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高中数学必修4平面向量知识点总结


2012 级高中数学必修 4 知识点总结 第二章 平面向量 1、向量:既有 ,又有 的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 个单位的向量. 平行向量(共线向量) :方向 或 的非零向量.零向量与任一向量 . 相等向量:长度 且方向 的向量. 2、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾 . ⑵ 平 行 四 边 形 法 则 的 特 点 : 首 首 . ⑶ 三 角 形 不 等 式 :

a?

b ?

a?

. b ?

⑷运算性质:①交换律: a ? b ? b ? a ; ②结合律: a ? b ? c ?

?

?

; .

C

⑸坐标运算:设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? 3、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向 ⑵坐标运算:设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , ,则 a ? b ? 设 A、B 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,则 AB ? 4、向量数乘运算: .

a
?

?
b

. .

a ? b ? AC ? AB ?

⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ①

?a ?

; .

? a 的方向与 a 的方向相同; ? a 的方向与 a 的方向相反; ?a ? ②当 ? ? 0 时, 当 ? ? 0 时, 当 ? ? 0 时,
⑵运算律:① ? ? ?a ? ? ? ?? ? a ;② ? ? ? ? ? a ? ?a ? ?a ;③ ? a ? b ? ? a ? ?b . ⑶坐标运算:设 a ? ? x, y ? ,则 ?a ? ? ? x, y ? ? 5、向量共线定理:向量 a ? a ? .

?

?

? 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a .
时,向量 a 、 b b ? 0 共线.

设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,其中 b ? 0 ,则当且仅当

?

?

6、平面向量基本定理:如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a ,
1

有且只有一对实数 ?1 、 ?2 ,使 a ? ?1

? ?2

. (不共线的向量 e1 、 e2 作为一组基底)

7、分点坐标公式:设点 P 是线段 PP 1 2 上的一点, P 1、P 2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,当 PP 1 ? ? PP 2 时,点 P 的坐标是 ?

? x1 ? ? x2 y1 ? ? y2 ? 时,就为中点公式) (当 ? ? 1 , ?. 1? ? ? ? 1? ?

8、平面向量的数量积: ⑴ a ? b ? a b cos ? 0 ? ? ? 180 .零向量与任一向量的数量积为

?

?

. ;当 a 和 b 反

⑵性质:设 a 和 b 都是非零向量,则① a ? b ? a ? b ? 0 .②当 a 和 b 同向时, a ? b ? 向时, a ? b ? ; a ? a ? a2 ?
2

或 a ? a ? a .③ a ? b

a b .

⑶运算律:① a ? b ? b ? a ;② ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b ;③ a ? b ? c ? a ? c ? b ? c . ⑷坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? 若 a ? ? x, y ? ,则 a
2

?

?

? ?

?

?

. .

?

,或 a ?

; a ?b ?

设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , ? 是 a 和 b 的夹角,则 cos ? ? 第三章 三角恒等变换 9、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ⑶ sin ?



sin ? sin ? ;⑵ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ?

sin ? sin ? ;


? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ;⑷ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ?
tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ?

⑸ tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? t a? n? ?

?t a n

??

? 1 ?t a n ? tan ?; t? a. n ?

⑹ tan ?? ? ? ? ?

?t a n n ?? ???? 1? t a?

10、二倍角的正弦、余弦和正切公式:
2 2 ⑴ sin 2? ? 2sin ? cos ? ? 1 ? sin 2? ? sin ? ? cos ? ? 2sin ? cos ? ? (

?

)2

⑵ cos 2? ? cos

2

? ? sin 2 ? ?
,1 ?


?1 ? 1 ? 2sin 2 ?
? 2sin 2
?

?升幂公式 1 ? cos ? ? ?降幂公式 cos 2 ? ?

?
2
⑶ tan 2? ?

2

1 ? cos 2? . 2
2

1 ? tan 2 ?



11、半角公式(理解推导过程)

α 1 ? cosα α 1 ? cosα cos ? ? ;sin ? ? 2 2 2 2 tan α 1 ? cosα ?? ? 2 1 ? cosα sinα ? sinα

12、 合一变形 ? 把两个三角函数的和或差化为 “一个三角函数, 一个角, 一次方” 的 y ? A sin(? x ? ? ) ? B 形式。 A sin ? ? B cos ? ?

A2 ? B 2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?

B . A

13、三角变换常用的数学思想方法技巧如下: (1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与角之间的和差, 倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解,对角的变形如: ① 2? 是 ? 的二倍; 4? 是 2? 的二倍; ? 是 ② 15 ? 45 ? 30 ? 60 ? 45 ?
o o o o o

? ? ? 的二倍; 是 的二倍; 2 2 4
; cos

? 30o ? ;问: sin 12 2

?
12

?



③ ? ? (? ? ? ) ? ? ;④

?
4

?? ?

?
2

?(

); );

⑤ 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ? (

?
4

??) ? (

(2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础,通常 化切为弦,变异名为同名。 (3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数“1”的 代换变形有:

1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? sin 90o ? tan 45o
(4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的方法。常用 降幂公式有: ; 。 降幂并非绝对, 有时需要升幂, 如对无理式 1 ? cos ?

常用升幂化为有理式,常用升幂公式有: ; 。 (5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。 如:

1 ? tan ? 1 ? tan ? ? _______________ ; ? ______________ ; 1 ? tan ? 1 ? tan ?


tan 20o ? tan 40o ? 3 tan 20o tan 40o ?
1 ? cos 3? ?
; 1 ? cos(2? ?

?
2

)?



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