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重庆市重庆一中2013-2014学年高二上学期期末考试


2014 年重庆一中高 2015 级高二上期期末考试

数 学 试 题 卷(理科)
数学试题共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。

一、选择题: (本大题 9 个小题,每小题 5 分,共 45 分)在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的;各题答案必须填涂在答题卡上相应位置。
1.直线 ax ? y ? 1 ? 0 与直线 2 x ? 3 y ? 2 ? 0 垂直,则实数 a 的值为( A. )

2 3

B. ?1

C. ? 2

D. ?

3 2


2.抛掷一枚均匀的骰子(骰子的六个面上分别标有 1、2、3、4、5、6 个点)一次,观察掷出向上的点数,设 事件 A 为掷出向上为偶数点,事件 B 为掷出向上为 3 点,则 P( A A.

B) ? (

1 3

B.

2 3

C.

1 2

D.

5 6


3.已知圆的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,且与 y 轴相切,则圆的方程是( A. x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 C. x 2 ? y 2 ? 2 x ? 3 ? 0 B. x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 D. x 2 ? y 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ) D.
2

4.棱长为 2 的正方体 ABCD ? A 的表面积为( 1B 1C1D 1 的内切球 ... A.

4? 3

B. 16?

C. 4?

32? 3
x

5.已知函数 f ? x ? 的导函数为 f ? ? x ? ,且满足关系式 f ? x ? =x ? 3xf ? ? 2? ? e ,则 f ? ? 2? 的值等于( A. ?2



B.

e2 ?2 2

C. ?

e2 2

D. ?

e2 ?2 2

6.已知 ? 、 ? 是不重合的平面, a 、 b 、 c 是不重合的直线,给出下列命题:



a ?? ? a ? b? a // ? ? ? ? ? ? ? ;② ? ? a // c ;③ ??b ?? 。 a ? ?? c ? b? b ? a?
D.0 )

其中正确命题的个数是( ) A.3 B.2 C.1 7.一空间几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为(

2 3 3 3 C. ? ? 3
A. ? ?

2 3 3 3 D. 2? ? 3
B. 2? ?

2

2

2 2
正视图

2
左视图

俯视图
-1-

x2 y 2 0 8.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F , 若过点 F 且倾斜角为 60 的直线与双曲线的右支有 a b
且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( A. (1, 2] B. (1, 2) C. [2, ??) ) D. (2, ??)

9. (原创)若函数 y1 ? sin(2 x1 ) ? ( A. )

1 ( x1 ? [0, ? ]), 函数 y2 ? x2 ? 3 , 则 ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 的最小值为 2

2 5 2? 6 2 5 2? 6 2 (? ? 3 3 ? 15)2 B. C. ( D. ?? ? ) 12 4 12 4 72 二、填空题: (本大题 3 个小题,每小题 5 分,共 15 分)各题答案必须填写在答题卡相应位 置上,只填结果,不要过程) 。 A1 B1 11.如图,直三棱柱 ABC ? A 中, , B C AA ? AB ? 2, BC ? 1 1 1 1 1 C1 AB ? BC ,则该三棱柱的侧面积为 。
A B

C

12.(原创)如图所示的“赵爽弦图”中,四个相同的直角三角形与中间 的小正方形拼成的一个边长为 2 的大正方形,若直角三角形中较小的锐 角? ?

?
6

?

,现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖,飞镖落在小正

方形内的概率是______________。

13.已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? x ?1 在 (??, ??) 上是单调减函数,则实数 a 的取值范围是
3 2

___________。

三、解答题: (本大题 6 个小题,共 75 分)各题解答必须答在答题卷上相应题目指定的方框 内(必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程) 。 16.(本小题满分 13 分)已知一条曲线 C 在 y 轴右侧 , C 上每一点到点 F ((1,0) 的距离减去它到 y 轴距离 ...
的差都是 1。 (1)求曲线 C 的方程; (2)设直线 l 交曲线 C 于 A, B 两点,线段 AB 的中点为 D(2, ?1) ,求直线 l 的一般式方程。

-2 -

17.(本小题满分 13 分)如图, P 是正方形 ABCD 所在平面 外一点,且 PD ? AD, PD ? DC , PD ? 3, AD ? 2 ,若 M 、

P

N 分别是 AB 、 PC 的中点。 (1)求证: MN ? DC ; (2)求点 M 到平面 PAC 的距离。
D
A

N

C
B

M

18.(原创) (本小题满分 13 分)已知三次函数 f ? x ? ?

