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高一数学《平面向量》期末练习题及答案


平面向量
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 1、下列向量组中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 A. a ? ( 0 , 0 ) C. a ? ( 3 , 5 )
? ?





? b ? (1, ? 2 ) ? b ? ( 6 ,10 )

B. a ? ( ? 1 , 2 ) D. a ? ( 2 , ? 3 )
?

?

? b ? ( 2 ,? 4 ) ? b ? ( 6 ,9 )

2、若 ABCD 是正方形,E 是 CD 的中点,且 AB ? a , AD ? b ,则 BE = A. b ?
1 2 a

(

)

B. b ?

1 2

a

C. a ?

1 2

b

D. a ?

1 2

b

? ? ? ? ? ( a ? a )b ? ? ? ? ? ? 3、若向量 a 与 b 不共线, a ? b ? 0 ,且 c ? a ? ? ? ,则向量 a 与 c 的夹角为 a ?b

( A.


π 2

B.

π 6

C.

π 3

D.0

4 、 设 i , j 是 互 相 垂 直 的 单 位 向 量 , 向 量 a ? ( m ? 1) i ? 3 j , b ? i ? ( m ? 1) j ,
(a ? b) ? (a ? b)

,







m





) A.-2 B.2 C. ?
1 2

D.不存在

5、 在四边形 ABCD 中,AB ? a ? 2 b ,BC ? ? 4 a ? b ,CD ? ? 5 a ? 3 b , 则四边形 ABCD 的 ( ) A.长方形 6 ( 、 ) 下 形 B.平行四边形 列 说 法 C.菱形 正 确 状 D.梯形 的 个 数 为 是

( | ( (1) ? a ) ? b ? ? ( a ? b ) ? a ? ( ? b ) ; (2) a ? b |? | a | ? | b | ; (3) a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c

(4)( a ? b ) ? c ? a ? ( b ? c ) ;

(5)设 a , b , c 为同一平面内三个向量,且 c 为非零向量,

a , b 不共线,则 ( b ? c ) a ? ( c ? a ) b 与 c 垂直。

A.2

B. 3

C.

4

D. 5

CA AB 7、 在边长为 1 的等边三角形 ABC 中, BC ? a , ? b , ? c , a ? b ? b ? c ? c ? a 设 则

的值为 A.
3 2

( B. ?
3 2

C.0

D.3

8、 向量 a = (-1, , a 与 a +2 b 方向相同, a ? b 的范围是 1) 且 则 A. (1,+∞) B. (-1,1) C. (-1,+∞) D. (-∞,1)





9、在△OAB 中, OA =(2cosα ,2sinα ) OB =(5cosβ ,5sinβ ) , ,若 OA ? OB =-5, 则 S△OAB= A. 3 B.
3 2

( C. 5 3 D.
5 3 2



b 10、 若非零向量 a 、 满足 | a ? b | ? | b | , 则

( C.
| 2 a |? | 2 a ? b |



A.

| 2 b | ? | a ? 2 b | B. | 2 b |? | a ? 2 b |

D. | 2 a |? | 2 a ? b |

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 11、若向量 a ? ( ? 3 , 4 ) ,则与 a 平行的单位向量为________________ , 与 a 垂直的单位向量为______________________。 12、已知 a ? ( 2 , 3 ) , b ? ( ? 3 , 4 ) ,则 ( a ? b ) 在 ( a ? b ) 上的投影等于___________ 。 13、已知三点 A (1, 2 ), B ( 2, ? 1), C ( 2, 2 ) , E , F 为线段 B C 的三等分点,则 A E ? A F = _____. 14.设向量 a 与 b 的夹角为θ ,定义 a 与 b 的“向量积”:
? ? ? ? ? a ? b 是一个向量,它的模 | a ? b | ? | a | ? | b | ? sin ? .

?

?

?

?

?

?

?

?

?

??? ???? ?

?

?

?

?

若 a ? ( ? 3 , ? 1), b ? (1, 3 ) ,则 | a ? b | ? 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。 15. (本小题满分 12 分)

?

?

?

?

.

