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2016北京宏志中学高二数学(文)暑假作业 答案


北京宏志中学高二文科数学暑假作业参考答案

暑假作业(一)A 1.B 2.B 3.C 4.{-1,0} 5.C 6.D 7.D 8.D 9.0 10.{(0,1),(-1,2)} 11.-1<a<2 4m 12.实数 m 的值为 8 13.(1)C (2) 1+m2 暑假作业(一)B 1.B 2.C 3.D 4.2 5.A 6.C 7.C 8.A

9.{2,4,6} 10.[0,1)∪(3,+∞) 11.23 12.A∪B={-7,-4,-8,4,9} 13.(1)B={x|4<x<5} (2)a=-1 暑假作业(二) 1.C 2.A 3.C 4.充分不必要 5.B 6.A 7.B 8.B 9.充分不必要 1 4? 10.? ?-2,3? 11.m>9 12.m≤4 13.(1)(?UB)∩A={x|3≤x<4} 1 1? ?1 3- 5? (2)? ? ?-2,3?∪? ?3, 2 ? 暑假作业(三) 1.C 2.D 3.D 4. “所有的三角形都不是直角三角形” 5.D 8.C 3 ? 9.(-∞,0)∪? ?4,+∞? 10.①②④

6.D

7.C

11.[1,+∞)

12.-2<a≤2 13.{a|a>2 或 a<-2} 暑假作业(四)A 1.C 2.B 3.B 4.(1,3] 5.A 6.B 7.B 8.C 1 3 1 9.[2,+∞) 10.[- ,0)∪( ,1] 11. 4 4 2015 ?x2-2x,x≥0, ? 12.(1)f[g(2)]=0 g[f(2)]=2 (2)f[g(x)]=? 2 ?x -4x+3,x<0 ? 2 ? ?x -2,x≤-1或x≥1, g[f(x)]=? 2 ?3-x ,-1<x<1 ? 13.(1)f(x)=x2+2x g(x)=-x2+2x (2)(-∞,0] 暑假作业(四)B

4 1 4. 5.C 6.B 7.D 8.B 16.(1)f(x)= x2+x (2)m=12,t=8 3 2 1 x 暑假作业(八)A 9.[- ,+∞) 10. +1 11.(-∞,1] 4 3 1.B 2.D 3.C 4.2 5.B 6.C 7.A 8.D 12.(1)(-3,0)∪(2,3) (2)①[-1,1] ②[1,4] (3)(- 9.-1 10.log23 11.3 2 ∞,0] 12.(1)1 (2)-43 13.(1)略 (2)a=6,b=8,c=10 13.(1)B (2)A 暑假作业(八)B 2 4 暑假作业(五) 1.C 2.B 3.D 4.a b 5.B 6.D 7.C 8.A 1 2 ab+3 1.B 2.C 3.B 4.(- , ) 5.A 6.A 7.D 8.D 9.3 10. 11.①③④ 2 3 ab+1 9.C 10.[3,+∞) 11.(-∞,2] 12.[2,+∞) 12.(1)略 (2)3x<4y<6z 13.(-1,1) 13.(1)y=at2-3t+3 (2)a=16 x=64 c 14. (1)b=4 (2)函数 f(x)=x+ 取得最小值 2 c 当 c∈[1, 暑假作业(九) x 1 . B 2.B 3.B 4.[ - 1,2)∪(2,3] c 2)时,f(x)的最大值为 2+ 当 c∈(2,4]时,f(x)的最大值为 1 5.B 6.D 7.C 8.B 9.B 10. 3 11.0 和 1 2 1 1 +c 当 c=2 时,f(x)的最大值为 3 12.( ,0)13.-1 和 0 [- ,3] 4 1-a 15.(1)略 (2)(-∞,3] 14.(-∞,0]∪[1,2] 16.(1)f(1)=0 (2)略 (3)[1+ 10,+∞) 1 1 暑假作业(六)A 15.(1)f( )+f(- )=0 (2)(-∞,-2]∪[4,+∞) 2013 2013 1.B 2.D 3.B 4.- 2 5.D 6.A 7.A 8.A 4 16.(1)a=1 (2)λ= 9.1 10.-2 11.1207 3 12.(1)m=1 (2)f(x)是奇函数 暑假作业(十) (3)f(x)在区间(0,+∞)上单调递增 1 . C 2.D 3.D 4. ③ 5.C 6.A 7.D 8.C ?4x3-2ax,-1≤x<0, ? 9.B 10.(-2,1) 11.-2 12.(-1,-1) 13.10<abc<12 13.(1)f(x)=? 3 ?-4x +2ax,0≤x≤1. x+1,-1≤x≤0, ? ? ? 1 (2)存在 a=8 使得 f(x)的图像的最高点在直线 y=12 上 14.f(x)=?1 15.(0, ]∪[3,+∞) 2 3 暑假作业(六)B ? ?4(x-2) -1,x>0. 1.C 2.C 3.B 4.-3 5.C 6.B 7.B 8.D 16.(1)m≥2e (2)(-e2+2e+1,+∞) 3 暑假作业(十一) 9. 10.2 11.(-2,0)∪(3,+∞) 2 1.D 2.C 3.A 4.3x-y+2=0 5.D 6.C 7.A 8.B 12.(1)m=0 (2)-1<a<0 9.B 10.1 1 11.0 12.3x+y=0 13.-cos x 13.(1)略 (2)f(x)=x2-6x+8 14.(1)13x-y-32=0 (2)切点坐标为(1,-14)或(-1, (3)f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2013)=1 -18),切线方程为 y=4x-18 或 y=4x-14 暑假作业(七) 3 15.(1)f(x)=x- (2)证明略 定值为 6 1.A 2.D 3.D 4.(-∞,-3] 5.B 6.C 7.C x 8. A 9.C 10.-2 -4 11.y=-x2+2x+8 12.-1 或 3 16.(1)x0=1 (2)a≥ e 1 2 13.-3 或 14.f(x)=x +x 5 暑假作业(十二) 21 1 1.B 2.A 3.C 4.(-∞,-3)∪(6,+∞) 15.(1)[- ,15] (2)a=- 或-1 4 3 1.B 2.A 3.C

