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正弦型函数图像变换好


正弦型函数 y = A sin(ωx+? ) 的图象

复 习
正弦函数 y = sinx 的图象、定义域、值域、周期
y
1 x 0 -1 π 2π 3π 4π

x
sinx

0
0

?
2

?
0

3? 2

2?
0

1

-1

复 习
正弦函数 y = sinx 的图象、定义域、值域、周期
y
1 x 0 -1 π 2π 3π 4π

定义域: R

值域: [-1,1]
[?
? ? +2k?, +2k?],k?Z 2 2
2

周期: 2π

单调增区间:

3? 单调减区间: [ ? +2k?, +2k?],k?Z 2

y

Po
p

半径为R,角速 ? 度 ,经过t时间 t

o

3.大观缆车上点P的纵坐标 y= Rsin (ωt + ?)

正弦型函数
y = A sin(ωx+ ? )
(其中A 、ω 、 ?为常数。 不妨设A>0,ω>0)

正弦型函数y =Asin(ωx + ?)的图象和性质
1、A的作用:研究 y=Asinx 与 y=sinx 图象的关系 1 先观察y=2sinx、y= sinx与y=sinx的图象间的关系
y 2 1 0 -1 π 2π x
2

-2

正弦型函数y =Asin(ωx + ?)的图象和性质
1、A的作用:研究 y=Asinx 与 y=sinx 图象的关系 1 先观察y=2sinx、y= sinx与y=sinx的图象间的关系
y
2

2
1 0 -1 -2 π 2π x

A的作用:使正弦函数相应的函数值发生变化。 y=Asinx(A>0, A?1)的图象是由y=sinx的图象沿y轴 方向伸长 (当A>1时)或压缩(当0<A<1时)A倍而成.

正弦型函数y =Asin(ωx + ?)的图象和性质
3、 ?的作用:研究 y=sin(x+ ?)与y=sinx 图象的关系

例3
x+
X
?
3

画出函数 Y=Sin (X+ 3 ),X∈R ? Y=Sin(X- 4 ) ,X∈R 的简图。
0
-π/3 0 0 π/4 0

?

π/2
π/6 1 π/2 3π/4 1

π
2π/3 0 π 5π/4 0

3π/2
7π/6 -1 3π/2 7π/4 -1


5π/3 0 2π 9π/4 0

? Sin(X+ 3) x- ? ? Sin(X- 4 )

X

4

1
? ? 2

Y
7? 6

3? 2
5? 4

7? 4

9? 4
2?

X

? ? 3

O

? ? ? 2? 3? ? 6 4 2 3 4

5? 3

-1

正弦型函数y =Asin(ωx + ?)的图象
3、ω的作用:研究 y=sinωx与y=sinx 图象的关系
1 先观察y=sin2x、y=sin x与y=sinx的图象间的关系 2 y

1

0 -1

π







x

作y=sinx的图象
x
sinx

1、列表
?
2

2、描点
3? 2

3、连线
2?
0

0
0

?
0

1

-1

正弦型函数y =Asin(ωx + ?)的图象和性质
3、ω的作用:研究 y=sinωx与y=sinx 图象的关系
1 先观察y=sin2x、y=sin x与y=sinx的图象间的关系 2 y

1

0 -1

π







x

作y=sin2x的图象
2x x sin2x
0 0 0

1、列表
?
2

2、描点
3? 2 3? 4

3、连线
2? ? 0

?
?
2

?
4

1

0

-1

正弦型函数y =Asin(ωx + ?)的图象和性质
3、ω的作用:研究 y=sinωx与y=sinx 图象的关系
1 先观察y=sin2x、y=sin x与y=sinx的图象间的关系 2 y

1

0 -1

π







x

作y=sin

1 x 的图象 2
1 2

1、列表
?
2

2、描点
3? 2

3、连线
2?

x
1 x 2

0

?

x
sin

0
0

?
1

2?
0

3?
-1

4?
0

正弦型函数y =Asin(ωx + ?)的图象和性质
3、ω的作用:研究 y=sinωx与y=sinx 图象的关系
1 先观察y=sin2x、y=sin x与y=sinx的图象间的关系 2 y

1

0 -1

π







x

ω的作用:使正弦函数的周期发生变化。
y=sinω x(ω >0, ω ?1)的图象是由y=sinx 的图象沿x轴关于y轴压缩(当ω >1时)或伸长 (当0<ω <1时)ω -1倍而成.

y

A

2 1

y=2sinx
π 2π

y= 1 sinx
2

y=sinx

0
-1

x y
1 -1

?
ω
y 0

-2

? y = sin(x+ 2 )
π

? y = sin(x - 2 )


y=sinx

0

x

y=sin2x
1 π

y=sin 1 x
2


y=sinx
3π 4π

-1

x

正弦型函数y =Asin(ωx + ?)的图象和性质
对于正弦型函数,我们称: A为振幅,ω为角频率, T ? ? 为周期 周期T的倒数
1 ? f ? ? T 2? 2?

