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2014《创新设计》二轮专题复习训练6


常考问题 6 三角函数的图象与性质
(建议用时:50 分钟) ?π ? 1 ?π ? 1.(2013· 苏北四市模拟)若 sin?3+α?=3,则 sin?6+2α?=______. ? ? ? ? 解析 ?π ? ?π π ? sin?6+2α?=-cos?2+6+2α? ? ? ? ?

7 ?2π ? ?π ? =-cos? 3 +2α?=2sin2?3+α?-1=-9. ? ? ? ? 答案 7 -9

2.(2013· 浙江卷改编)已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈R),则“f(x) π 是奇函数”是“φ=2”的______条件. 解析 π? π ? φ=2?f(x)=Acos?ωx+2?=-Asin ωx 为奇函数,∴“f(x)是奇函数” ? ?

π 是“φ=2”的必要条件. π π 又 f(x)=Acos(ωx+φ)是奇函数?f(0)=0?φ=2+kπ(k∈Z)D/?φ=2. π ∴“f(x)是奇函数”不是“φ=2”的充分条件. 答案 必要不充分

π? 7π? 4 ? ? 3 . (2013· 苏锡常镇模拟 ) 已知 cos ?α-6? + sin α = 5 3 ,则 sin ?α+ 6 ? 的值是 ? ? ? ? ________. 解析 π? ? cos?α-6?+sin α ? ?

3 3 4 = 2 cos α+2sin α=5 3, 1 3 4 ∴2cos α+ 2 sin α=5, π? 4 ? 即 sin?α+6?=5. ? ?

7π? π? 4 ? ? 故 sin?α+ 6 ?=-sin?α+6?=-5. ? ? ? ? 答案 4 -5

π ?π? 4.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的图象关于直线 x=3对称,且 f?12?=0,则 ? ? ω 的最小值为________. 解析 π ?π? ?π ? 由 f?12?=0 知?12,0?是 f(x)图象的一个对称中心,又 x=3是一条对称 ? ? ? ?

ω>0, ? ? 轴,所以应有?2π ?π π ? ?3-12?, ≤ 4 ? ? ? ?ω 答案 2

解得 ω≥2,即 ω 的最小值为 2.

5.(2013· 湖北卷)将函数 y= 3cos x+sin x(x∈R) 的图象向左平移 m(m>0)个单 位长度后,所得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是________. 解析 ? π? y= 3cos x+sin x=2sin?x+3?,向左平移 m 个单位长度后得到 y= ? ?

π π π ? π ? 2sin?x+3+m?,由它关于 y 轴对称可得 sin(3+m)=± 1,∴3+m=kπ+2,k ? ? π ∈Z,∴m=kπ+6,k∈Z, π 又 m>0,∴m 的最小值为6. 答案 π 6

π? ? ?π π? 6. 若函数 f(x)=sin ωx(ω>0)在区间?0,3?上单调递增, 在区间?3,2?上单调递减, ? ? ? ? 则 ω=________. 解析 π 由题意知 f(x)的一条对称轴为直线 x=3,和它相邻的一个对称中心为

4π 3 原点,则 f(x)的周期 T= 3 ,从而 ω=2. 答案 3 2

π 7.已知函数 f(x)=3sin(ωx-6)(ω>0)和 g(x)=3cos(2x+φ)的图象的对称中心完全

π? ? 相同,若 x∈?0,2?,则 f(x)的取值范围是______. ? ? 解析 由两三角函数图象的对称中心完全相同,可知两函数的周期相同,故

π? π? π π 5π ? ? ω=2,所以 f(x)=3sin?2x-6?,那么当 x∈?0,2?时,-6≤2x-6≤ 6 , ? ? ? ? 1 π ? 3 ? 所以-2≤sin(2x-6)≤1,故 f(x)∈?-2,3?. ? ? 答案 ? 3 ? ?-2,3? ? ?

8.给出下列说法: ①正切函数在定义域内是增函数; 3 π? ? π? ? ②函数 f(x)=2tan?x+4?的单调递增区间是?kπ-4π,kπ+4?(k∈Z); ? ? ? ?
? ? ? ? ? π? π ? ③函数 y=2tan?2x+3?的定义域是?x?x≠12+kπ,k∈Z ?; ? ? ? ? ? ? ?