8.C 1 9.C 10.9 11.(0, ) 12.-4 13.(-1,0)∪(1,+∞) 2 - 14.(1)a=4,b=4 (2)极大值为 4(1-e 2) 15.(1)a=2 (2)①当 a≤0 时,函数 f(x)的单调递减区间为 (0,1),单调递增区间为(1,+∞); a ②当 0<a<2 时,则函数 f(x)的单调递增区间为(0, ),(1, 2 a +∞),单调递减区间为( ,1); 2 ③a=2 时,函数 f(x)的单调递增区间为(0,+∞); a ④a>2 时,函数 f(x)的单调递增区间为(0,1),( ,+∞) 2 a 单调递减区间为(1, ) 2 16. (1)f(x)的单调递增区间为(0, +∞), 单调递减区间为(- ∞,0),f(x)有极小值 1 (2)g(x)=sin x+1 (3)[1,+∞) 暑假作业(十三) 2.B 3.D 4.(0,1) 5.D 6.C 7.A 8.B 10.6 cm 3 cm 4 cm 11. 3-1 12.[-4 2,9]

5.A

6.B 7.D

f(b)-f(a) ?a+b? 5.(1) y=x-1 (2)略 (3) >f ? 2 ? b-a 暑假作业(十四) 3π 4.(- ,0) 5.D 6.B 7.D 2

1.A

2.D 3.C

8.D

(3)m=-2 (4)m<-3 或 m>5 -3- 41 -3+ 41 (5)m= 或 m= 4 4 1 ? 16.(1)|z|=1 ? ?-2,1? (2)略 (3)1 暑假作业(十九)

? ?4x+2y≤80, 9.?y-x≤10, x≥0,x∈N , ? ?y≥0,y∈N
2x+3y≤60,
* *

b a 10. < 11.①④ a-c b-d

巩固练习 1.C 2.B 3.C

4.B 解析:an=Sn-Sn-1 =(n2-9n)-[(n-1)2-9(n-1)] =2n-10(n≥2). 而 a1=S1=-8 也适合上式, 所以数列{an}的通项公式是 an=2n-10. 15 由 5<2k-10<8,得 <k<9,而 k 是正整数,所以 k=8. 2 5.an=n2-2n+21 解析: 因为 an+1-an=2n-1, 所以 a2-a1=1, a3-a2=3, a4-a3=5,?,an-an-1=2n-3,n≥2,以上各式相加可得 an - a1 = 1 + 3 + 5 + 4a4 + ? + (2n - 3) ? an = 20 + (n-1)(2n-2) 2 =n -2n+21(n≥2). 2 又 a1=20 适合上式,故 an=n2-2n+21. 6.4
? ?ak≥ak+1 解析:由题意得? ?ak≥ak-1 ?

1.D 9.A 13.1

14.(1)f(x)=x3+2x2-4x+5 (2)f(x)在[-3,1]上的最大值为 13 π 15.(1)f(x)的单调递增区间为(- ,0), 2 π 1 单调递减区间为(0, ) (2)k≤- 2 2 16.(1)S1 的最大值为 4 (2)l 的范围是[8,4 5] 专题一 突破高考解答题——函数与导数 1 1.(1)f(x)=x+ (2)(-∞,2] x 2.(1)(0,1) (2)[2ln 3-5,2ln 2-4) 3.(1)①当 a≤0 时,函数 f(x)的单调递增区间为(0,+∞) 2a ②当 a>0 时,函数 f(x)的单调递减区间为( ,+∞),单 2a 2a 调递增区间为(0, ) 2a (2)略 1 4 3 4.(1)(-1, ) (2)(-1,- ) (3)[- ,0] 3 11 8

