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高中必修1-5错误解题分析系列-《3.4三角函数的图像与性质》


第三章

基本初等函数Ⅱ(三角函数)
3.4 三角函数的图像与性质

一、知识导学 1.三角函数线.设角 ? 的终边与单位圆交于点 P ,过点 P 做 PM ? x 轴于 M ,过点

A(1,0) 做单位圆的切线,与角 ? 的终边或终边的反向延长线相交于点 T ,则有向线段 MP, OM , AP 分别叫做角 ? 的正弦线,余弦线,正切线.
2.三角函数的图像 (1) y ? sin x, y ? cos x, y ? tan x, y ? cot x 四种图像 (2)函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图像 ①“五点作图法” ②图像变化规律 3.三角函数的定义域、值域及周期 4.三角函数的奇偶性和单调性 二、疑难知识导析 1. y ? A sin(?x ? ? ) + B( A ? 0, ? ? 0) 中, A, B, ? 及 ? ,对正弦函数 y ? sin x 图像的 影响,应记住图像变换是对自变量而言.

? ? ? 个单位,应得 y ? sin 2( x ? ) ,而不是 y ? sin( 2 x ? ) 6 6 6 ? 2.用 “五点法” 作 y ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0) 图时, 将 ?x ? ? 看作整体, 取 0, ,
如: y ? sin 2 x 向右平移

?,

3? ,2? 来求相应的 x 值及对应的 y 值,再描点作图. 2

2

3. y ? sin x, y ? cos x, y ? A sin(?x ? ? ) 的图像既是中心对称图形,又是轴对称图形. 而 y ? tan x 图像只是中心对称图形,掌握对称中心和对称轴的求法及位置特征,充分 利用特征求出中 y ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0) 的各个参数. 4.三角函数的定义域是研究其它一切性质的前提.求定义域实质上是解简单的三角不等 式(组).要考虑到分母不为零,偶次根式被开方数不小于零,对数的真数大于零、底数 大于零且不等于 1,同时还要考虑到函数本身的定义域.可用三角函数图像或三角函数线 解不等式(组).

x 型,这要变形成 5. 求 三 角 函 数 的 值 域 是 常 见 题 型 . 一 类 是 y ? a s i nx ? b c o s

y ? a2 ? b2 s i n x ( ? ? ) ;二是含有三角函数复合函数,可利用换元、配方等方法转换
成一元二次函数在定区间上的值域. 6. y ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0) 单调性的确定,基本方法是将 ?x ? ? 看作整体,
1

如求增区间可由 2 k? ?

?
2

? ? x ? ? ? 2 k? ?

?
2

( k ? z ) 解出 x 的范围.若 x 的系数为负

数,通常先通过诱导公式处理. 7.利用单调性比较函数值的大小 .往往先利用对称型或周期性转化成同一单调区 间上的两个同名函数. 三、典型例题导讲 [例 1] 为了得到函数 y ? sin? 2 x ?

? ?

??
? 3

? 的图像,可以将函数 y ? cos2 x 的图像( 6?
C 向左平移



A 向右平移

? 6

B 向右平移

? 6

D 向左平移

? 3

错解:A 错因:审题不仔细,把目标函数搞错是此题最容易犯的错误. 正解:B [例 2] 函数 y ? sin x?1 ? tan x ? tan ? 的最小正周期为(

? ?

x? 2?

)

A 错解:A

?

B 2?

C

? 2

D

3? 2

错因:将函数解析式化为 y ? tan x 后得到周期 T ? ? ,而忽视了定义域的限制,导致出错. 正解:B [例 3]下列四个函数 y=tan2x,y=cos2x,y=sin4x,y=cot(x+ 称的三角函数有( )个. A.1 B.2 C.3 错解:B 错因:对三角函数图像的对称性和平移变换未能熟练掌握. 正解:D [例 4]函数 y ? 2 sin( A. [0,

? ? ),其中以点( ,0)为中心对 4 4
D.4

?
6

? 2 x)( x ? [0, ? ]) 为增函数的区间是 (

)

? ] 3

B. [

?
12

,

7? ] 12

C. [

?
3

,

5? ] 6

D. [

5? , ?] 6

错解:B 错因:不注意内函数的单调性. 正解: C [例 5]函数 f ( x ) ? 3 sin x cos x ? 4 cos x 的最大值为__________.
2

解: f ( x ) ?

