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2015年广州市二测数学试题(文科) (1)


试卷类型:A

2015 年广州市普通高中毕业班综合测试(二)

数学(文科)
2015.4 本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分.考试用时 120 分钟 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号.用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在 的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号

填写在答题卡上.用 2B 铅笔将试 卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位 置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上 要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答 案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式:

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3 h S1 ? S1S2 ? S2 ,其中 S1 , S2 分别是台体的上,下底面积, h 是台体的高. 台体的体积公式 V ? 3
锥体的体积公式 V ?

?

?

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. sin 240 的值为

A.

3 2
x

B.

1 2

C. ?

1 2

D. ?

3 2

2.已知函数 f ? x ? ? 3 A. ? log3 2 3.已知双曲线 C :

? x ? R? 的反函数为 g ? x ? ,则 g ? ?
B. log3 2

1? ?? ?2?
D. log2 3

C. ? log2 3

x2 y 2 ? ? 1 经过点 ? 4,3? ,则双曲线 C 的离心率为 4 b2
B.

A.

1 2

3 2

C.

7 2

D.

13 2

数学(文科)试题 A

第 1 页 共 13 页

4.执行如图 1 所示的程序框图,则输出的 z 的值是

开始

x=1, y=2

z=xy

z<20? 否 图1 输出 z C. 34



x=y

y=z

结束 D. 64

A. 21

B. 32

2 5.已知命题 p : ?x ? R , x ? 0 ,命题 q : ?? , ? ? R ,使 tan ?? ? ? ? ? tan ? ? tan ? ,则下列命

题为真命题的是 A. p ? q B. p ? ? ?q ? C. ? ?p ? ? q D. p ? ? ?q ?

2 6.设集合 A ? x a ? 2 ? x ? a ? 2 , B ? x x ? 4 x ? 5 ? 0 ,若 A ? B ,则实数 a 的取值范围为

?

?

?

?

A. ?1,3?

B. ?1,3?

C. ? ?3, ?1?

D. ? ?3, ?1?

* 7.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 3 ,且 an?1 ? 4an ? 3 n ? N ,则数列 ?an ? 的通项公式为

?

?

A. 2

2 n ?1

?1

B. 2

2 n ?1

?1

C. 2

2n

?1

D. 2

2n

?1

8.已知函数 f ? x ? ? ?x ? 2x ? 3 ,若在区间 ? ?4, 4? 上任取一个实数 x0 ,则使 f ? x0 ? ? 0 成立的概率为
2

A.

4 25

B.

1 2

C.

2 3

D.1 V C

9.如图 2,圆锥的底面直径 AB ? 2 ,母线长 VA ? 3 ,点 C 在母线 VB 上,且 VC ? 1 , 有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点 A 到达点 C ,则这只蚂蚁爬行的最短距离是 A. 13 B. 7

C.

4 3 3
3 2

D.

3 3 2

A 图2

B

10.设函数 f ? x ? ? x ? 3ax ? 3bx 有两个极值点 x1、x2 ,且 x1 ?? ?1 ,0 ? , x2 ??1,2? ,则点 ? a, b ? 在 aOb 平面上所构成区域的面积为 A.

1 4

B.

1 2

C.

3 4

D.1

数学(文科)试题 A

第 2 页 共 13 页

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.已知 i 为虚数单位,复数 z ?

1? i ,则 z ? i

. .

12.已知向量 a ? ? x,1? , b ? ? 2, y ? ,若 a + b ? ?1, ?1? ,则 x ? y ?

13. 某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离 y ? km ? 与刹车时的速度 x ? km/ h ? 的关系可以用 y ? ax2 来描 述,已知这种型号的汽车在速度为 60 km / h 时,紧急刹车后滑行的距离为 b ? km ? .一辆这种型号的 汽车紧急刹车后滑行的距离为 3b ? km ? ,则这辆车的行驶速度为 (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题) 如图 3,在平行四边形 ABCD 中, AB ? 4 ,点 E 为边 DC 的中点, AE 与 BC 的延长线交于点 F ,且 AE 平分 ? BAD ,作 DG ? AE , A 垂足为 G ,若 DG ? 1 ,则 AF 的长为 . 15. (坐标系与参数方程选做题) 在在平面直角坐标系中,已知曲线 C1 和 C2 的方程分别为 ? 参数) ,则曲线 C1 和 C2 的交点有 个.

km / h .
D G B 图3 E

F

C

? x ? 4t , ? x ? 3 ? 2t , ( t 为参数)和 ? (t 为 2 y ? 2 t y ? 1 ? 2 t ? ?