13.5 张 暑假作业(十五) 1.A 2.B 3.B 4.(0,8) 5.B 6.A 7.B 8.C -21 9.-1 10.(-7,3) 11. 4 12.(1)M={x|0<x<2} (2)[-2,2] 1-k a 13.(1) 2 (2) 1+a 2-2k+k2 暑假作业(十六) 1.C 2.D 3.C 4.6 5.A 6.B 7.A 8.B 9.B 10. 2 11.2 2 12. 2 13.20 14.略 15.(1)k=50 (2)建 8 层时,每平方米的平均综合费用为 1225 元 16.a 为 6,b 为 3 时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量 分数最小 暑假作业(十七) 1.C 2.B 3.B 4.D 5.D 6.C 7.D 8.A 9.C 1? 10.a>c>b 11.loga(1+a)>loga? ?1+a? 3 3 12.a≥0,b≥0 且 a≠b 13. 14.略 15.略 2 16.(1)an=2n-1+ 2,Sn=n(n+ 2) (2)略 暑假作业(十八) 1.A 2.A 3.A 4. 2 5.D 6.C 7.A 8.B 1 9.A 10. 3 11.- +2i 12.2 13.3+4i 2 14.(1)a=b=3 (2)z=1-i 时,|z|min= 2 15.(1)m=5 或 m=-3 (2)m≠5 且 m≠-3

12.a +b <c

n

n

n

?k(k+4)×(3) ≥(k+1)(k+5)×(3) ?? 2 2 ?k(k+4)×(3) ≥(k-1)(k+3)×(3)
k k

2

2

k+1

k-1

? 10≤k≤ 10+1.

又因为 k∈N*,所以 k=4. 1 7.解析:因为 an+1= Sn, 3 1 所以 an= Sn-1(n≥2), 3 1 1 所以 an+1-an= (Sn-Sn-1)= an(n≥2), 3 3 4 所以 an+1= an(n≥2). 3 1 1 1 又 a1=1,a2= S1= a1= , 3 3 3 4 所以{an}是从第二项起,公比为 的等比数列, 3 1 (n=1) ? ? 所以 an=?1 4 n-2 . ( ) (n≥2) ?3· 3 ? 提升能力 1.C 解析:由已知得 a1=1,a2=2,a3=2,a4=1,a5 1 1 1 1 = ,a6= ,a7=1,a8=2,a9=2,a10=1,a11= ,a12= , 2 2 2 2 1 即 an 的值以 6 为周期重复出现,故 a17= . 2 2. 2 2013
2011

a2 a3 a2013 故 a2013=a1× × ×?× a1 a2 a2012 1 2 3 2012 =1×(2× )×(2× )×(2× )×?×(2× ) 2 3 4 2013 1 2 3 2012 22012 =22012× × × ×?× = . 2 3 4 2013 2013 3.解析:(1)当 n=1 时,a1=S1=3; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(n2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]= 2n+1. 又 n=1 时,2×1+1=3 成立,所以 an=2n+1(n∈N*). (2)bn=2n·(an-12)=2n·(2n-11),
n n 1 ? ? ?bn≤bn+1 ?2 ·(2n-11)≤2 ·(2n-9) 由 ? ? ? n ? n-1 ?bn≤bn-1 ? ? ?2 ·(2n-11)≤2 ·(2n-13)


=-15. 答案:D
[来源:学科网]

4.解析:an=23+(n-1)d,由题意知,?
?23+5d>0 ? 23 23 即? ,解得- <d<- , 5 6 ? 23 + 6 d < 0 ?

? ?a6>0 ?a7<0 ?



又 d 为整数,所以 d=-4. 答案:C 5.解析:依题意得 Sk+2-Sk=ak+1+ak+2=2a1+(2k+1)d =2(2k+1)+2=24,解得 k=5. 答案:D 6.解析:因为{bn}是等差数列,且 b3=-2,b10=12, 12-?-2? 故公差 d= =2.于是 b1=-6, 10-3 且 bn=2n-8(n∈N*),即 an+1-an=2n-8, 所以 a8=a7+6=a6+4+6=a5+2+4+6=?=a1+(-6) +(-4)+(-2)+0+2+4+6=3. 答案:B 二、填空题 7.解析:依题意得 a2+a4+a6+a8=(a2+a8)+(a4+a6)= 2(a3+a7)=74. 答案:74 8.解析:设{an}的公差为 d,由 S9=S4 及 a1=1, 9×8 4×3 得 9×1+ d=4×1+ d, 2 2 1 所以 d=- .又 ak+a4=0, 6

? ?n≥3.5 ? , ?n≤4.5 ?

所以 3.5≤n≤4.5,所以 n=4,所以最小项为 b4=-48. 暑假作业(二十) 一、选择题 1.解析:由 S3=9,S5=20,得 d=1,a1=2,∴a7+a8+ a9=3a8=3(a1+7d)=3×9=27. 答案:D 2.解析:∵{an}为等差数列,a2+a8=15-a5 ∴3a5=15,即 a5=5. 9?a1+a9? ∴S9= =9a5=45. 2 答案:C
2 2 3.解析:由 a2 3+a 8+2a3a8=9,得(a3+a8) =9,∵an<0,

解析:因为 nan=a1+2a2+3a3+?+(n-1)an-1(n≥2) 所以(n-1)an-1=a1+2a2+3a3+?+(n-2)an-2(n≥3) 两式相减,得 nan-(n-1)an-1=(n-1)an-1(n≥3) n-1 an 即 nan=2(n-1)an-1,所以 =2× (n≥3), n an-1 1 又易知 a2= , 2

∴ a3+ a8=-3 ,∴ S10=

10?a1+a10? = 5(a3+ a8)= 5×(- 3) 2

1 1 所以[1+(k-1)×(- )]+[1+(4-1)×(- )]=0. 6 6 即 k=10. 答案:10 9.解析:由 a1+a6=a2+a5 得 a6=11. 则 a5+a6+a7=3a6=33. 答案:33 三、解答题
?2a1+4d=14 ? 10.解 :(1)设公差为 d,则有? , ? ?7a1+21d=70 ? ? ?a1+2d=7, ?a1=1, 即? 解得? . ?a1+3d=10. ?d=3. ? ?

