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【数学】2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 课件1(人教A版必修3)


第二章 统计 2.2.2 用样本的数字特征估计 总体的数字特征

一、众数、中位数、平均数
1、众数 在一组数据中,出现次数最多的数据叫做 这一组数据的众数。 2、中位数 将一组数据按大小依次排列,把处在最 中间位置的一个数据(或两个数据的平均数)叫做 这组数据的中位数。

3、平均数

(1)x = 1/n

(x1+x2+……+xn)

练习: 在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高 的17名运动员的成绩如下表所示:
成绩 (单位: 米)

1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 2 3 2 3 4 1 1 1

人数

分别求这些运动员成绩的众数,中位数与平均数

解:在17个数据中,1.75出现了4次,出现的次数最 多,即这组数据的众数是1.75. 上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排 列的,其中第9个数据1.70是最中间的一个数据,即这 组数据的中位数是1.70;

这组数据的平均数是

答:17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次是 1.75(米)、1.70(米)、1.69(米).

二 、众数、中位数、平均数与频率分布直 方图的关系
1、众数在样本数据的频率分布直方图中,就是最高矩 形的中点的横坐标。 例如,在上一节调查的100位居民的月均用水量的 问题中,从这些样本数据的频率分布直方图可以看出, 月均用水量的众数是2.25t.如图所示:

频率分布直方图如下:
频率

组距

众数(最高的矩形的中 点)
0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 月均用水量 /t 4.5

0.5

1 1.5 2 2.5 3

3.5 4

2、在样本中,有50%的个体小于或等于中
位数,也有50%的个体大于或等于中位数,因此, 在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图 的面积应该相等,由此可以估计中位数的值。下图 中虚线代表居民月均用水量的中位数的估计值,此 数据值为2.02t.

频率分布直方图如下:
频率

组距

中位数
0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 月均用水量 /t 4.5

0.5

1 1.5 2 2.5 3

3.5 4

说明: 2.03这个中位数的估计值,与样本的中位数值2.0 不一样,这是因为样本数据的频率分布直方图,只 是直观地表明分布的形状,但是从直方图本身得不 出原始的数据内容,所以由频率分布直方图得到的 中位数估计值往往与样本的实际中位数值不一致.

3. 可以从频率分布直方图中估计平均数 平均数的估计值=频率分布直方图中每个小矩形的面积 乘以小矩形底边中点的横坐标之和

三、众数、中位数、平均数的简单应用
例1. 人员 周工资 人数 合计 某工厂人员及工资构成如下: 经理 2200 1 2200 管理人员 250 6 1500 高级技工 220 5 1100 工人 200 10 2000 学徒 合计 100 1 23 100 6900

(1)指出这个问题中周工资的众数、中位数、平均数 (2)这个问题中,工资的平均数能客观地反映该厂 的工资水平吗?为什么?

分析:
(1)众数为200,中位数为220,平均数为300。 (2)因平均数为300,由表格中所列出的数据可 见,只有经理在平均数以上,其余的人都在平均 数以下,故用平均数不能客观真实地反映该工厂 的工资水平。

四、标准差
平均数向我们提供了样本数据的重要信息,但是, 平均数有时也会使我们作出对总体的片面判断,难 以概括样本数据的实际状态,而数据的离散程度可 以用极差、方差或标准差来描述。 为了表示样本数据的单位表示的波动幅度,通常要求 出样本方差或者它的算术平方根.

四、标准差
(1)方差:设在一组数据,x1,x2,…,xn中,各数 据与它们的平均数x的差的平方分别是

( x1 ? x ) ,( x2 ? x ) ,?,( xn ? x )
2 2

2

那么我们用它们的平均数,即
1 s ? [( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? ? ? ( xn ? x ) 2 ] n
2

来衡量这组数据的波动大小,并把它叫做这组 数据的方差,一组数据方差越大,则这组数据波动 越大。

四、标准差
(2)标准差:我们把数据的方差的算术平方根叫做 这组数据的标准差,它也是一个用来衡量一组数据的 波动大小的重要的量。
计算标准差的算法: s ?
1 [( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? ? ? ( xn ? x )2 ] n

S1 算出样本数据的平均数x; S2 算出每个样本数据与样本平均数的差 xi ? x
(i=1,2,……,n); S3 算出 ( xi ? x )2 (i=1,2,…,n); S4 算出 ( xi ? x )2 (i=1,2,…,n)这n个数的平均数, 即为样本方差s2; S5 算出方差的算术平方根,即为样本标准差s。

例2. 计算数据5,7,7,8,10,11的标准差.
5+7+7+8+10+11 解:S1 x= ——————— =8 6

数据 xi 5 7

S1 x 8 8

S2 xi-x -3 -1

S3 (xi-x)2 9 1

7
8 10 11
S4 s2 =

8
8 8 8

-1
0 2 3

1
0 4 9

9+1+1+0+4+9 ——————— =4; S5 . s ? 4 ? 2 6

所以这组数据的标准差是2.

例3. 从某灯泡厂生产的一批灯泡中随机地抽取10只 进行寿命测试,得数据如下(单位:h): 1458,1395,1562,1614,1351,1490,1478,1382, 1536,1496

使用函数型计算器或计算机的Excel软件求样本的平
均数x和样本的标准差。

解:按键

MODE 2 (进入统计计算状态)
SHIFT Scl = 将计算器存储器设置成初始 状态

1458 DT 1395 DT 1562 DT 1614 DT 1351 DT 1490 DT 1478 DT 1382 DT 1536 DT 1496 DT
继续按下表按键 按键 显示结果

SHIFT

x

=
=

1476.2 78.7309342

SHIFT xσn

解2:打开Excel工作表,在一列输入数据,如将10个数据输入A1 到A10单元格中.(1)利用求和∑计算它们的和;(2)用函数 AVERAGE(A1:A10)求它们的平均数;(3)用函数VARPA(A1:A10) 求它们的方差;(4)用开方函数Sqrt(方差)计算它们的标准差.

解:(1)计算得x甲=7,x乙=7;

s甲=1.73,s乙=1.10.
(2)由(1)知,甲、乙两人平均成绩相等,但s乙<s甲,这表 明乙的成绩比甲的成绩稳定一些,从成绩的稳定性考虑,可 以选乙参赛。 (3)标准差和频率直方图的关系 从标准差的定义可知,如果样本各数据都相等,则标准差 得0,这表明数据没有波动幅度,数据没有离散性;若个体的 值与平均数的差的绝对值较大,则标准差也较大,表明数据 的波动幅度也很大,数据的离散程度很高,因此标准差描述 了数据对平均数的离散程度。


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