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2014年衡水中学理科数学试题


2014 ? 2015 学年度上学期高三年级期中考试 数学试卷(理科)
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的) 1、设集合 A ? {x | x ? ?1}, B ? {x | x ? 1} ,则“ x ? A 且 x ? B ”成立的充要条件是( A. ?1 ? x ? 1 B. x ? 1 C. x ? ?1 D. ?1 ? x ? 1 )

2、已知实数 1, m,9 成等比数列,则圆锥曲线

x2 ? y 2 ? 1的离心率为( m
D.



A.

6 3

B.2

C.

6 或2 3

2 或 3 2


3、已知 m, n 为不同的直线, ? , ? 为不同的平面,则下列说法正确的是( A. m ? ? , n // m ? n // ? C. m ? ? , n ? ? , n // m ? ? // ? B. m ? ? , n ? m ? n ? ? D. n ? ? , n ? ? ? ? ? ?

4、 一个锥体的正视图和侧视图如图所示, 下面选项中, 不可能是该锥体的俯视图的是 (



A 5、要得到函数 f ? x ? ? cos(2 x ?

B

C

D

?

? 个单位长度 2 ? C.向左平移 个单位长度 4
A.向左平移 A.锐角三角形 C.钝角三角形

) 的图象,只需将函数 g ? x ? ? sin(2 x ? ) 的图象( ) 3 3

?

? 个单位长度 2 ? D.向右平移 个单位长度 4
B.向右平移

6、如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则得到的这个新三角形的形状为( B.直角三角形 D.由增加的长度决定



7、如图所示,医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体,开始输液时,滴 管内匀速滴下液体(滴管内液体忽略不计) ,设输液开始后 x 分钟,瓶内 液面与进气管的距离为 h 厘米,已知当 x ? 0 时, h ? 13 ,如果瓶内的药 液恰好 156 分钟滴完,则函数 h ? f ? x ? 的图象为( )

8、已知直线 x ? y ? k ? 0(k ? 0) 与圆 x2 ? y 2 ? 4 交于不同的两点 A, B, O 是坐标点, 且有 OA ? OB ? A. ? 2, ??

??? ? ??? ?

? 3 ??? AB ,那么 k 的取值范围是( 3
B. ? 2, 2 2



?

?

?

?

C.

?

3, ??

?

D. ? 3, 2 2

?

?


9、 函数 f ? x ? ? ?

?2 x3 ? 3x 2 ? 1 x ? 0 ? , 在 ? ?2 则 a 的取值范围是 ( ,2 ? 上的最大值为 2, 4x x?0 ? ?e

A. ? ln 2, ?? ?

?1 ?2

? ?

B. ?0,

? 1 ? ln 2 ? ? 2 ?

C. ? ??,0?

D. ? ??,

? ?

1 ? ln 2 ? 2 ?

10、 抛物线的弦与过弦的断点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形, 阿基米 德三角形有一些有趣的性质,如:若抛物线的弦过焦点,则过弦的断点的来两条切线的交点 在其准线上,设抛物线 y ? 2 px( x ? 0) ,弦 AB 过焦点, ?ABQ 且其阿基米德三角形,则
2

?ABQ 的面积的最小值为(
A.



p2 2

B. p 2

C. 2 p2

D. 4 p 2

11、四面体 ABCD 的四个顶点都在球 O 的表面上, AB ? 平面 ABCD, ?BCD 是边长为 3 的等边三角形,若 AB ? 2 ,则球 O 的表面积为( A. 4? B. 12? C. 16? D. 32? )

12、若定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? ?x ? ? f ? x ? , f ? 2 ? x ? ? f ? x ? ,且当 x ??0,1? 时,

f ? x ? ? 1 ? x 2 ,则函数 H ( x) ? xe 2 ? f ? x ? 在区间 ??5,1? 上的零点个数为(



A.4

B.6

C.8

D.10

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上。. 13、已知

?
2

? ? ? ? , e sin 2? ? 2 cos ? ,则 cos(? ? ? ) ?
2

y2 ? 1 与椭圆 C2 的公共焦点,点 A 是 C1 , C2 在第一象限 14、已知 F1 , F2 是双曲线 C1 : x ? 3
的公共点,若 F 1F 2 ? F 1 A ,则 C2 的离心率是