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) 已知△ ABC 的三边 a , b , c 所对的角分别为 A , B , C ,且 a : b : c ? 7 : 5 : 3 . (1)求 cos A 的值; (2)若△ ABC 外接圆的半径为 14,求△ ABC 的面积. 17. (本小题满分12分) 某市为了宣传环保知识,举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动(一人答一份) .现从回收的 年龄在 20~60 岁的问卷中随机抽取了 100 份,统计结果如下面的 图表所示. 频率/组距 年龄 抽取 答对全卷 答对全卷的人数 分组 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 份数 40
n

的人数 28 27 4

占本组的概率 0.7 0.9

0.04 0.03 c 0.01 0
20 30 40 50 60

10 20

b
0.1

a

(1)分别求出 n , a , b , c 的值;

年龄

(2)从年龄在 ? 40,60? 答对全卷的人中随机抽取 2 人授予“环保之星” ,求年龄在 ?50,60? 的人中至少有 1 人被授予“环保之星”的概率. 数学(文科)试题 A 第 3 页 共 13 页

18. (本小题满分14分)

M , N 分别是 如图4,已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为3,
棱 AA1 , AB 上的点,且 AM ? AN ? 1 . (1)证明: M , N , C , D1 四点共面; (2)平面 MNCD1 将此正方体分为两部分,求这两部分的体积 之比. M A1

D1

C1 B1

D

C N 图4 B

A

19. (本小题满分14分)

n ? N * 在直线 l : y ? 3x ? 1 上, P1 是直线 l 与 y 轴的交点,数列 ?an ? 是公差为1 已知点 P n ? an , bn ?
的等差数列. (1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)若 f ? n ? ? ?

?

?

? an , ?bn ,

是否存在 k ? N ,使 f ? k ? 3? ? 4 f ? k ? 成立?若存在,求出所有 n为偶数,
*

n为奇数,

符合条件的 k 值;若不存在,请说明理由.

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ? ax ? x ? a ? R ? .
2

(1)若函数 f ? x ? 在 x ? 1 处的切线平行于 x 轴,求实数 a 的值,并求此时函数 f ? x ? 的极值; (2)求函数 f ? x ? 的单调区间.

21. (本小题满分14分)
2 已知圆心在 x 轴上的圆 C 过点 ? 0, 0 ? 和 ? ?1,1? ,圆 D 的方程为 ? x ? 4 ? ? y ? 4 . 2

(1)求圆 C 的方程; (2)由圆 D 上的动点 P 向圆 C 作两条切线分别交 y 轴于 A , B 两点,求 AB 的取值范围.

数学(文科)试题 A

第 4 页 共 13 页

2015 年广州市普通高中毕业班综合测试(二) 数学(文科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据 试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得 分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题,满分 50 分. 题号 答案 1 D 2 A 3 C 4 B 5 6 7 D 8 B 9 B 10 D

C A

二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共 5 小题,每小题,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 题号 答案 11 12 13 14 15

2

?3

60 3

4 3

1

16. (本小题满分12分) 解: (1)因为 a : b : c ? 7 : 5 : 3 , 所以可设 a ? 7 k , b ? 5k , c ? 3k ? k ? 0 ? ,??????????????????????2 分 由余弦定理得,

b2 ? c 2 ? a 2 ? 5k ? ? ? 3k ? ? ? 7k ? cos A ? ??????????????????????3 分 ? 2bc 2 ? 5k ? 3k
2 2 2

1 ? ? .????????????????????????????????????4 分 2 1 (2)由(1)知, cos A ? ? , 2
因为 A 是△ ABC 的内角,所以 sin A ? 1 ? cos A ?
2

3 .????????????????6 分 2

由正弦定理

a ? 2R , ???????????????????????????????7 分 sin A

数学(文科)试题 A

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得 a ? 2 R sin A ? 2 ?14 ?

