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1-3高中数学核动力


第一章

集合与常用逻辑用语

课 前 自 主 学 案

第3节

全称量词与存在量词、 逻辑连结词

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第一章

集合与常用逻辑用语

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1.(2012· 福建高考)下列命题中,真命题是( A.?x0∈R,ex0≤0 B.?x∈R,2x>x2 a C.a+b=0 的充要条件是 =-1 b

)

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D.a>1,b>1 是 ab>1 的充分条件

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【解析】 此类题目多选用筛选法, 因为 ex>0 对任意 x ∈R 恒成立,所以 A 选项错误;因为当 x=3 时 23=8,32=9 且 8<9,所以选项 B 错误;因为当 a=b=0 时 a+b=0,而 b 无意义,所以选项 C 错误.故选 D. a
【答案】 D

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集合与常用逻辑用语

2. (2012· 山东高考)设命题 p: 函数 y=sin 2x 的最小正周 π π 期为 ;命题 q:函数 y=cos x 的图象关于直线 x= 对称.则 2 2 下列判断正确的是( )
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A.p 为真

B.綈 p 为假
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C.p∧q 为假

D.p∨q 为真





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2π 【解析】 函数 y=sin 2x 的周期为 =π,所以命题 p 2 为假;函数 y=cos x 的对称轴为 x=kπ,k∈Z,所以命题 q 为假,所以 p∧q 为假,故选 C.

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【答案】 C

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3.(2011·安徽高考)命题“所有能被2整除的整数都是
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偶数”的否定是(

)

A.所有不能被2整除的整数都是偶数 B.所有能被2整除的整数都不是偶数 C.存在一个不能被2整除的整数是偶数 D.存在一个能被2整除的整数不是偶数

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【解析】 否定原题结论的同时要把量词做相应改变. 【答案】 D

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4.(2012·湖北高考)命题“存在一个无理数,它的平方
是有理数”的否定是(
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)
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A.任意一个有理数,它的平方是有理数 B.任意一个无理数,它的平方不是有理数 C.存在一个有理数,它的平方是有理数 D.存在一个无理数,它的平方不是有理数 【解析】 通过否定原命题得出结论.原命题的否定是

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“任意一个无理数,它的平方不是有理数”. 【答案】 B

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5.(2010·安徽高考)命题“对任何x∈R,|x-2|+|x-4|
>3”的否定为________. 【解析】 命题为全称命题,所以其否定为特称命题:

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存在x0∈R,使|x0-2|+|x0-4|≤3. 【答案】 存在x0∈R,使|x0-2|+|x0-4|≤3
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集合与常用逻辑用语

1.简单的逻辑联结词
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(1)逻辑联结词 命题中的 且 、 或 、 非 叫做逻辑联结词. (2)命题p∧q,p∨q,綈p的真假判断

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课 前 自 主 学 案

全称命题与特称命题的否定有什么关系? 提示:全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是 全称命题.

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判断下列命题的真假: (1) 2属于集合 Q,也属于集合 R; (2)矩形的对角线互相垂直或相等; (3)不等式|x+2|≤0 没有实数解.

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【思路点拨】 先确定组成复合命题的每个简单命题的
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真假,再根据真值表判断复合命题的真假.

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【尝试解答】 (1)此命题为“p∧q”的形式, 其中 p: 2 ∈Q,q: 2∈R,因命题 p 为假命题,命题 q 为真命题,所
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以命题“p∧q”为假命题.故原命题为假命题. (2)此命题为“p∨q”的形式,其中 p:矩形的对角线互 相垂直,q:矩形的对角线相等,因命题 p 为假命题,命题 q 为真命题,所以 p∨q 为真命题,故原命题为真命题. (3)此命题是“綈 p”的形式,其中 p:不等式|x+2|≤0

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有实数解.因为 x=-2 是该不等式的一个解,所以命题 p 为真命题,即綈 p 为假命题,所以原命题为假命题.

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(2011·北京高考)若p是真命题,q是假
命题,则(
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) B.p∨q是假命题 D.綈q是真命题
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A.p∧p是真命题 C.綈p是真命题

【尝试解答】 綈q和p∨q是真命题,故选D. 【答案】 D

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集合与常用逻辑用语

【归纳提升】 正确判断复合命题的真假
正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义是
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关键,解题时应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻
辑联结词进行命题结构与真假的判断.其步骤为:①确定复 合命题的构成形式;②判断其中简单命题的真假;③判断复 合命题的真假. 含“或”、“且”、“非”的命题真假的判断规律:

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(1)对“p∧q”命题:一假则假,同真才真;
(2)对“p∨q”命题:一真则真,同假才假; (3)对“p”命题:与“p”命题真假相反.
菜 单

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集合与常用逻辑用语

写出下列命题的否定,并判断其真假:
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1 (1)p:?x∈R,x -x+ ≥0; 4
2

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(2)q:所有的正方形都是矩形; (3)r:?x0∈R,x2+2x0+2≤0; 0 (4)s:至少有一个实数 x0,使 x3+1=0. 0
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【思路点拨】 改变量词,否定结论,写出命题的否定, 并判断命题的真假.





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集合与常用逻辑用语

【尝试解答】
课 前 自 主 学 案

(1)綈

1 2 p:?x0∈R,x0-x0+ <0,假命 4
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题. (2)綈 p:至少存在一个正方形不是矩形,假命题.

(3)綈 r:?x∈R,x2+2x+2>0,真命题.
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(4)綈 s:?x∈R,x3+1≠0,假命题.





