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高一升高二辅导专题4.函数周期性


专题 4.函数的周期性
学习目标:1.了解函数的周期性的定义;2.会判断函数的周期;3.能运用函数的周期性求值。 【复习导入】 1.如果对于定义域内的每一个 x 值,都有___________________,则称 f ( x ) 为奇函数;如果对于定义域内 的每一个 x 值,都有___________________,则称 f ( x ) 为偶函数; 2. 如果对于定义域内的每一个 x 值都有 f (m ? x) ? f (m ? x) ,则 f ( x ) 的图像关于_______对称。 如果今天星期三,那么过了 7k (k ? N ) 天后的那一天是星期几?这里面就有我们今天要研究的函数的性 质。 【新知探究】 探究一 周期性的定义 任意相隔 7 天的星期是相同的,任意相隔 24 小时的时刻是相同的。如果两个自变量相隔 T (T ? 0) 个单位 的函数值是相等的,那么如何用解析式表示?图像有何特征? 例如:已知函数 f ( x) ?| x | (?1 ? x ? 1) ,如果保持图像上每一点的纵坐标不变,横坐标分别加上 2 和减 去 2,试着作出得到的函数图像。若最后得到的图像对应的函数记为 y ? g ( x) ,那么如何用表达式表示这 种关系。 定义:对于函数 y ? f ( x) ,如果存在一个 ____________ ,使得当 x 取定义域内的 ________ 值时,都有 _____________,那么函数 y ? f ( x) 就叫做周期函数,_____________叫做这个函数的周期。 若 T 存在一个最小的正数,则称它为 f(x)的________________. 思考:1.周期函数的周期是否唯一? 2.是否每个函数都有最小正周期? 练习: 1.已知 f ?x ? 是以 2 为周期的函数,且当 x ? [1,3) 时, f ?x? ? 4 ? log2 x ,则 f ?? 1? ?
x

2.(2013 湖北)x 为实数,[x]表示不超过 x 的最大整数,则函数 f(x)=x-[x]在 R 上为( A.奇函数 B.偶函数 C.增函数 D.周期函数

)

探究二 利用周期性求值 试试:定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x).当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2; 当-1≤x<3 时,f(x)=x,则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2012)=( A.335 B.338 C.1678 ) D.2012

性质 1:如果 T 是函数 y=f(x)的周期,则 kT(k∈Z 且 k≠0)也是 y=f(x)的周期,即 f(x+kT)=f(x).
1/4

练习: 7 1.设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=2x-1,则 f( )= 2 2. 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,其最小正周期为 3, 且 x ? ( ? .

3 , 0)时, 2
D. log2 7

f ( x) ? log2 (?3x ? 1), 则 f(2014)=(
探究三 判断周期函数、求周期

) A.4

B.2

C.-2

问题:试比较 f (m ? x) ? f (m ? x) , f ( x) ? f (? x) , ? f ( x) ? f (? x) , f ( x ? T ) ? f ( x) ,它们都 是函数 f ( x ) 的性质,有什么共同点和区别?它们可以互化吗? 试试: 已知函数 f(x)的定义域为 R, 且分别满足 f(x+2)=-f(x), f ( x ? 2) ?

1 1 , f ( x ? 3) ? ? , f ( x) f ( x)

3 3 f ( x ? ) ? f ( x ? ) 。试判断 f(x)的周期。 2 2
T T 性质 2. f(x+T)=f(x)常常写作 f(x+ )=f(x- ). 2 2

性质 3.形如 f ( x ? a) ? ? f ( x) 和 f ( x ? a) ? 例题 1

1 的可以求出周期。 f ( x)

设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且满足: ①f(x)=f(2-x);②当 0≤x≤1 时,f(x)=x2.

(1)判断函数 f(x)是否是周期函数;

(2)求 f(5.5)的值.

练习: 1. 函数 f ( x ) 对于任意实数 x 满足条件 f ( x ? 2) ? 1 ,若 f (1) ? ?5 ,则 f ( f (5)) ? ________.
f ( x)

2.已知 f ( x) 在 R 上是奇函数,且

2 ( x2? ? ff((x x)), . 当x ? (0,1? 时,f ( x) ? 2 x , 则f (7) ? _; f ( xf ? ) 4) ??

探究四 综合运用 例 1:定义在实数集 R 上的函数 f(x),对任意 x、y∈R,有 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)· f(y)且 f(0)≠0. (1)求证:f(0)=1; (2)判断 y=f(x)的奇偶性; C (3)若存在正常数 C,使 f( )=0. 2
2/4

①求证:对任意 x∈R,有 f(x+C)=-f(x)成立; ②试问函数 f(x)是不是周期函数?如果是,找出它的一个周期;如果不是,请说明理由.

例 2 已知函数 f(x)的定义域为 R,且满足 f(x+2)=-f(x). (1)求证:f(x)是周期函数; 1 (2)若 f(x)为奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)= x,则当 x∈[4n+1,4n+5](n∈Z)时,试求函数 f(x)的解析 2 式.

练习: 1. Direchlet 函数定义为: D(t ) ? ?
?1 t ? Q ,关于函数 D (t ) 的性质叙述不正确 的是( ... ?0 t ? ?RQ



A. D (t ) 的值域为 ?0,1? B. D (t ) 为偶函数 C. D (t ) 不是周期函数 D. D (t ) 不是单调函数 2. 已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0≤x<2 时,f(x)=x3-x,则函数 y=f(x)的图象在 区间[0,6]上与 x 轴的交点个数有( A.6 B.7 ) C.8 D.9

【课后练习】 1. 设偶函数 f ( x ) 对任意 x ? R 都有 f ( x ? 3) ? ?

1 , 当 x ?[?3, ?2] 时 , f ( x) ? 4 x ,则 f (107.5) = f ( x)





A.10 B.

1 1 C.-10 D.— 10 10

2.设 f ( x) 是周期为 2 的偶函数,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 2 x(1 ? x) ,则 f (? ) ? (

5 2



( A.) ?

1 2

( B.)

1 2

(C.) ?

3 2

( D.)
2

3 2

3. 已知 f(x)是 R 上的奇函数,且 f(x+4)=f(x),当 x ? (0, 2) 时,f(x)=x ,则 f(7)=____________.
x 4 4. 已知偶函数 y ? f ( x) 满足条件 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,且当 x ∈ [-1,0]时, f ( x ) =3 + ,则 f (log 1 5) 的值等 9

3

于________. 5. 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) , 对 任 意 x∈R 都 有 f ( x ? 3) ? f ( x) , 当 x ? (?3,0) 时 , f ( x) ? 3 x , 则

3/4

f (2014 ) ? ________. 6.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且其图象关于直线 x=1 对称,
当 x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式; (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2014).

7.设函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,对任意实数 x 有 f ( ? x ) ? ? f ( ? x) 成立. (1)证明 y ? f ( x) 是周期函数,并指出其周期; (2)若 f (1) ? 2 ,求 f (2) ? f (3) 的值;
2 (3)若 g ( x) ? x ? ax ? 3 ,且 y ?| f ( x) | ?g ( x) 是偶函数,求实数 a 的值.

3 2

3 2

8.设 a>0,函数 f(x)定义域为 R,且 f(x+a)=

1 ? 2

f ( x) ? [ f ( x)] 2 ,求证:f(x)为周期函数。

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