3 ?????????????????????????8 分 ? 14 3 . 2

由(1)设 a ? 7 k ,即 k ? 2 3 , 所以 b ? 5k ? 10 3 , c ? 3k ? 6 3 .????????????????????????10 分 所以 S ?ABC ?

1 1 3 bc sin A ? ?10 3 ? 6 3 ? ????????????????????11 分 2 2 2

? 45 3 .
所以△ ABC 的面积为 45 3 .????????????????????????????12 分 17. (本小题满分12分) 解: (1)因为抽取总问卷为 100 份,所以 n ? 100 ? ? 40 ?10 ? 20 ? ? 30 .????????????1 分 年龄在 ? 40,50? 中,抽取份数为 10 份,答对全卷人数为 4 人,所以 b ? 4 ? 10 ? 0.4 .?????2 分 年龄在 ?50,60? 中,抽取份数为 20 份,答对全卷的人数占本组的概率为 0.1 , 所以 a ? 20 ? 0.1 ,解得 a ? 2 .????????????????????????????3 分 根据频率直方分布图,得 ? 0.04 ? 0.03 ? c ? 0.01? ?10 ? 1, 解得 c ? 0.02 .???????????????????????????????????4 分 (2)因为年龄在 ? 40,50? 与 ?50,60? 中答对全卷的人数分别为 4 人与 2 人. 年龄在 ? 40,50? 中答对全卷的 4 人记为 a1 , a2 , a3 , a4 ,年龄在 ?50,60? 中答对全卷的 2 人记为 b1 ,

b2 ,则从这 6 人中随机抽取 2 人授予“环保之星”奖的所有可能的情况是: ? a1 , a2 ? , ? a1 , a3 ? , ? a1 , a4 ? ,

? a1 , b1 ? , ? a1 , b2 ? , ? a2 , a3 ? , ? a2 , a4 ? , ? a2 , b1 ? , ? a2 , b2 ? , ? a3 , a4 ? , ? a3 , b1 ? , ? a3 , b2 ? , ? a4 , b1 ? ,

? a4 , b2 ? , ? b1 , b2 ? 共 15 种.???????????????????????????????8 分
其中所抽取年龄在 ?50,60? 的人中至少有 1 人被授予 “环保之星” 的情况是: ? a1 , b2 ? , ? a2 , b1 ? , ? a1 , b1 ? ,

? a2 , b2 ? , ? a3 , b1 ? , ? a3 , b2 ? , ? a4 , b1 ? , ? a4 , b2 ? , ? b1 , b2 ? 共 9 种.??????????????11 分
故所求的概率为

9 3 ? . ??????????????????????????????12 分 15 5
数学(文科)试题 A 第 6 页 共 13 页

18. (本小题满分14分) (1)证明:连接 A 1B , 在四边形 A 1BCD 1 中, A 1D 1

BC 且 A1D1 ? BC ,
A1

D1

C1 B1

所以四边形 A 1BCD 1 是平行四边形. 所以 A 1B

D1C .????????????????2分
M D C N B

在△ ABA1 中, AM ? AN ? 1 , AA 1 ? AB ? 3 , 所以

AM AN , ? AA1 AB

A

所以 MN 所以 MN

A1B .??????????????????????????????????4分 D1C .

