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离散型随机变量及其分布列


第4讲

离散型随机变量及其分布列

基础巩固题组

(建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.(2014· 武汉模拟)从装有 3 个白球,4 个红球的箱子中,随机取出了 3 个球, 恰好是 2 个白球,1 个红球的概率是 4 A.35 12 C.35 解析
1 C2 3C4 12 问题,故所求概率为 P= C

3 =35. 7

( 6 B.35 36 D.343

).

如果将白球视为合格品,红球视为不合格品,则这是一个超几何分布

答案

C

2.设 X 是一个离散型随机变量,其分布列为: X P 则 q 等于 A.1 2 C.1- 2 解析 由分布列的性质得: 1 0<q≤2, ? ? ?? 2 ? ?q=1± 2 . -1 0.5 0 1-2q ( ). 1 q2

2 B.1± 2 2 D.1+ 2

2q<1, ?0≤1- ?0≤q2<1, ?0.5+1-2q+q2=1 答案 C

2 ∴q=1- 2 .

3.(2014?广安月考)设某项试验的成功率是失败率的 2 倍,用随机变量 X 去描述

1 次试验的成功次数,则 P(X=0)等于 ( 1 A.0 B.2 解析 1 C.3 2 D.3 ).

由已知得 X 的所有可能取值为 0,1,

且 P(X=1)=2P(X=0), 1 由 P(X=1)+P(X=0)=1,得 P(X=0)=3. 答案 C

4.在 15 个村庄有 7 个村庄交通不方便,现从中任意选 10 个村庄,用 X 表示这
6 C4 7C8 10 个村庄中交通不方便的村庄数,下列概率中等于 C10 的是 15

(

).

A.P(X=2) C.P(X=4) 解析 答案

B.P(X≤2) D.P(X≤4)

k 10-k C7 C8 X 服从超几何分布,故 P(X=k)= C10 ,k=4. 15

C a (n=1,2,3,4),其中 a 是常数, n?n+1? ( 3 B.4 5 D.6 因为 P(X=n)= a (n=1,2,3,4), n?n+1? ).

5.随机变量 X 的概率分布规律为 P(X=n)= 5? ?1 则 P?2<X<2?的值为 ? ? 2 A.3 4 C.5 解析 所以

a a a a + + + 1×2 2×3 3×4 4×5

1 1 1 1 1 1 1? 4 ? =a?1-2+2-3+3-4+4-5?=5a. ? ? 5? 4a 5 a a 2 5 ?1 ∴ 5 =1,则 a=4.则 P?2<X<2?=P(X=1)+P(X=2)=2+6=3a=6. ? ? 答案 D

二、填空题

6.(2014· 西安质检)已知随机变量 X 只能取三个值 x1,x2,x3,其概率依次成等 差数列,则公差 d 的取值范围是________. 解析 设 X 取 x1,x2,x3 时的概率分别为 a-d,a,a+d,

1 则(a-d)+a+(a+d)=1,∴a=3, 1 ? ?3-d≥0, 由? 1 ? ?3+d≥0, 答案 ? 1 1? ?-3,3? ? ? 1 1 得-3≤d≤3.

7. 设随机变量 X 等可能取值 1,2,3, ?, n, 如果 P(X<4)=0.3, 那么 n=________. 解析 由于随机变量 X 等可能取 1,2,3,?,n.

1 所以取到每个数的概率均为n. 3 ∴P(X<4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=n=0.3,∴n=10. 答案 10

8.口袋中有 5 只球,编号为 1,2,3,4,5,从中任意取 3 只球,以 X 表示取出的球 的最大号码,则 X 的分布列为________. 解析 X 的取值为 3,4,5.
5 5 5

2 1 1 C3 3 C2 4 3 又 P(X=3)=C3=10,P(X=4)=C3=10,P(X=5)=C3=5.

∴随机变量 X 的分布列为 X P 3 0.1 4 0.3 5 0.6

答案 X P 三、解答题 9.(2014· 长沙调研)某商店试销某种商品 20 天,获得如下数据: 日销售量(件) 0 1 2 3 3 0.1 4 0.3 5 0.6

频数

1

5

9

5

试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变 ),设某天开始营业时有 该商品 3 件,当天营业结束后检查存货,若发现存量少于 2 件,则当天进货 补充至 3 件,否则不进货,将频率视为概率. (1)求当天商店不进货的概率; (2)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数,求 X 的分布列. 解 (1)P(当天商店不进货)

