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2014全国名校数学试题分类解析汇编(2):C单元 三角函数


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C 单元 三角函数 目录 C1 角的概念及任意角的三角函数 ......................................................................................

.......... 1 C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 .............................................................................. 2 C3 三角函数的图象与性质 ........................................................................................................ 13 C4 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象与性质 ............................................... 错误!未定义书签。 C5 C6 C7 C8 C9 两角和与差的正弦、余弦、正切 ........................................................ 错误!未定义书签。 二倍角公式 ............................................................................................................................ 33 三角函数的求值、化简与证明 ............................................................................................ 35 解三角形 ................................................................................................................................ 40 单元综合 ................................................................................................................................ 45

C1 角的概念及任意角的三角函数
【辽宁三校高一期末联考·2014】8.已知 MP,OM,AT 分别为角 ? (

?
4

?? ?

?
2

) 的正弦线、余弦线、

正切线,则一定有( ) A. MP ? OM ? AT B. OM ? MP ? AT 【知识点】三 角 函 数 线 .

C. AT ? OM ? MP

D. OM ? AT ? MP

【答案解析】B 解析 :解 : 由 MP,OM,AT 分别为角 ? ( 切线,如 图

?
4

?? ?

?
2

) 的正弦线、余弦线、正

由于 (

) , 所 以 OM < MP 又 由 图 可 以 看 出 MP < AT,故 可 得 OM < MP < AT 4 2 故 选 B. 【思路点拨】 作出角θ 的三角函数线图象, 由 图 象 进 行 判 断 即 可 得 到 OM < MP < AT.
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?

?? ?

?

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【辽宁三校高一期末联考·2014】2.某扇形的半径为 1cm,它的弧长为 2cm,那么该扇形的圆心角

为( ) A.2°

B. 4rad

C. 4°

D. 2rad

【知识点】扇 形 的 弧 长 公 式 . 【答案解析】D 解析 :解 : 因 为 扇 形 的 弧 长 公 式 为 l=r| α | , 由 已 知 , l=2 , r=1 , l 所 以 ? ? = 2 弧 度 ,故 选 D. r 【思路点拨】由 已 知 得 到 l=2 , r=1 代 入 扇 形 的 弧 长 公 式 : l=r| α | , 得 到 答 案 .

? 终边相同的角是( ) 6 5? ? 11? 2? A. B. C. D. 6 3 6 3 【知识点】终 边 相 同 的 角 的 定 义 和 表 示 方 法 . ? ? 【答案解析】C 解析 :解 : 与 ? 终 边 相 同 的 角 为 2k π ? , k ∈ z , 当 k=-1 时 ,
【辽宁三校高一期末联考·2014】1.与角-

6 6 11? 此角等于 , 故 选 : C. 6 【思路点拨】直 接 利 用 终 边 相 同 的 角 的 表 示 方 法 , 写 出 结 果 即 可 .

C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
【文·湖北宜昌高三模拟·2014】已知函数



,则下列结论中正确的是

( ) A.函数 B.函数 C.将函数 D. 将函数 的最小正周期为 的最大值为 2 的图象向右平移 单位后得 g(x)的图象 的图象向左平移 单位后得 g(x)的图象

【知识点】三角函数的最值;三角函数的周期;三角函数图像的平移.
1 【答案解析】 B 解析: 解: f ? x ? ? ? sin x, g ? x ? ? ? cos x ? f ? x ? ? g ? x ? ? sin x ? cos x ? sin 2 x 所 2

以周期为 ? ,最大值为

1 ,按三角函数图像的平移关系可得函数 2

的图象向右平移 单位

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?? ? ? ? ? ? 3? ? 后得 f ? x ? ? ? sin ? x ? ? ? ? ? ? sin ? ? x ? ? cos x 得 g ? x ? 的图像. 2? 2 ? ? ? ? 2 ?
【思路点拨】经过化简可知三角函数的最值和周期,根据图像平移的规则可得正确结果.

【 文 · 江 西 省 重 点 中 学 盟 校 高 三 二 联 · 2014 】 已 知 s i n ? ?c o? s?

1 ?? ? , 则 c o 2s ? ?? ? = 3 ?4 ?

( A.


1 18

B.

1 9

C.

2 9

D.

17 18

【知识点】同角三角函数的关系;二倍角公式. C2 C6 【答案解析】 D

8 ? 解析:解:把已知式子两边平方得 2sin ? cos ? ? , cos 2 ( ? 9 4 1 ? 2sin ? cos ? 17 ?) ? ? , 答案 D 正确. 2 18 8 【思路点拨】把已知式子两边平方得到 2sin ? cos ? ? , 把所求的式子用二倍角的降幂公式进 9 8 行化简,再把 2sin ? cos ? ? 代入即可. 9

【理·山东实验中学高三三模·2014】16. (本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对

边分别为 a,b,c,且满足 (2c- a)cosB- bcos A=0. (I)求角 B 的大小 ? (II)求 3 sin A ? sin(C ? ) 的取值范围 6 【知识点】正弦定理;三角函数的化一公式;三角函数的最值. ? 【答案解析】( Ⅰ) B ? (Ⅱ) (1, 2] 3 解析 :解: ( Ⅰ) (2sin C ? sin A ) cos B ? sin B cos A ? 0 即 sin C (2cos B ? 1) ? 0
sin C ? 0 ? cos B ?

? ? ,? 3 sin A ? sin(C ? ) ? 3 sin A ? cos A ? 2 sin( A ? ) 3 6 6 2? ? ? 5? ? A ? (0, ) ? A ? ? ( , ) , 2 sin( A ? ) ? (1, 2] 3 6 6 6 6 ? 3 sin A ? sin(C ? ) 的取值范围 (1, 2] 6 【思路点拨】( Ⅰ)利用正弦定理把边转化为角度的正弦值,整理即可通过三角函数的值求得 ? ? 角度; (Ⅱ)把 B ? 带入已知式子去掉C,用化一公式整理为 2 sin( A ? ) ,由A的范围求得 3 6
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 B ?

?

? 1 ,? B ? 3 2

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2 sin( A ?

?
6

) 的取值范围即可.

【理·山东实验中学高三三模·2014】9.设△ABC 中,AD 为内角 A 的平分线,交 BC 边于点 D,

uuu r uuu r uuu r uuu r AB ? 3, AC ? 2 ,∠BAC=60o,则 AD · BC =

8 9 9 8 B. C. ? D. 5 5 5 5 【知识点】角平分线定理;向量的计算;余弦定理. 【答案解析】C 解析:解:由图可知向量的关系,根据角平分线定理可得 3 AD ? AB ? BC ,根据余弦定理可知 BC ? 7 ,所以 5

A. ?

2 3 3 21 ? ? AD ? BC ? ? AB ? BC ? ? BC ? AB ? BC ? BC ? AB ? AC ? AB ? 5 5 5 ? ?

?

?

? AB ? AC ? AB ?
C 2 D

2

21 21 9 ? 3 ? 2 ? cos 60? ? 9 ? ?? 5 5 5

A

j
3 B

【思路点拨】可根据角平分线定理和余弦定理,可求出 BC , BC 的模等向量,再通过向量的 计算法则对向量进行转化.

【文·四川成都七中高二零诊·2014】12.设 △ ABC 的内角 A、B、C 的对 边分别为 a、b、c ,且

1 a =1,b=2, cos C ? ,则 sin B ? 4
【知识点】余弦定理;同角三角函数间的基本关系. 【答案解析】
15 解析 :解 : ∵C 为三角形的内角,cosC= , 4

∴sinC= 又 a=1,b=2,

=



∴由余弦定理 c2=a2+b2﹣2abcosC 得:c2=1+4﹣1=4,解得:c=2,
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世纪金榜 ,c=2,b=2,

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又 sinC=

∴由正弦定理 故答案为:

=

得:sinB=

=

=



【思路点拨】由 C 为三角形的内角,及 cosC 的值,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinC 的值,再由 a 与 b 的值,利用余弦定理列出关于 c 的方程,求出方程的解得到 c 的值,再由 sinC,c 及 b 的值,利用正弦定理即可求出 sinB 的值.

【辽宁三校高一期末联考·2014】21. (本小题满分 12 分)在 △ ABC 中 , a , b , c 分 别 为 内 角

A, B, C 的 对 边 , 且 2asinA= ( 2b+c ) sinB+ ( 2c+b ) sinC . (1)求 A 的 大 小 ; (2)求 sinB+sinC 的 最 大 值 . 【知识点】余 弦 函 数 的 应 用 . 【答案解析】(1) A=120°; (2) 当 B=30°时,sinB+sinC 取得最大值 1. a b c ? 解析 :解 : (Ⅰ)设 =2R sin A sin B sin C 则 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC..................................2 分 ∵2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC 方程两边同乘以 2R ∴2a2=(2b+c)b+(2c+b)c..............................................2 分 整理得 a2=b2+c2+bc.................................................1 分 ∵由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA.....................................1 分 1 故 cosA=- ,A=120°.........................................2 分 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)得:sinB+sinC=sinB+sin(60°-B)...........................1 分 =
3 1 cosB? sin B ? sin(60 ? B) .......................................2 分 2 2

故当 B=30°时,sinB+sinC 取得最大值 1......................1 分 a b c ? 【思路点拨】(1) 根 据 正 弦 定 理 ,设 = 2 R ,把 sinA , sinB , sinC 代 sin A sin B sin C 入 2asinA= ( 2b+c ) sinB+ ( 2c+b ) sinC 求 出 a 2 =b 2 +c 2 +bc 再 与 余 弦 定 理 联 立 方 程 , 可 求 出 cosA 的 值 , 进 而 求 出 A 的 值 . (2)根 据 ( Ⅰ ) 中 A 的 值 , 可 知 c=60 ° -B , 化 简 得 sin ( 60 ° +B ) 根 据 三 角 函 数 的 性质,得出最大值.

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世纪金榜 圆您梦想 【辽宁三校高一期末联考·2014】17.(本小题满分 10 分)已 知
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f (? ) ?

sin(? ? ? ) cos(2? ? ? ) tan(?? ? ? ) ? tan(?? ? ? ) sin(?? ? ? )

(1)化 简 f (? ) ;
3? 1 ) = , 求 f (? ) 的 值 . 2 5 【知识点】诱 导 公 式 的 作 用 ; 同 角 三 角 函 数 间 的 基 本 关 系 .

(2)若 ? 是 第 三 象 限 角 , 且 cos( ? ?

【答案解析】( 1 ) f (? ) = ? cos? ( 2 ) f (? ) = 解析 :解 : ( 1 ) f (? ) ?

2 6 5

sin(? ? ? ) cos(2? ? ? ) tan(?? ? ? ) sin ? cos ? (? tan ? ) ? ? ? cos ? ? tan(?? ? ? )sin(?? ? ? ) tan ? sin ?

..........5 分 ( 2 )∵ α 为 第 三 象 限 角 ,且 cos(? ? 分
? sin ? ? ? 1 5
2

3? 1 ) ? ? sin ? ? ...............................2 2 5

2 6 ? cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ? 5

.

...................................2 分

则 f (? ) ? ? cos ? ?

2 6 5

................................1 分 【思路

点拨】( 1 )直 接 利 用 诱 导 公 式 化 简 表 达 式 即 可 .( 2 )化 简 已 知 条 件 ,求 出 sin α 1 = ? , 通 过 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 式 求 出 f( α ) 的 值 . 5

【山西山大附中高一月考·2014】18. (本小题满分 12 分)已知点 A(1, 0), B(0,1), C (2sin ? , cos ? ) (1)若 | AC |?| BC | ,求 tan ? 的值; (2)若 (OA ? 2OB) ? OC ? 1 ,其中 O 为坐标原点,求 sin 2? 的值。 【知识点】平 面 向 量 的 坐 标 运 算 ; 向 量 的 模 ; 同 角 三 角 函 数 间 的 基 本 关 系 .

3 4 解析 :解 : (1) Q A(1,0) ,B(0,1) , Cn 2 ( i so c s ,) ? ? uuu v uuu v ? AC ? (2sin ? ?1,cos? ), BC ? (2sin ? ,cos? ?1) uuu r uuu r Q AC ? BC ,? (2sin ? ? 1) 2 ? cos 2 ? ? (2sin ? ) 2 ? (cos ? ? 1) 2
【答案解析】(1) tan ? ?

1 (2) 2

s i n? 2? ?

2 s i? n ? c? os Qc o ? s ? 0 (若 cos ? ? 0 ,则 sin ? ? ?1 ,上式不成立) 1 所以 tan ? ? (6 分) 2
化简得
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世纪金榜 圆您梦想 www.jb1000.com uuv uu u v uuu v uuv uu u v (2) Q OA ? (1,0), OB ? (0,1), OC ? (2sin ? ,cos? ) ,?OA ? 2OB ? (1, 2) uuv uu u v uuu v 1 Q (OA ? 2OB) ? OC ? 1,? 2sin ? ? 2 cos ? ? 1 ? (sin ? ? cos ? ) 2 ? 4 3 ?s i n ? 2? ? (12 分) 4 uuu v uuu v ? 的 值 . (2) 用坐 【思路点拨】(1)用坐标表 示 出 向 量 AC 和 BC , 然 后 根 据 | AC |?| BC | , 可 求 得 t a n
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标表 示 出 向 量 OA? 2 OB 和 OC , 然 后 计 算 数 量 积 , 再 求 sin2 θ 的 值 .

uuv

r uuu v uuu

【山西山大附中高一月考·2014】16.关于 f ( x) ? 3 sin( 2 x ?

?
4

) 有以下命题:

①若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 则 x1 ? x2 ? k? (k ? Z ) ; ② f ( x) 图象与 g ( x) ? 3 cos( 2 x ? 在区间 [ ?

?
4

) 图象相同; ③ f ( x)


7? 3? ? ,? ] 上是减函数;④ f ( x) 图象关于点 (? ,0) 对称。其中正确的命题是 8 8 8

【知识点】命 题 的 真 假 判 断 与 应 用 ;函 数 y=Asin( ω x+ φ )的 图 象 变 换 ;复 合 三 角 函 数 的 单 调 性.

2x ? 【答案解析】②③④解析 :解 : 由 关 于 f ( x) ? 3 s i n(
① 若 f ( x 1 ) =f ( x 2 ) =0 , 则 x 1 -x 2 = ② ∵

?
4

) 知:

f ( x) ? 3 s i 2n x ?( ) = 3cos[ ? (2x ? ) ] ? 3cos(2x ? ),∴ f ( x ) 图 象 与 4 2 4 4

?

?

k? ( k∈ Z) , 故 ① 不 成 立 ; 2

?

?

g ( x ) ? 3 c o 2s x ?( ) 图 象 相 同 , 故 ② 成 立 ; 4 2x ? ③ ∵ f ( x) ? 3 s i n (

?

?
4

)的减区间是:

?
2

? 2k ? ? 2x ?

?
4

?

3? 5? ?? ? ? 2k? ,即 ? ? k? , ? k? ? , k ∈ 2 8 ?8 ?

7? 3? 7? 3? ,? ] ∴ f ( x ) 在 区 间 [ ? ,? ] 上 是 减 函 数 , 故 ③ 正 确 ; 8 8 8 8 ? k? ? ? 2x ? ) 的 对 称 点 是 ( ? , 0) (? , 0) ④ ∵ f ( x) ? 3 s i n ( , ∴ f( x) 图 象 关 于 点 对称,故④正 4 2 8 8
Z , 知 f ( x ) 在 区 间 [? 确. 故答案为:②③④.

2x ? 【思路点拨】由 关 于 f ( x) ? 3 s i n(

) 知: 4 k? ① 若 f ( x 1 ) =f ( x 2 ) =0 , 则 x 1 -x 2 = ( k∈ Z) 2 2x ? ② ∵ f ( x) ? 3 s i n(

?

?

g ( x) ? 3 cos ( 2x ? ) 图 象 相 同 . 4

?

4

) = 3cos[

?

2

? (2x ?

?

) ] ? 3cos(2x ? ), 知 f( x) 图 象 与 4 4

?

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2x ? ③ ∵ f ( x) ? 3 s i n(
是减函数. ④ f ( x) ? 3 sin( 2 x ?

?

