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总复习教师用书:第8章 第7讲 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 Word版含解析


第7讲 最新考纲 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 1.理解直线的方向向量及平面的法向量;2.能用向量语言表述线线、 线面、面面的平行和垂直关系;3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关 系的一些简单定理. 知 识 梳 理 1.直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量: 如果表示非零向量 a 的有向线段所在直线与直线 l 平行或重 合,则称此向量 a 为直线 l 的方向向量. (2)平面的法向量:直线 l⊥α,取直线 l 的方向向量 a,则向量 a 叫做平面 α 的法 向量. 2.空间位置关系的向量表示 位置关系 直线 l1,l2 的方向向量分别为 n1,n2 直线 l 的方向向量为 n,平面 α 的法向 量为 m 平面 α,β 的法向量分别为 n,m l1∥l2 l1⊥l2 l∥α l⊥α α ∥β α⊥β 向量表示 n1∥n2?n1=λn2 n1⊥n2?n1·n2=0 n⊥m?n· m=0 n∥m?n=λm n∥m?n=λm n⊥m?n· m=0 诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.( ) ) ) ) (2)若两直线的方向向量不平行,则两直线不平行.( (3)若两平面的法向量平行,则两平面平行或重合.( (4)若空间向量 a 平行于平面 α,则 a 所在直线与平面 α 平行.( 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2.(选修 2-1P104 练习 2 改编)已知平面 α,β 的法向量分别为 n1=(2,3,5), n2=(-3,1,-4),则( A.α ∥β ) B.α ⊥β C.α ,β 相交但不垂直 D.以上均不对 解析 ∵n1≠λn2,且 n1·n2=2×(-3)+3×1+5×(-4)=-23≠0,∴α,β 不平行,也不垂直. 答案 C 3.已知 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则下列向量是平面 ABC 法向量的 是( ) B.(1,-1,1) ? 3 3 3? D.? , ,- ? 3 3? ?3 A.(-1,1,1) ? 3 3 3? C.?- ,- ,- ? 3 3? ? 3 解析 设 n=(x,y,z)为平面 ABC 的法向量, → =0, ? ?n· AB ?-x+y=0, 则? 化简得? ∴x=y=z. → - x + z = 0 , ? ? AC=0, ?n· 答案 C 4.(2017· 青岛月考)所图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 是底面正方形 ABCD 的中心,M 是 D1D 的中点,N 是 A1B1 的中 点,则直线 ON,AM 的位置关系是________. 解析 以 D 为坐标原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,设|AD|=2,则 A(2,0,0),M(0,0,1),O(1,1, → =(-2,0,1),ON → =(1,0,2),因此AM → ·ON → =-2 0),N(2,1,2),所以AM +0+2=0,故 AM⊥ON. 答案 垂直 5.(2017· 杭州调研)设直线 l 的方向向量为 a,平面 α 的法向量为 n=(2,2,4), 若 a=(1,1,2),则直线 l 与平面 α 的位置关系为________; 若 a=(-1,-1,1),则直线 l 与平面 α 的位置关系为________. 1 解析 当 a=(1,1,2)时,a=2n,则 l⊥α; 当 a=(-1,-1,1)时,a· n=(-1,

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