3 1 ? cos 2 x 5 sin 2 x ? 4 ? ? sin(2 x ? ? ) ? 2 2 2 2 5 1 当 sin(2 x ? ? ) ? 1时,f ( x ) 取最大值 ? 2 ? 2 2
2

[例 6] 函数 y ? ? x ? cos x 的部分图像是(



y

y

y

y

O O x O x x O x

A
解:选 D.

B

C

D

提示:显然 y ? ? x cos x为奇函数,故排除 A、C

令x ? 0且x ? 0,判断出相应的 y ? 0, 即当横坐标x ? 0且x ? 0时,纵坐标y ? 0,故弃D选B
[例 7] 当 ?

?
2

?x?

?
2

时,函数y ? sin x ? 3 cos x的(
B. 最大值为 1,最小值为 ?



A. 最大值为 1,最小值为-1 C. 最大值为 2,最小值为 ?2 解:选 D 解析: y ? sin x ?

1 2 D. 最大值为 2,最小值为 ?1

3 cos x ? 2 sin( x ?

?
3

) ,而 ?

?
2

?x?

?
2

?x ?

?

5? ? ? ? ? ? 1 ? ? ?? , ? ,故 sin( x ? ) ? ?? ,1? 3 ? 6 6? 3 ? 2 ?

? y max ? 2 ,y min ? ?1
[例 8]已知定义在区间 [ ? ? , ? ] 上的函数 y ? f ( x) 的图像关于直线

x??

?
6

对称, 当 x ?[ ?

? 2

2 3

? ? 函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? ? ? ) , , ? ] 时, 6 3 2 2
y

其图像如图所示. (1)求函数 y ? f ( x) 在 [ ? ? , ? ] 的表达式; (2)求方程 f ( x ) ?

2 3

1
?

2 的解. 2


x??? 6

?

o

? 6

2? 3

?

x

? 2 ?? ? ? ) 解: (1)当 x ? [ ? 6 , 3 ? ] 时,函数 f ( x) ? Asin(?x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? 2 2 ,观察

? ? 图像易得: A ? 1 , ? ? 1 , ? ? 3 ,即时,函数 f ( x) ? sin( x ? 3 ) ,

由函数 y ? f ( x ) 的图像关于直线

x ? ?? 6

? 对称得, x ? [ ? ? , ? 6 ] 时,

3

? ? ?sin( x ? 3 ) f ( x ) ? ? 函数 f ( x ) ? ? sin x . ∴ ? ?? sin x

?] x ? [? ? , 23 6

x ? [?? ,? ? ) 6

.

2 ? ? 2 (2)当 x ? [ ? 6 , 3 ? ] 时,由 sin( x ? 3 ) ? 2 得, x ? ? ? ? 或 3? ? x ? ? ? 或x ? 5? ;
3 4 4 12 12



x ?[ ? ? , ? ? ] 6 时,由 ? sin x ?

2 x 2 得,

? 或x ? ? ? ? ? 34 4

.

3? 2 ∴方程 f ( x) ? 2 的解集为 { ? 4 四、典型习题导练

? , 5? } ,?? , ? 12 4 12

1.函数 y ? sin(2 x ? A. x ? ? C. x ?

?
2

5? ) 的图像的一条对称轴方程是( 2
B. x ? ? D. x ?



?

?
8

5? 4

4

2.已知点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 是函数 y ? sin x (?? ? x ? 0) 上的两个不同点,且 x1 ? x 2 , 试根据图像特征判定下列四个不等式的正确性:① x 1
1 2

sin x1

?

sin x2 x2 ;② sin x1

? sin x2 ;③
.

(sin x1 ? sin x 2 ) ? sin

x1 ? x2 2 ;④ sin

x1 ? 2

sin

x2 2

.其中正确不等式的序号是

3. 函数y ? sin(

?
3

? 2 x ) ? cos 2 x的最小正周期是



4.若常数α 满足 log?

α

?

<1,求使函数 f (x)=sin(x+α )+cos(x-α )为偶函数的α 的值.

