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2013版高考数学 3.8 应用举例课件 文 新人教A版


第八节 应用举例

三年7考

高考指数:★★

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和
几何计算有关的实际问题.

1.对解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题的考查是 高考考查的重点. 2.在选择题、填空题、解答题中都可能考查,多属中低档题.

1.实际问题中的有关概念 (1)仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角, 在水平线下方的角叫俯角(如图①).

(2)方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角 为α (如图②).

(3)方向角 相对于某一正方向的水平角(如图③)

①北偏东α °即由指北方向顺时针旋
转α °到达目标方向.

②北偏西α °即由指北方向逆时针旋
转α °到达目标方向. ③南偏西等其他方向角类似.

(4)坡度 ①定义:坡面与水平面所成的二面角的

度数(如图④,角θ 为坡角).
②坡比:坡面的铅直高度与水平长度之

比(如图④,i为坡比).

【即时应用】

(1)思考:仰角、俯角、方位角有什么区别?
提示:三者的参照不同.仰角与俯角是相对于水平线而言的,

而方位角是相对于正北方向而言的.
(2)思考:如何用方位角、方向角确定一点的位置? 提示:利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确 定一点的位置.

(3)如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋 观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的 北偏东40°,灯塔B在观察站C的南偏东 60°,则灯塔A在灯塔B的_______方向.

【解析】由已知∠ACB=180°-40°-60°=80°,
又AC=BC,∴∠A=∠ABC=50°,60°-50°=10°.

∴灯塔A位于灯塔B的北偏西10°.
答案:北偏西10°

2.解三角形应用题的一般步骤 (1)读懂题意,理解问题的实际背景,明确已知和所求,理清 量与量之间的关系.

(2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形模型.
(3)选择正弦定理或余弦定理求解.

(4)将三角形的解还原为实际问题,注意实际问题中的单位、
近似计算要求.

【即时应用】 (1)已知A、B两地的距离为10 km,B、C两地的距离为20 km,现 测得∠ABC=120°,则A、C两地的距离为______km.

(2)如图,在坡度为15°的观礼台
上,某一列座位与旗杆在同一个

垂直于地面的平面上,在该列的
第一排和最后一排测得旗杆顶端 的仰角分别为60°和30°,且第一排和最后一排的距离为 10 6 米,则旗杆的高度为______米.

【解析】(1)如图所示,
由余弦定理可得:

AC2=100+400-2×10×20×cos120°
=700,∴AC= 10 7 (km). (2)设旗杆高为h米,最后一排为点A,第一排为点B,旗杆顶 端为点C,则 BC= h = 2 3 h.
sin60? 3

在△ABC中,AB=10 6, ∠CAB=45°,∠ABC=105°, 所以∠ACB=30°,

2 3 h 10 6 由正弦定理,得 = 3 ,故h=30米. sin30? sin45?

答案:(1) 10 7

(2)30

测量距离问题

【方法点睛】求距离问题的注意事项
(1)选定或确定要创建的三角形,要首先确定所求量所在的三 角形,若其他量已知则直接解;若有未知量,则把未知量放在 另一确定三角形中求解. (2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便 于计算的定理.

【例1】(1)如图,为了测量河的宽度,

在一岸边选定两点A,B望对岸的标记物
C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°, AB=120 m,则这条河的宽度为______. (2)隔河看两目标A与B,但不能到达,在岸边选取相距
3 km

的C、D两点,同时,测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC =30°,∠ADB=45°(A、B、C、D在同一平面内),则两目标A、 B之间的距离为______.

【解题指南】(1)作出高线可直接应用直角三角形的边角关系 求得;(2)确定好三角形利用正弦定理和余弦定理解三角形求 得. 【规范解答】(1)如图,在△ABC中,过C作CD⊥AB于D点, 则CD为所求宽度, 在△ABC中,

∵∠CAB=30°,
∠CBA=75°,

∴∠ACB=75°,∴AC=AB=120 m.

在Rt△ACD中, CD=ACsin∠CAD=120sin30°=60(m),

因此这条河宽为60 m.
答案:60 m

(2)如图所示,在△ACD中,
∵∠ADC=30°, ∠ACD=120°, ∴∠CAD=30°, ∴AC=CD= 3. 在△BDC中, ∠CBD=180°-45°-75°=60°. 由正弦定理可得 BC= 3sin75? = 6+ 2 .
sin60? 2

在△ABC中,由余弦定理可得 AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠BCA,

∴ AB2=( 3)2+( 6+ 2 )2-2 3 ? 6+ 2 cos75?=5,
2 2

∴AB= 5 (km).

