 故? 即? ?1 ? a ? b ? c ? 4 ?a ? b ? c ? 3

????????4 分

? y ? f (x) 在 x ? ?2 时有极值,故 f ' (?2) ? 0.? ?4a ? b ? ?12 .

联立解得 a ? 2, b ? ?4, c ? 5,? f ( x) ? x3 ? 2x2 ? 4x ? 5 .????????8 分 (2) f ' ( x) ? 3x2 ? 4x ? 4 ? (3x ? 2)(x ? 2) ,
2 令 f ' ( x) ? 0 ,解得 x ? , 或x ? ?2 . 3 列下表:
x

??????????10 分

(-3,-2) +,

-2 0 极大值

2 ( ? 2,) 3

2 3

2 ( ,1 ) 3

f ' ( x)
f (x)

-

0 极小值

+

? f (x) 的极大值为 f (?2) ? 13,极小值为 f ( 2 ) ? 95 . 3 27
又? f (?3) ? 8, f (1) ? 4,? f ( x) 在[-3,1]上的最大值为 13. ????13 分


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