1 3 1 2 ax ? bx ? 6 x ? 1( x ? R) , a , b 为实常数。 3 2

(1)若 a ? 3, b ? 3 时,求函数 f ? x ? 的极大、极小值; (2) 设函数 g ( x) ? f ?( x) ? 7 , 其中 f ?( x ) 是 f ? x ? 的导函数, 若 g ( x) 的导函数为 g ?( x ) ,g ?(0) ? 0 ,g ( x) 与 x 轴有且仅有一个公共点,求

g (1) 的最小值。 g ?(0)

-3-

0 19.(本小题满分 12 分)如图,在 ?ABC 中, ?C ? 90 , AC ? BC ? a ,点 P 在边 AB 上,

设 AP ? ? PB(? ? 0) ,过点 P 作 PE // BC 交 AC 于 E ,作 PF // AC 交 BC 于 F 。沿 PE 将

?APE 翻折成 ?A?PE, 使平面 A?PE ? 平面 ABC ;沿 PF 将 ?BPF 翻折成 ?B?PF , 使平面 B?PF ? 平面 ABC 。 (1)求证: B?C // 平面 A?PE ;
(2)是否存在正实数 ? ,使得二面角 C ? A?B? ? P 的大小为 90 ?若存在,求出 ? 的值;若不存在,请说
0

明理由。

x2 y 2 2 20.(原创) (本小题满分 12 分)如图,已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率是 ,A 1, A 2 分别 a b 2
是椭圆 C 的左、右两个顶点,点 F 是椭圆 C 的右焦点。点 D 是 x 轴上位于 A2 右侧的一点,且满足

1 1 2 ? ? ?2。 A1D A2 D FD
(1)求椭圆 C 的方程以及点 D 的坐标; (2)过点 D 作 x 轴的垂线 n ,再作直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点 P ,直线 l 交直线 n 于点

y

Q
P

l

A1

O

F

A2

D

x

Q 。求证:以线段 PQ 为直径的圆恒过定点,并求出定
点的坐标。

n

21.(原创) (本小题满分 12 分)函数 f ( x) ?

a ? ln x ,其中 a 为实常数。 x

(1)讨论 f ( x ) 的单调性; (2)不等式 f ( x) ? 1 在 x ? (0,1] 上恒成立,求实数 a 的取值范围;

-4-

( 3)若 a ? 0 ,设 g (n ) ? 1?

1 1 ? ? 2 3

?

1 1 2 3 , h( n) ? 3 ? 3 ? 3 ? n 2 3 4

?

n ?1 (n ? 2, n ? N? ) 。是否存 n3

在实常数 b , 既使 g (n) ? f (n) ? b 又使 h(n) ? f (n ? 1) ? b 对一切 n ? 2, n ? N? 恒成立?若存在, 试找出 b 的一个值,并证明;若不存在,说明理由。

-5-

2014 年重庆一中高 2015 级高二上期期末考试 数学试题(理科)答案
1.D 2.B 3.A 4.C 12. 1 ? 5.D 6.C 7.B 14. 8.C 9.D 15. 10.C

11. 6 ? 2 5

3 2

13. [? 3, 3]

6 3

p2 4

16. (本小题满分 13 分)解: (1)设 P( x, y ) 是曲线 C 上任意一点,那么点 P( x, y ) 满足:

( x ? 1) 2 ? y 2 ? x ? 1( x ? 0) ,化简得 y 2 ? 4x( x ? 0) 。 (或由定义法)
(2)设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ?

? y12 ? 4 x1
2



? y2 ? 4 x2 ② ①? ② 得: ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 4( x1 ? x2 ) ,由于易知 l 的斜率 k 存在,
故 ( y1 ? y2 )



y1 ? y2 ? 4 ,即 ?2k ? 4 ,所以 k ? ?2 ,故 l 的一般式方程为 l : 2 x ? y ? 3 ? 0 。 x1 ? x2
y
P

17. (本小题满分 13 分)解:如图建系,则 D(0,0,0),

A(2,0,0), B(2, 2,0), C(0, 2,0), P(0,0,3) ,则
3 M (2,1, 0), N (0,1, ) 。 2
(1)法一:? MN ? (?2, 0, ), DC ? (0, 2, 0)

N

3 2

3 ? MN ? DC ? (?2, 0, ) ? (0, 2, 0) ? 0 ,? MN ? DC 。 2
法二:三垂线定理。

D
A

C

y

M

B

(2)法一:设 n ? ( x, y, z) 为平面 PAC 的一个法向量, x

PA ? (2,0, ?3), PC ? (0, 2, ?3),
由?