5.已知函数 y ?

1 3 cos2 x ? sin x ? cos x ? 1 , x ? R 2 2

(1)当 y 取最大值时,求自变量 x 的集合; (2)该函数的图像可由 y=sinx, ( x ? R ) 的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到? 6. 已知函数y ? sin x ? a sin x ?
2

1 (a为常数,且a ? 0) 2

求函数的最小值. 7. (06 年高考浙江卷)如图,函数 y=2sin(π x+φ ),x∈R,(其中 0≤φ ≤ 的图象与 y 轴交于点(0,1). (1)求φ 的值;

? ) 2

4

(2)设 P 是图象上的最高点,M、N 是图象与 x 轴的交点,求 PM与PN的夹角 . 3.5 解三角形及三角函数的应用 一、知识导学 1.解三角形的的常用定理: (1) 内角和定理: A ? B ? C ? ? 结合诱导公式可减少角的个数. (2) 正弦定理:

a b c ? ? ? 2 R ( R 指△ABC 外接圆的半径) sin A sin B sin C 1 1 1 ( S ? ab sin C ? bc sin A ? ac sin B) 2 2 2
a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ? c 2 及其变形.

(3) 余弦定理: (4) 勾股定理:

Rt?ABC中a 2 ? b 2 ? c 2

2.解三角形是指已知三角形中的部分元素运用边角的关系求得其他的边角的问题. 三角函数的应用是指用三角函数的理论解答生产、科研和日常生活中的实际应用问题. 他的显著特点是(1)意义反映在三角形的边、角关系上,有直角三角形,也有斜三角形 . (2)函数模型多种多样,有三角函数,有代数函数,有时一个问题中三角函数与代数函数 并存.解三角函数应用题一般首先审题,三角函数应用题多以“文字语言,图形语言”并用 的方式,要通过审题领会其中的数的本质,将问题中的边角关系与三角形联系起来,确定以 什么样的三角形为模型, 需要哪些定理或边角关系列出等量或不等量关系的解题思路; 其次, 寻求变量之间的关系,也即抽象出数学问题,要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号 语言等方式来思考解决问题;再次,讨论对数学模型的性质对照讨论变量的性质,从而得到 的是数学参数值;最后,按题目要求作出相应的部分问题的结论. 二、疑难知识导析 1.对各类定理的应用要注意使用其变形逆用 .同时充分利用方程的思想知道其中的部分量可 求出其他量. 2.三角函数的应用主要是图像和性质的应用. 3.三角形中元素关系的应用与实际问题中的应用关键是如何建立数模结构. 三、经典例题导讲
2 [例 1]已知方程 x ? 4ax ? 3a ? 1 ? 0 (a 为大于 1 的常数)的两根为 tan ? , t an ? ,

且? 、 ? ? ? ?

? ?? ? ? ?? , ? ,则 tan 的值是_________________. 2 ? 2 2?

?, t a n ? 是方程 x 2 ? 4ax ? 3a ? 1 ? 0 的两个根 错解: ? t a n
? tan? ? tan ? ? ?4a , tan? ? tan ? ? 3a ? 1

5

由 tan

?? ? ? ? =

? ?? tan? ? tan ? ? 4a 4 ? ?2 . = = 可得 tan 2 1 ? tan? ? tan ? 1 ? ?3a ? 1? 3

错因:忽略了隐含限制 t an? , t an? 是方程 x 2 ? 4ax ? 3a ? 1 ? 0 的两个负根,从而导致错 误. 正解:? a ? 1

? ?t an ? ? ?4a ? 0 , tan? ? tan? ? 3a ? 1 ? o ?t an

? tan? , tan? 是方程 x 2 ? 4ax ? 3a ? 1 ? 0 的两个负根
又? , ? ? ? ?

? ? ?? , ? ? 2 2?

? ?? ? ? ? ? ? ? ?? , ? ? ? ? ,0 ? 即 ? ? ? ,0 ? 2 ? 2 ? ? 2 ?

由 tan 答案: -2 .

