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等差数列 学生版


3.2

等差数列

●知识梳理 1.等差数列的概念 若数列{an}从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则数列{an}叫等差数列. 2.通项公式:an=a1+(n-1)d,推广:an=am+(n-m)d.

a n ? a1 a ? am ,d= n ,由此联想点列(n,an)所在直线的斜率. n ?1 n?m a?c 3.等差中项:若 a、b、c 成等差数列,则 b 称 a 与 c 的等差中项,且 b= ;a、b、c 成等差数列是 2 2b=a+c 的充要条件. n(a1 ? a n ) n(n ? 1) 1 4.前 n 项和:Sn= =na1+ d=n·an- (n-1)nd. 2 2 2 a ? a n S n a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n d d 变式: 1 = = =a1+(n-1) · =an+(n-1) · (- ). 2 n n 2 2
变式:a1=an-(n-1)d,d= ●点击双基 1.等差数列{an}中,已知 a1= A.48
2

1 ,a2+a5=4,an=33,则 n 是 3
C.50 D.51

B.49
2

2.已知方程(x -2x+m) (x -2x+n)=0 的四个根组成一个首项为 A.1 B.

3 4

C.

1 2

1 的等差数列,则|m-n|等于 4 3 D. 8

3.在数列{an}中,a1=3,且对任意大于 1 的正整数 n,点( a n , a n ?1 )在直线 x-y- 3 =0 上,则

an=___________________.
4.设 f(x)=

1 2 ? 2
x

,利用课本中推导等差数列前 n 项和的公式的方法,可求得 f(-5)+f(-4)

+?+f(0)+?+f(5)+f(6)的值为___________________. ●典例剖析 * 【例 1】 数列{an}的前 n 项和为 Sn=npan(n∈N )且 a1≠a2, (1)求常数 p 的值; (2)证明:数列{an}是等差数列. 剖析: (1)注意讨论 p 的所有可能值. (2)运用公式 an= ?

? S1 ?S n ? S n ?1

n ? 1, n ? 2.

求 an.

【例 2】 已知{an}为等差数列,前 10 项的和 S10=100,前 100 项的和 S100=10,求前 110 项的和 S110. 剖析:方程的思想,将题目条件运用前 n 项和公式,表示成关于首项 a1 和公差 d 的两个方程.

【例 3】 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=12n-n ,求数列{|an|}的前 n 项和 Tn. 2 * 剖析:由 Sn=12n-n 知 Sn 是关于 n 的无常数项的二次函数(n∈N ) ,可知{an}为等差数列,求出 an,然 后再判断哪些项为正,哪些项为负,最后求出 Tn.

2

深化拓展
若此题的 Sn=n -12n,那又该怎么求 Tn 呢? 答案:Tn= ?
2

?? S n n ? 6, ?S n ? 2 S 6 n ? 7.

●闯关训练 夯实基础 1.等差数列{an}中,a10<0,a11>0 且 a11>|a10|,Sn 为其前 n 项和,则 A.S1,S2,?,S10 都小于 0,S11,S12,?都大于 0 B.S1,S2,?,S19 都小于 0,S20,S21,?都大于 0 C.S1,S2,?,S5 都小于 0,S6,S7,?都大于 0 D.S1,S2,?,S20 都小于 0,S21,S22,?都大于 0 2.等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn,若 a2+a4+a15 的值是一个确定的常数,则数列{Sn}中也为常数的项是 A.S7 B.S8 C.S13 D.S15 3.在等差数列{an}中,公差为 4.将正偶数按下表排成 5 列: 第1列 第1行 第2行 第3行 ?? 16 第2列 2 14 18 ?? 第3列 4 12 20 28 第4列 6 10 22 26 24 第5列 8

1 ,且 a1+a3+a5+?+a99=60,则 a2+a4+a6+?+a100=_________. 2

那么 2004 应该在第______________行第______________列. 5.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a10=30,a20=50. (1)求通项{an}; (2)若 Sn=242,求 n.

6.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3=12,S12>0,S13<0. (1)求公差 d 的取值范围; (2)指出 S1,S2,S3,?,S12 中哪一个最大,并说明理由.

培养能力 7.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2Sn·Sn-1=0(n≥2) ,a1=

1 . 2

(1)求证:{

1 }是等差数列; Sn

(2)求 an 的表达式.

