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离散型随机变量及其分布列1


离散型随机变量及其分布列
时间:45 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.已知某离散型随机变量 ξ 的分布列如下: ξ P 则常数 k 的值为() 1 A.n2 1 1 1 B.n C.2n-1 D.n(2n-1 1 k 2 3k 3 5k ? n ? (2n-1)k 分值:100 分

i 2.已知随机变量 X 的分布列为 P(X

=i)=2a(i=1,2,3),则 P(X=2)等于() 1 1 1 1 A.9 B.6 C.3 D.4 c 3.随机变量 ξ 的概率分布规律为 P(ξ=k)=k(k+1,k=1,2,3,4,其中 c 是常数,则 1 5 P(2<ξ<2)值为() 2 3 4 5 A.3 B.4 C.5 D.6 4.在 15 个村庄中有 7 个村庄交通不方便,现从中任意选 10 个村庄,用 X 表示这 C74C86 10 个村庄中交通不方便的村庄数,下列概率中等于 C1510 的是() A.P(X=2) B.P(X≤2) C.P(X=4) D.P(X≤4)

3 1 5.设某批产品合格率为4,不合格率为4,现对该产品进行测试,设第 ξ 次首次测 到正品,则 P(ξ=3)等于() 1 3 A.C32(4)2×(4) 3 1 1 3 B.C32(4)2×(4)C.(4)2×(4) 3 1 D.(4)2×(4)

6.一只袋内装有 m 个白球,n-m 个黑球,连续不放回地从袋中取球,直到取出黑 (n-m 球为止,设此时取出了 ξ 个白球,下列概率等于 An3 的是() A.P(ξ=3) B.P(ξ≥2) C.P(ξ≤3) D.P(ξ=2)

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 7.设离散型随机变量 X 的分布列为

X P

0 1 3

1 1 6

2 1 2

1 1 3 则(1)P(X≤2)=________. (2)P(2<X≤2)=________. (3)P (1≤X≤3)=________. 8.已知随机变量 ξ 的分布列为 ξ P .1 1 0 .2 2 0 .4 3 0 .2 4 0 .1 5 0

若 η=2ξ-3,则 η 的分布列为________. 9.随机变量 ξ 的分布列如下: ξ P - 1 a 0 b 1 c

若 a、b、c 成等差数列,则 P(|ξ|=1)=________. 三、解答题(共 55 分) 10. (15 分)(2010· 广州模拟)某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会, 共邀请 50 名一线教师参加,使用不同版本教材的教师人数如下表所示: 版 本 人 数 人教 A 版 20 人教 B 版 15 苏教 版 5 北师大 版 10

(1)从这 50 名教师中随机选出 2 名,求 2 人所使用版本相同的概率; (2)若随机选出 2 名使用人教版的教师发言,设使用人教 A 版的教师人数为 ξ,求随 机变量 ξ 的分布列. 11.(20 分)某学生在上学路上要经过 4 个路口, 假设在各路口是否遇到红灯是相互独 1 立的,遇到红灯的概率都是3,遇到红灯时停留的时间都是 2 min. (1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; (2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 ξ 的分布列. 12.(20 分)(2011· 皖南八校联考)某电视台为了宣传安徽沿江城市经济崛起的情况, 特举办了一期有奖知识问答活动,活动对 18~48 岁的人群随机抽取 n 人回答问题“沿 江城市带包括哪几个城市”,统计数据结果如下表:

组数 第1 组 第2 组 第3 组

分组

回答正确的 人数 240

占本组的 频率 x

[18,28)

[28,38)

300

0.6

[38,48]

a

0.4

(1)分别求出 n,a,x 的值; (2)若以表中的频率近似看作各年龄组正确回答问题的概率, 规定年龄在[38,48]内回 答正确的得奖金 200 元,年龄在[18,28)内回答正确的得奖金 100 元.主持人随机请一家 庭的两个成员(父亲 46 岁,孩子 21 岁)回答问题,求该家庭获得奖金 ξ 的分布列及数学 期望(两个回答问题正确与否相互独立).