7? 3? 5? ?? ? ) 的 减 区 间 是 ? ? k? , ,? ] 上 ? k? ? , k ∈ Z ,知 f( x )在 区 间 [ ? 4 8 8 8 ?8 ? k? ? ? ? , 0) (? , 0) ,∴ f( x) 图 象 关 于 点 对称. 2 8 8

?
4

) 的对称点是 (

【 山 西 山 大 附 中 高 一 月 考 · 2014 】 4 . 已 知 ?A B C 中 , a, b, c 分 别 为 A, B, C 的 对 边 , ) a ? 4, b ? 4 3, ?A ? 30? ,则 ? B 等于( ? ? ? A. 30 B. 30 或 150 C. 60? 【知识点】正 弦 定 理 . 【答案解析】D 解析 :解 : 由 正 弦 定 理 可 知 D. 60 或 120?

a b ? sinA sinB

?sinB ?

bsinA ? a

4 3?

1 2 ? 3 ∵ 0 < B < 180 ° 4 2

∴ B=60 °或 120 ° 故 答案选 D 【思路点拨】利 用 正 弦 定 理 把 a ? 4, b ? 4 3, ?A ? 30? 代 入 即 可 求 得 sinB 的 值 , 进 而 求 得 ? B .

【文·浙江绍兴一中高三考前模拟·2014】18. (本题满分 14 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的

对边分别为 a,b,c,且 b sin A = 3 a cos B 。 (1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,求△ABC 的面积 S 的最大值。 【知识点】解三角形,正余弦定理,面积公式,不等式 【答案解析】 (Ⅰ)解: ∵ b sin A = 3 a cos B ∴

sin B sin A = 3 sin A cos B
sin A ? 0, B ? ? 0, ? ? ,

????2 分

tan B ? 3
?B ?

????4 分 ????6 分

?

3 (Ⅱ)由余弦定理

b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 9 ? a 2 ? c 2 ? ac ? 2ac ? ac ? ac ? ac ? 9 ?S ? 1 3 9 3 ac sin B ? ac ? 2 4 4
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????14 分 【思路点拨】三角函数式的化简要到位,正余弦定理的应用要灵活,求面积最值借助于重要 不等式。

【文·浙江绍兴一中高三考前模拟·2014】12. 直线 2 x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角为 ? , 则

1 的 sin ? ? cos 2 ?
2

值为_________; 【知识点】直线,倾斜角,齐次式的处理 【答案解析】
5 3

由已知得 tan ? ? 2 ,所以

1 sin 2 ? ? cos 2 ? tan 2 ? ? 1 5 ? ? ? = sin 2 ? ? cos 2 ? sin 2 ? ? cos 2 ? tan 2 ? ? 1 3

【思路点拨】转在齐次式的处理上是技巧。

【理·湖北孝感高中高三 5 月摸底·2014】17. (本小题满分 12 分)

已知向量 a ? (sin x, ), b ? (cos x, ?1) . (Ⅰ)当 a // b 时,求 cos x ? sin 2 x 的值;
2

3 4

(Ⅱ)设函数 f ( x) ? 2(a ? b) ? b ,已知在△ ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c , 若 a ? 3, b ? 2, sin B ?

6 ? ?? ?? ? ,求 f ?x ? ? 4 cos? 2 A ? ? ( x ? ?0, ? )的取值范围. 3 6? ? 3? ?

【知识点】向量的运算;正弦定理;三角函数的诱导公式.
8 3 ?? 1 ? 【答案解析】 (1) cos 2 x ? sin 2 x ? (2) ? 1 ? f ?x ? ? 4 cos? 2 A ? ? ? 2 ? 5 2 6? 2 ? 3 3 解析:解: (1) a // b,? cos x ? sin x ? 0,? tan x ? ? 4 4 2 cos x ? 2sin x cos x 1 ? 2 tan x 8 cos 2 x ? sin 2 x ? ? ? sin x 2 ? cos 2 x 1 ? tan 2 x 5

? 3 (2) f ( x) ? 2(a ? b) ? b ? 2 sin(2 x ? ) + 4 2
由正弦定理得
a b 2 ? 3? ? 可得 sin A ? , 所以A ? , 或 A ? sin A sin B 2 4 4

因为 b ? a ,所以 A ?

?
4

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世纪金榜 圆您梦想 ?? ? ? ? 11? ? ? 1 ? ? ?? , f ?x ? ? 4 cos? 2 A ? ? ? 2 sin(2 x ? ) ? , x ? ?0, ? ? 2 x ? ? ? , 6? 4 ? 4 12 ? 2 4 ? 3? ? ?

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所以

3 ?? 1 ? ? 1 ? f ?x ? ? 4 cos? 2 A ? ? ? 2 ? 2 6? 2 ?

3 【思路点拨】 (1)按向量的数量积运算求出 tan x ? ? ,代入所求算式.(2)利用正弦定理求 4 出角 A,代入函数化简求取值范围. 【典型总结】(1)对于三角求值问题的规律是把角向统一的角转化,注意降次或升次问题 ; (2)三角求值,求单调性,求周期等问题,要把式子转化成一个三角函数的形式,再按角 的范围求值.

【四川成都七中高二零诊· 2014 】 12. 设△ ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c ,且

1 a =1, b=2, cos C ? , 4
则 sin B ? 【知识点】余弦定理;同角三角函数间的基本关系. 【答案解析】
15 解析 :解 : ∵C 为三角形的内角,cosC= , 4

∴sinC= 又 a=1,b=2,

=



∴由余弦定理 c2=a2+b2﹣2abcosC 得:c2=1+4﹣1=4,解得:c=2, 又 sinC= ,c=2,b=2,

∴由正弦定理 故答案为:

=

得:sinB=

=

=



【思路点拨】由 C 为三角形的内角,及 cosC 的值,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinC 的值,再由 a 与 b 的值,利用余弦定理列出关于 c 的方程,求出方程的解得到 c 的值,再由 sinC,c 及 b 的值,利用正弦定理即可求出 sinB 的值.

【理·广东中山一中高三热身·2014】16.(本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,已知 2sin B cos A ? sin( A ? C ) . (1)求角 A ; (2)若 BC ? 2 ,△ ABC 的面积是 3 ,求 AB .
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π (2) AB ? 2 3

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【知识点】诱导公式;余弦定理. 【答案解析】 (1) A ?

解析 :解 : (1)由 A ? B ? C ? π ,得 sin( A ? C ) ? sin( π ? B) ? sin B . 所以原式化为 2 sin B cos A ? sin B .

???.3 分

?????4 分

1 因为 B ? (0, π) ,所以 sin B ? 0 , 所以 cos A ? . 2 π 因为 A ? (0, π) , 所以 A ? . 3
(2)由余弦定理,得

??????6 分

BC 2 ? AB2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC ? cos A ? AB2 ? AC 2 ? AB ? AC .?????.9 分
因为 BC ? 2 ,

1 π AB ? AC ? sin ? 3 , 2 3

2 2 所以 AB ? AC ? 8 .

因为 AB ? AC ? 4 , 所以 AB ? 2 .

????12 分

【思路点拨】(1)由诱导公式得到 sin( A ? C ) ? sin B ,进而可求出角 A 的值; (2)由余弦定理和三角形的 面积可以得到关于 AC 和 AB 的方程组,解方程组即可得到 AB .

【湖南衡阳八中高一五科联赛·2014】18. (本小题满分 8 分) 已知 ?ABC 三个内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c , 且 c ? 3a sin C ? c cos A , (1)求角 A (2)若 a = 2 3 , ?ABC 的面积为 3 错误!未找到引用源。,求 ?ABC 的周长. 【知识点】余弦定理;正弦定理. 【答案解析】 (1) (2) 解析 :解 : (1)由 c= asinC+ccosA,利用正弦定理化简得:sinC= ∵sinC≠0,∴ 又 0<A<π,∴ sinA+cosA=1,即 2sin(A+ <A+ < ,则 A+ = )=1,∴sin(A+ ,即 A= , ;

sinAsinC+sinCcosA,

)= ,

(2)∵△ABC 的面积 S= bcsinA=

,sinA=

∴bc=4,由余弦定理知 a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2+bc,得 a2+bc=(b+c)2, 代入 a=2 ,bc=4,解得:b+c=4, 则△ABC 周长为 4+2 . 【思路点拨】 (1)已知等式利用正弦定理化简,根据 sinC 不为 0,得到关系式,利用两角和与差的正弦函 数公式化为一个角的三角函数值,利用特殊角的三角函数值求出 A 的度数即可; (2)利用三角形面积公式列出关系式,将 sinA,已知面积代入求出 bc 的值,再利用余弦定理列出关系式, 将 a,bc,cosA 的值代入求出 b+c 的值,即可出三角形 ABC 周长. 【典型总结】此题考查了正弦、余弦定理,三角形面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.
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【湖南衡阳八中高一五科联赛·2014】15.在 ?ABC 中的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,重心为 G , 若 2aGA ? 3bGB ? 3cGC ? 0 ;则 cos B ? 【知识点】余弦定理;向量在几何中的应用. 【答案解析】 ;

1 解析 :解 : 由 2aGA ? 3bGB ? 3cGC ? 0 可 以 得 到 12

2aGA ? 3bGB ? ?3cGC ? ?3c(?GA ? GB) 即 ? 2a ? 3c ? GA ?
线 , 所 以

?

3b ? 3c GB ? 0 , 又因为 GA, GB 不共
3b 3b , ,c ? 2 3

?

2 a ? 3c =0,

3b ? 3c =0, 即 2a ? 3b ? 3c, 所 以 a ?

3 2 1 2 2 b ? b ?b 1 a 2 ? c 2 ? b2 4 1 3 ? cos B ? ? ? ,故答案为 . 12 2ac 3b 3b 12 2? ? 2 3
【思路点拨】首先变形已知条件,找出 a,b,c 满足的关系式,最后借助于余弦定理求出结果.

【湖南衡阳八中高一五科联赛·2014】7、在 ?ABC 中的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若

?B ? 60 且a, b, c 成等比数列,则 ?ABC 的形状为
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 不确定

【知识点】三角形的形状判断;等比数列的性质;余 弦 定 理 .
2 2 2 【答案解析】C 解析 :解 : 由 a,b,c 成等比数列得 b ? ac, 代 入 余 弦 定 理 求 得 a ? c ? ac ? ac ,

(a ? c) ? 0 , 因 此 a=c , 从 而 A=C , 又 因 为 ?B ? 60 ,所以 ?ABC 即
2

是等边三角形,故答案选 C.
2 2 2 【思路点拨】先 根 据 a,b,c 成等比数列得 b ? ac, ,进 而 代 入 余 弦 定 理 求 得 a ? c ? ac ? ac ,整 理

求 得 a=c , 判 断 出 A=C , 最 后 判 断 三 角 形 的 形 状 . 【典型总结】本 题 主 要 考 查 了 等 比 数 列 的 性 质 , 三 角 形 形 状 的 判 断 , 余 弦 定 理 的 应 用 . 三 角 形问题与数列,函数,不等式的综合题,是考试中常涉及的问题,注重了对学生的双基能力 的考查.

【湖南衡阳八中高一五科联赛·2014】2、已知 ?ABC 中 a ? 4, b ? 4 3, A ? 30 ,则 B 等于 A、60° 【知识点】正 弦 定 理 . 【答案解析】B 解析 :解 : 由 正 弦 定 理 可 知
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B.60°或 120°

C.30°

D.30°或 150°

a b ? sinA sinB
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bsinA ?sinB ? ? a

4 3?

1 2 ? 3 ∵ 0 < B < 180 ° 4 2

∴ B=60 °或 120 ° 故 答案选 B 【思路点拨】利 用 正 弦 定 理 把 a ? 4, b ? 4 3, ?A ? 30? 代 入 即 可 求 得 sinB 的 值 , 进 而 求 得 ? B . C2 3、在 ?ABC 中,若 sin A : sin B : sin C ? 3: 4 : 5 ,则 cos A 的值为 A、

3 5

B、

4 5

C、 0

D、 1

【知识点】正 弦 定 理 ; 解 直 角 三 角 形 . 【答案解析】B 解析 :解 : 在 ?ABC 中,若 sin A : sin B : sin C ? 3: 4 : 5 ,
2 2 2 所 以 a : b : c=3 : 4 : 5 , 因 为 a ? b ? c ,所 以 ?ABC 是 直 角 三 角 形 , co s A =

4 . 5

故答案选 B. 【思路点拨】由 题 意 利 用 正 弦 定 理 , 推 出 a , b , c 的 关 系 , 然 后 利 用 余 弦 定 理 求 出 cosB 的 值 .

C3 三角函数的图象与性质
【理·广东珠海高三学业检测·2014】B14 11.在区间 [0, 面积为 .

3? ] 上的余弦曲线 y= 2

与坐标轴围成的

【知识点】根 据 图 形 的 对 称 性 , 可 得 曲 线 y=cosx , x ? ?0,

? 3? ? ,与 坐 标 轴 围 成 的 面 积 等 于 曲 线 ? 2? ?

y=cosx , x ? ?0,

? ?? 与坐标轴围成的面积的 3 倍. ? 2? ? ? 3? ? ,与坐标轴围成 ? 2? ?

【答案解析】3 解析 :解:根 据 图 形 的 对 称 性 , 可 得 曲 线 y=cosx , x ? ?0, 的面各积的 3 倍, S ? 3

?

?
2 0

2 cos xdx ? 3sin x |0 ?3

?

【思路点拨】本 题 考 查 定 积 分 在 求 面 积 中 的 应 用 , 解 题 的 关 键 是 利 用 余 弦 函 数 的 对 称 性 . 【文·湖北武汉二中模拟(二) ·2014】11. 函数 f ? x ? ? 16 ? x ? lg?1 ? tan x ? 的定义域是
2

.

【知识点】定义域;对数函数;正切函数的定义域. 【答案解析】

? ? ? ? ? ? ? ? 5? ? ? ?4, ? ? ? ? ? , ? ? ? , ? ? 4? ? 2 4? ?2 4 ? ?

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解析:解:

16 ? x2 的定义域为 ?4 ? x ? 4 ,又 1 ?tan x ? 0 ? tan

x1? ? k ? ?x ? k ??

? ,所
4

以函数的定义域为

? ? ? ? ? ? ? ? 5? ? ? ? 4, ? ???? , ??? , ? ? 4? ? 2 4? ?2 4 ? ?

【思路点拨】本题可先分别求出对应式子的定义域,对于正切函数的定义域,可给出特殊值, 最后求出交集.

【文·广东珠海市高三第二学期学业质量检测】16. (本小题满分 12 分)

? 3 已知函数 f ( x) ? sin 2 x cos ? ? cos 2 x sin ? , x ? R,0 ? ? ? ? , f ( ) ? ? 4 2
(1)求 f ( x) 的表达式;

? 5 ? ? ) ? , ? ? ( , ? ) ,求 cos? 的值. 2 3 13 2 【知识点】两角和的正弦公式;两角差的余弦公式.
(2)若 f (
5? ? 【答案解析】 (1) f ? x ? ? sin ? 2 x ? 6 ?
5 ? 12 3 ? ? (2) 26 ?

?

3 ? ? 3 3 ?? ? 解析 :解 : (1) f ? ? ? ? ,所以 cos ? ? ? 。 。 。 (3 , 可得 sin cos ? ? cos sin ? ? ? 2 2 2 2 2 ?4?
分) 0 ? ? ? ? .?? ?
? f ? x ? ? sin 2 x cos
5? 。 。 。 。 (5 分) 6

5? 5? 5? ? ? cos 2 x sin ? sin ? 2 x ? 6 6 6 ?

? 。 。 。 (6 分) ?。 ?

? ? ? ? ? 5? ? 5 ?? 5 ?? ? ? 5 ? (2)由 f ? ? ? ? ,可得 sin ?2 ? ? ? ? ? ? , 化简得 sin ? ? ? ? ? 。 6 ? 13 ? 2 3 ? 13 ? ? ? 2 3 ? 6 ? 13

? ? 2? 7? ? ?? 12 ?? ? ? 。 。 。 (10 分) ? ? ? , ? ? ,?? ? ? ? , ? ,? cos ? ? ? ? ? ? 。
?2 ? 6 ? 3 6 ? ? 6? 13

?? ?? ?? ?? ? ? ? ? 5 ? 12 3 ? ? ....(12 分) ? cos ? ? cos ?? ? ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? cos ? sin ? ? ? ? sin = 26 6 ? 6? 6? 6 6? 6 ? ? ?? 3 ?? ? 【思路点拨】 (1)先由 f ? ? ? ? , 可得 ? 进而得到 f ( x) 的表达式; 2 ?4?

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? ? ? ? ? 5? ? 5 ?? 5 ?? ? ? 5 ? (2)由 f ? ? ? ? ,可得 sin ?2 ? ? ? ? ? ? , 化简得 sin ? ? ? ? ? . 6 ? 13 ? 2 3 ? 13 ? ? ? 2 3 ? 6 ? 13
再求出 ? 及 ? ? 1.