即两目标A、B间的距离为 5 km.
答案: 5 km

【反思·感悟】1.利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有

关的三角形中,建立一个解三角形的模型 .
2.利用正、余弦定理解出所需要的边和角,求得该数学模型的 解.

测量高度问题 【方法点睛】处理高度问题的注意事项 (1)在处理有关高度问题时,要理解仰角、俯角(视线在水平线

上方、下方的角分别称为仰角、俯角)是一个关键.
(2)在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的

问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,
这样处理起来既清楚又不容易搞错.

【提醒】高度问题一般是把它转化成三角形的问题,要注意三 角形中的边角关系的应用,若是空间的问题要注意空间图形和 平面图形的结合.

【例2】要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔
顶A的仰角是45°,在D点测得塔顶A的仰角是30°,并测得水 平面上的∠BCD=120°,CD=40 m,求电视塔的高度. 【解题指南】设出塔高x,先放到Rt△ABC和Rt△ABD中把BC和 BD用x表示;再在△BDC中用余弦定理求得x.

【规范解答】如图,设电视塔AB的高为x m, 则在Rt△ABC中,由∠ACB=45°得BC=x. 在Rt△ABD中,∠ADB=30°, ∴ BD= 3x. 在△BDC中,由余弦定理,得 BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos120°,
2 即 ( 3x) =x 2+402 -2·x·40·cos120°,

解得x=40,∴电视塔高为40米.

【反思·感悟】解决高度的问题主要是根据条件确定出所利用 的三角形,准确地理解仰角和俯角的概念并和三角形中的角度 相对应;分清已知和待求的关系,正确地选择定理和公式,特 别注意高度垂直地面构成的直角三角形.

测量角度问题

【方法点睛】测量角度问题的一般步骤
(1)在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图 形中标出有关的角和距离; (2)用正弦定理或余弦定理解三角形; (3)将解得的结果转化为实际问题的解. 同时注意把所求量放在有关三角形中,有时直接解此三角形解 不出来,需要先在其他三角形中求解相关量.

【例3】在海岸A处,发现北偏东45°方向、距离A处 ( 3 ?1) 海
里的B处有一艘走私船;在A处北偏西75°方向、距离A处2海里 的C处的缉私船奉命以 10 3 海里/小时的速度追截走私船.同 时,走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃 窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?最少要花多少时 间? 【解题指南】设出缉私船t小时后在D处追上走私船后,确定出

三角形,先利用余弦定理求出BC,再利用正弦定理求出时间.

【规范解答】设缉私船t小时后在D处追上走私船, 则有CD= 10 3 t,BD=10t.

在△ABC中,AB ? 3 ? 1, AC=2,∠BAC=120°.
利用余弦定理可得 BC ? 6.

由正弦定理,得
AC 2 3 2 sin?ABC ? sin?BAC ? ? ? , BC 2 2 6

得∠ABC=45°,即BC与正北方向垂直. 于是∠CBD=120°.

在△BCD中,由正弦定理,得
BDsin?CBD 10t sin120? 1 ? ? , CD 2 10 3t 得∠BCD=30°, 又 CD ? BC , sin120? sin30? sin?BCD ?

所以当缉私船沿东偏北30°的方向能最快追上走私船,最少
要花
6 小时. 10

10 3t 6 ? 6, 得t ? . 10 3

【反思·感悟】利用正弦定理和余弦定理来解实际问题时,要 学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中抽 取主要因素,进行适当地简化.另外要准确选择恰当的三角形, 把实际问题转化到三角形中时,正确地表示出所用的边和角 .

【满分指导】三角形中实际应用问题的规范解答 【典例】(12分)(2012·三明模拟)如 图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂 直的平面内,B,D为两岛上的两座灯 塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点 和D点的仰角分别为75°,30°,于

水面C处测得B点和D点的仰角均为60°,AC=0.1 km.

(1)试探究图中B,D间的距离与另外哪两点间距离会相等? (2)求B,D间的距离. 【解题指南】作出图形确定利用的三角形,(1)要充分利用仰 角和俯角与三角形中的角的关系;(2)利用正弦定理正确地解

答.