化简得(4a1+9d)2=d2-8. 所以 d2≥8. 故 d 的取值范围为 d≤-2 2或 d≥2 2. 1 - 1 12.解:(1)由 2Sn =Sn-1-( )n 1+2,得 2Sn+1=Sn-( )n+ 2 2 1 2,两式相减得 2an+1=an+( )n, 2 上式两边同乘以 2n 得 2n 1an+1=2nan+1,即 bn+1=bn+1,


2.解析:设等差数列的公差为 d,等比数列公比为 q,由 a1=b1=4,a4=b4=1, 3 得 d=-1,q= 答案:A 3.解析:由题意得 a2=2a1,a3=4a1,a4=8a1. ∴ 2a1+a2 2a1+2a1 1 = = . 2a3+a4 8a1+8a1 4 2 3 ,于是 a2=3>b2=2 2. 2

[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

所以 bn+1-bn=1,故数列{bn}是等差数列, 且公差为 1,又因为 b1=2a1=1,所以 bn=1+(n-1)×1 1 =n,因此 2nan=n,从而 an=n· ( )n. 2 1 - 1 - (2)由于 2Sn=Sn-1- ( )n 1+2,所以 2Sn-Sn-1=2-( )n 1, 2 2 1 - 1 - 1 即 Sn+an=2-( )n 1,Sn=2-( )n 1-an,而 an=n· ( )n,所以 2 2 2

答案:A 4. 解析: lna1+lna2+?+lna20=ln[(a1a20)· (a2a19)…(a10a11)] =lne10=10. 答案:B 5.解析:由 anan+1=16n,得 an+1· an+2 =16n 1,


所以 an=3n-2. 3n2-n n (2)Sn= [1+(3n-2)]= 2 2 3n2-n+48 48 所以 bn= =3 n+ -1≥2 n n 48 当且仅当 3n= ,即 n=4 时取等号, n 故数列{bn}的最小项是第 4 项,该项的值为 23. -15 11.解:(1)由题意知 S6= =-3,a6=S6-S5. S5 所以 a6=-3-5=-8,
? ?5a1+10d=5 所以? , ?a1+5d=-8 ?

48 3n· -1=23. n

1 - 1 1 Sn=2-( )n 1-n· ( )n=2-(n+2)· ( )n. 2 2 2 n+1 1 + 所以 Sn+1=2-(n+3)· ( )n 1,且 Sn+1-Sn= n+1 >0,所以 2 2 1 1 1 Sn≥S1= ,又因为在 Sn=2-(n+2)· ( )n 中,(n+2)· ( )n>0,故 2 2 2 Sn<2, 1 即 Sn 的取值范围是[ ,2). 2

an+1· an+2 16n 1 两式相除得, = n =16,∴q2=16. 16 an· an+1


∵anan+1=16n,可知公比为正数,∴q=4. 答案:B 6.解析:若删去 a1 或 a4,知数列既为等差也为等比时, 公差 d=0,由条件知不 成立. 若删去 a2,则(a1+2d)2=a1(a1 +3d), a1 若删去 a3,则(a1+d)2=a1(a1+3d),解得 =-4 或 1. d 答案:D

暑假作业(二十一) 一、选择题
5

二、填空题 7. 解析: 由题意得 2q2-2q=4, 解得 q=2 或 q=-1.又{an} 单调递增,得 q>1,∴q=2. 答案:2 8.解析:当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n 1,当 n=1 时,a1


解得 a1=7,所以 S6=-3,a1=7. (2)因为 S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,
2 即 2a2 1+9a1d+10d +1=0. 2 两边同乘以 8,得 16a2 1+72a1d+80d +8=0,

5 1.解析:依题意得 a5 =2 2 ,a5= 2.

答案:B

? ?-1,n=1 =S1=-1,所以 an=? n-1 . ?2 ,n≥2 ? ?-1,n=1 ? 答案:an=? n-1 ?2 ,n≥2 ?

n?n+1? =- . 2 n?n+1? 所以{bn}的通项公式为 bn=- . 2 12.解:(1)设数列{an}的公比为 q,则 b1=1+a=2,b2= 2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2, 由 b1,b2,b3 成等比数列得(2+q)2=2(3+q2). 即 q2-4q+2=0,解得 q1=2+ 2,q2=2- 2. 所以数列{an}的通项公式为 an=(2+ 2)n an=(2- 2)n 1.
- -1

∴a1+a2+?+a60=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+a8) +?+(a57+a58+a59+a60) =10+26+42+?+234= 答案 D 15×(10+234) =1 830. 2

9.解析:∵bn=an+1,∴an=bn-1, 而{bn}有连续四项在集合 {-53,-23,19,37,82}中, ∴{an}有连续四项在集合{-54,-24,18,36,81}中. ∵{an}是公比为 q 的等比数列,|q|>1, ∴{an}中的连续四项为-24,36,-54,81. 36 3 ∵q=- =- ,∴6q=-9. 24 2 答案:-9 三、解答题
?a1q=6, ? 10.解: 设{an}的公比为 q,由题设得? 2 ?6a1+a1q =30. ? ?a1=3, ?a1=2, ? ? 解得? 或? ? ? ?q=2, ?q=3.