?

?? ?? ?? 的范围,最后变形为 cos ? ? cos ?? ? ? ? ? ? ,再代入数值即可. 6 6 ? 6? ??

【理·宁夏银川一中高三三模·2014】已知 ?ABC 中,AB=5,BC=7,∠BAC=

?
3

,则 ?ABC 的

面积为______________. 【知识点】余弦定理;三角形面积公式 【答案解析】 10 3 解析:由余弦定理得: BC2 ? AB2 ? AC2 ? 2 AB ? AC ? cos?BAC ,即

7 2 ? 52 ? AC 2 ? 2 ? 5 ? AC ? cos ? S ?ABC ?

?
3

,整理得: AC2 ? 5 AC ? 24 ? 0 ,解之得: AC ? 8 ,

1 ? ? AB ? AC ? sin ? 10 3 , 2 3

故答案为: 10 3 【思路点拨】利用余弦定理列出另一边 AC 的方程,解出 AC ,代入三角形面积公式中计算面 积即可。 【理· 宁夏银川一中高三三模· 2014】 10. 已知正三角形 ABC 的边长是 3,D 是 BC 上的点, BD=1, 则 AD ? BC = A. ?
9 2

B. ?

3 2

C.

15 2

D.

5 2

【知识点】向量的数量积;正余弦定理 【答案解析】B 解析:由余弦定理得: AD2 ? 32 ? 12 ? 2 ? 3 ?1? cos60? ? 7 ,? AD ? 7 ,

? cos?ADB ?

1? 7 ? 9 7 , ?? 14 2 ?1? 7
7 3 )?? 14 2

? AD ? BC ? 7 ? 3 ? cos?ADB ? 3 7 ? (?

故选:B 【思路点拨】利用余弦定理求出 AD 和向量 AD, BC 的夹角的余弦值,根据向量数量积的定义
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即可求出结果。
【文·江西临川二中高三一模·2014】11.已知 tan ? =2 ,那么 sin 2? 的值为________.

【知识点】弦化切求三角函数值。 4 2sin ? ? cos ? 2 tan ? 2? 2 4 ? ? 【答案解析】 解析 :解: sin 2? ? = 2 2 2 5 sin ? ? cos ? 1 ? tan ? 1 ? 22 5 【思路点拨】把2倍角的正弦化为单角的正切求解。

【文·宁夏银川一中高三三模·2014】17. (本小题满分 12 分)

设平面向量 m ? (cos 2 , 3 sin x) , n ? (2, 1) ,函数 f ( x) ? m ? n . (1)当 x ? [? , ] 时,求函数 f ( x) 的取值范围;
3 2

x 2

? ?

(2)当 f (? ) ?

13 2? ? ? ,且 ? ? ? ? 时,求 sin(2? ? ) 的值. 5 3 6 3

【知识点】三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的运算;正弦函数的定义域和值域 【答案解析】

当 x ? [? , ] 时, x ? ? [? ,
3 2 6 6

? ?

?

? 2?
3

1 ? ? ] ,则 ? ? sin( x ? ) ? 1 , 0 ? 2sin( x ? ) ? 1 ? 3 , 2 6 6

所以 f ( x) 的取值范围是 [0, 3] .

【思路点拨】 (Ⅰ)由向量数量积的坐标运算求得函数 f(x)并化简,然后结合 x 的范围求得 函数 f(x)的取值范围; (Ⅱ)由 f (? ) ?
sin(2? ?

? ? 13 及 ? 的范围,可解得 sin(? ? ) 和 cos( ? ? ) 的值,再由倍角公式即可求得 5 6 6

?
3

)。

【文·宁夏银川一中高三三模·2014】9.如图,已知 A,B 两点分别在河的两岸,某测量者在

点 A 所在的河岸边另选定一点 C,测得 AC ? 50 m,
?ACB ? 45 , ?CAB ? 105 ,则 A、B 两点的距离为
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A. 50 3 m C. 25 2 m 【知识点】正余弦定理

世纪金榜 B. 25 3 m D. 50 2 m

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【答案解析】D 解析:由正弦定理得:

AB AC ? , sin ?ACB sin ?B

AC ? sin ?ACB ? AB ? ? sin ?B

50? 1 2

2 2 ? 50 2 ,

即 A、B 两点的距离为 50 2 m , 故选:D 【思路点拨】依题意在 A,B,C 三点构成的三角形中利用正弦定理,根据 AC,∠ACB,B 的值求得 AB。
【文·广东中山一中高三高考热身·2014】13.在 ? ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,

且角 A=60° ,若 S?ABC ?

15 3 ,且 5sinB=3sinC,则 ? ABC 的周长等于 4

.

【知识点】正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式的应用。 【答案解析】 8 ? 19 解析 :解:由 A=60° , S?ABC ?
15 3 得bc=15,由5sinB=3sinC得 4

5b=3c,解得b=3,c=5,有余弦定理得: a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A
? 32 ? 52 ? 2 ? 3 ? 5cos 60 ? 19 ,所以 a ? 19 。所以 ? ABC的周长等于 8 ? 19 。

【思路点拨】根据条件 A=60° , S?ABC ?

15 3 得bc=15,再由5sinB=3sinC得 4

5b=3c,解得b=3,c=5,有余弦定理得: a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A
? 32 ? 52 ? 2 ? 3 ? 5cos 60 ? 19 ,所以 a ? 19 。所以 ? ABC的周长等于 8 ? 19 。
【理·江西师大附中高三三模·2014】9.(本小题满分

12 分)
P

如图, 在三棱锥 P ? ABC 中,PA ? 面 ABC , ?BAC ? 1200 , 且 AB ? AC ? AP ,M 为
1 PB 的中点, N 在 BC 上,且 BN ? BC . 3 (1)求证: MN ? AB ;

(2)求平面 MAN 与平面 PAN 的夹角的余弦值.
B

M A

C 【知识点】余弦定理;线面垂直的判定定理;三角形相似的判定;向量的夹角 N

公式.
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2 5 5 解析 :解 : (1)不妨设 AB = AC = AP =1,又 ?BAC ? 120? ,

【答案解析】(1)略(2)

∴在△ABC 中, BC 2 ? 12 ? 12 ? 2 ? 1 ? 1cos120? ? 3 , ∴ BC ? 3 ,则 BN =
AB BN , ? BC AB 又 ?ABC ? ?NBA ,

3 1 ,………………1 分 BC = 3 3

所以

∴ △NBA ∽△ ABC ,且 △NBA 也为等腰三角形.………3 分 (法一)取 AB 中点 Q,连接 MQ、NQ,∴ NQ ? AB , MQ ∥ PA
∵ PA ? 面 ABC , ∴ PA ? AB ,∴ MQ ? AB ,…………5 分

所以 AB⊥平面 MNQ,又 MN ? 平面 MNQ ∴AB⊥MN……6 分 (法二) ?BAN ? 30? ,则 ?NAC ? 120? ? 30? ? 90? ,以 A 为坐标原点, AN 的方向为 x 轴 正方向,建立如图所示的空间直角坐标系
3 1 3 1 1 3 ,? ,0) , M ( ,? , ) , N ( ,0,0) ,…………4 分 2 2 4 4 2 3 3 1 3 1 1 ∴ AB ? ( ,? ,0) , MN ? ( , ,? ) 2 2 12 4 2 则 AB ? MN ? 0 ,所以 MN ? AB .…………6 分

可得 A(0,0,0) , B(

(2)同(1)法二建立空间直角坐标系,可知 P (0,0,1) , C (0,1,0) , 平面 PAN 的法向量可取为 AC ? (0,1,0) ,……8 分

设平面 ANM 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,
3 1 1 3 , ? , ) , AN ? ( , 0, 0) , 4 4 2 3 ? 3 1 1 x? y? z ?0 ? ? m ? AM ? 0 4 4 2 则? ,即 ? ,可取 m ? (0, 2,1) ,……10 分 ? ? m ? AN ? 0 3 ? ? ? x?0 ? 3 ? AM ? (

cos ? m, AC ??


m ? AC 2 5 ? 5 , | m || AC |
2 5 .…12 分 5

故平面 MAN 与平面 PAN 的夹角的余弦值

【思路点拨】 (1)结合已知条件利用余弦定理求得 BC,再通过三角形相似结合线面垂直的条件即可(2)建 立空间直角坐标系,可知 P (0,0,1) , C (0,1,0) ,平面 PAN 的法向量可取为 AC ? (0,1,0) ,然后求出法向
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量 m ? (0, 2,1) 最后用夹角公式即可. 【理·江西师大附中高三三模·2014】16.(本小题满分

12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为 a, b, c ,且 (a cos B ? b cos A) cos 2C ? c ? cos C . (1)求角 C; (2)若 b ? 2a , ?ABC 的面积 S ?
3 sin A ? sin B ,求 sin A 及边 c 的值. 2

【知识点】两角和的正弦公式;余弦定理;正弦定理;三角形面积公式. 【答案解析】(1)
21 6 2? (2)sinA= , c= 14 2 3

解析 :解 : (1)∵cos2C=cosC,∴2cos2C-cosC-1=0 即(2cosC+1)(cosC-1)=0,又 0<C<π,∴ cos C ? ? ,∴C= 分 (2)由余弦定理得:c2=a2+(2a)2-2a· (2a)cos
2? =7a2,∴c= 7 a 3 21 又由正弦定理得:sinC= 7 sinA,∴sinA= .………9 分 14 3 1 1 ∵S= absinC,∴ absinC= sinA· si nB, 2 2 2 1 2

2? .………6 3

6 2? c ? a b 3 ∴? = .………12 分 ? ? ? 2 ,得:c= 2 sin ? ? ? 2 3 ? sin C ? sin A sin B sin C

2

【思路点拨】(1)利用正弦定理转化已知条件得 cos2C=cosC,然后再解关于 cosC 的方程即可.(2)由余弦定理得 c= 7 a, 再由正弦定理得 sinA= 后用三角形面积公式结合正弦定理即可.
【理·江西师大附中高三三模·2014】14.

21 ,然 14

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 在第一象限内 a 2 b2 的点,F 为其右焦点, 点 A 关于原点 O 的对称点为 B, 若 AF ? BF , 设 ?ABF ? ? , 且 ?? ? ? . ? ? ? , ? , 则双曲线离心率的取值范围是 ?12 6 ?

设 A 是双曲线

【知识点】双曲线的定义与性质;余弦定理;求范围的方法;三角形面积公式. 【答案解析】 [
2, 3 ? 1]

解析 :解 : 设左焦点为 F ? ,令 | AF |? r1 ,| AF ? |? r2 ,则

| BF |?| F ?A |? r2 ,

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【思路点拨】先利用双曲线的定义与性质得到 r1 与 r2 的关系,再用配方的方法得 到 r1r2 求出 ? 的范围,最后用 ? 表示出离心率并求出其范围即可.
【理·江西师大附中高三三模·2014】13.已知 | OA |? 1 , | OB |? 1 , ?AOB ?

2? , 3

1 1 OC ? OA ? OB ,则 OA 与 OC 的夹角大小为 2 4



【知识点】余弦定理; 【答案解析】
? 1 1 解析 :解 : 如图, | OM |? ,| MC |?| ON |? , ?OMC ? 600 , 6 2 4 3 由余弦定理,知 | OC |? ,∴ OC ? OM , ?AOC ? 300 为所求 4
3 , 4

【思路点拨】先结合已知条件得到 ?OMC ? 600 ,在利用余弦定理解得 | OC |? 最后求出 ?AOC ? 300 即可.

【理·湖北宜昌高三模拟·2014】 (本小题满分 12 分)在△ABC 中,D 是边 AC 的中点,且

AB=AD=1 ,BD=



(1)求 cosA 的值; (2)求 sinC 的值. 【知识点】余弦定理;正弦定理;平方关系.
1 【答案解析】 (1) (2) 3
第 20 页(共 56 页)

2 66 33
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2 3 , 3

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解析:解: (1)在 ?ABC 中, AB ? AD ? 1, BD ?
2

?2 3? 1?1? ? ? 3 ? AB 2 ? AD 2 ? BD 2 1 ? ? .........................4 分 ? cos A ? ? 2 3 2 AB ? AD
1 2 2 (2)由(1)知, cos A ? , 且 0 ? A ? ? ,?sin A ? 1 ? cos 2 A ? , ……………..6 分 3 3
D 是边 AC 的中点,? AC ? 2 AD ? 2. 在 ?ABC 中,

cos A ?

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 1 ? 22 ? BC 2 1 ? ? ………………………………..8 分 2 AB ? AC 2 ? 1? 2 3
33 , 由正弦定理得 3

解得 BC ?

BC AB AB ? sin A ? ,? sin C ? ? sin A sin C BC

1?

2 2 3 ? 2 66 …………………12 分 33 33 3
33 , 再由 3

【思路点拨】 (1)在三角形中借助与余弦定理即可.(2)先用余弦定理解得 BC ?
2 66 即可. 33

正弦定理得 sin C ?

?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 【山西山大附中高一月考· 2014】 20. (本小题满分 12 分) 向量

m ? (?1,1) , n ? (cos B cos C ,sin B sin C ?
(1)求 A 的大小;

3 ) ,且 m ? n . 2

(2)现在给出下列三个条件:① a ? 1 ;② 2c ? ( 3 ? 1)b ? 0 ;③ B ? 45 ,试从中再选择两个条件以确 定 ?ABC ,求出所确定的 ?ABC 的面积. 【知识点】解三角形;数量积判断两个平面向量的垂直关系;两角和与差的余弦函数;余弦定理. 【答案解析】(1) A ? 30? (2)选择①②, ?ABC 的面积 ③不能确定三角形. 【山西山大附中高一月考·2014】10.已知函数 f ( x) ? 3sin x ? cos x, x ? R ,若 f ( x) ?1 ,则 x 的取值 范围为( )

3 ?1 3 ?1 ;选择①③, ?ABC 的面积 ;选择② 4 4

? ? ? ? ? x ? k? ? ? , k ? Z ? B. ? x | 2k? ? ? x ? 2k? ? ? , k ? Z ? 3 3 ? ? ? ? 5? ? 5? , k ? Z } D. {x | 2k? ? ? x ? 2k? ? , k ? Z} C. { x | k ? ? ? x ? k ? ? 6 6 6 6
A . ? x | k? ?

? ?

?

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f ( x) =

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骣 p 琪 2s in x - , f ( x) ? 1 , 琪 桫 6
5p ,解得: 6

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【知识点】两角差的正弦公式;三角不等式. 【答案解析】B 解析 :解 :

3 s i nx - co x s=

即 2sin 琪 x琪

骣 p 桫 6

骣 p 1 , sin 琪 x琪 桫 6
2 kp + p ,

p p 1 ? 2 kp , \ 2 kp + ? x 6 6 2

2 kp +

p #x 3

故答案选 B. 【思路点拨】先把原函数化简,然后转化为 2sin 琪 x琪

骣 p 桫 6

1 ,最后解不等式即可.

【山西山大附中高一月考· 2014】 8. 把函数 y ? sin 3x 的图象适当变化就可以得到 y ? 的图象,这个变化可以是( A.沿 x 轴方向向右平移

2 (sin 3x ? cos3x) 2

? 4 ? C.沿 x 轴方向向右平移 12

)

B.沿 x 轴方向向左平移

? 4 ? D.沿 x 轴方向向左平移 12
2 (sin 3 x ? c o sx 3 ?) 2 ( sin ? 3 x )= 4

【知识点】两 角 差 的 正 弦 公 式 ; 三 角 函 数 的 图 象 变 换 . 【答案解析】C 解析 :解 :

y?

?

( sin3 ?

?

, x ) 12

∴为得到 y ?

? 2 (sin 3 x ? c o sx 3可 ) 以 将 沿 x 轴方向向右平移 . 12 2

故 答 案 为 选 C. 【思路点拨】先 根 据 两 角 和 与 差 的 正 弦 公 式 进 行 化 简 为 与 y ? sin 3x 同 名 的 三 角 函 数 ,再 由 左 加 右减的平移原则进行平移. 【理·湖北孝感高中高三 5 月摸底·2014】17. (本小题满分 12 分)

已知向量 a ? (sin x, ), b ? (cos x, ?1) . (Ⅰ)当 a // b 时,求 cos x ? sin 2 x 的值;
2

3 4

(Ⅱ)设函数 f ( x) ? 2(a ? b) ? b ,已知在△ ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c , 若 a ? 3, b ? 2, sin B ?