?3 x ? y ? 2 ? 0 ? 15、设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,若目标函数 z ? ax ? 2by(a ? 0, b ? 0) 的最大值 ? x ? 0, y ? 0 ?
为 1, 则

1 1 ? 2 的最小值为 2 a 4b

16、在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l : y ? 2 x ? 4 ,设圆 C 的半径为 1,圆心 在 l 上,若圆 C 上存在点 M,使 MA ? 2 MO ,则圆心 C 的横坐标 a 的取值范围为

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、 (本小题满分 12 分) 如图,在 ?ABC 中, BC 边上的中线 AD 长为 3,且 cos B ? (1)求 sin ?BAD 的值; (2)求 AC 边的长。

1 10 , cos ?ADC ? , 4 8

18、 (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, ?BAD ? 60 , Q 是 AD 的中点
?

(1)若 PA ? PD ,求证:平面 PQB ? 平面 PAD ; (2)若平面 APD ? 平面 ABCD ,且 PA ? PD ? AD ? 2 ,

在线段 PC 上是否存在点 M ,使二面角 M ? BQ ? C 的大小为 60 ,
?

若存在,试确定点 M 的位置,若不存在,请说明理由。

19、 (本小题满分 12 分)

?x ? 4 ? 设不等式组 ? y ? 0 所表示的平面区域 Dn ,记 Dn 内整点的个数为 an (横纵坐 ? y ? nx(n ? N ? ) ?
标均为整数的点称为整点) 。 (1) n ? 2 式,先在平面直角坐标系中做出平面区域 Dn ,在求 a2 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)记数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,试证明:对任意 n ? N ,恒有
?

S1 S ? 2 2 ?? 2 2 S1 3 S2

?

SN 5 ? 成立。 2 (n ? 1) S N 12

20、 (本小题满分 12 分) 已知定圆 M : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 16 ,动圆 N 过点 F ( 3,0) 且与圆 M 相切,记圆心 N 的 轨迹为 E (1)求轨迹 E 的方程; (2)设点 A, B, C 在 E 上运动, A 与 B 关于原点对称,且 AC ? CB ,当 ?ABC 的面积 最小时,求直线 AB 的方程。

21、 (本小题满分 12 分) 已 知 函 数 f ? x ? ? x ? a ln x , 在 x ? 1 处 的 切 线 与 直 线 x ? 2 y ? 0 垂 直 , 函 数

1 g ? x ? ? f ? x ? ? x 2 ? bx 2
(1)求实数 a 的值;

(2)若函数 g ? x ? 存在单调递减区间,求实数 b 的取值范围; (3) 设 x1 ,x2 (x1 ? x2 ) 是函数 g ? x ? 的两个极值点,若 b ?

7 , 求 g ? x1 ? ? g ? x2 ? 的最小值。 2

请考生在第(22) 、 (23)两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑,把答案填在答题卡上. 22、 (本小题满分 10 分) 如图,点 A 是线段 BC 为直径的圆 O 上一点, AD ? BC 于点 D,过点 B 作圆 O 的切线与 CA 的延长线交于点 E,点 G 是 AD 的中点,连接 CG 并延长与 BE 相交于点 F,延长 AF 与 CB 的延长线相交于点 P。 (1)求证: BF ? EF (2)求证:PA 是圆 O 的切线。

23、 (本小题满分 10 分) 已知函数 f ? x ? ? x ?1 (1)解不等式 f ? x ? ? f ? x ?1? ? 2 ; (2)当 a ? 0 时,不等式 2a ? 3 ? f ? ax ? ? af ? x ? 恒成立,求实数 a 的取值范围。


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