? π π? ④函数 y=tan x+1 在?-4,3?上的最大值为 3+1,最小值为 0. ? ? 其中正确说法的序号是________. 解析 ①正切函数在定义域内不具有单调性,故错误;

3 π? π π π ? ②由 kπ-2<x+4<kπ+2(k∈Z),解得 x∈?kπ-4π,kπ+4?(k∈Z),故正确; ? ? π π π kπ ③由 2x+3≠2+kπ(k∈Z),解得 x≠12+ 2 (k∈Z),故错误; π ? π π? ④因为函数 y=tan x+1 在?-4,3?上单调递增, 所以 x=3时取得最大值为 3 ? ? π +1,x=-4时取得最小值为 0,故正确,所以正确说法是②④. 答案 ②④

π 9.(2013· 西安五校二次模拟)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<2)的图 象的一部分如图所示.

(1)求函数 f(x)的解析式; 2? ? (2)当 x∈?-6,-3?时,求函数 y=f(x)+f(x+2)的最大值与最小值及相应的 x ? ? 的值. 解 2π (1)由图象知 A=2,T=8= ω ,

π ?π ? ∴ω=4,得 f(x)=2sin?4x+φ?. ? ? π π π 由4×1+φ=2kπ+2?φ=2kπ+4, π π ?π π? 又|φ|<2,∴φ=4.∴f(x)=2sin?4x+4?. ? ? π? ?π π? ?π (2)y=2sin?4x+4?+2sin?4?x+2?+4? ? ? ? ? ?π π? ?π π? =2sin?4x+4?+2cos?4x+4?. ? ? ? ? π ?π π? =2 2sin?4x+2?=2 2cos4x, ? ? 2? ? ∵x∈?-6,-3?, ? ? π? π ? 3π ∴4x∈?- 2 ,-6?, ? ? π π 2 ∴当4x=-6,即 x=-3时,y 的最大值为 6; π 当4x=-π,即 x=-4 时,y 的最小值为-2 2. ?π ? ?π ? 10. (2013· 苏北四市调研)已知函数 f(x)=sin?4+x?· sin? -x?+ 3sin xcos x(x∈R). ? ? ?4 ? ?π? (1)求 f?6?的值; ? ? ?A? (2)在△ABC 中,若 f? 2 ?=1,求 sin B+sin C 的最大值. ? ? 解 1 3 ?π ? ?π ? (1)f(x) = sin ?4+x? sin ?4-x? + 3 sin xcos x = 2 cos 2x + 2 sin 2x = ? ? ? ?

π? ? ?π? sin?2x+6?,所以 f?6?=1. ? ? ? ?

π? π π ?A? ?A? ? (2)由 f? 2 ?=1,有 f? 2 ?=sin?A+6?=1,因为 0<A<π,所以 A+6=2,即 A ? ? ? ? ? ? π =3. π? 3 ?2π ? 3 ? sin B+sin C=sin B+sin? 3 -B?=2sin B+ 2 cos B= 3sin?B+3?. ? ? ? ? π? 2π π π ? 因为 0<B< 3 ,所以3<B+3<π,0<sin?B+3?≤1, ? ? 所以 sin B+sin C 的最大值为 3. π x ? π? 11.(2013· 湖南卷)已知函数 f(x)=sin?x-6?+cosx- ,g(x)=2sin2 . 3 2 ? ? 3 3 (1)若 α 是第一象限角,且 f(α)= 5 .求 g(α)的值; (2)求使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合. 解 ? π? ? π? f(x)=sin?x-6?+cos?x-3? ? ? ? ?

3 1 1 3 = 2 sin x-2cos x+2cos x+ 2 sin x= 3sin x, x g(x)=2sin22=1-cos x. 3 3 3 (1)由 f(α)= 5 ,得 sin α=5, 又 α 是第一象限角,所以 cos α>0. 4 1 从而 g(α)=1-cos α=1- 1-sin2α=1-5=5. (2)f(x)≥g(x)等价于 3sin x≥1-cos x, 即 3sin x+cos x≥1. ? π? 1 于是 sin?x+6?≥ . ? ? 2 π π 5π 从而 2kπ+6≤x+6≤2kπ+ 6 ,k∈Z, 2π 即 2kπ≤x≤2kπ+ 3 ,k∈Z. 2π 故使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合为{x|2kπ≤x≤2kπ+ 3 ,k∈Z}. 备课札记:


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