6 ? ?? ?? ? ,求 f ?x ? ? 4 cos? 2 A ? ? ( x ? ?0, ? )的取值范围. 3 6? ? 3? ?

【知识点】向量的运算;正弦定理;三角函数的诱导公式.
8 3 ?? 1 ? 【答案解析】 (1) cos 2 x ? sin 2 x ? (2) ? 1 ? f ?x ? ? 4 cos? 2 A ? ? ? 2 ? 5 2 6? 2 ? 3 3 解析:解: (1) a // b,? cos x ? sin x ? 0,? tan x ? ? 4 4
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2

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cos 2 x ? sin 2 x ?

cos x ? 2sin x cos x 1 ? 2 tan x 8 ? ? sin x 2 ? cos 2 x 1 ? tan 2 x 5

? 3 (2) f ( x) ? 2(a ? b) ? b ? 2 sin(2 x ? ) + 4 2
由正弦定理得
a b 2 ? 3? ? 可得 sin A ? , 所以A ? , 或 A ? sin A sin B 2 4 4

因为 b ? a ,所以 A ?

?
4

?? ? ? ? 11? ? ? 1 ? ? ?? , f ?x ? ? 4 cos? 2 A ? ? ? 2 sin(2 x ? ) ? , x ? ?0, ? ? 2 x ? ? ? , 6? 4 ? 4 12 ? 2 4 ? 3? ? ?
所以

3 ?? 1 ? ? 1 ? f ?x ? ? 4 cos? 2 A ? ? ? 2 ? 2 6? 2 ?

3 【思路点拨】 (1)按向量的数量积运算求出 tan x ? ? ,代入所求算式.(2)利用正弦定理求 4 出角 A,代入函数化简求取值范围. 【典型总结】(1)对于三角求值问题的规律是把角向统一的角转化,注意降次或升次问题 ; (2)三角求值,求单调性,求周期等问题,要把式子转化成一个三角函数的形式,再按角 的范围求值.

【理·湖北孝感高中高三 5 月摸底·2014】8.A,B 是海面上位于东西方向相距 5(3 ? 3) 海里的两

个观测点.现位于 A 点北偏东 45°,B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 20 3 海里的 C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为 30 海 里/小时,该救援船到达 D 点需要的时间为( A.1 B.2 C. 1+ 3 )小时 D. 3

【知识点】正 弦 定 理 与 余 弦 定 理

D 北



A

B

【答案解析】A 解析:解 :由 题 意 知 AB= 5 3 ? 3 海 里 ,
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?

?

C

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世纪金榜 ∠ DBA=90 ° -60 ° =30 °, ∠ DAB=45 °, ∴ ∠ ADB=105 °, 在 △ DAB 中 , 由 正 弦 定 理 得
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DB AB AB ? sin ?DAB 5 3 ? 3 ? sin 45? 5 3 1 ? 3 ? ? DB ? ? ? ? 10 3 sin ?DAB sin ?ADB sin ?ADB sin105? 1? 3 2

?

?

?

?

又 ∠ DBC= ∠ DBA+ ∠ ABC=30 ° + ( 90 ° -60 °) =60 °, BC= 20 3 海 里 , 在 △ DBC 中 , 由 余 弦 定 理 得 CD 2 =BD 2 +BC 2 -2BD ? BC ? cos ∠ DBC 1 = 300 ? 1200 ? 2 ?10 3 ? 20 3 ? =900 , 2 ∴ CD=30 ( 海 里 ) , 则 需 要 的 时 间 t=
30 =1 ( 小 时 ) . 30

【思路点拨】由正弦定理可求 DB 的长,余弦定理可求 CD 的长,最后

路程 可求时间. 速度

C4 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象与性质
【理·山西山大附中高三 5 月月考·2014】由 y ? f ( x) 的图象向左平移

?
3

个单位,再把所得图象上

1 所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍得到 y ? 2sin(3 x ? ? ) 的图象,则 f ( x) 为 6 3 1 1 3 1 1 A. 2sin( x ? ? ) B. 2sin(6 x ? ? ) C. 2sin( x ? ? ) D. 2sin(6 x ? ? ) 2 6 6 2 3 3 【知识点】图像的平移 .C3 1 1 【答案解析】B 解析:解:可以把 y ? 2sin(3 x ? ? ) 的图像横坐标缩短为原来的 , 2 6 ? ? ? ? ? ? ? y ? 2sin ?3 ? 2 x ? ? ? ? 2sin ? 6 x ? ? 然后向右平移 个单位, 3 6? 6? ? ?

? ? ?? ?? ?? ?? ? ? y ? 2sin ?6 ? x ? ? ? ? ? 2sin ? 6 x ? 2? ? ? ? 2sin ? 6 x ? ? 3? 6? 6? 6? ? ? ? ? 【思路点拨】本题可以按原来平移的过程向回平移相同的单位得到.

【理·湖南雅礼中学模拟·2014】2、下列函数中,最小正周期为 ? ,且图象关于直线 x ?

? 对称 3

的是

()
? (A) y ? sin(2 x ? ) 6 x ? (B) y ? sin( ? ) [] 2 3
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? ? (C) y ? sin(2 x ? ) (D) y ? sin(2 x ? ) 3 6 【知识点】三角函数的周期;对称轴;三角函数的图像. 2? 【答案解析】D 解析:解:因为三角函数的周期为 T ? 可排除 B,再根据对称轴对应最值 ? 可知 D 正确. 【思路点拨】根据三角函数的定义与图像可知函数的周期,代入对称轴可对应最值.

【理·浙江绍兴一中高三模拟· 2014 】 5 .已知函数 f ? x ? ? tan ? 2 x ?

? ?

??

? , 则下列说法错误的是 3?



) A. 函数 f(x)的周期为

?

2 B. 函数 f(x)的值域为 R ? C. 点( ,0)是函数 f(x)的图象一个对称中心 6 2? 3? D. f ( ) ? f ( ) 5 5

【知识点】正切函数的图像与性质 【答案解析】D ? 由题设 A : T ? , ,正确; B : y ? R 正确 2
?? ? C : f ? ? ? 0 正确; ?6?
? 2? D: f ? ? 5 7? ? ? 3? ,f? ? ? tan 15 ? 5 ? 13? 7? 13? ? ,错 , tan ? tan ? ? tan 15 15 15 ?

【思路点拨】 f (x ) = tan (wx + j ) 图像的识别与解读

【辽宁三校高一期末联考·2014】16. 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f(x) 是 最 小 正 周 期 为 ? 的 周 期

? 5? 函 数 , 且 当 x ? [0, ] 时 , f (x) ? sinx , 则 f ( ) 的 值 是 2 3 【知识点】正 弦 函 数 的 奇 偶 性 ; 三 角 函 数 的 恒 等 变 换 及 化 简 求 值 .
【答案解析】 ∴ f(
3 2

解析 :解 : ∵ 偶 函 数 f(x) 是 最 小 正 周 期 为 ? 的 周 期 函 数 ,

5? ? ? ? ) = f(2? ? ) ? f( ? ) ? f( ) 3 3 3 3

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? ? ? 3 ∵ 当 x ?[ 0 , ] 时 , f ( x ) =sinx ∴ f( ) = sin = , 3 2 3 2
故答案为:
3 2

【思路点拨】根 据 条 件 中 所 给 的 函 数 的 周 期 性 , 奇 偶 性 和 函 数 的 解 析 式 , 把 要 求 的 自 变 量 变 化 到 已 知 解 析 式 的 位 置 ,再 利 用 奇 偶 性 变 化 到 已 知 解 析 式 的 一 段 ,代 入 解 析式求出结果. 【典型总结】本 题 考 查 函 数 的 性 质 ,遇 到 这 种 题 目 解 题 的 关 键 是 看 清 题 目 的 发 展 方 向,把要求的结果,向已知条件转化,注意使用函数的性质,特别是周期性.

【辽宁三校高一期末联考·2014】5.在[0,2 ? ]内,满足 sinx>cosx 的 x 的取值范围是(



? 3? ? 5? 3? 5? , ) B.( , ) C.( , ) 4 4 4 4 4 4 【知识点】正 弦 函 数 的 图 象 特 征 .
A.(

D.(

5? 7? , ) 4 4

【答案解析】B 解析 :解 : 在 [0 , 2 π ] 内 , ∵ sinx > cosx , ∴ sin ( x ? ∴ 2k π < x ? 故 选 : B. 【思路点拨】由 题 意 可 得 sin( x ?

?
4

) > 0,

?
4

< 2k π + π , k ∈ z . 再 根 据 x ∈ ( 0 , 2 π ) 内 , 可 得 x ∈ (

? 5? , ), 4 4

?

4 据 x∈ ( 0, 2π ) 内 , 可 得 x 的 范 围 .

)> 0 ,∴ 2k π < x ?

?
4

< 2k π + π ,k ∈ z .再 根

【山西山大附中高一月考·2014】6.函数 f ( x ) ? sin( x ? A. x ?

?
4

) 的图像的一条对称轴是(



?
4

B. x ?

?
2

C. x ? ?

?
4

D. x ? ?

?
2

【知识点】正 弦 函 数 的 对 称 性 .

x? 【答案解析】 C 解析 : 解: ∵ 正 弦 函 数 f ( x) ? s i n (
解 得 x=k π +

?
4

) 对称轴方程为 x ? 的

?

3? ( k∈ Z) , 4

? k? ? ( k ∈ Z ) , 4 2

?

当 k=-1 时 , x ? ?

?

4



x? ∴ 函 数 f ( x) ? s i n (
故 答 案 为 选 C.

?
4

) 象的一条对称轴方程是 x ? ? 图

?
4

.

x? 【思路点拨】利 用 正 弦 函 数 f ( x ) ? s i n (
案.

?
4

) 对称轴方程 x ? 的

?
4

? k? ?

?
2

( k∈ Z) 即 可 求 得 答

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世纪金榜 圆您梦想 【山西山大附中高一月考·2014】1.函数 f ( x) ? 2sin x cos x 的最小值是(
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)

A. ? 1 B. ? 2 C. 2 D. 1 【知识点】二倍角的正弦公式;三角函数的值域. 【答案解析】A 解析 :解 :因 为 f ( x) ? 2sin x cos x ? sin2x, 又 ∵ x ∈ R ,所 以 ?1 ? sin2x ? 1 ,故答 案选 A. 【思路点拨】由 于 f ( x) ? 2 s i nx cos 而 x ∈ R 故 ?1 ? sin2x ? 1 所 以 y m i n = ?1 . x? sin2x, C5 2. sin 45 cos15 ? cos 45 sin15 的值为 ( A. ? ) C.

3 2

B. ?

1 2

1 2

D.

3 2
1 .故 2

【知识点】两 角 和 与 差 的 正 弦 函 数 . 【答案解析】C 解析 :解 :sin45 ° cos15 ° -cos45 ° sin15 ° =sin( 45 ° -15 °)=sin30 ° =

答 案 为 选 C. 【思路点拨】所 求 式 子 利 用 两 角 和 与 差 的 正 弦 函 数 公 式 变 形 后 ,再 利 用 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 计 算即可求出值.

【文·浙江绍兴一中高三考前模拟· 2014】7.函数 y ? sin(? x ? ? ), (? ? 0, 0 ? ? ?

?
2

) 在一个周期

内的图象如图所示, A(?

?
6

, 0) ,B 在 y 轴上,C 为图象上的最低点,E 为该函数图象的一个

π 对称中心,B 与 D 关于点 E 对称, CD 在 x 轴上的投影为12,则 ω,φ 的值为( π A.ω=2,φ=3 1 π C.ω=2,φ=3 π B.ω=2,φ=6 1 π D.ω=2,φ=6

)

【知识点】三角函数图像信息解读 【答案解析】A 如图易知
2? ? ? ?? ? ? ?? ? T ? 4? ? ? ? ? ? ? ? ? 2; E ? ,0 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 3 ? 6 12 ? ?3 ?

故填 A 【思路点拨】深刻把握图像提供信息
y l3
【四川成都七中高二零诊· 2014】 10.设函数 f ? x ? ? 3 sin ? x .若存在

A(m,n) l1 l2

m

O

x

2 f ? x ? 的极值点 x0 满足 x0 2 ? ? ? f ? x0 ?? ? ? m ,则 m 的取值范围是 2

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世纪金榜 B.

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( A. C.



? ??, ?6? ? ? 6, ?? ? ??, ?4? ? ? 4, ??

? ??, ?2? ? ? 2, ??

D. ? ??, ?1? ? ?4, ? ?

【知识点】正弦函数的图象和性质;函数的零点的定义;正弦函数的定义域和值域. 【答案解析】 B 解析 : 解: 由题意可得, f (x0) =± , 且 =kπ+ , k∈z, 即 x0 = m.

再由 x02+[f(x0)]2<m2,可得当 m2 最小时,|x0|最小,而|x0|最小为 |m|, ∴m2 > m2+3,∴m2>4. 求得 m>2,或 m<﹣2, 故选:B. 【思路点拨】由题意可得,f(x0)=± ,且 =kπ+ ,k∈z,再由题意可得当 m2 最小时,

|x0|最小,而|x0|最小为 |m|,可得 m2 > m2+3,由此求得 m 的取值范围.

【湖南衡阳八中高一五科联赛·2014】17. (本小题满分 8 分) 设向量 a ? ( 3 sin x,sin x), b ? (cos x,sin x), x ? ?0, (1)若 | a |?| b | ,求 x 的值 (2)设函数 f ( x) ? a b ,求 f ( x) 的取值范围 【知识点】向量的模的运算;向量的数量积公式;三角函数的定义域与值域. 【答案解析】 (1) x ?

? ?? ? 2? ?

?

(2) f ( x ) ? ? 0, ? 6 ? 2?

? 3?
? ?? , ? 2? ?

解析 :解 : (1) | a |?| b |, ? ( 3 sin x) 2 ? (sin x) 2 ? cos 2 x ? sin 2 x, x ? ?0,

? sin x ?
(2)

1 ? , 故x= . 2 6

f ( x ) ? a b = 3 sin x cos x ? sin 2 x ?

3 1 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2

? 1 ? sin(2 x ? ) ? , 又 6 2
故 f ( x ) ? ? 0, ? 2

? ? ? 5? ? ? ?? x ? ?0, ? ; 2 x ? ? ? ? , ? ; 6 ? 6 6 ? ? 2?

? 3? ? ?
1 可解 x;(2)先用向量的数量积公式求出函数 f ( x ) , 2
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【思路点拨】 (1)利用向量的模相等得到 sin x ?

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再求值域即可.

C5 两角和与差的正弦、余弦、正切
【理·山东实验中学高三三模·2014】6.函数 f(x)=sin( ? x ? ? ) (其中. ( ? >0, ? ?

?
2

)的

图象如图所示,为了得到 g(x)=sin ? x 的图象,则只要将 f(x)的图象 ? A.向右平移 个单位 6 ? B.向右平移 个单位 12 ? C.向左平移 个单位 6 ? D.向左平移 个单位 12 【知识点】y=Asin(ω x+φ )的图象变换;识图与运算能力. 1 7 1 ? 2? ? ? ?? ? 2 【答案解析】A 解析:解:由图知, T ? ? ? ? ? ?T ? ? T ? 4 12 3 4 ? ? ? 又 ? ? ? ? ? , ? ? 2 ?? ? 又 A=1, 3 3

?? ? ∴ f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ,g(x)=sin2x, 3? ?

?? ? ? ?? ?? ? ∵ f ? x ? ? ? sin ?2 ? x ? ? ? ? ? sin 2 x ? g ? x ? 6? 6 ? 3? ? ? ?
?? ? ∴为了得到 g(x)=sin2x 的图象,则只要将 f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? 的图象向右平移 3? ?
? 个单位长度. 6

1 7? ? ? ,可求得其周期 T,继而可求得ω ,再利用函数 【思路点拨】由 T ? 4 12 3 y=Asin(ω x+φ )的图象变换及可求得答案.

【文·江西师大附中高三三模·2014】5.将函数 y ? sin(4 x ?

?
6

) 图象上各点的横坐标伸长到原来

的 2 倍,再向左平移

个单 4 位,纵坐标不变,所得函数图象的一条对称轴的方程是 A. x ?

?

