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文科期末复习(四):圆锥曲线与参数方程


泸县五中高二(课改)文科期末复习资料(四) :圆锥曲线与参数方程 一、知识点
1、椭圆、双曲线: 椭 定 义 圆 双曲线

姓名:

班级:

| MF1 | ? | MF2 |? 2a (2a ?| F1F2 |)
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

|| MF1 | ? | MF2 ||? 2a (2a ?| F1F2 |)
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

标准方程





性 对 称 性 焦点坐标
坐标轴是对称轴;原点是对称中心.


同左

F1 (?c,0) 、 F2 (?c, 0) A1 (?a, 0) 、 A2 (?a,0) B1 (?b, 0) 、 B2 (?b,0)
l1 : x ? ? a2 a2 、 l2 : x ? c c
无 长轴 A1 A2 长为 2a 短轴 B1B2 长为 2b 焦距 2c

F1 (?c,0) 、 F2 (?c, 0) A1 (?a, 0) 、 A2 (?a,0)

顶点坐标

准线方程 渐近线方程

l1 : x ? ?

a2 a2 、 l2 : x ? c c
b x a

y??

与 坐 标 系 无 关 的 性 质
注意:

实轴 A1 A2 长为 2a 虚轴 B1B2 长为 2b 焦距 2c

c ? a ?b
2 2

2

离心率 e ?

c | MF | (0 ? e ? 1) ; ? e. a d

c ? a 2 ? b2 c | MF | ? e. 离心率 e ? (1 ? e) ; a d
2

长轴、短轴分别在两对称轴上, 且相互垂直平分,交点是中心, 焦点、长轴在同一条对称轴上. 两准线垂直于长轴,且相距为

实轴、虚轴分别在两对称轴上, 且相互垂直平分,交点是中心, 焦点、实轴在同一条对称轴上. 两准线垂直于实轴,且相距为

2a 2 . c

2a 2 . c

? x ? a cos ? x2 y 2 ① 椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个参数方程是 ? ( ? 为参数) ; a b ? y ? b sin ?
1

椭圆

? x ? b cos ? y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个参数方程是 ? ( ? 为参数) ; 2 a b ? y ? a sin ?

a ? x2 y 2 ?x ? 双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0,b ? 0) 的一个参数方程是 ? ; cos ? ( ? 为参数) a b ? y ? b tan ? ? ? x ? b cot ? y 2 x2 ? 双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0,b ? 0) 的一个参数方程是 ? ; a ( ? 为参数) a b ? y ? sin ? ?
②实轴、虚轴相等的双曲线叫等轴双曲线.

2、抛物线: 定 义 标准方程

| MF |? d

y ? 2 px
2

y ? ?2 px
2

x2 ? 2 py

x2 ? ?2 py

图 象
对 称 轴 焦点坐标 准线方程 顶 点

x轴 p F ( , 0) 2 p l:x?? 2

x轴 p F ( ? , 0) 2 p l:x? 2
都在原点

y轴

y轴

p F (0, ) 2 p l:y?? 2

p F (0, ? ) 2 p l:y? 2

与 坐 标 系 无 关 的 性 质
注意:

有一条对称轴; 焦点、顶点在对称轴上; 准线垂直于对称轴; 顶点是焦点到准线距离的中点; 离心率 e ? 1 , | MF |? d .

p ; 2 p 2 若点 ? ? x0 , y0 ? 在抛物线 x ? 2 py ? p ? 0? 上,焦点为 F ,则 ?F ? y0 ? ; 2 过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于 ? 、 ? 两点的线段 ?? ,称为抛物线的“通径” , 即 ?? ? 2p .
焦半径公式:
2 若点 ? ? x0 , y0 ? 在抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 上,焦点为 F ,则 ?F ? x0 ?

①抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的一个参数方程是 ?
2

? x ? 2 pt 2

? y ? 2 pt ? x ? r cos ? ? a 2 2 2 ②圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的一个参数方程是 ? ( ? 为参数) ; ? y ? r sin ? ? b
2

( t 为参数) ;

泸县五中高二(课改)文科期末复习资料(四) :圆锥曲线与参数方程 二、练习
若抛物线 y 2 ? x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点 P 的坐标为( )

1

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1 2 ( ,? ) 4 4

B

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1 2 ( ,? ) 8 4

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x2 y2 椭圆 则△ PF1 F2 的面积为 ( ? ? 1 上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1 、F2 的连线互相垂直, 49 24
A
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若点 A 的坐标为 ( 3 , 2, F 是抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点,点 M 在抛物线上移动时,使 MF ? MA 取得 ) ) C
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最小值的 M 的坐标为( A
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?0,0?

B

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?1 ? ? ,1? ?2 ?

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?1, 2 ?

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?2,2?