? n ? PA ? 0 ?

? 2 x ? 3z ? 0 3z ?? ?x? y? , 2 ? ?n ? PC ? 0 ?2 y ? 3z ? 0

取 z ? 2 ,则 x ? y ? 3 , n ? (3,3, 2) , MA ? (0, ?1,0) ,

d?

n ? MA n

?

3 22 3 3 22 ,? 点 M 到平面 PAC 的距离为 。 ? 22 22 22
3 2 x ? 6 x ? 1,? f ?( x) ? 3x 2 ? 3x ? 6 ? 3( x ? 1)( x ? 2), 2

法二:体积法。 18. (本小题满分 13 分)解: (1) f ( x) ? x ?
3

令 f ?( x) ? 0 ,? x1 ? ?2, x2 ? 1 ,

-6-

x
f ?( x ) f ( x)

(??, ?2)

?2

(?2,1)

1

(1, ??)

?

0
极大值

?

0
极小值

?

5 f极大值 ? f (?2) ? 11, f极小值 ? f (1) ? ? 。 2
(2) g ( x) ? ax2 ? bx ? 6 ? 7 ? ax2 ? bx ? 1(a ? 0) , g ?( x) ? 2ax ? b, g ?(0) ? b ? 0 ,

? ? b 2 ? 4a ? 0 ? a ?

b2 , 4

b2 ?1 g (1) a ? b ? 1 a ? 1 b 1 b 1 ? ? ?1 ? 4 ? 1 ? ? ? 1, 令 h(b) ? ? ? 1, b ? 0 , 法一: 4 b g ?(0) b b b 4 b
h?(b) ? 1 1 ? , 令 h?(b) ? 0, 又 b ? 0, 则 b ? 2 , 当 b ? ( 0 , 2时 ) , h?(b )? 0 当 , b ? (2, ??) 时 , 4 b2

h?(b )? 0? , h(b) m i n? h(2) ?

2 1 g (1) ? ? 1 ? 2 。? ( ) min ? 2 。 4 2 g ?(0)

b2 ?1 g (1) a ? b ? 1 a ? 1 b 1 b1 ? ? ?1 ? 4 ?1 ? ? ?1 ? 2 ?1 ? 2 , 法二: g ?(0) b b b 4 b 4b
“?”?

b 1 g (1) ? ? b ? 2 ,? ( ) min ? 2 。 4 b g ?(0)

19.(本小题 12 分)解: (1)法一:以 C 为原点, CB 所在直线为 x 轴, CA 所在直线为 y 轴,过 C 且垂 直于平面 ABC 的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系,如图,

则 C (0,0,0), A(0, a,0), B(a,0,0) 设 P( x, y,0) ,

-7-

由 AP ? ? PB ? ( x, y ? a,0) ? ? (a ? x, ? y,0)

?a a ?a a ,y? , ? P( , , 0) , ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 a ?a , 0), F ( , 0, 0), 从而 E (0, ? ?1 ? ?1 a ?a ?a a , ) , B '( , 0, ), 于是 A '(0, ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1
?x?
平面 A?PE 的一个法向量为 CE ? (0, 又 CB? ? (

?a a , 0, ) , CB? ? CE ? 0 ,从而 B ' C // 平面 A ' PE 。 ? ?1 ? ?1

a , 0) , ? ?1

法二:因为 FC // PE , FC ? 平面 A ' PE ,所以 FC // 平面 A ' PE ,因为平面 A ' PE ? 平面 ABC ,且 A ' E ? PE ,所以 A ' E ? 平面 ABC .同理, B ' F ? 平面 ABC ,所以 B ' F // A ' E ,从而 B ' F // 平面 A ' PE .所以平面 B ' CF // 平面 A ' PE ,从而 B ' C // 平面 A ' PE 。 (2)解:由(1)中解法一有: CA ' ? (0,

a ?a ?a a (1 ? ? )a , ) , A' B ' ? ( ,? , ), ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 a a 1 B ' P ? (0, ,? ) 。可求得平面 CA ' B ' 的一个法向量 m ? ( , ? , ?1) ,平面 PA ' B ' 的一个法向量 ? ?1 ? ?1 ? 1 n ? (1,1,1) ,由 m ? n ? 0 ,即 ? ? ? 1 ? 0 ,又 ? ? 0 , ? 2 ? ? ? 1 ? 0 ,由于 ? ? ?3 ? 0 ,

?