【规范解答】(1)如图,

在△ADC中,∠DAC=30°,
∠ADC=60°-∠DAC=30°, ∴CD=AC=0.1 km, ………………………………4分 又∠BCD=180°-60°-60° =60°,∴∠CED=90°, ∴CB是△CAD底边AD的中垂线,

∴BD=BA.……………………………………………………6分

(2)在△ABC中,由正弦定理得:
AB AC ? , sin?BCA sin?ABC

即 AB ? AC sin60? ? 3 2 ? 6 (km), ………………………8分
sin15? 20

∴BD= 3 2 ? 6 (km).……………………………………11分
20

答:B,D间的距离是 3 2 ? 6 km.……………………12分
20

【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结,我们可以得到以下
失分警示与备考建议: 失 解答此题时有两点容易造成失分: (1)由于角多不能正确地利用角之间的关系,特别是 三角形的外角的应用. (2)计算的失误造成失分,特别是sin15°的计算.


警 示

关于解决三角形的实际应用问题还有以下几点容易造
备 考 建 议 成失分,在备考时要高度关注: (1)对题目所给条件不能作出相关示意图.

(2)不会将实际问题转化到三角形中利用正、余弦定
理求解. 另外,对于仰角、俯角、方向角、方位角要正确地理 解和应用.

1.(2012·潍坊模拟)海事救护船A在基地的北偏东60°,与基地 相距 100 3 海里,渔船B被困海面,已知B距离基地100海里,而 且在救护船A正西方,则渔船B与救护船A的距离是( (A)100海里 (C)100海里或200海里 (B)200海里 (D) 100 3 海里 )

【解析】选C.设基地位于O处,根据正弦定理可知
1 OB OA sinA 3 ? ,? sinB ? OA ? 2 ?100 3 ? . sinA sinB OB 100 2

∴B=60°或120°. 当B=60°时,∠BOA=90°,A=30°,

BA=2OB=200(海里),
当B=120°时,A=∠AOB=30°, ∴OB=AB=100(海里), 故渔船B与救护船A的距离是100海里或200海里.

2.(2012·西安模拟)如图,货轮在

海上以35n mile/h的速度沿方位角
(从正北方向顺时针转到目标方向线

的水平角)为152°的方向航行.为了
确定船位,在B点处观测到灯塔A的 方位角为122°.半小时后,货轮到达C点处,观测到灯塔A的方 位角为32°,则此时货轮与灯塔之间的距离为______n mile.

【解析】在△ABC中,∠ABC=152°-122°=30°,C=180°152°+32°=60°, A=180°-30°-60°=90°,

BC= 35 n mile,
∴ AC ? 35 sin30? ? 35 (n mile).
2 答案:35 4 4 2

3.(2012·黄石模拟)如图,一船在海 上由西向东航行,在A处测得某岛M的

方位角为北偏东α 角,前进4 km后在
B处测得该岛的方位角为北偏东β 角.

已知该岛周围3.5 km范围内有暗礁,现该船继续东行.
(1)若α =2β =60°,问该船有无触礁危险?如果没有,请说明 理由;如果有,那么该船自B处向东航行多少距离会有触礁危 险? (2)当α 与β 满足什么条件时,该船没有触礁危险?

【解析】(1)作MC⊥AB,垂足为C,由已知α=60°,β=30°, 所以∠ABM=120°, ∠AMB=30°, 所以BM=AB=4,

∠MBC=60°,
所以MC=BM·sin60°= 2 3 ? 3.5, 所以该船有触礁的危险. 设该船自B处向东航行至点D有触礁危险,
2 则 MD ? 3.5,CD ? MD2 ? MC2 ? 3.52 ? (2 3) ? 0.5(km),

所以,BD=BC-DC=1.5(km),所以,该船自B处向东航行1.5 km会
有触礁危险.

(2)设CM=x,在△MAB中,由正弦定理得,
AB BM ? , sin?AMB sin?MAB



4 BM 4cos? ? ,BM ? , sin(? ? ?) cos? sin(? ? ?)

而x=BM·sin∠MBC=BM·cosβ= 4cos?cos? ,
sin(? ? ?)

所以,当x>3.5,
4cos?cos? 7 ? , 即 cos?cos? ? 7 时,该船没有触礁危险. 即 sin(? ? ?) 2 sin(? ? ?) 8


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