8.有点难度哟! (理)设实数 a≠0,函数 f(x)=a(x +1)-(2x+ (1)求 a 的值; (2)设数列{an}的前 n 项和 Sn=f(n) ,令 bn=
2

1 )有最小值-1. a

a 2 ? a 4 ? ? ? ? ? a 2n ,证明:数列{bn}是等差数列. n

(文)有一批影碟机(VCD)原销售价为每台 800 元,在甲、乙两家电商场均有销售,甲商场用如下的 方法促销:买一台单价为 780 元,买两台单价都为 760 元,依次类推,每多买一台则所买各台单价均再减 少 20 元,但每台最低价不能低于 440 元;乙商场一律都按原价的 75%销售,某单位需购买一批此类影碟机, 问去哪家商场购买花费较少?

探究创新 9.有点难度哟! 2 3 n 2 已知 f(x)=a1x+a2x +a3x +?+anx ,n 为正偶数,且 a1,a2,a3,?,an 组成等差数列,又 f(1)=n ,f (-1)=n.试比较 f(

1 )与 3 的大小. 2

●思悟小结 1.深刻理解等差数列的定义,紧扣从“第二项起”和“差是同一常数”这两点. 2.等差数列中,已知五个元素 a1,an,n,d,Sn 中的任意三个,便可求出其余两个. 3.证明数列{an}是等差数列的两种基本方法是: (1)利用定义,证明 an-an-1(n≥2)为常数; (2)利用等差中项,即证明 2an=an-1+an+1(n≥2). 4.等差数列{an}中,当 a1<0,d>0 时,数列{an}为递增数列,Sn 有最小值;当 a1>0,d<0 时,数列 {an}为递减数列,Sn 有最大值;当 d=0 时,{an}为常数列. 5.复习时,要注意以下几点: (1)深刻理解等差数列的定义及等价形式,灵活运用等差数列的性质. (2)注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.

教学点睛 本节教学时应注意以下几个问题: 1.在熟练应用基本公式的同时,还要会用变通的公式,如在等差数列中,am=an+(m-n)d. 2.由五个量 a1,d,n,an,Sn 中的三个量可求出其余两个量,要求选用公式要恰当,即善于减少运算量, 达到快速、准确的目的. 3.已知三个或四个数成等差数列这类问题,要善于设元,目的仍在于减少运算量,如三个数成等差数 列时,除了设 a,a+d,a+2d 外,还可设 a-d,a,a+d;四个数成等差数列时,可设为 a-3d,a-d,a+d, a+3d. 4.等差数列的性质在求解中有着十分重要的作用,应熟练掌握、灵活运用. 5.在求解数列问题时,要注意函数思想、方程思想、消元及整体消元的方法的应用. 拓展题例 【例 1】 已知两个等差数列 5,8,11,?和 3,7,11,?都有 100 项,问它们有多少相同的项?并求 所有相同项的和.

【例 2】 设{an}为等差数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 S7=7,S15=75,Tn 为数列{ 求 Tn.

Sn }的前 n 项和, n

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.已知{an}是等差数列,且 a3+a9=4a5,a2=-8,则该数列的公差是( A.4 C.-4 B.14 D.-14 ) )

2.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S17 =a,则 a2+a9+a16 等于( A. C.

a
17 3a 17

B.

4a 17

3a D.- 17 )

3.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,公差 d=2,Sk+2-Sk=24,则 k=( A.8 C.6 B.7 D.5

4.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99.以 Sn 表示{an}的前 n 项和,则使得 Sn 达到最 大值的 n 是( A.21 C.19 ) B.20 D.18

5.已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 S1=1, =4,则 的值为( A. C. 9 4 5 3 B. 3 2

S4 S2

S6 S4

)

D.4
*

6.数列{an}的首项为 3,{bn}为等差数列且 bn=an+1-an(n∈N ).若 b3=-2,b10=12,则 a8=( A.0 C.8 B.3 D.11

)

二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 7.等差数列{an}中 a1=1,前 n 项和 Sn 满足 =4,则数列{an}的前 n 项和 Sn=________. 8.已知等差数列{an}中,an≠0,若 n>1 且 an-1+an+1-an=0,S2n-1=38,则 n 等于________. 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分) 11.已知数列{an}的通项公式 an=pn +qn(p,q∈R,且 p,q 为常数). (1)当 p 和 q 满足什么条件时,数列{an}是等差数列? (2)求证:对任意实数 p 和 q,数列{an+1-an}是等差数列. 12.设{an}是一个公差为 d(d≠0)的等差数列,它的前 10 项和 S10=110,且 a1,a2,a4 成等比数列. (1)证明 a1=d; (2)求公差 d 的值和数列{an}的通项公式.
2 2

S4 S2

13.已知{an}为等差数列,若 多少?

a11 <-1,且它的前 n 项和 Sn 有最大值,那么当 Sn 取得最小正值时,n 等于 a10

14.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n +2n,数列{bn}的前 n 项和 Tn=2-bn.求数列{an}与{bn}的通项公式。

2


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