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2014年南开大学自主招生选拔考试文科数学试题


2014 年南开大学自主招生选拔考试文科数学试题
一、填空题 1. 已知 5 ? 10 ? 1024 ,则
a b

1 1 ? 的值为__________. a b

2. 已知点 A(1,0) ,点 B 为圆 x ? y ? 2014 上的任意一点,设 AB 的中垂线 l 与 OB 的交
2 2

点为 C,则点 C 的轨迹方程为__________.

? x ? 0, 4 ? 3. 已知可行域 ?3 x ? y ? 4, 若直线 y ? kx ? 将可行域所表示的图形的面积平分, 则 k 的值 3 ? x ? 3 y ? 4, ?
为__________.

4. 用 24 个点将一个圆 24 等分,任意选择其中的三点,则可以组成_______个不同的直角三 角形.

5. 已 知 函 数 y ? sin ? x ? __________.

? ?

π? π? ? ? ? sin ? x ? ? ? 2 cos x ? a 的 最 小 值 是 1 , 则 a 的 值 为 6? 6? ?

6. C2014 ? 2 ? C2014 ? 2 ? ??? ? C2014 ? 2
0 0 2 2 2014

2014

? ________ .

7. 已知圆上 A、 B、 C、 D 四点依次排列, AB=BC=3, CD=4, DA=8, 则该圆的半径为________.

8. 若 x ? 3 ? x ? 1 ? a ? 3a 对任意 x ? R 恒成立,则 a 的取值范围是______________.
2

二、解答题 9. 已知四棱锥 P ? ABCD , AB ? AD, CD ? AD, PA ? 平面ABCD,

P A? A D ? CD ? 2

,点 A B M 为 PC 的中点.

(1)求证: BM∥平面PAD ; (2)在平面 PAD 上找一点 N ,使得 MN ? 平面 PBD ; (3)求直线 PC 与平面 PBD 所成角的正弦.

10. 已知数列 ?an ? , a1 ? 1, an ?1 ? ?1 ?

? ?

1 ? 1 ? an ? n , n ?n? 2
2
2

求证: (1) an ? 2 ? n ? 2 ? ; (2) an ? e

? n ? 1? .

【答案与解析】
1.【答案】 ?

1 10
a b

【解析】由 5 ? 10 ? 1024 得 a ? log5 1024,b ? log10 1024,

1 1 ? log1024 5, ? log1024 10 , a b 1 1 1 1 所以 ? ? log1024 5 ? log1024 10 ? log1024 ? log 210 2?1 ? ? . a b 2 10
所以

1? ? 4? x ? ? 4 y2 2? ? ? ?1 2.【答案】 2014 2013

2

3.【答案】

7 3

4.【答案】264 【解析】 12 ? 22 ? 264 (个).

5.【答案】 1 ? 7 【解析】 y ? sin ? x ?

? ?

π? π? π ? ? ? sin ? x ? ? ? 2 cos x ? a ? 2sin x cos ? 2 cos x ? a 6? 6? 6 ?

? 3 sin x ? 2 cos x ? a ? ( 3) 2 ? 2 2 sin( x ? ? ) ? a ? 7 sin( x ? ? ) ? a ,
根据题意得 ? 7 ? a ? 1 ,解得 a ? 1 ? 7 .

6.【答案】

32014 ? 1 2

【解析】由
0 0 (1 + x 2)0 1 4 = 2 C 0 1 ?4 x ? 1 1 2 3 3 013 2013 014 C C2 x ? 0 1 4? ???? C 2x ?2 2 0? 1x 4 ? 2? 0x 14 ? C 2 2? 0 1 4 + C x, 2014 2014

令 x ? 2 ,得
2014 0 (1 + 2 ) =2 0C 1 ?4 0 ? 2 1 2014

C?

1 ? 2

2 2 C 2 2? 014 ?

3 3 2013 3 014 C ? 0 1 4? 2 ???? C 2 2 0 1+ C, ?2 2 2? 014 2 0 12 4

2014

令 x ? ?2 ,得
0 ( 1? 22)0 1 4 = 2 C ? 014 0 2 ? 1 1 C ?4 2 ? 201 2 2 C ? 2 0? 1 4 2 3 3 C ? ? ? ? ? C2 0 21 03 ? 12 2?0 1 42 4 2013 14 + C ,2 ?0 24 2 01 2014

以上两式相加得 C2014 ? 2 ? C2014 ? 2 ? ??? ? C2014 ? 2
0 0 2 2 2014

2014

?

32014 ? 1 . 2

7.【答案】

3 205 10
?