?
12

B. x ?

?
6

C. x ?

?
3

D. x ? ?

?
12

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世纪金榜 圆您梦想 www.jb1000.com 【知识点】函 数 y=Asin ( ω x+ φ ) 的 图 象 变 换 . ? 【答案解析】A 解析 :解 : 将 函 数 y=sin ( 4x)图象上各点的横坐标伸长到原 6 ? 来 的 2 倍 , 得 到 的 函 数 解 析 式 为 : g ( x ) =sin ( 2x), 6 ? ? 再 将 g ( x ) =sin ( 2x)的 图 象 向 左 平 移 个 单 位( 纵 坐 标 不 变 )得 到 y=g ( x+ 6 4 ? ? ? ? ? ? ) =sin[2 ( x+ ) - ]=sin ( 2x+ - ) =sin ( 2x+ ) , 4 4 6 2 6 3 ? ? k? ? ? , k∈ Z. 由 2x+ =k π + ( k ∈ Z ) , 得 : x= 3 2 2 12 ? ? ∴ 当 k=0 时 , x= , 即 x= 是变化后的函数图象的一条对称轴的方程, 12 12 故 选 : A. 【思路点拨】利 用 函 数 y=Asin ( ω x+ φ ) 的 图 象 变 换 , 可 求 得 变 换 后 的 函 数 的 解 析 ? 式 为 y=sin ( 8x),利用正弦函数的对称性即可求得答案. 6
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【文·山东实验中学高三三模·2014】7.将函数 y= cos(x ?

?
3

)的图象上各点的横坐标伸长到原

的 2 倍(纵坐标不变) ,再向左平移
9 8 【知识点】三角函数的图像变换.

A. x ?

?

B. x ?

?

? 个单位,所得函数图象的一条对称轴是 6 ? C. x ? ? D. x ? 2

?? ?1 【答案解析】D 解析 :解:由题意得变换后的函数解析式为: y ? cos ? x ? ? 4? ?2
经检验 x ?

?

?? ?1 时 y ? cos ? x ? ? 有最大值,所以选 D. 2 4? ?2
?

【思路点拨】通过函数 y= cos(x ?

)的图象上的各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,求出函 3 数的解析式,三角函数的平移原则为左加右减上加下减,求出函数的表达式即可. 【典型总结】本题考查三角函数的图象的变换,图象的平移,考查计算能力,是基础题.

【辽宁三校高一期末联考·2014】11.要得到 y=sin? +

?x ?2

π? x ?的图象,需将函数 y=sin 的图象至 3? 2

少向左平移( )个单位. 2? ? 3? A. B. C. 3 3 4 【知识点】函 数 y=Asin ( ω x+ φ ) 的 图 象 变 换 .
第 30 页(共 56 页)

D.

?
4

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x 2? ? ?x ?? ?1 【答案解析】A 解析 :解 : y=sin ? ? ? ? sin ? ( x ? ) ? ,? 将函数 y=sin 的图象至少 2 3 ? ?2 3? ?2
向左平移
2? 个单位.故 选 A . 3

【思路点拨】根 据 函 数 y=Asin ( ω x+ φ ) 的 图 象 变 换 规 律 , 得 出 结 论 .

【 山 西 山 大 附 中 高 一 月 考 · 2014 】 19 ( 本 小 题 满 分

12

分 ) 已 知 函 数

? ? ? f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? A ? 0, ? ? 0, ? ? , x ? R ? 图象的一部分如图所示. 2 ? ? (1)求函数 f ( x) 的解析式; 2? ? (2)当 x ? ? ?6, ? ? 时,求函数 y ? f ( x) ? f ( x ? 2) 的最大值与最小值及相应的 x 的值. 3? ?
【知识点】由 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 的 部 分 图 象 确 定 其 解 析 式 ;正 函数的定义域和值域. 【答案解析】(1) f(x)=2sin? 弦

?π x+π ? (2) x=-2时,y=f(x)+f(x 4? 3 ?4 ?



2)取得最大值 6;x=-4 时,y=f(x)+f(x+2)取得最小值-2 2. 2π π 解析 :解 : (1)由图象知 A=2,T=8,∵T= =8,∴ω = . ω 4 π π? π π ? ? ?π 又图象过点(-1,0),∴2sin?- +φ ?=0.∵|φ |< ,∴φ = .∴f(x)=2sin? x+ ?.(6 分) 4? 2 4 ? 4 ? ?4 π π π π π π π π ? ? ? ? ? ? (2)y=f(x)+f(x+2)=2sin? x+ ?+2sin? x+ + ?=2 2sin? x+ ?=2 2cos x. 4? 2 4? 2? 4 ?4 ?4 ?4 2 3π π π ? ? ∵x∈?-6,- ?,∴- ≤ x≤- . 3? 2 4 6 ? π π 2 ∴当 x=- ,即 x=- 时,y=f(x)+f(x+2)取得最大值 6; 4 6 3 π 当 x=-π ,即 x=-4 时,y=f(x)+f(x+2)取得最小值-2 2.(12 分) 4 【思路点拨】(1)由 图 象 知 A=2 , T=8 , 从 而 可 求 得 ω , 继 而 可 求 得 φ ; (2)利 用 三 角 函 数 间 的 关 系 可 求 得 y=f( x )+f( x+2 )=2 2cos 得 x ? ? ?6, ? ? 时 y 的 最 大 值 与 最 小 值 及 相 应 的 值 . 3 π x.,利 用 余 弦 函 数 的 性 质 可 求 4

? ?

2? ?

【山西山大附中高一月考·2014】16.关于 f ( x) ? 3 sin( 2 x ?

?
4

) 有以下命题:

①若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 则 x1 ? x2 ? k? (k ? Z ) ; ② f ( x) 图象与 g ( x) ? 3 cos( 2 x ? 在区间 [ ?

?
4

) 图象相同; ③ f ( x)


7? 3? ? ,? ] 上是减函数;④ f ( x) 图象关于点 (? ,0) 对称。其中正确的命题是 8 8 8

【知识点】命 题 的 真 假 判 断 与 应 用 ;函 数 y=Asin( ω x+ φ )的 图 象 变 换 ;复 合 三 角 函 数 的 单 调
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性.

2x ? 【答案解析】②③④解析 :解 : 由 关 于 f ( x) ? 3 s i n(
① 若 f ( x 1 ) =f ( x 2 ) =0 , 则 x 1 -x 2 = ② ∵

?
4

) 知:

f ( x) ? 3 s i 2n x ?( ) = 3cos[ ? (2x ? ) ] ? 3cos(2x ? ),∴ f ( x ) 图 象 与 4 2 4 4

?

?

k? ( k∈ Z) , 故 ① 不 成 立 ; 2

?

?

g ( x ) ? 3 c o 2s x ?( ) 图 象 相 同 , 故 ② 成 立 ; 4 2x ? ③ ∵ f ( x) ? 3 s i n (

?

?
4

)的减区间是:

?
2

? 2k ? ? 2x ?

?
4

?

3? 5? ?? ? ? 2k? ,即 ? ? k? , ? k? ? , k ∈ 2 8 8 ? ?

7? 3? 7? 3? ,? ] ∴ f ( x ) 在 区 间 [ ? ,? ] 上 是 减 函 数 , 故 ③ 正 确 ; 8 8 8 8 ? k? ? ? 2x ? ) 的 对 称 点 是 ( ? , 0) (? , 0) ④ ∵ f ( x) ? 3 s i n ( , ∴ f( x) 图 象 关 于 点 对称,故④正 4 2 8 8
Z , 知 f ( x ) 在 区 间 [? 确. 故答案为:②③④.

2x ? 【思路点拨】由 关 于 f ( x) ? 3 s i n(

) 知: 4 k? ① 若 f ( x 1 ) =f ( x 2 ) =0 , 则 x 1 -x 2 = ( k∈ Z) 2 2x ? ② ∵ f ( x) ? 3 s i n(

?

?

g ( x) ? 3 cos ( 2x ? ) 图 象 相 同 . 4 2x ? ③ ∵ f ( x) ? 3 s i n(
是减函数. ④ f ( x) ? 3 sin( 2 x ?

?

4

) = 3cos[

?

2

? (2x ?

?

) ] ? 3cos(2x ? ), 知 f( x) 图 象 与 4 4

?

?

7? 3? 5? ?? ? ) 的 减 区 间 是 ? ? k? , ,? ] 上 ? k? ? , k ∈ Z ,知 f( x )在 区 间 [ ? 4 8 8 8 ?8 ? k? ? ? ? , 0) (? , 0) ,∴ f( x) 图 象 关 于 点 对称. 2 8 8

?
4

) 的对称点是 (

【山西山大附中高一月考· 2014】 8. 把函数 y ? sin 3x 的图象适当变化就可以得到 y ? 的图象,这个变化可以是( A.沿 x 轴方向向右平移

2 (sin 3x ? cos3x) 2

? 4 ? C.沿 x 轴方向向右平移 12

)

B.沿 x 轴方向向左平移

? 4 ? D.沿 x 轴方向向左平移 12
2 (sin 3 x ? c o sx 3 ?) 2 ( sin ? 3 x )= 4

【知识点】两 角 差 的 正 弦 公 式 ; 三 角 函 数 的 图 象 变 换 . 【答案解析】C 解析 :解 :

y?

?

( sin3 ?

?

, x ) 12

第 32 页(共 56 页)

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∴为得到 y ?

? 2 (sin 3 x ? c o sx 3可 ) 以 将 沿 x 轴方向向右平移 . 12 2

故 答 案 为 选 C. 【思路点拨】先 根 据 两 角 和 与 差 的 正 弦 公 式 进 行 化 简 为 与 y ? sin 3x 同 名 的 三 角 函 数 ,再 由 左 加 右减的平移原则进行平移.

【理·广东中山一中高三热身·2014】7.设 ? ? 0 ,函数 y ? sin(? x ? 后与原图象重合,则 ? 的最小值为 ( ) D.3

?
3

) 的图象向右平移

4? 个单位长度 3

2 A. 3

4 B. 3

3 C. 2

【知识点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【答案解析】C 解析 :解 : :∵函数 y ? sin(? x ? 个单位后与原图象重合,

?
3

) 的图象向右平移

4? 3

4? 2? 3 ? n? ,n ? z ? ? ? n ? ,n ? z 3 ? 2 3 又 ω>0,故其最小值是 .故选 C. 2
∴ 【思路点拨】函数 y ? sin(? x ?

?

3

) 的图象向右平移

4? 4? 个单位后与原图象重合可判断出 3 3

是周期的整数倍,由此求出 ω 的表达式,判断出它的最小值.

C6 二倍角公式
【理·宁夏银川一中高三三模·2014】9.设

?
2

?? ?? , sin ? ?

sin 2 ? ? sin 2? 4 ,则 的值为 5 cos 2 ? ? cos 2?
D. -20

A.8

B.10

C.-4

【知识点】二倍角公式;同角三角函数基本关系 3 4 4 ? 【答案解析】C 解析:因为 sin ? ? , ?? ?? ,所以 cos ? ? ? ,则 tan ? ? ? , 5 3 5 2

sin 2 ? ? sin 2? sin 2 ? ? 2 sin ? cos ? sin 2 ? ? 2 sin ? cos ? ? ? , cos 2 ? ? cos 2? cos 2 ? ? cos 2 ? ? sin 2 ? 2 cos 2 ? ? sin 2 ?

tan2 ? ? 2 tan? 上下同除以 cos2 ? ,原式 ? ? 2 ? tan2 ?
故选:C
第 33 页(共 56 页)

4 4 (? ) 2 ? 2 ? (? ) 3 3 ? ?4 , 4 2 2 ? (? ) 3
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世纪金榜 圆您梦想 www.jb1000.com 【 思 路 点 拨 】 根 据 题 意 , 由 同 角 三 角 函 数 的 关 系 , 可 得 tan? 的 值 , 把 原 式 化 简 成
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tan2 ? ? 2 tan? ,代入 tan? 的值计算即可。 2 ? tan2 ?

【理· 江西师大附中高三三模· 2014】 5. 已知 ?

为第二象限角, sin ? ? cos ? ?

3 , 则 cos 2? ? 3



) A.
5 3

B. ?

5 3

C.

5 5 D. ? 9 9

【知识点】平方关系;三角函数值的符号的判断;倍角公式. 【答案解析】B
sin ? ? cos ? ?
sin ? ? cos ? ?

解析 :解 : ? 为第二象限角,?sin ? ? 0,cos ? ? 0 ,又

? 3 ,? | sin ? |?| cos ? | ,则 ? ? ? ? ,有 ? ? 2? ? 2? ,? cos 2? <0, 2 3

2 3 5 平方得 sin 2? ? ? ,则 cos 2? = ? . 3 3 3

【思路点拨】先根据 ? 的象限,确定 ? ? 2? ? 2? ,然后利用平方关系解得 cos 2? 即 可.

【山西山大附中高一月考·2014】1.函数 f ( x) ? 2sin x cos x 的最小值是( ) ? 1 ? 2 2 1 A. B. C. D. 【知识点】二倍角的正弦公式;三角函数的值域. 【答案解析】A 解析 :解 :因 为 f ( x) ? 2sin x cos x ? sin2x, 又 ∵ x ∈ R ,所 以 ?1 ? sin2x ? 1 ,故答 案选 A. 【思路点拨】由 于 f ( x) ? 2 s i nx cos 而 x ∈ R 故 ?1 ? sin2x ? 1 所 以 y m i n = ?1 . x? sin2x, C5 2. sin 45 cos15 ? cos 45 sin15 的值为 ( A. ? ) C.

3 2

B. ?

1 2

1 2

D.

3 2
1 .故 2

【知识点】两 角 和 与 差 的 正 弦 函 数 . 【答案解析】C 解析 :解 :sin45 ° cos15 ° -cos45 ° sin15 ° =sin( 45 ° -15 °)=sin30 ° =

答 案 为 选 C. 【思路点拨】所 求 式 子 利 用 两 角 和 与 差 的 正 弦 函 数 公 式 变 形 后 ,再 利 用 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 计 算即可求出值.

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C7 三角函数的求值、化简与证明
【文·湖北武汉二中模拟(二) ·2014】9.若 ?ABC 为锐角三角形,则下列不等式中一定能成立的

是(

) A. log cos C

cos A cos A B. log cos C ?0 ?0 cos B sin B sin A sin A C. log sin C D. log sin C ?0 ?0 cos B sin B 【知识点】锐角的三角函数值的取值范围。 ? 【答案解析】B 解析 :解:把 A=B=C= 代入各式,只有B正确. 3 【思路点拨】特殊值检验法.

【文·江西师大附中高三三模·2014】16. (本小题满分 12 分)

? 已知函数 f ( x ) ? sin(2 x ? ) ? 2 cos 2 x ? 1 . 6

(1)求函数 f ( x) 的单调增区间; (2)在 ?ABC 中, a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 a ? 1, b ? c ? 2 ,
1 ,求 ?ABC 的面积. 2 【知识点】三 角 函 数 中 的 恒 等 变 换 应 用 ; 正 弦 函 数 的 图 象 . ? ? 1 3 【答案解析】 (1) 函数的单调增区间: [ k π? , k π + ]k ∈ Z . (2) ?S?ABC ? bc sin A ? 3 6 2 4 f ( A) ?

解析 :解 : 函 数
3 1 3 1 ? sin2 x ? cos 2 x ? cos 2 x = sin2 x ? cos 2 x f ( x ) ? sin(2 x ? ) ? 2 cos2 x ? 1= 6 2 2 2 2

? ? ? ? = sin(2 x ? ) 由 2 k π? < 2 x + < 2 k π+ , k ∈ Z 2 6 2 6 ? ? 可 得 k π? ? x ? k π+ , k ∈ Z . 3 6 ? ? ∴ 函 数 的 单 调 增 区 间 : [ k π? , k π+ ]k ∈ Z . 3 6 1 ? 1 ? (2) f ( x) ? ,? sin(2 A ? ) ? , 又0 ? A ? , 2 6 2 6
?

?
6

? 2A ?

?
6

?

13? ? 5? ? ,? 2 A ? ? , 故A ? ………………………………………………………………8 分 6 6 6 3

在 ? ABC 中, a ? 1, b ? c ? 2, A ?

?
3

, ?1 ? b2 ? c2 ? 2bccosA,即 1 ? 4 ? 3bc,?bc ? 1.

……………………………………………………………………..10 分
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1 3 ……………………………………………………12 分 ?S?ABC ? bc sin A ? 2 4

【思路点拨】( 1 )通 过 两 角 和 与 差 的 三 角 函 数 以 及 二 倍 角 公 式 化 简 函 数 为 一 个 角 的 一 个 三 角 函 数 的 形 式 , 利 用 正 弦 函 数 的 单 调 增 区 间 , 求 f( x) 的 单 调 递 增 区 间 ;

【文·宁夏银川一中高三三模·2014】17. (本小题满分 12 分)

设平面向量 m ? (cos 2 , 3 sin x) , n ? (2, 1) ,函数 f ( x) ? m ? n . (1)当 x ? [? , ] 时,求函数 f ( x) 的取值范围;
3 2

x 2

? ?