所以 M , N , C , D1 四点共面.???????????????????????????6分 (2)解法一:记平面 MNCD1 将正方体分成两部分的下部分体积为 V1 ,上部分体积为 V2 , 连接 D1 A , D1 N , DN , 则几何体 D1 ? AMN , D1 ? ADN , D1 ? CDN 均为三棱锥, 所以 V1 ? VD1 ? AMN ? VD1 ? ADN ? VD1 ?CDN D 1 1 1 M C ? S?A M N D S ? ?S C D N 1D D 9分 ??? 1 A 1? ? ADN D 1 D 3 3 3 A 1 1 1 3 1 9 B ? ? ?3? ? ?3? ? ?3 N 3 2 3 2 3 2 13 ? .???????????????????????????????????11分 2 13 41 ? ,???????????????????13分 从而 V2 ? VABCD ? A1B1C1D1 ? VAMN ? DD1C ? 27 ? 2 2 所以 A1 D1 C1 B1

V1 13 ? . V2 41
13 .?????????????????14分 41

所以平面 MNCD1 分此正方体的两部分体积的比为

数学(文科)试题 A

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解法二:记平面 MNCD1 将正方体分成两部分的下部分体积为 V1 ,上部分体积为 V2 , 因为平面 ABB1 A 1 平面 DCC1D1 ,所以平面 AMN 平面 DD1C .

延长 CN 与 DA 相交于点 P , 因为 AN 所以

DC ,

AN PA 1 PA 3 ? ,即 ? ,解得 PA ? . DC PD 3 PA ? 3 2 3 延长 D1M 与 DA 相交于点 Q ,同理可得 QA ? . 2
所以点 P 与点 Q 重合. 所以 D1M , DA , CN 三线相交于一点. 所以几何体 AMN ? DD1C 是一个三棱台.???????????????????????9分 所以 V1 ? VAMN ? DD1C ?

1 ?1 1 9 9? 13 ?? ? ? ? ? ? 3 ? ,??????????????????11分 ? ? 3 ?2 2 2 2? 2
13 41 ? ,???????????????????13分 2 2

从而 V2 ? VABCD ? A1B1C1D1 ? VAMN ? DD1C ? 27 ? 所以

V1 13 ? . V2 41
13 .?????????????????14分 41

所以平面 MNCD1 分此正方体的两部分体积的比为 19. (本小题满分14分)

y 轴的交点 ? 0,1? , l 解: (1)因为 P 1 ? a1 , b 1 ? 是直线 : y ? 3x ? 1 与
所以 a1 ? 0 , b1 ? 1 .????????????????????????????????2分 因为数列 ?an ? 是公差为1的等差数列, 所以 an ? n ?1 .???????????????????????????????????4分

l 因为点 P n ? an , bn ? 在直线 : y ? 3x ? 1 上,
所以 bn ? 3an ? 1 ? 3n ? 2 .
* 所以数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式分别为 an ? n ?1 , bn ? 3n ? 2 n ? N .?????????6分

?

?

数学(文科)试题 A

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(2)因为 f ? n ? ? ?

?n ? 1, ?3n ? 2,
*

n为奇数, n为偶数,

假设存在 k ? N ,使 f ? k ? 3? ? 4 f ? k ? 成立.?????????????????????7分 ①当 k 为奇数时, k ? 3 为偶数, 则有 3? k ? 3? ? 2 ? 4 ? k ?1? , 解得 k ? 11 ,符合题意.??????????????????????????????10分 ②当 k 为偶数时, k ? 3 为奇数, 则有 ? k ? 3? ?1 ? 4 ?3k ? 2? ,

10 ,不合题意.??????????????????????????????13分 11 综上可知,存在 k ? 11 符合条件.???????????????????????????14分
解得 k ? 20. (本小题满分 14 分) 解: (1)函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0, ??? ,??????????????????????????1 分 因为 f ? x ? ? ln x ? ax ? x ,
2

所以 f ? ? x ? ?

1 ? 2ax ? 1 ,??????????????????????????????2 分 x

依题意有 f ? ?1? ? 0 ,即 1 ? 2a ? 1 ? 0 ,解得 a ? ?1 .??????????????????3 分 此时 f ? ? x ? ?

?2 x 2 ? x ? 1 ? ? x ? 1?? 2 x ? 1? ? , x x

所以当 0 ? x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ,当 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 , 所以函数 f ? x ? 在 ? 0,1? 上是增函数,在 ?1, ?? ? 上是减函数,???????????????5 分 所以当 x ? 1 时,函数 f ? x ? 取得极大值,极大值为 0.??????????????????6 分 (2)因为 f ? ? x ? ?