课时作业 68 离散型随机变量及其分布列

时间:45 分钟

分值:100 分

一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.已知某离散型随机变量 ξ 的分布列如下: ξ P 则常数 k 的值为() 1 A.n2 1 B.n 1 k 2 3k 3 5k ? n ? (2n-1)k

1 1 C.2n-1 D.n(2n-1 解析:k+3k+5k+?+(2n-1)k=1, 1 ∴kn2=1.∴k=n2. 答案:A i 2.已知随机变量 X 的分布列为 P(X=i)=2a(i=1,2,3),则 P(X=2)等于() 1 1 A.9 B.6 1 1 C.3 D.4 1 2 3 解析:由分布列的性质知2a+2a+2a=1, 2 1 ∴a=3.∴P(X=2)=2a=3. 答案:C c 3.随机变量 ξ 的概率分布规律为 P(ξ=k)=k(k+1,k=1,2,3,4,其中 c 是常数,则 1 5 P(2<ξ<2)值为() 2 3 A.3 B.4 4 5 C.5 D.6

c c c c 1 解析:∵P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)+P(ξ=4)=1×2+2×3+3×4+4×5=c(1-5) 4 5 =5c=1,∴c=4. 1 5 5 1 1 5 2 5 ∴P(2<ξ<2)=P(ξ=1)+P(ξ=2)=4(1×2+2×3)=4×3=6. 答案:D 4.在 15 个村庄中有 7 个村庄交通不方便,现从中任意选 10 个村庄,用 X 表示这 C74C86 10 个村庄中交通不方便的村庄数,下列概率中等于 C1510 的是() A.P(X=2) C.P(X=4) B.P(X≤2) D.P(X≤4)

C7kC810-k 解析:X 服从超几何分布,P(X=k)= C1510 ,故 k=4. 答案:C 3 1 5.设某批产品合格率为4,不合格率为4,现对该产品进行测试,设第 ξ 次首次测 到正品,则 P(ξ=3)等于() 1 3 A.C32(4)2×(4) 1 3 C.(4)2×(4) 答案:C 6.一只袋内装有 m 个白球,n-m 个黑球,连续不放回地从袋中取球,直到取出黑 (n-m 球为止,设此时取出了 ξ 个白球,下列概率等于 An3 的是() A.P(ξ=3) C.P(ξ≤3) B.P(ξ≥2) D.P(ξ=2) 3 1 B.C32(4)2×(4) 3 1 D.(4)2×(4)

Am2Cn-m1 (n-m 解析:P(ξ=2)= An3 = An3 . 答案:D 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 7.设离散型随机变量 X 的分布列为 X P 0 1 3 1 1 6 2 1 2

1 则(1)P(X≤2)=________. 1 3 (2)P(2<X≤2)=________. (3)P (1≤X≤3)=________. 解析:由所给分布列可知: 1 1 (1)P(X≤2)=P(X=0)=3. 1 3 1 (2)P(2<X≤2)=P(X=1)=6. 1 1 2 (3)P(1≤X≤3)=P(X=1)+P(X=2)=6+2=3. 1 1 2 答案:(1)3 (2)6 (3)3 8.已知随机变量 ξ 的分布列为 ξ P .1 1 0 .2 2 0 .4 3 0 .2 4 0 .1 5 0

若 η=2ξ-3,则 η 的分布列为________. 解析:由 η=2ξ-3 可计算出相应的 η 的取值,概率不变. 答案: η - 1 0 .1 .2 1 0 .4 3 0 .2 5 0 .1 7 0