?? ? ? ? =

tan? ? tan ? ? 4a 4 ? ?? ? ?2. = = 可得 tan 2 1 ? tan? ? tan ? 1 ? ?3a ? 1? 3

[例 2]在 ?ABC 中,已知 a ,b,c 是角 A、B、C 的对应边,则 ①若 a ? b ,则 f ( x) ? (sin A ? sin B) ? x 在 R 上是增函数; ②若 a 2 ? b 2 ? (a cos B ? b cos A) 2 ,则 ? ABC 是 Rt ? ; ③ cos C ? sin C 的最小值为 ? 2 ; ④若 cos A ? cos 2 B ,则 A=B; ⑤若 (1 ? tan A)(1 ? tan B) ? 2 ,则 A ? B ? 错解:③④⑤中未考虑 0 ? C ? ? . 错因:④中未检验. 正解:错误命题③⑤. ① a ? b ? sin A ? sin B,? sin A ? sin B ? 0

3 ? ,其中错误命题的序号是_____. 4

? f ( x) ? (sin A ? sin B) x在R上是增函数。
② a ? b ? c , a ? b ? c , 则?ABC是Rt? .
2 2 2 2 2 2

③ sin c ? cos c ?

2 sin( c ?

?
4

), 当sin( c ?

?
4

) ? ?1, 时最小值为 ? 2 .

显然 0 ? c ? ? , .得不到最小值为 ?

2.

④ cos2 A ? cos2B ? i ? 2 A ? 2B , A ? B

6

或 2 A ? 2? ? 2B, A ? ? ? B, A ? B ? ? (舍) ,? A ? B . ⑤ 1 ? tan A ? tan B ? tan A ? tan B ? 2,1 ? tan A ? tan B ? tan A ? tan B

?

tan A ? tan B ? ? 1,即 tan( A ? B) ? 1, ?A? B ? 1 ? tan A ? tan B 4 sin x cos x 的值域为______________. 1 ? sin x ? cos x

? 错误命题是③⑤.
[例 3]函数 f(x)= 错解: ??

? ?

2 1 2 1? ? , ? ? 2 2 2 2?
2

t ?1 ? ?1 错因:令 t ? sin x ? cos x 后忽视 t ? ?1 ,从而 g (t ) ?
正解: ??

? ?

? ? 2 1 2 1? ? ? 1, ? ,?1? ? ? ? ? ? 2 2 2 2? ? ?

[例 4] (06 年高考江苏卷) cot 20? cos10? ? 3 sin10? tan 70? ? 2 cos 40? = 【思路点拨】本题考查三角公式的记忆及熟练运用三角公式计算求值 解: cot 20? cos10? ? 3 sin10? tan 70? ? 2 cos 40?



cot 200 cos100 3 sin 100 sin 700 ? ? 2 cos400 0 0 sin 20 cos70 cos200 cos100 ? 3 sin 100 cos200 ? 2 cos400 sin 200



cos 200 (cos100 ? 3 sin100 ) ? 2 cos 400 sin 200 2 cos 200 (cos100 sin 300 ? sin100 cos 300 ) ? ? 2 cos 400 0 sin 20 0 0 2 cos 20 sin 40 ? 2sin 200 cos 400 ? sin 200 ?2 ?
【解后反思】方法不拘泥,要注意灵活运用,在求三角的问题中,要注意这样的口决“三看”即 (1)看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化, (2)看名称,把一道等式尽量化成同一名称或相近 的名称,例如把所有的切都转化为相应的弦,或把所有的弦转化为相应的切,(3)看式子,看 式子是否满足三角函数的公式 .如果满足直接使用 ,如果不满足转化一下角或转换一下名称 , 就可以使用. [例 5] 在锐角△ABC 中,A<B<C,且 B=60°,
7