2.(2015· 江苏,11)设数列{an}满足 a1=1,且 an+1-an=
?1? n+1(n∈N*),则数列?a ?前 10 项的和为________. ? n?



解析

∵a1=1,an+1-an=n+1,∴a2-a1=2,a3-a2 (2+n)(n-1) , 即 an = 2

(2)设数列{an}的公比为 q,则由(2+aq)2=(1+a)(3+aq2), 得 aq2-4aq+3a-1=0(*), 由 a>0 得 Δ=4a2+4a>0,故方程(*)有两个不同的实根. 由数列{an}唯一,知方程( *)必有一根为 0,代入(*)得 1 a= . 3

=3,?,an-an-1=n,将以上 n-1 个式子相加得 an - a1 = 2 + 3 + ? + n =

1 ? n(n+1) 1 2 ?1 , 令 bn=a , 故 bn= =2?n-n+1?, 2 n(n+1) ? ? n 故 S10=b1+b2+?+b10 1 1 1 1 1 ? 20 ? =2?1-2+2-3+?+10-11?=11. ? ? 20 答案 11 3.(2015· 安徽,18)已知数列{an}是递增的等比数列,且 a1+a4=9,a2a3=8. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和, bn= 的前 n 项和 Tn. 解 (1)由题设知 a1·a4=a2·a3=8. an+1 , 求数列{bn} SnSn+1

当 a1=3,q=2 时,an=3×2n 1,Sn=3×(2n-1);


暑假作业(二十二)

当 a1=2,q=3 时,an=2×3n 1,Sn=3n-1.


考点一

数列求和

1 1 - 1 11.解:(1)证明: 因为 an= ×( )n 1= n, 3 3 3 1 1 1 ?1- n? 1- n 3 3 3 Sn= = , 1 2 1- 3 1-an 所以 Sn= . 2 (2)因为 bn=log3a1+log3a2+?+log3an =-(1+2+?+n)

1.(2012· 课标全国,12)数列{an}满足 an+1+(-1)nan=2n -1,则{an}的前 60 项和为( )

A.3 690 B.3 660 C.1 845 D.1 830 解析 ∵an+1+(-1)nan=2n-1,

∴a2=1+a1,a3=2-a1,a4=7-a1,a5=a1, a6=9+a1,a7=2-a1,a8=15-a1,a9=a1, a10=17+a1,a11=2-a1,a12=23-a1,?, a57=a1,a58=113+a1,a59=2-a1,a60=119-a1,

?a1=1, ?a1=8, 又 a1+a4=9.可解得? 或? (舍去). ?a4=8 ?a4=1 由 a4=a1q3 得公比 q=2,故 an=a1qn-1=2n-1. a1(1-qn) n (2)Sn= =2 -1, 1-q an+1 Sn+1-Sn 1 1 又 bn= = = - , SnSn+1 SnSn+1 Sn Sn+1 ?1 1? ?1 1? 所以 Tn = b1 + b2 +?+ bn = ?S -S ? + ?S -S ? +?+ ? 1 2? ? 2 3? 1 ? 1 1 1 ?1 ? S -S ? = - = 1 - . n+1 2 -1 ? n n+1? S1 Sn+1 4.(2015· 福建,17)在等差数列{an}中,a2=4,a4+a7= 15. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=2an-2+n,求 b1+b2+b3+?+b10 的值. 解 (1)设等差数列{an}的公差为 d,

=(2+22+23+?+210)+(1+2+3+?+10) = 2(1-210) (1+10)×10 + 2 1-2

1)×2n, 上述两式相减,得 -Sn=1+22+23+?+2n-(2n-1)×2n=2n+1-3-(2n -1)×2n=-(2n-3)×2n-3, 所以,Sn=(2n-3)· 2n+3,n∈N*.

=(211-2)+55 =211+53=2 101.

5.(2015· 天津, 18)已知{an}是各项均为正数的等比数列, 6.(2015· 山东,19)已知数列{an}是首项为正数的等差数 {bn}是等差数列,且 a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2 =7. (1)求{an}和{bn}的通项公式; (2)设 cn=anbn,n∈N*,求数列{cn}的前 n 项和. 解 (1)设数列{an}的公比为 q,数列{bn}的公差为 d,
? ? 1 ? ? n 列,数列?a ·a ?的前 n 项和为 . 2n+1 ? n+1? ? n ?