为 频率,

ωx+ ?为相位,x=0 时的相位?为初相。

?? ? y=3sin ? 2x+ ? ,x ? R 的简图, 例、作出函数 3? ? 说明它与y=sinx图象之间的关系。

Y
y=sinx的图象
左移

?

? ?? 得y= sin ? x+ ? 3 ? 3?

1 横坐标缩短为原来的 2 ?? ? 得y=sin ? 2x+ ? 3? ?

纵坐标伸长到原 来的3倍
?? ? 得y=3sin ? 2x+ ? 3? ?

O

X

的图象的两种方法。 1 横坐标缩短为原来的 2 方法1:y=sinx y=sin2x
向左平移 ? 个单位
6

?? ? 例、指出将函数y=sinx的图象变换成 y= sin ? 2x+ ? 3? ?

? ? ? ?? ?? ? y=sin ? 2 ? x+ ? ? =sin ? 2x+ ? 3? ? ? ? 6 ??
3

向左平移 ? 个单位 方法2:y=sinx
1 横坐标缩短为原来的 2

? ?? y= sin ? x+ ? 3? ?

?? ? y= sin ? 2x+ ? 3? ?

随堂练习
? 1、要得到y=sin(2x- )的图象,只要将y=sin2x的图象 3 D ? ? A、向左平移 个单位 B、向右平移 个单位 3 3 ? ? C、向左平移 个单位 D、向右平移 个单位 6 6

2、把y=sinx的图象上各点向右平移 个单位,再把横坐 标缩小到原来的一半,纵坐标扩大到原来的4倍,则所得 的图象的解析式是 B ?? ?x ? ? ?
A、 y=4sin ? - ? ?2 3? ?x ? ? C、 y=4sin ? + ? ?2 3? B、 y=4sin ? 2x- ? 3? ? ?? ? D、 y=4sin ? 2x+ ? 3? ?

? 3

3、函数y=sin(x+ ? )的对称轴方程为 B
4 ? ? A、 x=k? + ,k ? Z B、 x=k? + ,k ? Z 2 4

C、 x=k? -

?
4

,k ? Z

D、 x=k? -

?
2

,k ? Z

4、将函数y=f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变,横 坐标伸长到原来的2倍,然后再将整个图象沿x轴向左平移 ? 1 个单位,得到曲线y= sinx的图象相同,则y=f(x)的函 2 2 数表达式为 D 1 1 ?1 ? ? ? ??
A、 y= sin ? x- ? 2 ?2 2? 1 ?1 ? ? C、 y= sin ? x+ ? 2 ?2 2? B、 y= sin 2 ? x+ ? 2 ? 2? 1 ?? ? D、 y= sin ? 2x- ? 2 ? 2?

? 5、将y=sin2x的图象向左平移 个单位,得到曲线对 3 应的解析式为
? A、 y= sin ? 2x+ ? 3? ? 2? ? ? C、 y= sin ? 2x+ ? 3 ? ?

C ??

?? ? B、 y= sin ? 2x- ? 3? ? 2? ? ? D、 y= sin ? 2x? 3 ? ?

? A、各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移 6 个单位 1 B、各点的横坐标缩小到原来的 ,再向左平移 ? 个 2 3 单位 ? C、向左平移 个单位,再将图象上各点的横坐标伸 长到原来的2倍 3
D、向左平移 个单位,再将图象上各点的横坐标伸 长到原来的2倍 6

?x ? ? 6、要得到y= sin ? + ? 的图象,可将y=sinx的图象 ?2 6? D

?

7、函数y=sin(2x+θ)的图象关于y轴对称,则 B

2 2 C、 ? =2k? +? ,k ? Z D、 ? =k? +? ,k ? Z ? 8、要得到函数y= 2 sin(x+ 2 )的图象,只需将函数 ?? ? y= 2 sin ? 2x+ ? 的图象上所有的点的 C 4? ? 1 ? A、横坐标缩小到原来的 ,再向左平移 个单位 2 8 1 ? B、横坐标缩小到原来的 ,再向右平移 个单位 2 4

A、 ? =2k? +

?

,k ? Z

B、 ? =k? +

?