所以不存在正实数 ? ,使得二面角 C ? A?B? ? P 的大小为 90 。
0

20. (本小题满分 12 分)解: (1) A 1 (?a,0), A 2 (a,0), F (c,0) ,设 D( x , 0),由

1 1 ? ?2有 A1D A2 D

1 1 1 1 ? ? 2 ,又 FD ? 1 ,? x ? c ? 1,? x ? c ? 1 ,于是 ? ?2 x?a x?a c ?1? a c ?1? a

? c ? 1 ? (c ? 1 ? a)(c ? 1 ? a) ,又

c 2 ? ? a ? 2c ,?c ? 1 ? (c ? 1 ? 2c)(c ? 1 ? 2c) a 2
x2 ? y 2 ? 1 ,且 D(2, 0) 。 2

? c 2 ? c ? 0 ,又 c ? 0 ,?c ? 1,?a ? 2, b ? 1 ,椭圆 C :

? y ? kx ? m x2 ? 2 (2) Q(2, 2k ? m) ,设 P( x0 , y0 ) ,由 ? x ? ? (kx ? m)2 ? 1 2 2 ? ? y ?1 ?2

? x2 ? 2(kx ? m)2 ? 2 ? (2k 2 ? 1) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0 ,
由于 ? ? 16k m ? 4(2k ? 1)(2m ? 2) ? 0 ? 2k ? m ? 1 ? 0 ? m ? 2k ? 1 (*) ,
2 2 2 2 2 2 2 2

而由韦达定理: 2 x0 ?

?4km ?2km 由(*)?2km 2k ? x ? ? ?? , 0 2 2 2 2k ? 1 2k ? 1 m m
-8-

2k 1 2k 2 1 ? y0 ? kx0 ? m ? ? ? m ? ,? P (? , ) , m m m m
设以线段 PQ 为直径的圆上任意一点 M ( x, y ) ,由 MP ? MQ ? 0 有

(x ?

2k 1 2k 1 2k )( x ? 2) ? ( y ? )( y ? (2k ? m)) ? 0 ? x 2 ? y 2 ? ( ? 2) x ? (2k ? m ? ) y ? (1 ? ) ? 0 由 对 m m m m m

称性知定点在 x 轴上,令 y ? 0 ,取 x ? 1 时满足上式,故过定点 K (1, 0) 。

21.(本小题满分 12 分)解: (1)定义域为 (0, ??), f ?( x) ? ? ① 当 a ? 0 时,

a 1 x?a ? ? 2 , x2 x x

x ? 0,? x ? a ? 0,? f ?( x) ? 0 ,? f ( x) 在定义域 (0, ??) 上单增;

② 当 a ? 0 时,当 x ? a 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单增;当 0 ? x ? a 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单减。

? 增区间: (a, ??) ,减区间: (0, a ) 。
综上可知:当 a ? 0 时,增区间 (0, ??) ,无减区间;当 a ? 0 时,增区间: (a, ??) ,减区间: (0, a ) 。 (2) f ( x) ? 1 ?

a a ? ln x ? 1 ? ? ? ln x ? 1 ? a ? ? x ln x ? x 对任意 x ? (0,1] 恒成立 x x

? a ? [? x ln x ? x]max , x ? (0,1] ,令 g ( x) ? ? x ln x ? x, x ? (0,1] ,
1 g ?( x) ? ? ln x ? x ? ? 1 ? ? ln x ? 0( x ? (0,1]) ,? g ( x) 在 x ? (0,1] 上单增, x

? g ( x)max ? g (1) ? 1,? a ? 1 ,故 a 的取值范围为 [1, ??) 。
(3)存在,如 b ? 0 等。下面证明: 1 ? 及

1 1 ? ? 2 3

?