(2)当 f (? ) ?

13 2? ? ? ,且 ? ? ? ? 时,求 sin(2? ? ) 的值. 5 3 6 3

【知识点】三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的运算;正弦函数的定义域和值域 【答案解析】

当 x ? [? , ] 时, x ? ? [? ,
3 2 6 6

? ?

?

? 2?

1 ? ? ] ,则 ? ? sin( x ? ) ? 1 , 0 ? 2sin( x ? ) ? 1 ? 3 , 3 2 6 6

所以 f ( x) 的取值范围是 [0, 3] .

【思路点拨】 (Ⅰ)由向量数量积的坐标运算求得函数 f(x)并化简,然后结合 x 的范围求得 函数 f(x)的取值范围; (Ⅱ)由 f (? ) ?
sin(2? ?

? ? 13 及 ? 的范围,可解得 sin(? ? ) 和 cos( ? ? ) 的值,再由倍角公式即可求得 5 6 6

?
3

)。

【理·浙江绍兴一中高三模拟·2014】17.已知函数 y ? 1 ?

对于任意的 a,? ,函数 y 的最大值为 【知识点】三角函数,最值
第 36 页(共 56 页)

2a?sin ? ? cos ? ? ?a,? ? R, a ? 0? .那么 a 2 ? 2a cos ? ? 2



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【答案解析】 2 ? 3
a 2 ? 2a sin ? ? 2 2a?sin ? ? cos ? ? (a, ? ? R, a ? 0) 函数 y ? 1 ? 2 可化为: y ? 2 a ? 2a cos ? ? 2 a ? 2a cos ? ? 2 a 2 ? 2a sin ? ? 2 2 设t ? 2 ,则 2at cos ? ? 2a sin ? ? (t ? 1)(a ? 2) ? 0, 所以直线 a ? 2a cos ? ? 2
2atx ? 2ay ? (t ? 1)(a ? 2) ? 0, 与 圆 x ? y ? 1 有 公 共 点 , 从 而 有
2 2 2

t ? 1 (a 2 ? 2) 2 a t2 ?1

?1 得

t ?1 t ?1
2

?

2a a ?2
2

?

2a 2 2a

?

1 2

于是

t ?1 t ?1
2

?

1 2

,得 t 2 ? 4t ? 1 ? 0 得 2 ? 3 ? t ? 2 ? 3

【思路点拨】注意直线与圆的位置关系的应用。

【理·湖北孝感高中高三 5 月摸底·2014】15.如图, A B 和 B C 分别与圆 O 相切于点 D , C , A C 经过

B D 4

A

O

2

C

圆心 O ,且 BC ? 2OC ? 4 , 则AD ?

.

【知识点】圆的性质;三角函数. 8 【答案解析】 解析:解:由题意可知 BD 与 BC 相等, 3 BD ? BC ? 4
1 5 1 2 5 1 1 4 OB ? OC 2 ? BC 2 ? 2 5 ? sin ?B ? , cos ?B ? ? sin ?B ? 2sin ?B ? cos ?B ? 2 5 2 5 2 2 5

3 BC 20 20 8 AC ? BC ? sin ?A ? cos ?B ? , 又 AB ? ? ? AD ? AB ? BD ? ?4? 5 sin ?A 3 3 3 【思路点拨】可在直角三角形内求出角 B,然后利用三角函数值求出 sin ?A ,最后可计算 AB 的长,求出 AD 的值.

【四川成都七中高二零诊·2014】16. 已知函数 f ( x) ?

sin 2 x(sin x ? cos x) . cos x

(Ⅰ)求函数 f (x)的定义域及最大值; (Ⅱ)求使 f ( x) ≥0 成立的 x 的取值集合. 【知识点】三角函数的化简求值;二倍角的正弦;二倍角的余弦. 【答案解析】 (Ⅰ)定义域为{x|x∈R,且 x≠kπ,k∈Z}.最大值为 1 ? 2 (Ⅱ)x 的取值集合
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世纪金榜 圆您梦想 p π 为{x| kπ ? ≤x≤ kπ ? π 且 x ? k p ,k∈Z}. 4 2 p 解析 :解 : (Ⅰ) cosx≠0 知 x ? k p ,k∈Z, 2
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即函数 f (x)的定义域为{x|x∈R,且 x≠kπ,k∈Z}.?????????3 分 又∵ f ( x) ?
2 sin x cos x(sin x ? cos x) 1 ? cos 2 x ? 2 sin 2 x ? 2 sin x cos x ? 2 ? ? sin 2 x cos x 2

? 1 ? (sin 2 x ? cos 2 x)
? 1 ? 2 sin(2 x ?

?
4

),

∴ f ( x) max ? 1 ? 2 . ???????????????????????8 分
π 4 3π 9π π 解得 2kπ ? ≤ 2 x ? ≤ 2kπ ? ,k∈Z, 4 4 4 π 整理得 kπ ? ≤x≤ kπ ? π ,k∈Z. 4

(Ⅱ)由题意得 1 ? 2 sin(2 x ? ) ? 0 ,即 sin(2 x ? ) ?

π 4

2 , 2

结合 x≠kπ,k∈Z 知满足 f(x)≥0 的 x 的取值集合为 p π {x| kπ ? ≤x≤ kπ ? π 且 x ? k p ,k∈Z}.???????????12 分 4 2 【思路点拨】 (1)根据函数 f(x)的解析式可得 cosx≠0,求得 x 的范围,从而求得函数 f (x) 的定义域.再利用三角函数的恒等变换化简函数 f(x)的解析式为 1 ? 2 sin(2 x ? ) ,从而求 得函数的最大值. (2)由题意得 1 ? 2 sin(2 x ? ) ? 0 ,即 sin(2 x ? ) ? 求得满足 f(x)≥0 的 x 的取值集合.
π 4
π 4 2 ,解得 x 的范围,再结合函数的定义域, 2

π 4

【理·湖北武汉二中模拟(二) ·2014】3. 定义行列式运算:

a1 a3

a2 3 sin x =a1a4 ? a2 a3 ,若将函数 f ( x) ? a4 1 cos x

的图象向左平移 m(m ? 0) 个单位长度后,所得图象对应的函数为偶函数,则 m 的最小值是( ? ? 5? A. B. C. 8 3 6 【知识点】三角函数的化一公式;图象的平移;偶函数. 【答案解析】 C 解析 :解: f (x ) ? 3 cos x ? sin x ? 2 cos( x ?

) D.
2? 3

?
6

) ,其图象向左平移 m(m ? 0) 个单位

长度后解析式为 f ( x ) ? 2 cos( x ? m ?

?
6

) ,其为偶函数,则 m ?

?
6

? k ? ,当

k ? 0 时, m min ?

5? . 6

【思路点拨】由行列式的定义得到函数f(x)的解析式,再平移后其新的函数解析式为偶函数得到关于m的式 子,求得最小值.
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【理·广东珠海高三学业检测·2014】16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2 x cos ? ? cos 2 x sin ? , x ? R,0 ? ? ? ? , f ( ) ? ?

?

4

3 2

(1)求 f ( x) 的表达式; (2)若 f (

?

? 5 ? ? ) ? , ? ? ( , ? ) ,求 cos? 的值。 2 3 13 2
? ? 5? 6
5 ? 12 3 ? ? (2) 26 ?

【知识点】两角和的正弦公式;两角差的余弦公式. 【答案解析】 (1) f ? x ? ? sin ? 2 x ?

解析 :解 : (1) f ?

3 ? ? 3 3 ?? ? ,所以 cos ? ? ? 。 。 。 (3 分) , 可得 sin cos ? ? cos sin ? ? ? ??? 2 2 2 2 2 ?4?
5? 。 。 。 。 (5 分) 6

0 ? ? ? ? .? ? ?

? f ? x ? ? sin 2 x cos

5? 5? 5? ? ? cos 2 x sin ? sin ? 2 x ? 6 6 6 ?

? 。 。 。 (6 分) ?。 ?

(2)由 f ?

? ? ? ? ? 5? ? 5 ?? 5 ?? ? ? 5 ? ? ? ? ,可得 sin ?2 ? ? ? ? ? ? , 化简得 sin ? ? ? ? ? 。 6 ? 13 ? 2 3 ? 13 ? ? ? 2 3 ? 6 ? 13

? ? 2? 7? ? ?? 12 ?? ? ? 。 。 。 (10 分) ? ? ? , ? ? ,?? ? ? ? , ? ,? cos ? ? ? ? ? ? 。
?2 ? 6 ? 3 6 ? ? 6? 13

?? ?? ?? ?? ? ? ? ? 5 ? 12 3 ? ? 。 。 。 (12 分) ? cos ? ? cos ?? ? ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? cos ? sin ? ? ? ? sin = 26 6 ? 6? 6? 6 6? 6 ? ? ??

【思路点拨】 (1)先由 f ?

3 ?? ? , 可得 ? 进而得到 f ( x) 的表达式; ??? 2 ?4?

(2)由 f ?

? ? ? ? ? 5? ? 5 ?? 5 ?? ? ? 5 ? ? ? ? ,可得 sin ?2 ? ? ? ? ? ? , 化简得 sin ? ? ? ? ? . 6 ? 13 ? 2 3 ? 13 ? ? ? 2 3 ? 6 ? 13

再求出 ? 及 ? ?

?
6

的范围,最后变形为 cos ? ? cos ?? ? ?

?? ??

?? ??

,再代入数值即可. ?? 6 ? 6? ?

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C8 解三角形

【文·江西省重点中学盟校高三二联·2014】16.(本小题满分 12 分)

3? ? x) sin(? ? x), x ? R 2 (Ⅰ)最小正周期及对称轴方程;

已知 f ? x ? ? 3 cos 2 x ? 2sin(

(Ⅱ)已知锐角 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 f ? A? ? ? 3 , a ? 3 ,求 BC 边上的 高的最大值. 【知识点】辅助角公式;三角函数的最小正周期和对称轴方程;余弦定理;三角形面积公式.C7 C8 【答案解析】 (Ⅰ) f ? x ?的最小正周期为? ,对称轴方程 x ? 解 析 : 解 : ( Ⅰ
? k? ?
k? 5? 3 3 ? , k ? Z (Ⅱ) 2 12 2



f

? ? ? x3

c? o

x ?s ?

? 2 ? ?

? x

??

?s 3?

i

nx

? f ? x ?的最小正周期为? , 令2 x ?

?
3

?
2

, 得x ?

k? 5? ? ,k ?Z 2 12

?? 3 ? ? ? ?? (Ⅱ)由 f ? A? ? ? 3 得 sin ? 2 A ? ? ? , 又A ? ? 0, ?, ? A= 3? 2 3 ? ? 2?
由余弦定理得 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A得9=b2 ? c2 ? bc ? bc
即bc ? (当且仅当 9 b=c时取等号)

1 1 3 9 3 设 BC 边上的高为 h ,由三角形等面积法知 ah ? bc sin A, 得3h ? bc ? 2 2 2 2 ?h ? 3 3 3 3 ,即 h 的最大值为 . 2 2

?? ? 【思路点拨】 (Ⅰ)利用辅助角公式把函数化成 f ? x ? ? ?2sin ? 2 x ? ? ,即可得到最小正周期和 3? ?
对称轴方程; (Ⅱ)由 f ? A? ? ? 3 求得 A= 公式得到 BC 边上的高的最大值.

?
3

,利用余弦定理和不等式得到 bc 的范围,再由面积

【理·宁夏银川一中高三三模·2014】17.(本小题满分 12 分)

已知向量 a ? (2 cos( x ? ? ),?2 sin( x ? ? )), b ? (cos( x ? ? ),? sin( x ? ? )) , f ( x) ? a ? b ? 2 .
6 4 6 4
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世纪金榜 (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x ) 在区间 [?

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, ] 上的最值. 12 2

? ?

【知识点】向量的数量积;三角恒等变换;三角函数的性质 【答案解析】

∴函数 f(x)的最小正周期是 T ? (2)∵x∈ [?

2? ?? . 2

, ], 12 2

? ?

∴?

?
3

? 2x ?

?
6

?

5? , 6

【思路点拨】 (1) 根据向量的数量积运算求出 f ( x) 的解析式并化简成 A sin(?x ? ? ) ? b 的形式, 利用 T ?
2?

?

计算周期即可;

(2)由 x 的范围得出 2 x ?

?
6

的范围,进而解出 f ( x) 的最值。

【文·江西师大附中高三三模·2014】14.已知点 O 是 ?ABC 的外接圆圆心,且 AB ? 3, AC ? 4 .若

存在非零实数 ....x, y ,使得
AO ? x AB ? y AC ,且 x ? 2 y ? 1 ,则 cos ?BAC ?

.

【知识点】向 量 的 运 算 法 则 、 三 角 形 的 外 心 定 理 、 直 角 三 角 形 的 边 角 关 系 ,

【答案解析】

2 解析 :解 : 如 图 所 示 , 3

∵ AO ? x AB ? y AC 且 x+2y=1 . ∴ ? AO=?1 ? 2 y ? AB ? y AC, ∴
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? AO ? AB ? y ( AC ? 2 AB ), ? BO ? y ( BC ? AB ) ? y ( BC ? BA), ? BO=2 yBD, 取 AC 的 中 点 D , 则 BA ? BC=2 BD.

又 点 O 是 △ ABC 的 外 心 , ∴ BD ⊥ AC . AD 2 ? . 在 Rt △ BAD 中 , cos ∠ BAC = AB 3 【思路点拨】如 图 所 示 , 由 于 如 图 所 示 , ∵ AO ? x AB ? y AC 且 x+2y=1 . ? AO=?1 ? 2 y ? AB ? y AC, ,利用向量的运算法则可得
BO ? y ( BC ? AB) ? y ( BC ? BA),

? BO=2 yBD, 取 AC 的 中 点 D , 则 BA ? BC=2 BD.

再 利 用 点 O 是 △ ABC 的 外 心 , 可 得 BD ⊥ AC . 即 可 得 出 .

14.【 文 · 宁 夏 银 川 一 中 高 三 三 模 · 2014 】 在 Rt△ABC 中 , C ?
| 2 AC ? AB |? ________.

?
2

, B?

?
6

, CA ? 1 , 则

【知识点】解三角形;向量的模 【答案解析】2 解析:由已知可得: AB ?

1 sin

?
6

? 2 , ?A ?

?
3

,则

| 2 AC ? AB |?

(2 AC ? AB) 2 ? 4 AC ? 4 AC ? AB ? AB ? 4 ? 4 ?1? 2 ? cos ? 4 ? 2 , 6

2

2

?

故答案为:2 【思路点拨】由已知可计算出 AB 及 ?A 的值,利用向量的模长公式计算所求向量的模即可。

【辽宁三校高一期末联考·2014】15. 在 △ ABC 中 ,已 知 ∠ BAC=60 °,∠ ABC=45 °,BC= 3 ,

则 AC= 【知识点】正 弦 定 理 在 解 三 角 形 中 的 应 用 . 【答案解析】 2 解析 :解 : ∵ ∠ BAC=60 °, ∠ ABC=45 °, BC= 3 由正弦定理可得, 故答案为: 2
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AC BC BCsinB ? 3 s i n?4 5 = ? ? , 可 得 AC ? sinB sinA sinA sin6 ?0

2,

世纪金榜 圆您梦想 www.jb1000.com 【思路点拨】结 合 已 知 两 角 一 对 边 , 要 求 B 的 对 边 , 可 利 用 正 弦 定 理 进 行 求 解 即 可 .
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?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 【山西山大附中高一月考· 2014】 20. (本小题满分 12 分) 向量

m ? (?1,1) , n ? (cos B cos C ,sin B sin C ?
(1)求 A 的大小;

3 ) ,且 m ? n . 2

(2)现在给出下列三个条件:① a ? 1 ;② 2c ? ( 3 ? 1)b ? 0 ;③ B ? 45 ,试从中再选择两个条件以确 定 ?ABC ,求出所确定的 ?ABC 的面积. 【知识点】解三角形;数量积判断两个平面向量的垂直关系;两角和与差的余弦函数;余弦定理. 【答案解析】(1) A ? 30? (2)选择①②, ?ABC 的面积 ③不能确定三角形.