,k ? Z

? 个单位 4 ? D、横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移 个单位 8
C、横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移

? k? ? ? - ,0 ? k ? Z ?? ? ? 9、y=5sin ? 2x+ ? 的对称中心坐标为__________ ? 2 6 ? 3? ?
1 1 1 ?? ? 2 ,频率是______ 11、y= sin ? 2x- ? 的振幅是____ ? , 2 ? 9? ? 9 初相是______




2?

一、正弦型函数y =Asin(ωx + ?)的性质
T? [-A,A] 3、周期: D=R 2、值域: 1、定义域: ?

二、正弦型函数y =Asin(ωx + ?)的图象
ω的作用:使正弦函数的周期发生变化。 A 的作用:使正弦函数相应的函数值发生变化。

?的作用:使正弦函数的图象发生位移变化。
五点作图法:1、列五点表,2、描点、连线。

作 业
? 求函数 y ? 2 sin(x ? ) 的最大值、 6

最小值、周期; 并用五点法作出它

在一个周期内的图象。

有兴趣的同学可以思考:上题要求 “作出函数在[0,2π]内的图象” 应如何作图? 相信你能画出来!!!

学会学习 走向成功

正弦型函数y =Asin(ωx + ?)的图象和性质 正弦型函数 =A (ωx + ?)的图象 y=sin(x+? y )( ?sin ?0) 的图象是由 y=sinx的图象沿 轴方向平移 可以将 yx = sinx 的图象-?个单 位而成. 1、沿 x 轴压缩或伸长 1/ω倍; y = sin(ω x+? ) 2、再沿 y 轴压缩或伸长A倍; = sin[ω(x+ ? /ω)] 3、最后沿x轴方向平移 - ? /ω y=Asin(ωx+ ? )的图象可以将y=sinωx 的图象沿 x轴方向平移 个单位而成 . - ?/ω个单位。

用五点法作出y=Asin(ωx+ ?)在一个周期内的图象, A确定振幅,求出最值; 先由 A 再由 ωx+ ? =0 确定 xo ; T 最后由ω确定周期 T,求出 4 T T T T ? ? ? ? 列五点表,描点、连线。 4 4 4 4 准 备 工 作

3

x
?x ? ?

xo

xo ?
?

T 4

xo ?

T 2

xo ?

1 2

0
0

2

?
0

3T 4 3?
2

xo ? T
2?

sin( ?x ? ? )
y ? A sin( ?x ? ? )

1

?1

0

0

A

0

?A

0

例1用五点法作函数y = sin( x ? ) 在一个周期内的图象
解:1、列五点表
第三步
第一步

?

( A ? 1, 由x ?

? ? T ? ? 0有x o ? ? , 由T ? 2?有 ? ) 2 2 4 2

2

x
x?

?

?
2
0

0
? 2

?
2

?
3? 2

?
2

3? 2
2?

?

第二步

y ? sin( x ? ) 2

?

0
y

1

0

-1

0

2、描点作图

0

π



x

1 ? 例2用 五 点 法 作 函 数 y ? sin( 2 x ? )在 一 个 周 期 内 的 图 象 2 4 ? ? 1 ? 2? ? ? ) 解:1、列五点表( A ? 2 ,由2 x ? 4 ? 0有x o ? ? 8 , 由T ? ?有 T 4 4 8
第三步 第一步 第一步 第二步

x
2x ?

?

?
8

?

? 4

sin( 2 x ? ) 4 1 ? y ? sin( 2 x ? ) 2 4

?

0 0

? 2

8

3? 8

?
0

5? 8 3? 2

7? 8

2?

1
1 2
? 2

?1
? 1 2

0

0
y
1

0

0

2、描点作图
?

π
5? 8
7? 8

?
8

0
-1

?
8

3? 8

x





用五点法作函数 1 ? y ? 3 si n ( x ? )在 一 个 周 期 内 的 图 象 2 4

练习题解答过程

1 ? 用五点法作函数 y ? 3 sin( x ? )在 一 个 周 期 内 的 图 象 2 4 x ? ? T 2? 由 ? ? 0 有 x ? , ( A ? 3 , 由 T ? 4 ? 有 ? ? ? ) 解:1、列五点表 o 2 4 2 4 2
第三步 第一步 第一步 第二步

x
x ? ? ) 2 4 x ? y ? 3 sin( ? ) 2 4 sin(
x ? ? 2 4

?
2

3? 2

5? 2

7? 2

9? 2

0 0

? 2

?
0

3? 2

2?

1

?1

0

0

3

0

?3

0

y

2、描点作图
-π 0 π 2π 3π 4π x


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