(1 ? cos2 A)(1 ? cos2C) =

3 ?1 ,求证:a+ 2b ? 2c. 2
1 2
∵锐角△ABC 中,cosA>0,cosC>0,

解:∵B=60° ∴A+C=120° cos(A+C)=又由已知 2 cos2 A ? 2 cos2 C =

3 ?1 2 3 ?1 4

∴cosAcosC=

3 ?1 4 3 2
B=60°

sinAsinC=

∴cos(C-A)= ∴A=45°

即 C-A=30° C=75°

∴a+ 2 b=2R(sin45°+ 2 sin60°)=2·2R

2? 6 =2·2Rsin75°=2c 4

[例 6]如图,在平面有点 A、B、P、Q,其中 AB ? △PQB 面积为 S、T,求 S2+T2 的取值范围. 解:设∠BAP=α α ∈[0,

3 , AP ? PQ ? QB ? 1, 设△APB 与

л ] 2

∠BQP=β ,在△PAB,△PBQ 中 由余弦定理 cosβ =cosα -1 ∴S +T =(
2 2

1 3 2 2 sinα ) +( sinβ ) 2 2

=-

1 2 7 3 (cos ? - )+ 2 8 2 3
2 2

∴当 cosα =1 时,S +T 有最小值

2 3 ?3 4
7 8

当 cosα =

1 2 3

时,S +T 有最大值

2

2

[例 7]已知函数 f(x)=sin(?x+?), x?R, (其中 ?>0)的图像与 x 轴在原点右侧的第一个交点为 N (6,0),又 f(2+x)=f(2-x),f(0)<0,求这个函数的解析式. 解:?f(2+x)=f(2-x)

? f(x)关于 x=2 对称,又 x 轴在原点右侧的第一个交点为 N(6,0)

8

?

T 2? ? =6-2=4,即 T=16,? ? ? = . 4 T 8

将 N(6,0)代入 f(x)=sin( 得:?=2k ? +

? 或 ?=2k ? + (k?Z), 4 4 5? 5? (k?Z),满足条件的最小正数 ?= , ?f(0)<0,? ?=2k ? + 4 4 ? 5? ). ?所求解析式 f(x)=sin( x+ 8 4
[例 8] 已知△ABC 的周长为 6, BC , CA , AB 成等比数列,求 (1)△ABC 的面积 S 的最大值; (2) BA ? BC 的取值范围. 解 设 BC , CA , AB 依次为 a,b,c,则 a+b+c=6,b?=ac,

? 3? x+?)得:sin( +?)=0, 8 4 5?

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac 2ac ? ac 1 ? ? ? , 由余弦定理得 cos B ? 2ac 2ac 2ac 2 a ?c 6?b ? ? , 从而 0 ? b ? 2 故有 0 ? B ? ,又 b ? ac ? 2 2 3 1 1 2 1 2 ? (1)所以 S ? ac sin B ? b sin B ? ? 2 ? sin ? 3 ,即 Smax ? 3 2 2 2 3
(2)所以 BA ? BC ? ac cos B ?

a 2 ? c 2 ? b 2 (a ? c) 2 ? 2ac ? b 2 ? 2 2

(6 ? b)2 ? 3b 2 ? ? ?(b ? 3) 2 ? 27 2

? 0 ? b ? 2,? 2 ? BA? BC ? 18,
四、典型习题导练 1.在 Rt△ABC 中,C=90°,则 sinAcos2(45°- A.有最大值

B A A )-sin cos 2 2 2
B.有最大值

1 和最小值 0 4

C.即无最大值也无最小值

1 但无最小值 4 1 D.有最大值 但无最小值 2
) D.向左平移

2.要得到 y=sin2x 的图像,只需将 y=cos(2xA.向右平移

л 8

B.向左平移

л 8

л )的图像 ( 4 л C.向右平移 4

л 4
9

3.电流强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 I= A ? sin(?t ?

)( A ? 0, ? ? 0) 的图像如图 6 1 所示,则当 t ? 秒时,电流强度是 安. 50

?

4.在△ABC 中,sin

A B C 1 sin sin = ,则△ABC 的形状 2 2 2 8
.

为 . 5.直角三角形的周长为定值 2l,则斜边的最小值是
2 2

6. 如 果 方 程 x -4xcos θ +2=0 与 方 程 2x +4xsin2 θ -1=0 有 一 根 , 互为倒数求θ 值, 其 中 0< θ < π . 7. 如图,已知一半径为 1,圆心角为 求该矩形的最大面积. 8.在 ?ABC中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,设 a ? c ? 2b,A ? C ? 的值.

? 的扇形中,有一个一边在半经上的内接矩形 ABCD, 3
?
3
,求 sinB

10


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