3 ?1 3 ?1 ;选择①③, ?ABC 的面积 ;选择② 4 4

【山西山大附中高一月考·2014】7.已知 ?ABC 中, a, b, c 分别为 A, B, C 的对边, a cos A ? b cos B , 则 ?ABC 为( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 【知识点】三 角 形 的 形 状 判 断 . 【答案解析】D 解析 :解 : 根 据 正 弦 定 理 , ∵ a cos A ? b cos B , ∴ sinAcosA=sinBcosB , ∴ sin2A=sin2B , ∴ A=B , 或 2A+2B=180 °即 A+B=90 °, 所 以 △ ABC 为 等 腰 或 直 角 三 角 形 . 故 答 案 为 选 D. 【思路点拨】根 据 正 弦 定 理 把 等 式 a cos A ? b cos B 的 边 换 成 角 的 正 弦 , 再 利 用 倍 角 公 式 化 简 整 理 得 sin2A=sin2B , 进 而 推 断 A=B , 或 A+B=90 °可 得 结 论 . 【典型总结】此 题 考 查 了 三 角 形 形 状 的 判 断 , 其 中 涉 及 正 弦 定 理 , 等 腰 、 直 角 三 角 形 的 判 定 , 以及二倍角的正弦函数公式,熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键.注意三角方程的解 法.

【文·浙江绍兴一中高三考前模拟·2014】18. (本题满分 14 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的

对边分别为 a,b,c,且 b sin A = 3 a cos B 。 (1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,求△ABC 的面积 S 的最大值。 【知识点】解三角形,正余弦定理,面积公式,不等式 【答案解析】 (Ⅰ)解: ∵ b sin A = 3 a cos B ∴

sin B sin A = 3 sin A cos B
sin A ? 0, B ? ? 0, ? ? ,
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????2 分

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tan B ? 3
?B ?

?

3 (Ⅱ)由余弦定理

b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 9 ? a 2 ? c 2 ? ac ? 2ac ? ac ? ac ? ac ? 9 ?S ? 1 3 9 3 ac sin B ? ac ? 2 4 4

????14 分 【思路点拨】三角函数式的化简要到位,正余弦定理的应用要灵活,求面积最值借助于重要 不等式。

【文·浙江绍兴一中高三考前模拟·2014】17.已知等边三角形 ABC 中, | AB | =4,三角形 ABC

所在平面内的点 P 满足 PA ? PC ? ?3 ,则 BP ? BC 的取值范围是 【知识点】解三角形,平面向量,数量积 【答案解析】 ?8,16? 设 A ? ?2, 0 ? , C ? 2, 0 ? , B 0, 2 3 , P ? x, y ? 点 P 满足 PA ? PC ? ?3 推得 x2 ? y 2 ? 1,设 P ? cos? ,sin ? ? uur uuu r BP ? cos ? ,sin ? ? 2 3 , BC ? 2, ?2 3



?

?

?

?

?

?

uur uuu r ?? ? ? BPgBC ? 12 ? 4sin ? ? ? ? ? ?8,16? 6? ?

【思路点拨】建系设点解析化是经验之谈。

【湖南衡阳八中高一五科联赛·2014】19. (本小题满分 9 分) 在火车站 A 北偏东 30 方向的 C 处有一电视塔,火车站正东方向的 B 处有一小汽车,测得 BC 距离 31km, 该小汽车从 B 处以 60 公里每小时的速度前往火车站,20 分钟后到达 D 处,测得离电视塔 21km,问小汽车 到火车站还需要多长时间

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C

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A

D

B

【知识点】 解 三角形的实际应用. 【答案解析】15(分钟) 解析 :解 : 由条件 ?A = 60 ,设 ?ACD ? ? , ?CDB ? ? , 在 ?BCD 中,由余弦定理得 cos ? ?

CD 2 ? BD 2 ? BC 2 1 ?? 2CD ? BD 7

? sin ? ? 1 ? cos 2 ? ?

4 3 . 7
5 3 . 在 ?ADC 中 , 由 正 弦 定 理 , 得 14

? sin ? ? sin(? ? 60 ) ? sin ? cos60 ? cos ? sin 60 =
AD ? CD ? sin ? 15 ? 15 ( km )? ? 60 ? 15 (分钟) sin A 60

【思路点拨】先画出图形,在△BCD 中,求出 sinβ,利用 sinα=sin(β﹣60°) ,求出 sinα,在△ADC 中,由正 弦定理,得 AD,即可求出小汽车到火车站的时间. 【典型总结】本题考查利用数学知识解决实际问题,考查正弦、余弦定理的运用,考查学生的计算能力, 属于中档题.

C9 单元综合
【 文 · 湖 北 武 汉 二 中 模 拟 ( 二 ) · 2014 】 18.

(12

分 )

已 知 函



?π ? ?π π? f ( x) ? 2sin 2 ? ? x ? ? 3(sin 2 x ? cos 2 x) , x ? ? , ? . ?4 ? ?4 2?

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? 5π ? (1)求 f ? ? 的值; ? 12 ?

(2)求 f ( x) 的单调区间; (3)若不等式 f ( x) ? m ? 2 恒成立,求实数 m 的取值范围. 【知识点】降幂公式;二倍角的余弦公式;两角差的正弦公式;三角函数的单调区间;三角 函数求值;三角函数的值域;三角不等式恒成立问题. 【答案解析】(1)3
? 5? ? ? .(3) , ? ? 12 2 ? ? ? ? 5? ? (2) f ( x) 的单调递增区间为 ? , ? ,同理 f ( x) 的单调递减区间为 ? 4 12 ?

1? m ? 4.

?π ? 解析 :解:因为 f ( x) ? 2sin 2 ? ? x ? ? 3(sin 2 x ? cos2 x ) 所以化简得: ?4 ?

? ? ?π π? f ( x)=1- cos(2 x ? ) ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) ? 1 , x ? ? , ? . 2 3 ?4 2?
5? ? ? ? 5π ? (1) f ? ? = 2sin( ? ) ? 1 ? 2sin ? 1 ? 3 . 6 3 2 ? 12 ?

(2)当 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

时,即 k? ?

?
12

? x ? k? ?

5? ?π π? ,又因为 x ? ? , ? , 12 ?4 2?

? ? 5? ? ? 5? ? ? 所以 f ( x) 的单调递增区间为 ? , ? ,同理 f ( x) 的单调递减区间为 ? , ? . ? 4 12 ? ? 12 2 ?

(3)若不等式 f ( x) ? m ? 2 恒成立,即 m ? f ( x) ? 2 或 m ? f ( x) ? 2 恒成立,也就是

? ? ?π π? m ? 2sin(2 x ? ) ? 1 或 m ? 2sin(2 x ? ) ? 3 恒 成 立 , 又 因 为 x ? ? , ? , 所 以 3 3 ?4 2?
2 s i xn? ( 2 ?? 3

?

) m 1? , 2sin(2 2 ? ,当

? ? m ? 1 ;当 m ? 2sin(2 x ? ) ? 3 时,只需满足m小于 2sin(2 x ? ) ? 3 的最小值4,即 m ? 4 ,综上 3 3 1 ? m ? 4 所述:实数 m 的取值范围是 . ? 【思路点拨】先把原函数化简为 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 1 , (1)代入数值进行计算即可, (2)借 3 助于正弦函数的基本单调区间,再结合其定义域即可求得单调区间; (3)把原不等式转化为 ? ? ? m ? 2sin(2 x ? ) ? 1 或 m ? 2sin(2 x ? ) ? 3 恒成立的问题,再去求 2 sin(2x ? )? 1的最大值和 3 3 3
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x ?) 1? 时,只需满足m大于 2sin(2 x ? ) ?1 的最大值1,即 3 3

?

?

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2sin(2 x ? ) ? 3 的最小值即可. 3

?

0?? ? 【文· 湖北武汉二中模拟 (二) · 2014】 14.已知函数 f ( x) ? A cos (?x ? ? ) ? 1 ( A ? 0, ? ? 0,
2

? ) 2

的最大值为 3, f ( x) 的图像与 y 轴的交点坐标为 (0, 2) , 其相邻两条对称轴间的距离为 2 , 则
f (1) ? f (2) ? ? ? f ?2014 ? =___________.

【知识点】三角函数的图像;周期性;二倍角公式;最值问题. 【答案解析】 4027 解析: 解: 根据题意最大值为 3 所以 A=2, 又因为图像过 ? 0, 2 ? , 可得 ? ? 相邻对称轴间的距离为 2 所以函数的周期为 4,依据题意可知函数可化为

?
4



?? ?? ? ? f ? x ? ? A cos2 ?? x ? ? ? ? 1 ? 2cos 2 ? ? x ? ? ? 1 ? cos ? 2? x ? ? ? 2 ? ? sin ? 2? x ? ? 2 因为周 4? 2? ? ?
期为 4,所以 ? ?
?? ? f ? x ? ? ? sin ? ?2

?
4



? x ? ? 2 ? f ?1? ? ?1? 2, f ? 2? ? 0 ? 2, f ?3? ? 1 ? 2, f ? 4? ? 0 ? 2 根据周期为 4 ?

可求得? f ?1? ? f ? 2? ? f ?3? ? f ? 4?

f ? 2014? ? 4027

【思路点拨】根据三角函数的图像与性质可求出函数的解析式,再根据函数的周期可得值.

【文·江西临川二中高三一模·2014】20. (本小题满分 13 分)

在椭圆中,称过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆所截得的弦为椭圆的“通径”.已知椭圆 x2 y 2 1 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,其离心率为 ,通径长为 3. a b 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)如图所示,过点 F1 的直线与椭圆交于 A 、 B 两点, I1 、 I 2 分别为 ?F1 BF2 、?F1 AF2 的 内心,延长 BF2 与椭圆交于点 M ,求四边形 F1 I 2 F2 I1 的面积与 ?AF2 B 的面积的比值; (3)在 x 轴上是否存在定点 P ,使得 PM ? PB 为定值?若存在,求出点 P 的坐标;若不 存在,请说明理由.

y B F1 I1 F2
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A

I2

x

M

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【知识点】椭圆的焦点、离心率的意义 ,三角形内心的性质,三角形的面积公式。直线与圆 锥曲线的位置关系,恒成立问题。

x2 y 2 1 135 ? 11 ? 【答案解析】(1) ? . ? 1 (2) (3)存在点 P ? , 0 ? ,使得 PM ? PB 的定值为 ? 3 64 4 3 ?8 ? b2 c 1 解析 : 解: (1)由题意可知: e ? ? ,通径为 2 ? 3 , a a 2
解得: a ? 2 , b ? 3 故椭圆 C 的方程为:

x2 y 2 ? ?1 4 3

(3 分)

(2)由于 I1 、 I 2 分别为 ?F1 BF2 、 ?F1 AF2 的内心,根据内心的性质和等面积法可知: 点 ?F1 BF2 内切圆的半径 r1 ?

S ?F1BF2 1 ( F1 B ? F1 F2 ? F2 B ) 2

?

S ?F1BF2 a?c



同理可得:点 ?F1 AF2 内切圆的半径 r2 ?

S ?F1 AF2 1 ( F1 B ? F1 F2 ? F2 B ) 2

?

S?F1 AF2 a?c

所以

S S

F1I 2 F2 I1 AF2 B

?

S S

F1I1F2 F1BF2

?S ?S

F1I 2 F2 F1 AF2

1 ? r1 ? r1 ? ? 2c c 1 2 ? ? ? S F1BF2 ? S F1 AF2 a ? c 3

(3)若存在 P,使得 PM ? PB 为定值,设点 P ? x0 ,0? ,若直线 BM 的斜率不存在, lBM 的方程为:
9 3? 2 ? 3? ? ,若直线 BM 的斜率存在, lBM 的方程为: x ? 1, B ?1, ? , M ?1, ? ? ,则 PM ?PB ? ? x0 ? 1? ? , 4 2? ? 2? ?

? x2 y 2 ?1 ? ? 得: ? 4k 2 ? 3? x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 根 y ? k ? x ?1? ,设点 B ? x1, y1 ? , M ? x2 , y2 ? 联立 ? 4 3 ? y ? k ? x ? 1? ?
8k 2 4k 2 ? 12 据韦达定理可得: x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? , 4k ? 3 4k 2 ? 3
由于 PM ? ( x2 ? x0 , y2 ) , PB ? ( x1 ? x0 , y1 )
2 2 ? y1 y2 ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? ( x0 ? k 2 )( x1 ? x2 ) ? k 2 ? x0 则 PM ? PB ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) x0 ? x0

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整理可得:

2 2 (4 x0 ? 8 x0 ? 5)k 2 ? 3 x0 ? 12 ? ? ( ? 为常数) 2 4k ? 3

(10 分)

2 2 则 (4x0 ? 8x0 ? 5 ? 4?)k 2 ? 3x0 ?12 ? 3? ? 0 对 ?k ? R 恒成立

11 ? x0 ? 2 ? ?4 x0 ? 8x0 ? 5 ? 4? ? 0 ? 8 故 ? 解得: ? 经 验 证 直 线 BM 的 斜 率 不 存 在 时 , 2 135 3 x ? 12 ? 3 ? ? 0 0 ?? ? ? ? ? 64 ?
PM ? PB ? ? x0 ? 1? ?
2

9 135 135 ? 11 ? =? ,因此存在点 P ? , 0 ? ,使得 PM ? PB 的定值为 ? . 64 64 4 ?8 ?

【思路点拨】(1)根据通径及离心率的意义求得 a、b、c 即可。 (2)根据内心的性质和等面 积法可求的结论。 (3)若存在 P,设点 P ? x0 ,0? , 当直线 BM 的斜率存在时,其方程设为: 设点 B ? x1, y1 ? , M ? x2 , y2 ? ,则 ,

y ? k ? x ?1?

代入椭圆方程得: ?

4k 2 ? 3? x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0

8k 2 4k 2 ? 12 , x1 x2 ? ,求得 x1 ? x2 ? 2 4k ? 3 4k 2 ? 3
PM ?PB ?
2 (4 x0 2 ? 8 x0 ? 5)k 2 3x0 ? 12 2 2 = ? ( ? 为常数)即 (4x0 ? 8x0 ? 5 ? 4?)k 2 ? 3x0 ?12 ? 3? ? 0 , 2 4k ? 3

对任意实数 k 都成立
11 ? x0 ? ? ?4 x ? 8x0 ? 5 ? 4? ? 0 ? 8 故? ? 2 求得 ?? ? ? 135 在检验直线 BM 斜率不存在的情况即可。 ? 3x0 ? 12 ? 3? ? 0 ? 64 , ?
2 0

【文·江西临川二中高三一模·2014】 (本小题满分 12 )

已知向量 a ? (2 cos x, 2 cos x ? 1), b ? ( 3 sin x, 2 cos x ? 1) ,函数 f ( x) ? a ? b , x ? R . ⑴求函数 f ( x) 的最小正周期和单调递减区间; ⑵将函数 y ? f ( x) 的图像上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的 像再向左平移
1 ,把所得到的图 2

? ? 单位,得到函数 y ? g ( x) 的图像,求函数 y ? g ( x) 在区间 [0, ] 上的最大值. 6 8 【知识点】向量的数量积,三角函数的运算,三角函数的周期,三角函数单调区间求法, 平移变换、伸缩变换,三角函数在确定区间上的最大值。

? 2? ? ? 【答案解析】 (1) ? , ? k? ? , k? ? , k ? Z (2)1. 6 3 ? ? ?
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解析 :解: f ? x ? ? a ? b ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ?1

?? ? = 3 sin 2 x ? cos 2 x = 2sin ? 2 x ? ? 6? ?
函数 f ? x ? 的最小正周期为T= ? 。 由 2 k? ? 2 x ? 分
5? ? (2)根据条件得 g ? x ? ? 2sin ? 4 x ? 6 ?

3分 4分 6

?
6

? 2k? ?

3? ? 2? ? ? , k ? Z 得函数 f ? x ? 的单调减区间为 ? k? ? , k? ? ,k ?Z , 2 6 3 ? ? ?

? ?, ?

9分

5? ? 5? 4? ? ? ?? 当 x ? ?0, ? , 时 , 4 x ? ,所以当x=0时 g ? x ?man ? 1 ? , 6 ? ? 6 3 ? ? ? 6?