1 2ax 2 ? x ? 1 ? 2ax ? 1 ? , x x

(ⅰ)当 a ? 0 时,?????????????????????????????????7 分 因为 x ? ? 0, ??? ,所以 f ? ? x ? ?

2ax 2 ? x ? 1 ? 0, x

此时函数 f ? x ? 在 ? 0, ??? 是增函数. ??????????????????????????9 分 数学(文科)试题 A 第 9 页 共 13 页

(ⅱ)当 a ? 0 时,令 f ? ? x ? ? 0 ,则 2ax ? x ? 1 ? 0 .
2

因为 ? ? 1 ? 8a ? 0 , 此时 f ? ? x ? ?

2ax 2 ? x ? 1 2a ? x ? x1 ?? x ? x2 ? ? , x x

其中 x1 ? ?

1 ? 1 ? 8a 1 ? 1 ? 8a , x2 ? ? . 4a 4a
1 ? 0 ,所以 x1 ? 0 .??????????????11 分 2a

因为 a ? 0 ,所以 x2 ? 0 ,又因为 x1 x2 ?

所以当 0 ? x ? x2 时, f ? ? x ? ? 0 ,当 x ? x2 时, f ? ? x ? ? 0 , 所以函数 f ? x ? 在 ? 0, x2 ? 上是增函数,在 ? x2 , ??? 上是减函数.?????????????13 分 综上可知,当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 的单调递增区间是 ? 0, ??? ;当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 的单调递增 区间是 ? 0, ?

? ? ?

? 1 ? 1 ? 8a ? 1 ? 1 ? 8a ? , ?? ,单调递减区间是 ? ? ? ? ? ? ? .??????????????14 分 4a 4a ? ? ?

21. (本小题满分14分)
2 2 解: (1)方法一:设圆 C 的方程为: ? x ? a ? ? y ? r ? r ? 0 ? ,???????????????1 分 2

因为圆 C 过点 ? 0, 0 ? 和 ? ?1,1? ,
2 2 ? ?a ? r , 所以 ? ??????????????????????????????3 分 2 2 2 ? ?? ?1 ? a ? ? 1 ? r . 解得 a ? ?1 , r ? 1 .
2 所以圆 C 的方程为 ? x ? 1? ? y ? 1 .?????????????????????????4 分 2

方法二:设 O ? 0,0? , A ? ?1,1? , 依题意得,圆 C 的圆心为线段 OA 的垂直平分线 l 与 x 轴的交点 C .????????????1 分 因为直线 l 的方程为 y ?

1 1 ? x ? ,即 y ? x ? 1 ,????????????????????2 分 2 2

所以圆心 C 的坐标为 ? ?1,0? .????????????????????????????3 分
2 所以圆 C 的方程为 ? x ? 1? ? y ? 1 .?????????????????????????4 分 2

数学(文科)试题 A

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(2)方法一:设圆 D 上的动点 P 的坐标为 ? x0 , y0 ? ,
2 则 ? x0 ? 4 ? ? y0 ? 4 , 2 2 即 y0 ? 4 ? ? x0 ? 4 ? ? 0 , 2

解得 2 ? x0 ? 6 .??????????????????????????????????5 分 由圆 C 与圆 D 的方程可知,过点 P 向圆 C 所作两条切线的斜率必存在, 设 PA 的方程为: y ? y0 ? k1 ? x ? x0 ? , PB 的方程为: y ? y0 ? k2 ? x ? x0 ? , 则点 A 的坐标为 ? 0, y0 ? k1x0 ? ,点 B 的坐标为 ? 0, y0 ? k2 x0 ? , 所以 AB ? k1 ? k2 x0 , 因为 PA , PB 是圆 C 的切线,所以 k1 , k2 满足

?k ? y0 ? kx0 k 2 ?1

? 1,

2 2 2 即 k1 , k2 是方程 x0 ? 2 x0 k ? 2 y0 ? x0 ? 1? k ? y0 ? 1 ? 0 的两根,????????????7 分

?