设向量 OA = (3, , 1) OB = (-1, , 2) 向量 OC ? OB ,BC ∥ OA , OD + OA = OC , 又 求 OD 。

16. (本小题满分 12 分) 已知向量 O A ? (3, ? 4 ), O B ? (6, ? 3), O C ? (5 ? x , ? 3 ? y ) . (Ⅰ)若点 A , B , C 能构成三角形,求 x , y 满足的条件; (Ⅱ)若 ? A B C 为等腰直角三角形,且 ? B 为直角,求 x , y 的值.
??? ? ??? ? ????

17、 (本小题满分 14 分) 已知 A(2,0),B(0,2),C(cosα ,sinα ),(0<α <π )。 (1)若 | OA ? OC |?
7 (O 为坐标原点) ,求 OB 与 OC 的夹角;

(2)若 AC ? BC ,求 tanα 的值。

18、 (本小题满分 14 分) 如图,O,A,B 三点不共线, OC ? 2 OA ,
OD ? 3 OB ,设 OA ? a , OB ? b 。

D

N B

(1)试用 a , b 表示向量 OE ; (2)设线段 AB,OE,CD 的中点分别为 L,M, N, 试证明 L,M,N 三点共线。
O

E L M A C

19、 (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知向量 a ? ( ? 1, 2 ) , 又点 A (8, 0 ), B ( n , t ), C ( k s in ? , t )( 0 ? ? ? (1)若 A B ? a , 且 | A B |?
????
??? ? ??? ?

?
2

)

??? ? ??? ? 5 | O A | ,求向量 O B ; ??? ? ????

(2)若向量 A C 与向量 a 共线,当 ? 4 时,且 t s in ? 取最大值为 4 时,求 O A ? O C

20、 (本小题满分 14 分) 已知向量 a ? (c o s
? ?
? ?
? 3 2 x , s in 3 2 x ), ? x x ? b ? (c o s , ? s in ) ,且 x ? [0 , ] ,求: 2 2 2

(1) a ? b 及 | a ? b | ; (2)若 f ( x ) ? a ? b ? 2 ? | a ? b | 的最小值为 ?
? ? ? ?

3 2

,求实数 ? 的值。

平面向量测试题参考答案

一、选择题: (每小题 5 分) DBAAD

BBCDA

二、填空题: (每小题 5 分) 11、 ( ?

3 4 , ); 5 5

(

3 5

,?

4 5

)

(

4 3 , ); 5 5

(?

4 5

,?

3 5

)

12、 ?

6 5

2

13、

3

14、 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。 15.解: 设 OC =(x,y) , ∵ OC ? OB ,∴ OC ? OB ? 0 ,∴2y – x =0,① 又∵ BC ∥ OA , BC =(x+1,y-2) ,∴3( y-2) – (x+1)=0,即:3y – x-7=0,② 由①、②解得,x=14,y=7,∴ OC =(14,7) ,则 OD = OC - OA =(11,6) 。

16、解: (Ⅰ) 若点 A , B , C 能构成三角形,则这三点不共线,? A B ? (3,1),
???? A C ? ( 2 ? x ,1 ? y ), ∴ 3(1 ? y ) ? 2 ? x ,∴ x , y 满足的条件为 3 y ? x ? 1

??? ?

(Ⅱ)? A B ? (3,1), B C ? ( ? x ? 1, ? y ) , 若 ? B 为直角,则 A B ? B C , ∴ 3( ? x ? 1) ? y ? 0 , 又 | A B |? | B C | ,∴ ( x ? 1) ? y ? 1 0 ,再由 y ? 3( ? x ? 1) ,
2 2

??? ?

????

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

解得 ?

?x ? 0 ? y ? ?3

或?

? x ? ?2 ?y ? 3



17、解:⑴∵ OA ? OC ? ( 2 ? cos ? , sin ? ) , | OA ? OC |? ∴ ( 2 ? cos ? ) ? sin ? ? 7 ,∴ cos ? ?
2 2

7 ,

1 2



又 ? ? ( 0 , ? ) ,∴ ? ?
?
2

?
3

,即 ? AOC ?

?
3



又 ? AOB ?