(1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=(an+1)· 2an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解 (1)设数列{an}的公差为 d, 1 1 令 n=1,得a a =3, 1 2 所以 a1a2=3. 1 1 2 令 n=2,得a a +a a =5, 1 2 2 3 所以 a2a3=15.解得 a1=1,d=2,所以 an=2n-1. (2)由(1)知 bn=2n· 22n-1=n· 4n , 所以 Tn=1· 41+2· 42+?+n· 4n , 所以 4Tn=1· 42+2· 43+?+n· 4n+1, 两式相减,得-3Tn=41+42+?+4n-n·4n+1 4(1-4n) 1-3n 4 = -n· 4n+1= 3 ×4n+1-3. 1-4
n+1 3n-1 4 4+(3n-1)4 所以 Tn= 9 ×4n+1+9= . 9

由题意 q>0.
2 ?2q -3d=2, 由已知,有? 4 消去 d,整理得 q4-2q2-8 ?q -3d=10,

=0, 又因为 q>0,解得 q=2,所以 d=2. 所以数列{an}的通项公式为 an=2n-1,n∈N*;数列{bn} 的通项公式为 bn=2n-1,n∈N*. (2)由(1)有 cn=(2n-1)· 2 则 Sn = 1×20 + 3×21 + 5×22 +?+ (2n - 3)×2n - 2 + (2n - 1)×2n-1, 2Sn=1×2 +3×2 +5×2 +?+(2n-3)×2
1 2 3 n -1 n-1

?a1+d=4, 由已知得? ?(a1+3d)+(a1+6d)=15, ?a1=3, 解得? ?d=1. 所以 an=a1+(n-1)d=n+2. (2)由(1)可得 bn=2 +n, 所以 b1 + b2 + b3 +?+ b10 = (2 + 1) + (22 + 2) + (23 + 3) +?+(210+10)
n

,设{cn}的前 n 项和为 Sn,

+(2n-

7.(2015· 浙江,17)已知数列{an}和{bn}满足 a1=2,b1= 1 1 1 1,an+1=2an(n∈N*),b1+2b2+3b3+?+nbn=bn+1- 1(n∈N*). (1)求 an 与 bn; (2)记数列{anbn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn. 解 (1)由 a1=2,an+1=2an,得 an=2 (n∈N*).
n

因而对任意 n∈N*,n≥2,有 an+1=3Sn-1-Sn+3. 两式相减,得 an+2-an+1=3an-an+1,即 an+2=3an,n ≥2. 又 a1=1,a2=2,所以 a3=3S1-S2+3=3a1-(a1+a2) +3=3a1, 故对一切 n∈N*,an+2=3an. (2)解 an+2 由 (1)知,an ≠0 ,所以 a = 3. 于是数列 {a2n -1} n

an (1)证明:数列{ n }是等差数列; (2)设 bn=3n· an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. (1)证明 由已知可得 an+1 an an+1 an = n +1,即 - =1. n+1 n+1 n

由题意知: 当 n=1 时,b1=b2-1,故 b2=2. 1 当 n≥2 时,nbn=bn+1-bn,整理得 bn+1 bn = ,所以 bn=n(n∈N*). n+1 n (2)由(1)知 anbn=n· 2. 因此 Tn=2+2· 2 +3· 2 +?+n· 2, 2Tn=22+2· 23+3· 24+?+n· 2n+1, 所以 Tn-2Tn=2+22+23+?+2n-n· 2n+1. 故 Tn=(n-1)2n+1+2(n∈N*). 8.(2015· 湖南,19)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1 =1,a2=2,且 an+2=3Sn-Sn+1+3, n∈N*. (1)证明:an+2=3an; (2)求 Sn. (1)证明 +3, 由条件,对任意 n∈N ,有 an+2=3Sn-Sn+1
* 2 3 n n

an a1 所以{ }是以 =1 为首项,1 为公差的等差数列. n 1 an (2)解 由(1)得 n =1+(n-1)· 1=n,所以 an=n2. 从而 bn=n· 3n . Sn=1· 31+2· 32+3· 33+?+n· 3n,① 3Sn=1· 32+2· 33+?+(n-1)· 3n+n·3n+1.② ①-②得-2Sn=31+32+?+3n-n· 3n+1 3·(1-3n) 3n+1-3 n+1 (1-2n)· = -n· 3 = . 2 1-3 (2n-1)· 3n+1+3 所以 Sn= . 4 10.(2014· 新课标全国Ⅰ, 17)已知{an}是递增的等差数列, a2,a4 是方程 x2-5x+6=0 的根. (1)求{an}的通项公式; an (2)求数列{2n}的前 n 项和. 解 (1)方程 x2-5x+6=0 的两根为 2,3,由题意得 a2

是首项 a1=1,公比为 3 等比数列;数列{a2n}是首项 a2 =2, 公比为 3 的等比数列.因此 a2n-1=3n-1, a2n=2×3n
-1

.

于是 S2n=a1+a2+?+a2n =(a1+a3+?+a2n-1)+(a2+a4+?+a2n) =(1+3+?+3n-1)+2(1+3+?+3n-1) =3(1+3+?+3
n-1

3(3n-1) )= . 2

3(3n-1) 从而 S2n-1=S2n-a2n= -2×3n-1 2 3 =2(5×3n-2-1). n-3 3 ? ?2(5×3 2 -1),当n是奇数, 综上所述,Sn=? 3 n ? ?2(32-1),当n是偶数. 9.(2014· 安徽,18)数列{an}满足 a1=1,nan+1=(n+1)an +n(n+1),n∈N .
*