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(2012· 东北师大附中模拟)已知命题 p:?x
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5 ∈R,sinx= ;命题 q:?x∈R,都有 x2+x+1>0.下列结 2 论中正确的是( ) A.命题“p∧q”是真命题 B.命题“p∧綈 q”是真命题

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C.命题“綈 p∧q”是真命题

D.命题“綈 p∨綈 q”是假命题

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集合与常用逻辑用语

【思路点拨】
值表可判断出结果.
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先判断出命题p、q的真假,然后根据真
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5 【尝试解答】 由 sin x= >1,可得命题 p 为假;由 2 x
2

? 1?2 3 3 ? +x+1=?x+2? + ≥ , 可得命题 ? 4 4 ? ?

q 为真, 则命题“p∧q”

是假命题;命题“p∧綈 p”是假命题;命题“綈 p∧q”是
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真命题;命题“綈 p∨綈 q”是真命题,故选 C.
【答案】 C





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【归纳提升】 1.常见词语的否定形式:
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集合与常用逻辑用语

2.全称命题及特称命题的真假的判断
(1)要判断一个全称命题“?x∈M,p(x)”是真命题,需
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要对限定集合M中的每一个元素x证明p(x)成立;如果在集合
M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立,那么这个全称命题 就是假命题(即通常所说的举出一个反例); (2)要判定一个特称命题“?x0∈M,P(x0)”是真命题, 只要在限定的集合M中至少找到一个x=x0 ,使P(x0)成立即

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可.否则这一特称命题就是假命题.

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(2012·江西重点盟校二次联考)已知命
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题p:“?x∈[0,1],a≥ex”,命题q:“?x∈R,x2+4x+a= 0”, 若 命 题 “ p∧q” 是真 命 题 ,则 实 数 a 的取 值 范围是 ( )

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A.(4,+∞)
C.[e,4]
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B.[1,4]
D.(-∞,1]
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【思路点拨】
围,然后去求交集.
菜 单

命题“p∧q”是真命题,须p与q都是真

命题,可以分别根据命题p、q都是真命题求出a的取值范

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【尝试解答】

“p∧q”是真命题,则p与q都是真命

题;p真则?x∈[0,1],a≥ex ,需a≥e;q真则x2 +4x+a=0有 解,需Δ=16-4a≥0,所以a≤4;p∧q为真,则e≤a≤4.故选C. 【答案】 C

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(2012·连云港调研)若命题“?x∈R,x2+ax+1<0”是
真命题,则实数a的取值范围是________.
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【思路点拨】

由命题是真命题可知函数y=x2+ax+1

的图象与x轴有交点,即可求出a的取值范围. 【尝试解答】 由题意,二次函数y=x2 +ax+1有负

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值,则由Δ=a2-4>0,解得a<-2或a>2. 【答案】 a<-2或a>2
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【归纳提升】

含有逻辑联结词的命题要先确定构成命

题的(一个或两个)命题的真假,求出此时参数成立的条件, 再求出含逻辑联结词的命题成立的条件.
菜 单

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集合与常用逻辑用语

●考情全揭密●
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从近两年的高考题来看,常以逻辑联结词 “或”“且”“非”为工具,考查函数、数列、立体几何、

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解析几何等知识.主要以选择题、填空题的形式出现,属于
容易题.全称命题、特称命题的否定、真假的判断及逻辑联 结词是高考的热点,常与其他知识相结合命题,题型为选择 题,分值为5分,属容易题.对全称量词和存在量词的考 查,一般以两种方式出现,一是直接考查含有全称量词和存
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在量词的命题真假的判断;
菜 单

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二是对含有全称量词和存在量词的命题的否定的考 查.近两年的各地模拟题又出现了利用常用逻辑用语求解参 数的取值范围的题型,主要涉及两类问题:一是利用一些含 有逻辑联结词命题的真假来确定参数的取值范围;二是利用 充要条件来确定参数的取值范围.求解时,一定要注意取值 区间端点值的检验,处理不当容易出现漏解或增解的现 象.解决此类题目首先是合理转化条件、运用有关性质、定 理等得到参数的方程或不等式,然后通过解方程或不等式求 得所求问题. 从命题方向上看,2014年高考仍以全称命题与特称命题 的否定与真假的判断为主要考点.尤其作为新课标新增内 容,在课改地区的高考中有升温的趋势,应引起足够的重 视.
菜 单

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●命题新动向●
含有一个量词的命题的否定
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全称命题、特称命题的否定,是高考的热点,该考点内
容往往能够和其他知识联系起来,在知识的交汇处命题,通 过对这两类量词的理解和运用,可以很好地考查学生的能 力,是高考的一种重要考向. 一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下:

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集合与常用逻辑用语

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正面词 等于(=) 大于(>) 小于(<) 语 否定词 语 不等于 (≠) 不大于 (≤) 不小于 (≥)

是 不是 所有 的 某些

都是 不都 是

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正面词 至多有一 至少有一 语 个 个 否定词 至少有两 一个也没 语 个 有

任意的
某个

一定 ?
不一 ? 定
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(2012·辽宁高考)已知命题p:?x1 ,x2∈R,
(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0,则綈p是(
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)
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A.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 B.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 C.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 D.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 【规范解答】 命题p为全称命题,其否定为特称命

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题,綈p:?x1,x2∈R,(f(x2)-(f(x1)))(x2-x1)<0.故选C. 【答案】 C

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●针对训练● (2012· 湖北高考)命题“?x0∈?RQ,x3∈Q”的否定是 0
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(

) A.?x0??RQ,x3∈Q 0 B.?x0∈?RQ,x3?Q 0 C.?x??RQ,x3∈Q D.?x∈?RQ,x3?Q

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【解析】 根据特称命题的否定为全称命题知,选D. 【答案】 D

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