1 5 3 =P(当天商品销售量为 0 件)+P(当天商品销售量为 1 件)=20+20=10. (2)由题意知,X 的可能取值为 2,3. 5 1 P(X=2)=P(当天商品销售量为 1 件)=20=4; P(X=3)=P(当天商品销售量为 0 件)+P(当天商品销售量为 2 件)+P(当天商 1 9 5 3 品销售量为 3 件)=20+20+20=4. 所以 X 的分布列为 X P 2 1 4 3 3 4

10.(2013· 重庆卷)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中, 摸奖者先从装有 3 个红球与 4 个白球的袋中任意摸出 3 个球,再从装有 1 个 蓝球与 2 个白球的袋中任意摸出 1 个球.根据摸出 4 个球中红球与蓝球的个 数,设一、二、三等奖如下:

奖级 一等奖 二等奖 三等奖

摸出红、 蓝球个数 3红1蓝 3红0蓝 2红1蓝

获奖金额 200 元 50 元 10 元

其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级. (1)求一次摸奖恰好摸到 1 个红球的概率; (2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 X 的分布列与数学期望 E(X). 解 设 Ai(i=0,1,2,3)表示摸到 i 个红球,Bj(j=0,1)表示摸到 j 个蓝球,则 Ai

与 Bj 独立.
1 2 C3 C4 18 (1)恰好摸到 1 个红球的概率为 P(A1)= C3 =35. 7

(2)X 的所有可能值为:0,10,50,200,且
3 C3 1 1 P(X=200)=P(A3B1)=P(A3)P(B1)=C3· 3=105; 7 3 C3 2 2 P(X=50)=P(A3B0)=P(A3)P(B0)=C3· = 3 105, 7 2 1 C3 C4 1 4 P(X=10)=P(A2B1)=P(A2)P(B1)= C3 · = , 7 3 35

1 2 4 6 P(X=0)=1-105-105-35=7. 综上知,获奖金额 X 的分布列为 X P 0 6 7 10 4 35 50 2 105 200 1 105

6 4 2 1 从而有 E(X)=0×7+10×35+50×105+200×105=4(元). 能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

一、选择题 1.(2014· 成都检测)从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛,设随机变 量 X 表示所选 3 人中女生的人数,则 P(X≤1)等于 1 A.5 3 C.5 解 答案 2 B.5 4 D.5
1 2 C4 C2 4 P(X≤1)=1-P(X=2)=1- C3 =5. 6

(

).

D

2.设随机变量 X 的概率分布列如下表所示: X P 0 a 1 1 3 2 1 6

F(x)=P(X≤x),则当 x 的取值范围是[1,2)时,F(x)等于 1 A.3 1 C.2 解 1 1 1 ∵a+3+6=1,∴a=2. 1 B.6 5 D.6

(

).

∵x∈[1,2), 1 1 5 ∴F(x)=P(X≤x)=2+3=6. 答案 D

二、填空题 3.(2014· 青岛调研)为质检某产品的质量,现抽取 5 件,测量产品中微量元素 x, y 的含量(单位:毫克),测量数据如下: 编号 x y 1 169 75 2 178 80 3 166 77 4 175 70 5 180 81

如果产品中的微量元素 x,y 满足 x≥175 且 y≥75 时,该产品为优等品.现 从上述 5 件产品中,随机抽取 2 件,则抽取的 2 件产品中优等品数 X 的分布 列为________. 解析 5 件抽测品中有 2 件优等品,则 X 的可能取值为 0,1,2.
5

2 C3 P(X=0)=C2=0.3, 1 1 C3 · C2 P(X=1)= C2 =0.6, 5 2 C2 P(X=2)=C2=0.1. 5

∴优等品数 X 的分布列为 X P 答案 X P 0 0.3 1 0.6 2 0.1 0 0.3 1 0.6 2 0.1

三、解答题 4.(2014· 广州质检)某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所 示, 其中成绩分组区间是: [40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100].

(1)求图中 x 的值; (2)从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人, 该 2 人中成绩在 90 分以上(含 90 分)的人数记为 X,求 X 的分布列与数学期望. 解 (1)由频率分布直方图知 (0.006×3+0.01+ x+ 0.054)×10=1 ,解得 x=

0.018. (2)由频率分布直方图知成绩不低于 80 分的学生人数为 (0.018 + 0.006)×10×50 = 12 , 成 绩 在 90 分 以 上 ( 含 90 分 ) 的 人 数 为 0.006×10×50=3. 因此 X 可能取 0,1,2 三个值.
2 C9 6 C1 C1 9 9· 3 P(X=0)=C2 =11,P(X=1)= C2 =22, 12 12 2 C3 1 P(X=2)=C2 =22. 12

X 的分布列为 X P 0 6 11 1 9 22 2 1 22

6 9 1 1 故 E(X)=0×11+1×22+2×22=2.


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