=2,a4=3. 设数列{an}的公差为 d, 则 a4-a2=2d,

1 3 故 d=2,从而 a1=2. 1 所以{an}的通项公式为 an=2n+1. an an n+2 (2) 设{2n}的前 n 项和为 Sn,由(1)知2n= n+1 ,则 2 n+1 n+2 3 4 Sn=22+23+?+ 2n + n+1 , 2 n+1 n+2 1 3 4 S n= 3+ 4+?+ n+1 + n+2 . 2 2 2 2 2 两式相减得 1 ? n+2 3 1? 1 ? n+2 1 3 ?1 S n= +?23+?+ n+1?- n+2 = + ?1- n-1?- n+2 . 2 2 2 4 ? 4 4? ? 2 ? 2 n+4 所以 Sn=2- n+1 . 2 11.(2014· 山东, 19)在等差数列{an}中, 已知公差 d=2, a2 是 a1 与 a4 的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=a n(n+1) ,记 Tn=-b1+b2-b3+b4-?+ 2
2

(2)由题意知 bn=a

n(n+1) =n(n+1). 2

所以 Tn=-1×2+2×3-3×4+?+(-1)nn×(n+1). 因为 bn+1-bn=2(n+1), 可得当 n 为偶数时, Tn=(-b1+b2)+(-b3+b4)+?+(-bn-1+bn) =4+8+12+?+2n n 2(4+2n) = 2 n(n+2) = , 2 当 n 为奇数时, Tn=Tn-1+(-bn) (n-1)(n+1) = -n(n+1) 2 (n+1)2 =- . 2 (n+1)2 ? ?- 2 ,n为奇数, 所以 Tn=? n(n+2) ? ? 2 ,n为偶数. 12.(2013· 重庆, 16)设数列{an}满足: a1=1, an+1=3an, n∈N+ (1)求{an}的通项公式及前 n 项和 Sn; (2)已知{bn}是等差数列,Tn 为其前 n 项和,且 b1=a2, b3=a1+a2+a3,求 T20. 解 (1)由题设知{an}是首项为 1, 公比为 3 的等比数列,

1-3n 1 n 所以 an=3n-1,Sn= = (3 -1). 1-3 2 (2)b1=a2=3,b3=1+3+9=13,b3-b1=10=2d, 所以公差 d=5, 20×19 故 T20=20×3+ 2 ×5=1 010. 考点二 数列的综合问题 1.(2012· 四川,12)设函数 f(x)=(x-3)3+x-1,{an}是公 差不为 0 的等差数列,f(a1)+f(a2)+?+f(a7)=14,则 a1+a2+?+a7 等于( A.0 B.7 C.14 D.21 解析 ∵f(x)=(x-3)3+x-1=(x-3)3+(x-3)+2, )

而 y=x3+x 是单调递增的奇函数, ∴f(x)=(x-3)3+(x-3)+2 是关于点(3,2)成中心对称 的增函数. 又∵{an}是等差数列, f(a1)+f(a2)+?+f(a7)=14=7×2, ∴f(a4)=2, 即(a4-3)3+(a4-3)+2=2, ∴a4=3, ∴a1+a2+?+a7=7a4=21. 答案 D

(-1)nbn,求 Tn. 解 (1)由题意知(a1+d) =a1(a1+3d),

即(a1+2)2=a1(a1+6), 解得 a1=2. 所以数列{an}的通项公式为 an=2n.

2.(2015· 浙江,10)已知{an}是等差数列,公差 d 不为零. 若 a2, a3, a7 成等比数列, 且 2a1+a2=1, 则 a1=________,

d=________. 解析 因为 a2,a3,a7 成等比数列,所以 a2 3=a2a7,即

(1)求{an}的通项公式; (2)设等比数列{bn}满足 b1=a1,b4=a15,求{bn}的前 n

2 (a1+2d)2=(a1+d)(a1+6d), ∴a1=-3d, ∵2a1+a2=1, 项和 Tn. 2 ∴2a1+a1+d=1 即 3a1+d=1,∴a1=3,d=-1. 2 答案 -1 3 3.(2015· 北京,16)已知等差数列{an}满足 a1+a2=10, a4-a3=2. (1)求{an}的通项公式; (2)设等比数列{bn}满足 b2=a3,b3=a7;问:b6 与数列 {an}的第几项相等? 解 (1)设等差数列{an}的公差为 d. 解

3 5 3? 3 5? ? ? ? ? 4 ?1+2+4+a4? + 5 ?1+2? = 8 ?1+2+4? + 1 ,解得: a4 ? ? ? ? ? ? 7 =8. (2)证明
+2

(1)设{an}的公差为 d,则由已知条件得

因为 4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1(n≥2), 所以 4Sn

3×2 9 a1+2d=2,3a1+ 2 d=2, 3 化简得 a1+2d=2,a1+d=2, 1 解得 a1=1,d=2, n-1 n+1 故通项公式 an=1+ 2 ,即 an= 2 . 15+1 (2)由(1)得 b1=1,b4=a15= 2 =8. b4 设{bn}的公比为 q,则 q3=b =8,从而 q=2,
1

-4Sn+1+Sn-Sn-1=4Sn+1-4Sn(n≥2),即 4an+2+an

5 =4an+1(n≥2),因为 4a3+a1=4× +1=6=4a2,所以 4 4an+2+an=4an+1,因为 1 an+2-2an+1 4an+2-2an+1 = = 1 4an+1-2an an+1-2an 4an+1-an-2an+1 2an+1-an 1 = =2, 4an+1-2an 2(2an+1-an)
? 1 ? 1 1 所以数列?an+1-2an?是以 a2-2a1=1 为首项, 公比为2的 ? ?

