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简单的线性规划1


关于线性规划的发展
利奥尼德· 康托洛维奇(L.V.Kantorovich, 1912—1986) ,苏联数学家,他建立和发展 了线性规划方法,并运用于经济分析,对现代 经济应用数学的重要分支——线性规划方 法的建立和发展做出了开创性贡献.他把资 源最优利用这一传统的经济学问题,由定性 研究和一般的定量分析推进到现实计量阶 段,对于在企业范围内如何科学地组织生产 和在国民经济范围内怎样最优地利用资源 等问题做出了独创性的研究.在创建和发展 线性规划方法以及革新、推广和发展资源 最优利用理论方面所做出的杰出贡献, 1975年度获诺贝尔经济学奖.

一、预习达标:作出区域,
y

求出最值,明确概念
已知实数x,y满足下列条件:
5x+4y ≤ 20
2x+3y ≤12 x ≥0 y≥0 求z=9x+10y的最大值.
线性目标函数 9x+10y=0 线性约束 条件 6. . 5 4. 3. 2. 1 .

Z的最大值为44
最优解

12 20 M( , ) 7 7
可行域 .. .. . .. 1 2 3 4 5 6

x

0

2x+3y=12 5x+4y=20

二、思考与探究:
(1)线性目标函数表示的几 何图形?等零直线的作用? (2)将等零直线向可行域方 向平移时Z值的变化情况?为 什么?
9x+10y=0

y

6. . 5 4. 3. 2. 1 .

12 20 M( , ) 7 7

.. .. . .. 1 2 3 4 5 6

x

0

2x+3y=12

归纳方法: 画 移 求 答

5x+4y=20

1. 求 z = 2x+y 的

三、例题示范、巩固深化

最大值和最小值
使 x, y 满足条件

结论一:线性目标函数的最大 值、 最小值一般在可行域的顶点处取 y 得。
10 8 6

? x ? 4y ? ?3 , ? ? 3x ? 5y ? 25 , ?x ? 1 . ?
②画出可行域的图形;

C
4 2

①指出线性约束条件和线性目标函数;

A B
2
4 6 8 10

o

③求出最优解。
2x+y=t

? x ? 4y ? ?3 , ? 将练习中的 z 改为 z= 6x+10y ? 3x ? 5y ? 25 , ?x ? 1 . 求z的最大值和最小值. ?
变式训练一.
y
10 8 6

C
4
2

结论二:线性目标函数的最大值、 最小值也可能在可行域的边界上 取得,即满足条件的最优解有无 数个。
A

o

B
2 4 6 8 10

x

6x+10y=0

变式训练二.

将练习中的 z 改为 z= 2x-y,
求z的最大值和最小值. y
10 8 6

? x ? 4y ? ?3 , ? ? 3x ? 5y ? 25 , ?x ? 1 . ?

C
4
2

A

o 2x-y=0

B
2 4 6 8 10

x

线性规划问题的实际应用(课本例题)
实际问题

列表
设立变量

寻找约束条件 建立目标函数

转 化

线性规划问题 注意:
1.约束条件要写全; 2.作图要准确,计算也要准确;

3.解题格式要规范.

某工厂现有两种大小不同规格的钢板可截成A、B、C三 种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数 如下表所示 :
钢板类型

规格类型

A规格
2

B规格
1

C规格
1

第一种钢板 x张

1 2 3 第二种钢板 y张 某顾客需要A,B,C三种规格的成品分别为15,18,27块,若你是 经理,问各截这两种钢板多少张既能满足顾客要求又使所用钢板张 数最少。 解:设需截第一种钢板x张,第二种钢板y张, 分 钢板总张数为Z,则 析 2x+y≥15, x+2y≥18, 问 x+3y≥27, 题 目标函数: z=x+y (x, y ? N) x≥0 , y≥0

:

x, y ? N

约束条件: 2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, y≥0 目标函数:z= x+y

y 15

{

调整优解法

10 B(3,9) C(4,8) 8 (x, y ? 画可行域 N) 6 A(3.6,7.8) x+y =0 4 作出直线L:x+y=0, 2 0 2 4 6 8
平移L找交点及交点坐标

12

2x+y=15

x+y=12 x+2y=18

18

x 27
x+3y=27

当直线L经过点A时z=x+y=11.4, 但它不是最优整数解. 作直线x+y=12 1.满足哪些条件的解才是最优解? 解得交点B,C的坐标B(3,9)和C(4,8)

2.目标函数经过A(3.6,7.8)时Z的值是多少?

直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8),它们是最优解. 答(略) 你能否猜测一下Z的最小值可能是多少?

线性规划求最优整数解的一般方法:
1.平移找解法: 即先打网格,描出可行域内的
整点,平移直线,最先经过或最后经过的整点

坐标即为最优整解.

2.调整优解法:即先求非整数条件下的最优解,
调整Z的值使不定方程Ax+By=Z存在最大(小) 的整点值,最后筛选出整点最优解.


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