1 ? ln n (n ? 2, n ? N ? ) n

1 2 3 n ?1 ? 3 ? 3 ? ? 3 ? ln(n ? 1) (n ? 2, n ? N ? ) 成立。 3 2 3 4 n 1 1 1 2 3 n ① 先证 1 ? ? ? ? ? ln n (n ? N ? ) ,注意 ln n ? ln ? ln ? ? ln , 2 3 n 1 2 n ?1 1 k 1 ? ln ? ln(1 ? ) (k ? 2,3, n) (*)即可, 这只要证 k ?1 k ?1 k ?1 1 (k ? 2) 即可得上式成立。 容易证明 x ? ln(1 ? x) 对 x ? 0 恒成立(这里证略),取 x ? k ?1 1 1 1 ? ln n (n ? N ? ) , 让 k ? 2,3, , n 分别代入(*)式再相加即证: 1 ? ? ? ? 2 3 n ?1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? 1? ? ? ? ? ln n (n ? N ? ) 。 于是 1 ? ? ? ? 2 3 n ?1 n 2 3 n ?1 1 2 3 n ?1 ② 再证 3 ? 3 ? 3 ? ? 3 ? ln(n ? 1) (n ? 2, n ? N ? ) , 2 3 4 n
法一:

1 2 3 ? ? ? 23 33 43

?

n ?1 ? ln(n ? 1) (n ? 2, n ? N ? ) n3
-9-

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 3 ) ? ( 2 ? 3 ) ? ( 2 ? 3 ) ? ? ( 2 ? 3 ) ? ln(n ? 1) ? ln[(1 ? )(1 ? )(1 ? ) (1 ? )] 2 2 2 3 3 4 4 n n 1 2 3 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( 2 ? 3 ) ? ( 2 ? 3 ) ? ( 2 ? 3 ) ? ? ( 2 ? 3 ) ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ? ln(1 ? ) 2 2 3 3 4 4 n n 1 2 3 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( 2 ? 3 ) ? ( 2 ? 3 ) ? ( 2 ? 3 ) ? ? ( 2 ? 3 ) ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ? ln(1 ? ) 只 须 证 1 1 2 2 3 3 n n 1 2 3 n 1 1 1 ? 3 ? ln(1 ? )(k ? N ? ) ,构造证明函数不等式: x2 ? x3 ? ln(1 ? x) ( x ? 0) , 2 k k k ?(
令 u( x) ? x2 ? x3 ? ln( x ? 1) , u?( x) ? 2 x ? 3x ?
2

1 ?3x3 ? ( x ? 1) 2 ? ,当 x ? [0, ??) 时, x ?1 x ?1

,即 u?( x) ? 0,?u ( x) 在 [0, ??) 上 单 调 递 减 , 又 u (0) ? 0, ? 当 x ? (0, ??) 时 , 恒 有 u( x) ? u( 0) ? 0

x2 ? x3 ? ln( x ? 1) ( x ? 0) 恒成立。
1 1 1 1 1 k ? N ? ,? ? (0, ??) ,取 x ? ,则有 2 ? 3 ? ln(1 ? )(k ? N ? ) , k k k k k
让 k ? 1, 2,3,

, n 分别代入上式再相加即证:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 2 ? 3 ) ? ( 2 ? 3 ) ? ( 2 ? 3 ) ? ? ( 2 ? 3 ) ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ? ln(1 ? ) , 1 1 2 2 3 3 n n 1 2 3 n 1 2 3 n ?1 即证 3 ? 3 ? 3 ? ? 3 ? ln(n ? 1) (n ? 2, n ? N ? ) 。 2 3 4 n n ?1 n ?1 n ?1 1 1 1 1 法二: ? 3 ? ? 2 ? ? ? , (n ? 2) , 3 2 n n ? 1 (n ? 1)(n ? n ? 1) n ? n ? 1 n(n ? 1) n n ? 1 1 2 3 n ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? 3 ? ( ? )?( ? )? ?( ? )? ? ? , 2 3 4 n 2 3 3 4 n n ?1 2 n ?1 2 1 又 n ? 2, ln(n ? 1) ? ln 3 ? ln e ? , 故不等式成立。 2
(注意:此题也可用数学归纳法! )

- 10 -


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