【 解 析 】 连 接 AC , 设 ?ADC ? ?,则?ABC ? 180 ? ? , 利 用 余 弦 定 理 得
2 A C2 ? A B ? 2 BC ?2

A ? B ?B cC o s ( 1?8 ?0 ? ? )

2 2 ? D C ? DA 2 ?

D ?C ? D c,由此解 A os

得 AC和cos ?, 再利用正弦定理解得圆的半径为 sin ?,

AC 3 205 ? . 2sin ? 10

8.【答案】 a ? 4或a ? ?1

9. 解: (1)取 PD 的中点 E ,连接 ME,AE . 因为点 M 为 PC 的中点,点 E 为 PD 的中点,所以 ME / / 因为 AB ? AD , CD ? AD, CD ? 2 AB ,所以 AB / /

1 CD . 2

1 CD ,所以 AB / /ME , 2

所以四边形 ABME 是平行四边形,所以 BM / / AE ,所以 BM∥平面PAD . (2)取 AE 的中点 N ,连接 MN,BE , MN与BE 交于点 F . 设 PA ? AD ? CD ? 2 AB ? 2 .

因为 PA ? 平面ABCD , 所以 PA ? AB .又因为 AB ? AD, 所以 AB ? 平面PAD, 所以 AB ? AE , 所以平行四边形 ABME 是矩形. 在等腰直角三角形 PAD 中,点 E 为 PD 的中点, 所以 AE ? PD,且AE ? 所以

1 PD= 2 ,又 ME ? 1 , 2

ME EA ? ? 2 ,又 ?MEN ? ?EAB ? 90? ,所以 ?MEN ? ?EAB , EN AB
? ?

所以 ?EMN ? ?AEB , 又因为 ?EMN ? ?ENM ? 90 , 所以 ?AEB ? ?ENM ? 90 , 所以 ?EFN ? 90 ,即 MN ? EB .
?

因为 AB ? PD, AE ? PD ,所以 PD ? 平面ABE ,所以 PD ? MN , 所以 MN ? 平面PBD . (3)直线 PC 与平面 PBD 所成角即 PM 与平面 PBD 所成角, 连接 PF ,由 MF ? 平面PBD于点F ,知 ?MPF即为PM 与平面PBD所成角,

易求得 PM = 3,MF =

6 MF 2 ? ,所以 sin ?MPF ? . PM 3 3

10. 证明: (1)由 a1 ? 1, an ?1 ? ?1 ? 易证 an ? 0 ,所以 an ?1 ? an ? 所以 an ? a2 ? 2 ? n ? 2 ? .

? ?

1 ? 1 1 ? 1 ? ? an ? n ,得 a2 ? ?1 ? 2 ? a1 ? =2 . n ?n? 2 2 ? 1 ?1 ?
2

1 1 an ? n ? 0 ,即数列 ?an ? 单调递增, n ?n 2
2

(2)利用不等式 1 ? x ? e ( x ? 0) 进行证明:
x

, 2时,an ? e 显然成立; ①当 n ? 1
2

? n a 1 1 1 1 ? n ?1 ? 1? ? n ? e ( n ?1)?n 2 , ②当 n ? 3时 , n ? 1 ? an ?1 (n ? 1) ? n 2 an ?1 (n ? 1) ? n 2 ? n?1 an ?1 1 1 1 1 ? 1? ? n?2 ? 1? ? n ?1 ? e ( n ? 2)?( n ?1) 2 , an ? 2 (n ? 2) ? (n ? 1) 2 an ? 2 ( n ? 2) ? ( n ? 1) 2 1 1

1

1

……

? 3 a3 1 1 1 1 ? 1? ? 2 ? 1? ? 3 ? e 2?3 2 , a2 2 ? 3 2 a2 2?3 2

1

1

1 1 ? a2 1 1 1 1 1?2 2 ? 1? ? ? 1? ? ?e , a1 1? 2 2a1 1? 2 2

将以上各式相乘得 an ? e

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ????? ? ? ? 1?2 2 2?3 23 ( n ? 2)?( n ?1) 2n?1 ( n ?1)?n 2n

=e
=e

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ????? ? ? ? ????? n?1 ? n 1?2 2?3 ( n ?2)?( n ?1) ( n ?1)?n 2 23 2 2
1 1 ? 1? 1? ? 3 ??1? ? 2 2 ? 2?

? e1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ????? n?1 ? n 2 2 3 n ?2 n ?1 n ?1 n 2 23 2 2

1 1 1 1 1 1? ? ? 3 ????? n?1 ? n n 2 2 2 2

?e

?e

1 1 1? ? 2 4

? e2 .

综上得原不等式成立.


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