?

? 2 y0 ? x0 ? 1? , ?k1 ? k2 ? x0 2 ? 2 x0 ? 即? 2 ?k k ? y0 ? 1 . ? 1 2 x0 2 ? 2 x0 ?
所以 AB ? k1 ? k2 x0 ? x0
2 因为 y0 ? 4 ? ? x0 ? 4 ? , 2

2 ? 2 y0 ? x0 ? 1? ? 4 ? y0 ? 1? ?????????????????9 分 ? 2 ? ? 2 x0 ? 2 x0 ? x0 ? 2 x0 ? 2

所以 AB ? 2 2

? x0 ? 2 ?
2

5 x0 ? 6
2

.????????????????????????????10 分

设 f ? x0 ? ?

? x0 ? 2?

5x0 ? 6



则 f ? ? x0 ? ?

?5 x0 ? 22

? x0 ? 2?

3

.??????????????????????????????11 分

由 2 ? x0 ? 6 ,可知 f ? x0 ? 在 ? 2,

? 22 ? ? 22 ? ? 上是增函数,在 ? , 6? 上是减函数,????????12 分 ? 5 ? ? 5 ?

数学(文科)试题 A

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所以 ? ?f

? x0 ?? ? max ?

? 22 ? 25 , f ? ?? ? 5 ? 64

?1 3? 1 ? ? f ? x0 ? ? ? min ? min ? f ? 2 ? , f ? 6 ?? ? min ? 4 , 8 ? ? 4 , ? ?
所以 AB 的取值范围为 ? 2,

? ?

5 2? ? .?????????????????????????14 分 4 ?

方法二:设圆 D 上的动点 P 的坐标为 ? x0 , y0 ? ,
2 则 ? x0 ? 4 ? ? y0 ? 4 , 2 2 即 y0 ? 4 ? ? x0 ? 4 ? ? 0 , 2

解得 2 ? x0 ? 6 .??????????????????????????????????5 分 设点 A? 0, a ? , B ? 0, b? , 则直线 PA : y ? a ?

y0 ? a x ,即 ? y0 ? a ? x ? x0 y ? ax0 ? 0 , x0
a ? y0 ? ax0

因为直线 PA 与圆 C 相切,所以

? y0 ? a ?

2

? x0

2

?1,

化简得 ? x0 ? 2? a ? 2 y0a ? x0 ? 0 .
2

① ②

同理得 ? x0 ? 2? b ? 2 y0b ? x0 ? 0 ,
2 2

由①②知 a , b 为方程 ? x0 ? 2? x ? 2 y0 x ? x0 ? 0 的两根,????????????????7 分

2 y0 ? ?a ? b ? x ? 2 , ? 0 即? ? x 0 ?ab ? . ? x ? 2 0 ?
所以 AB ? a ? b ?

?a ? b?
2

2

? 4ab

? 2 y0 ? 4 x0 ? ? ? ? ? x0 ? 2 ? x0 ? 2
? 4 y0 2 ? 4 x0 ? x0 ? 2 ?

? x0 ? 2 ?

2

.??????????????????????????9 分 第 12 页 共 13 页

数学(文科)试题 A

2 因为 y0 ? 4 ? ? x0 ? 4 ? , 2

所以 AB ? 2 2

? x0 ? 2 ?
16

5 x0 ? 6
2

?????????????????????????????10 分

?2 2 ?

? x0 ? 2 ?

2

?

5 . ????????????????????????11 分 x0 ? 2

令t ?

1 1 1 ,因为 2 ? x0 ? 6 ,所以 ? t ? . 8 4 x0 ? 2
2
2

5 ? 25 ? 所以 AB ? 2 2 ?16t ? 5t ? 2 2 ?16 ? t ? ,???????????????12 分 ? ? ? 32 ? 64
当t ? 当t ?

5 5 2 时, AB max ? , 32 4 1 时, AB min ? 2 . 4

所以 AB 的取值范围为 ? 2,

? ?

5 2? ? .?????????????????????????14 分 4 ?

数学(文科)试题 A

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