12分

?? ? 【思路点拨】(1)利用向量的数量积,求得 f ? x ? = 2sin ? 2 x ? ? ,再求周期和单调减区间。 6? ?
5? ? ? (2)利用平移变换、伸缩变换,求得 g ? x ? ? 2sin ? 4 x ? ? 6 ? ?
【文·山东实验中学高三三模·2014】16. (本小题满分 12 分)△ABC 中,内角 A、B.C 所对

边分别为 a、 .b.c,己知 A= (1)求 a 的长及 B 的大小:

? , c ? 3 ,b=1。, 6

(2)若 0<x<B,求函数 f ( x ? 2sin x cos x ? 2 2 cos 2 x ? 3 的值域. 【知识点】余弦定理化简求值,二倍角的正弦、余弦函数公式及两角和的正弦函数公式. ? 【答案解析】(1) a ? 1, B ? (2) 3, 2 ? ? 6

?

解析 :解:(1)由余弦定理得: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 4 ? 2 3 cos
? a ?1
?B ? A ?

?

6

?1

-----2 分

?
6

------------4 分 --------6 分 -----7 分

(2) f ? x ? ? 2sin x cos x ? 2 3 cos2 x ? 3 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x

?? ? = 2sin ? 2 x ? ? 3? ?
由 (1)得 0 ? x ?
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------------9 分

?
6

?

?
3

? 2x ?

?
3

?

2? 3 ?? ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? 1 3 2 3? ?

--------11 分
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? 函数的值域为

?

3, 2 ? ?

----------12 分

【思路点拨】(1)由 b,c 及 cosA 的值,利用余弦定理即可求出 a 的值,得到 a 与 b 相等, 根据等边对等角得到 A 与 B 相等,进而得到 B 的度数; (2)由(1)求出的 B 的度数,得到 x 的范围,把所求函数解析式的第 1 项利用二倍角的正 弦函数公式化简,第 2,3 项提取 3 后,利用二倍角的余弦函数公式化简,再利用两角和的 正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简为一个角的正弦函数,由 x 的范围,得出这个角的 范围,根据角度的范围求出正弦函数的值域即可得到 f(x)的值域.

【文·四川成都七中高二零诊·2014】16. 已知函数 f ( x) ?

sin 2 x(sin x ? cos x) . cos x

(Ⅰ)求函数 f (x)的定义域及最大值; (Ⅱ)求使 f ( x) ≥0 成立的 x 的取值集合. 【知识点】三角函数的化简求值;二倍角的正弦;二倍角的余弦. 【答案解析】 (Ⅰ)定义域为{x|x∈R,且 x≠kπ,k∈Z}.最大值为 1 ? 2 (Ⅱ)x 的取值集合 p π 为{x| kπ ? ≤x≤ kπ ? π 且 x ? k p ,k∈Z}. 4 2 p 解析 :解 : (Ⅰ) cosx≠0 知 x ? k p ,k∈Z, 2 即函数 f (x)的定义域为{x|x∈R,且 x≠kπ,k∈Z}.?????????3 分 又∵ f ( x) ?
2 sin x cos x(sin x ? cos x) 1 ? cos 2 x ? 2 sin 2 x ? 2 sin x cos x ? 2 ? ? sin 2 x cos x 2

? 1 ? (sin 2 x ? cos 2 x)
? 1 ? 2 sin(2 x ?

?
4

),

∴ f ( x) max ? 1 ? 2 . ???????????????????????8 分
π 4 3π 9π π 解得 2kπ ? ≤ 2 x ? ≤ 2kπ ? ,k∈Z, 4 4 4 π 整理得 kπ ? ≤x≤ kπ ? π ,k∈Z. 4

(Ⅱ)由题意得 1 ? 2 sin(2 x ? ) ? 0 ,即 sin(2 x ? ) ?

π 4

2 , 2

结合 x≠kπ,k∈Z 知满足 f(x)≥0 的 x 的取值集合为 p π {x| kπ ? ≤x≤ kπ ? π 且 x ? k p ,k∈Z}.???????????12 分 4 2 【思路点拨】 (1)根据函数 f(x)的解析式可得 cosx≠0,求得 x 的范围,从而求得函数 f (x) 的定义域.再利用三角函数的恒等变换化简函数 f(x)的解析式为 1 ? 2 sin(2 x ? ) ,从而求 得函数的最大值. (2)由题意得 1 ? 2 sin(2 x ? ) ? 0 ,即 sin(2 x ? ) ?
第 51 页(共 56 页)

π 4

π 4

π 4

2 ,解得 x 的范围,再结合函数的定义域, 2
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世纪金榜 求得满足 f(x)≥0 的 x 的取值集合.
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【理·湖南雅礼中学模拟·2014】16、设直线 l : y ? g ( x),曲线S : y ? F ( x) . 若直线 l 与曲线 S 同时

满足下列两个条件: ①直线 l 与曲线 S 相切且至少有两个切点; ②对任意 x∈R 都有 g ( x) ? F ( x) . 则称直线 l 为曲线 S 的“上夹线” . (1)曲线 y ? sin x 的“上夹线”方程为 []

(2)曲线 S : y ? mx ? n sin x(n ? 0) 的“上夹线”的方程为 【知识点】新定义问题;三角函数的图像;导数. 【答案解析】 (1) y ? 1 ; (2) y ? mx ? n 解析: 解: (1)由题意与三角函数的图像可知 y=1 为 y ? sin x 的 上 夹 线 , (2) 推 测 : y ? mx ? n sin x ? n ? 0? 的 上 夹 线 的 方 程 为 y ? mx ? n ① 先 检 验 直 线
y ? m x? n 与 y ? mx ? n sin x ? n ? 0? 相 切 , 且 至 少 有 两 个 切 点 ; 设 :

F ? ?x?
x ? 2 k? ?

m?s x i n n ?? x ?
?

? F

令 ? x c o m s? F ?n x ? n cos x ? m 得 : x ? 2k? ? ? x? ? m

?
2

, 当

?? ?? ? ? 时 , F ? 2k? ? ? ? m ? 2k? ? ? ? n 故 : 过 曲 线 F ? x ? ? mx ? n sin x 上 的 点 2 2? 2? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? m? k 2? ? ? ? n ? 的切线方程为: y ? ?m ? 2k? ? ? ? n ? ? m ? x ? ? 2k? ? ?? ,化简得 ? 2k? ? 2 , 2? ? 2? ? 2 ?? ? ? ? ? ? ?
y ? mx ? n 即 直 线 y ? m x? n与 曲 线 y ? m x? n sin ? x n ?0 ? 相切且有无数个切点.不妨设

g ? x ? ? mx ? n ,

g ? x ? ? F ? x ? ? n ?1? sin x ? ? 0 ? n ? 0? 所 以 直 线 y ? m ?x

n 曲 线 是

y ? mx ? n sin x 的上夹线. 【思路点拨】可以按上夹线的意义,利用导数判定函数的上夹线的直线方程.

【理·浙江绍兴一中高三模拟·2014】7.在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,

已知

3 cos A a ? ,且 a 2 ? c 2 ? 2b ,则 b =( cos C c A.1 B.2

) C.3 D.4

【知识点】解三角形,正弦定理与余弦定理 【答案解析】D 有: a 解法一:在 ?ABC 中,由
3 cos A a ? 得: a cos C ? 3c cos A ,则由余弦定理 cos C c

a 2 ? b2 ? c2 b2 ? c2 ? a 2 ?3 c, 化简并整理得: 2(a 2 ? c 2 ) ? b 2 .又由已知 2ab 2bc . a 2 ? c 2 ? 2b ? 4b ? b 2 .解得 b ? 4或b ? 0(舍) 2 2 2 解法二:由余弦定理得: a ? c ? b ? 2bc cos A .又 a 2 ? c 2 ? 2b , b ? 0 . 所以 b ? 2c cos A ? 2 ① 3 cos A a 又由 ? 根据正弦定理可得 sin A cos C ? 3cos A sin C , cos C c ? sin A cos C ? cos A sin C ? 4 cos A sin C
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世纪金榜 圆您梦想 sin( A ? C ) ? 4 cos A sin C ,即 sin B ? 4 cos A sin C b 由正弦定理得 sin B ? sin C ,故 b ? 4c cos A ② c 由①,②解得 b ? 4 .

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【思路点拨】注意正弦定理、余弦定理的灵活运用

【辽宁三校高一期末联考·2014】19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=2sin cos + 3cos .

x 4

x 4

x 2

(1)求函数 f(x)的最小正周期及最值; π? ? (2)令 g(x)=f ?x+ ?,判断函数 g(x)的奇偶性,并说明理由. 3? ? 【知识点】三 角 函 数 中 的 恒 等 变 换 应 用 ; 三 角 函 数 的 周 期 性 及 其 求 法 ; 正 弦 函 数 的 奇偶性. 【答案解析】(1) 最小正周期 4 ? ;(2) 函数 g(x)是偶函数. x x x ? ) sin ? 3 c o s? 2 sin ?( ..............................2 ) 解析 :解 : (1) f ( x ? 分 2 2 2 3 2? ∴f(x)的最小正周期 T= =4 ? ..................................1 分 1 2 x ? 当 sin( ? ) ? ?1 时,f(x)取得最小值-2;..............................1 分 2 3 x ? 当 sin( ? ) ? 1 时,f(x)取得最大值 2...............................1 分 2 3 (2)g(x)是偶函数.理由如下:........................................1 分 x ? ? 由(1)知 f (x) ? 2 sin( ? ) ,又 g(x) ? f(x ? ) 2 3 3 1 ? ? x ? x ∴g(x)= 2sin[ (x ? ) ? ] ? 2sin( ? ) ? 2 cos .....................3..分 2 3 3 2 2 2 x x ∵g(-x)= 2 cos( ? ) ? 2 cos =g(x),..................................2 分 2 2 ∴函数 g(x)是偶函数. ........................................ ...1 分 【思路点拨】(1)利 用 两 角 和 的 正 弦 函 数 化 简 函 数 为 一 个 角 的 一 个 三 角 函 数 的 形 式 , π? ? 然 后 直 接 求 f ( x ) 的 最 小 正 周 期 ; ( 2) 求 出 g ( x ) = f ?x+ ?的 表 达 式 , 通 过 函 数 3? ? 的奇偶性的定义,直接证明即可.

【辽宁三校高一期末联考·2014】13055106025
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【 山 西 山 大 附 中 高 一 月 考 · 2014 】 17 .( 本 小 题 满 分

分 ) 已 知 函 数

f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2cos x ?1? x ? R ? ).
2

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)若 f ( x0 ) ?

6 ?? ? ? , x0 ? ? , ? ,求 cos 2 x0 的值. 5 ?4 2?

【知识点】三 角 函 数 中 的 恒 等 变 换 ; 正 弦 函 数 的 周 期 性 ; 3-4 3 【答案解析(1) 最小正周期为 π. (2) . 10 解析 :解 : (1)由 f(x)=2 3sin xcos x+2cos2x-1,得 π? f(x)= 3(2sin xcos x)+(2cos2x-1)= 3sin 2x+cos 2x=2sin? ?2x+6?, 所以函数 f(x)的最小正周期为 π. (6 分) π π? 3 6 ? ? (2)由(1)可知 f(x0)=2sin? ?2x0+6?.又因为 f(x0)=5,所以 sin?2x0+6?=5. π π? π 2π 7π , ,得 2x0+ ∈? , ?, 由 x0∈? ?4 2? 6 ?3 6? π π? 4 2? ? 从而 cos? ?2x0+6?=- 1-sin ?2x0+6?=-5. π π π? π π? π 3-4 3 ? ? 2x + ? ? 所以 cos 2x0=cos?? ?? 0 6?-6?=cos?2x0+6?cos6+sin?2x0+6?sin6= 10 .(12 分) π 2x+ ?,从 而 可 求 得 函 数 f( x ) 【思路点拨】(1) 利 用 三 角 函 数 中 的 恒 等 变 换 可 求 得 f( x )= 2sin? 6? ? π? 3 π? ? 的 最 小 正 周 期 ; (2)由已知可得 sin? ?2x0+6?=5,利用平方关系求出 cos?2x0+6?,再结合三角恒等变形求 出 cos 2x0.

【山西山大附中高一月考·2014】15.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 ?ABC 的面积

S?

3 2 (a ? b 2 ? c 2 ) ,则 C ? 4



【知识点】正 弦 定 理 ; 余 弦 定 理 的 应 用 ; 根 据 三 角 函 数 的 值 求 角 . 【答案解析】

? 3

2 2 2 解 析 : 解 : 由 余 弦 定 理 知 a ? b ? c ? 2ab cos C , 又 △ ABC 的 面 积

S=

1 ? 3 2 3 absinC= (a ? b 2 ? c 2) = ab cos C ,得 tanC= 3 .因 为 0 < C < π ,所 以 , C= .故 答 2 3 4 2

案为

? . 3

【思路点拨】由 余 弦 定 理 结 合 △ ABC 的 面 积 公 式 , 可 得 tanC 的 值 , 进 而 求 得 C 的 值 .

【山西山大附中高一月考·2014】11.在锐角 ?ABC 中,若 C ? 2 B ,则 A. (0, 2)
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c 的范围是( b



B. ( 2 ,2)

C. ( 2 , 3 )

D. (1, 3)
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【知识点】二 倍 角 公 式 ; 正 弦 定 理 的 应 用 ; 三 角 函 数 的 性 质 .

世纪金榜 圆您梦想 c sinC sin2B = =2 c o s B , 【答案解析】C 解析 :解 : 由 正 弦 定 理 得 = b sinB sinB
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∵ △ ABC 是 锐 角 三 角 形 , ∴ 三 个 内 角 均 为 锐 角 , 即 有 0< B<

? ? ? , 0<C=2B< , 0<p - C - B = p - 3B< ,解 得 2 2 2

? ? 2 3 < B< , 又 余 弦 函 数 在 此 范 围 内 是 减 函 数 . 故 . ? cos B ? 6 4 2 2


2?

c ? 3. b c sinC sin2B = = =2cosB, , 再 根 据 △ ABC 是 锐 角 三 角 形 , 求 出 B , b sinB sinB

故 答 案 为 选 C. 【思路点拨】由 正 弦 定 理 得 cosB 的 取 值 范 围 即 可 .

2 【山西山大附中高一月考·2014】5.函数 f ( x) ? 2sin (

?
4

? x) ? 1( x ? R) 是(



A.最小正周期为 2? 的奇函数 B.最小正周期为 ? 的奇函数 C.最小正周期为 2? 的偶函数 D.最小正周期为 ? 的偶函数 【知识点】三 角 函 数 中 的 恒 等 变 换 应 用 ; 三 角 函 数 的 周 期 性 及 其 求 法 ; 余 弦 函 数 的 奇 偶 性 . 【答案解析】B 解析 :解 : 原 函 数 化 简 为 : f ( x ) ? 2 s i 2 n (?x ? ) ? 1?

?

4

?? ? c? o s ? x ?2 ?? ?2 ?

, sx in 2

所以原 函 数 最小正周期为 T ? 奇函数, 故答案选 B.

2? ? ? ,又因为 f (? x) ? ? sin(?2 x) ? sin 2 x ,? f (? x) ? ? f ( x) 所以是 2

【思路点拨】利 用 三 角 函 数 的 恒 等 变 换 化 简 函 数 的 解 析 式 为 ? sin 2 x ,从 而 得 到 函 数 的 周 期 性 和 奇偶性.

【理·湖北武汉二中模拟(二) ·2014】17. (本题满分 12 分) ? ? 已知函数 f ( x) ? ? 2sin( x ? ) ? sin x ? cos x ? 3sin 2 x , x ? R . ? 3 ? ?

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期;
?? (2)求 f ( x) 在 ? ?0, ? 上的最大值和最小值.
? 4?

【知识点】三角函数的最小正周期;二倍角公式;化一公式;三角函数的最值. 【答案解析】 (1)T ? ? (2) f (x )max ? 2, f (x )min ? 1 解析 :解:( 1 ) f (x ) ? [2(sin x cos

?

? ? 2sin x cos x ? 3 cos2 x ? 3 sin 2 x ? sin 2x ? 3 cos 2x ? 2sin(2x ? ) 3
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? cos x sin ) ? sin x ]cos x ? 3 sin 2 x 3 3

?

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? ? ?
5? 6
2? ?? 2

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(6分)

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于是(1)函数 f ( x) 的最小正周期 T ? (2) 0 ? x ? ,? ? 2x ? ?
4 3 3
? f ( x)max ? 2, f ( x) min ? 1

1 ? ? ? sin(2 x ? ) ? 1, 则1 ? y ? 2 2 3

(12分)

? 【思路点拨】(1)利用化一公式把函数化为 2sin(2 x ? ) ,即可求出最小正周期T; 3
(2)由x得范围得到 2x ? 的范围,从而求得最大值和最小值.
3

?

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