因为 a4-a3=2,所以 d=2. 又因为 a1+a2=10,所以 2a1+d=10,故 a1=4. 所以 an=4+2(n-1)=2n+2(n=1,2,?). (2)设等比数列{bn}的公比为 q. 因为 b2=a3=8,b3=a7=16, 所以 q=2,b1=4. 所以 b6=4×2
6-1

故{bn}的前 n 项和 b1(1-qn) 1×(1-2n) n Tn= = =2 -1. 1-q 1-2 5.(2015· 广东,19)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,n∈N*. 3 5 已知 a1=1,a2=2,a3=4,且当 n≥2 时,4Sn+2+5Sn =8Sn+1+Sn-1. (1)求 a4 的值;
? 1 ? (2)证明:?an+1-2an?为等比数列; ? ?

等比数列. (3)解
? 1 ? 1 由(2)知;数列?an+1-2an?是以 a2-2a1=1 为首 ? ?

1 1 ?1?n-1 项,公比为2的等比数列,所以 an+1-2an=?2? ,即 ? ? a ? ? n ? ? an+1 an a1 - n=4,所以数列??1?n?是以 1 =2 为首项, n + 1 ? ? ? ?1? ?1? ??2? ? ? ?2? ?2? 2 ? ? ? ? 公差为 4 的等差数列, 所以 an =2+(n-1)×4=4n-2, ?1?n ?2? ? ?

=128.

由 128=2n+2,得 n=63, 所以 bn 与数列{an}的第 63 项相等. 4.(2015· 重庆,18)已知等差数列{an}满足 a3=2,前 3 9 项和 S3=2.

(3)求数列{an}的通项公式. (1) 解 当 n = 2 时 , 4S4 + 5S2 = 8S3 + S1 , 即

?1?n ?1?n-1 即 an=(4n-2)×?2? =(2n-1)×?2? , 所以数列{an} ? ? ? ? ?1?n-1 的通项公式是 an=(2n-1)×?2? . ? ? 6.(2015· 湖北,19)设等差数列{an}的公差为 d,前 n 项 和为 Sn, 等比数列{bn}的公比为 q, 已知 b1=a1, b2=2, q=d,S10=100. (1) 求数列{an},{bn}的通项公式; an (2) 当 d>1 时,记 cn=b ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. n 解 (1)由题意有

2n-1 3 5 7 9 Tn=1+2+22+23+24+?+ n-1 ,① 2 2n-1 1 1 3 5 7 9 T n= + 2+ 3+ 4+ 5+?+ 2 2 2 2 2 2 2n .② ①-②可得 2n-1 2n+3 1 1 1 1 T =2+ + 2+?+ n-2- n =3- n , 2 n 2 2 2 2 2 2n+3 故 Tn=6- n-1 . 2 7.(2014· 广东,19)设各项均为正数的数列{an}的前 n 项
2 和为 Sn,且 Sn 满足 Sn -(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n

又数列{an}的各项均为正数,所以 Sn=n2+n,Sn-1=(n -1)2+(n-1), 所以当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+(n- 1)]=2n. 又 a1=2=2×1,所以 an=2n. (3)证明 当 n≥ 当 n=1 时, 2 1 1 1 1 = = < 成立; a1(a1+1) 2×3 6 3 1 1 时 , = < an(an+1) 2n(2n+1)

?10a1+45d=100, ?2a1+9d=20, ? 即? ?a1d=2, ?a1d=2, ?a1=9, ?a1=1, ? 解得? 或? 2 d=9. ?d=2 ? ? ?an=2n-1, 故? 或 n-1 ?bn=2 1 ? an=9(2n+79), ?

∈N*. (1)求 a1 的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)证明: 对一切正整数 n, 有 +?+ (1)解 1 1 <3. an(an+1)
2 2 由题意知,S2 n-(n +n-3)Sn-3(n +n)=0,n∈

1 (2n-1)(2n+1) 1 ? 1? 1 =2?2n-1-2n+1?, ? ? 1 1 1 1 所以 + +?+ <6 a1(a1+1) a2(a2+1) an(an+1) + 1 ?? 1??1 1? ? 1 ??3-5?+?+?2n-1-2n+1?? 2?? ? ? ?? 1 ? 1 1 1 1 1?1 =6+2?3-2n+1?<6+6=3. ? ? 1 1 所以对一切正整数 n, 有 + +? a1(a1+1) a2(a2+1) 1 1 + <3. an(an+1)

1 1 + a1(a1+1) a2(a2+1)

2 2 N*.令 n=1,有 S2 1-(1 +1-3)S1-3×(1 +1)=0,

? ?2?n-1 ? ?9? b = 9· . n ? ? ?

可得有 S2 1+S1-6=0,解得 S1=-3 或 2,即 a1=-3 或 2, 又 an 为正数,所以 a1=2. (2)解
2 2 * 由 S2 n-(n +n-3)Sn-3(n +n)=0,n∈N 可得,

(2)由 d>1,知 an=2n-1,bn=2n-1, 故 cn= 2n-1 ,于是 2n-1

(Sn+3)(Sn-n2-n)=0,则 Sn=n2+n 或 Sn=-3,


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