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x2 ? y 2 ? 1 共焦点且过点 Q( 2 , 1 ) 与椭圆 的双曲线方程是( 4
A

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x2 ? y2 ? 1 B 2

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x2 ? y2 ? 1 C 4

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x2 y2 ? ?1 D 3 3

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x2 ?

y2 ?1 2


5. 过抛物线的焦点任意作一条弦,以这条弦为直径作圆,则这个圆与抛物线的准线( A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 位置关系不确定

6

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2 2 若直线 y ? kx ? 2 与双曲线 x ? y ? 6 的右支交于不同的两点,那么 k 的取值范围是(



A

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(?

15 15 ) , 3 3

B

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( 0,

15 ) C 3

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(?

15 15 ,0 ) D ( ? ,?1 ) 3 3
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抛物线 y ? 2x 2 上两点 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ) 关于直线 ) A
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y ? x ? m 对称,且 x1 ? x 2 ? ? 1 ,则 m 等于
2


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3 2

B

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C

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8。把方程 xy ? 1 化为以 t 参数的参数方程是(
1 ? x ? t2 ? ? 1 ? y ? t?2 ?

A

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B

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t ?x ? s i n ? 1 ? ?y ? s i n t ?

C

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t ?x ? c o s ? 1 ? ?y ? c o s t ?
3

D

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t ?x ? t a n ? 1 ? ?y ? t a n t ?

9。抛物线 y2=4px(p>0)上一点 M 到焦点的距离为 a,则 M 到 y 轴距离为 A.a-p B.a+p

(

)

p C.a- 2

D.a+2p

二、填空题 10
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椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点 F1 、 F2 ,点 P 为其上的动点,当∠ F1 P F2 为钝角时,点 P 横坐标的取值范 9 4
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围是

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双曲线 tx2 ? y 2 ? 1 的一条渐近线与直线 2 x ? y ? 1? 0 垂直,则这双曲线的离心率为___

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? 若 直 线 y ? k x 2 与 抛 物 线 y 2 ? 8x 交 于 A 、 B 两 点 , 若 线 段 AB 的 中 点 的 横 坐 标 是 2 , 则

AB ? ______
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? 若直线 y ? k x 1 与双曲线 x2 ? y 2 ? 4 始终有公共点,则 k 取值范围是

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, ) 已知 A( 0 ? 4 B ,

( 3, 2) ,抛物线 y 2 ? 8x 上的点到直线 AB 的最段距离为__________

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15.点 P(x,y)是椭圆 2 x2 ? 3 y 2 ? 12 上的一个动点,则 x ? 2 y 的最大值为___________

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16。直线 ?

? x ? t cos ? ? x ? 4 ? 2cos ? 与圆 ? 相切,则 ? ? _______________ ? y ? t sin ? ? y ? 2sin ?

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17。圆的参数方程为 ?

? x ? 3sin ? ? 4cos ? (? 为参数) ,则此圆的半径为_______________ ? y ? 4sin ? ? 3cos ?

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18。已知曲线 ?

? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt

(t为参数,p为正常数) 上的两点 M , N 对应的参数分别为 t1和t2, ,且t1 ? t2 ? 0 ,
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那么 MN =_______________

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19。 椭圆 mx ? ny ? 1 与直线 y ? 1 ? x 交于 M、 两点, N 原点与线段 MN 的中点的连线斜率为
2 2

m 2 , 则 n 2

的值是



4

姓名:
三、解答题
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班级:

20。 已知顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线被直线 y ? 2 x ? 1 截得的弦长为 15 , 求抛物线的方程
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设 F1 , F2 是双曲线 求△ F PF2 的面积 1
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x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,且 ?F1PF2 ? 600 , 9 16
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x2 y 2 已知椭圆 对称 ? ? 1 ,试确定 m 的值,使得在此椭圆上存在不同两点关于直线 y ? 4 x? m 4 3

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23。.经过双曲线 x ?
2

y2 ? ? 1 的左焦点 F1 作倾斜角为 的弦 AB, 6 3
(2)设 F2 为右焦点,求⊿F2AB 的周长。

求(1)线段 AB 的长;

6

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x2 y 2 椭圆 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,一条直线 l 经过 F1 与椭圆交于 A,B 两点. 4 3
(1)求△ ABF2 的周长; (2)若 l 的倾斜角为 45 ,求△ ABF2 的面积;
?

(3)已知点 D(0,2),若 M,N 是椭圆上的两个动点且 DM ? ? DN ,求实数 ? 的取值范围。

???? ?

????

25。在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上找一点,使这一点到直线 x ? 2 y ? 12 ? 0 的距离的最小值 16 12

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26。 已 知 点 H( -6, 0) P 在 y 轴 上 , 点 Q 在 x 轴 正 半 轴 上 , 点 M 在 直 线 PQ 上 , 且 满 足 ,

??? ???? ? ? ???? 1 ???? ? ? HP ? PM ? 0, PM ? MQ 。 2 (1) 当点 P 在 y 轴上移动时,求点 M 的轨迹 C。
(2) 过 T(-2,0)作直线 l 交轨迹 C 于点 A、B,若在 x 轴上存在一点 E ( x0 ,0) ,使得 ? ABE 是以 点 E 为直角顶点得直角三角形,求直线 l 得斜率 k 的取值范围。

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