,∴ OB 与 OC 的夹角为

?
6



⑵ AC ? (cos ? ? 2 , sin ? ) , BC ? (cos ? , sin ? ? 2 ) , 由 AC ? BC ,∴ AC ? BC ? 0 , 可得 cos ? ? sin ? ?
1 2





∴ (cos ? ? sin ? ) ?
2

1 4

,∴ 2 sin ? cos ? ? ?
?
2

3 4



∵ ? ? ( 0 , ? ) ,∴ ? ? (

,? ) ,

又由 (cos ? ? sin ? ) ? 1 ? 2 sin ? cos ? ?
2

7 4

, cos ? ? sin ? <0,

∴ cos ? ? sin ? =-
1?

7 2


1? 4


4? 3

由①、②得 cos ? ?

7 4

, sin ? ?

7

,从而 tan ? ? ?

7



18、解:(1)∵B,E,C 三点共线,∴ OE =x OC +(1-x) OB =2 x a +(1-x) b ,① 同理,∵A,E,D 三点共线,可得, OE =y a +3(1-y) b ,② 比较①,②得, ?
?2 x ? y, ?1 ? x ? 3 (1 ? y )
?

?

解得 x=

2 5

, y=

4 5

,∴ OE =

4 5

a ?

3 ? b 。 5

(2)∵ OL ?

a ?b 2

,OM ?
6 a ? 12 b 10

1 2

OE ?

4 a ? 3b 10

,ON ?

1 2

( OC ? OD ) ?

2 a ? 3b 2



MN ? ON ? OM ?

, ML ? OL ? OM ?

a ? 2b 10



∴ MN ? 6 ML ,∴L,M,N 三点共线。

19、解: (1) A B ? ( n ? 8, t ),? A B ? a ? 8 ? n ? 2 t ? 0 又?
???? ? ??? ? 2 2 2 5 | O B | ? | A B |,? 5 ? 6 4 ? ( n ? 3) ? t ? 5 t ,得 t ? ? 8

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ? O B ? ( 2 4, 8) 或 O B ? ( ? 8, ? 8 ) ???? ( 2 ) A C ? ( k sin ? ? 8, t )

???? ? A C 与 a 向量共线, ? t ? ? 2 k sin ? ? 16
? t sin ? ? ( ? 2 k sin ? ? 1 6 ) sin ? ? ? 2 k (sin ? ? k 4 ) ?
2

32 k

? k ? 4 ,? 1 ?

k 4

? 0 ,? 当 s in ? ?

k 4

时, t s in ? 取最大值为
???? , O C ? (4, 8)

32 k



32 k

? 4 ,得 k ? 8 ,此时 ? ?

?
6

??? ???? ? ? O A ? O C ? (8, 0 ) ? ( 4, 8) ? 3 2

20、解: (1) a ? b ? c o s
? ? | a ? b |?

? ?

3x 2

cos

x 2

? s in

3x 2

s in

x 2

? cos 2 x

(c o s

3x 2

? cos

x 2

) ? (s in
2

3x 2

? s in

x 2

)

2

?

2 ? 2 co s 2 x ? 2 co s x ? 2 | co s x |
2

又 x ? [0,

?
2

]? cos x ? 0

从而 | a ? b |? 2 c o s x
2

?

?

(2) f ( x ) ? co s 2 x ? 4 ? co s x ? 2 co s x ? 4 ? co s x ? 1
? 2 (cos x ? ? ) ? 2 ? ? 1
2 2

由于 x ? [0 ,

?
2

]

故 0 ? co s x ? 1

①当 ? ? 0 时,当且仅当 co s x ? 0 时, f ( x ) 取得最小值 ? 1 ,这与题设矛盾

② 当 0 ? ? ? 1 时 , 当 且 仅 当 c o sx ? ? 时 , f ( x ) 取 得 最 小 值 ? 2 ? ? 1 , 由
2

? 2? ? 1 ? ?
2

3 2

及0 ? ? ? 1得? ?

1 2
3 2

③当 ? ? 1 时,当且仅当 co s x ? 1 时, f ( x ) 取得最小值 1 ? 4 ? ,由 1 ? 4 ? ? ?



得? ?

5 8

与 ? ? 1 矛盾

综上所述, ? ?

1 2

即为所求。


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