P

9.随机变量 ξ 的分布列如下: ξ P - 1 a 0 b 1 c

若 a、b、c 成等差数列,则 P(|ξ|=1)=________. 解析:∵a、b、c 成等差数列,∴2b=a+c,又 a+b+c=1, 1 2 ∴b=3,∴P(|ξ|=1)=a+c=3. 2 答案:3 三、解答题(共 55 分)

10. (15 分)(2010· 广州模拟)某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会, 共邀请 50 名一线教师参加,使用不同版本教材的教师人数如下表所示: 版 本 人 数 人教 A 版 20 人教 B 版 15 苏教 版 5 北师大 版 10

(1)从这 50 名教师中随机选出 2 名,求 2 人所使用版本相同的概率; (2)若随机选出 2 名使用人教版的教师发言,设使用人教 A 版的教师人数为 ξ,求随 机变量 ξ 的分布列. 解:(1)从 50 名教师中随机选出 2 名的方法数为 C502=1225. 选出 2 人使用版本相同的方法数为 C202+C152+C52+C102=350. 350 2 故 2 人使用版本相同的概率为:P=1225=7. C152 3 C201C151 60 (2)∵P(ξ=0)=C352=17,P(ξ=1)= C352 =119, C202 38 P(ξ=2)=C352=119, ∴ξ 的分布列为 ξ P 0 3 17 1 60 119 2 38 119

11.(20 分)某学生在上学路上要经过 4 个路口, 假设在各路口是否遇到红灯是相互独 1 立的,遇到红灯的概率都是3,遇到红灯时停留的时间都是 2 min. (1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; (2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 ξ 的分布列. 解:(1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A.因为事件 A 等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”, 所以事件 A 的概率为 1 1 1 4 P(A)=(1-3)×(1-3)×3=27. (2)由题意可得, ξ 可能取的值为 0,2,4,6,8(单位: min). 事件 “ξ=2k” 等价于事件 “该 学生在上学路上遇到 k 次红灯”(k=0,1,2,3,4),所以

1 2 - P(ξ=2k)=C4k(3)k(3)4 k(k=0,1,2,3,4), 即 ξ 的分布列是 ξ P 0 16 81 2 32 81 4 8 27 6 8 81 8 1 81

——探究提升——

12.(20 分)(2011· 皖南八校联考)某电视台为了宣传安徽沿江城市经济崛起的情况, 特举办了一期有奖知识问答活动,活动对 18~48 岁的人群随机抽取 n 人回答问题“沿 江城市带包括哪几个城市”,统计数据结果如下表:

组数 第1 组 第2 组 第3 组

分组

回答正确的 人数 240

占本组的 频率 x

[18,28)

[28,38)

300

0.6

[38,48]

a

0.4

(1)分别求出 n,a,x 的值; (2)若以表中的频率近似看作各年龄组正确回答问题的概率, 规定年龄在[38,48]内回 答正确的得奖金 200 元,年龄在[18,28)内回答正确的得奖金 100 元.主持人随机请一家 庭的两个成员(父亲 46 岁,孩子 21 岁)回答问题,求该家庭获得奖金 ξ 的分布列及数学 期望(两个回答问题正确与否相互独立). 300 解:(1)由频率表中第 2 组数据可知,第 2 组总人数为0.6=500,再结合频率分布直 500 方图可知 n=0.05×10=1000,所以 a=1000×0.02×10×0.4=80, 240 x=1000×0.03×10=0.8.

(2)由题意知 ξ 可能的取值为 0,100,200,300,父亲回答正确的概率为 0.4,孩子回答 正确的概率为 0.8,且 P(ξ=0)=0.6×0.2=0.12,P(ξ=100)=0.6×0.8=0.48,P(ξ=200) =0.4×0.2=0.08,P(ξ=300)=0.4×0.8=0.32, 所以该家庭获得奖金 ξ 的分布列为 ξ P 0 0. 12 1 00 0. 48 00 0. 08 2 00 0. 32 3

故 Eξ =0×0.12+100×0.48+200×0.08+300×0.32=160.


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