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四川省成都市第七中学2015届高三上学期期中考试数学(理)


成都七中高 2015 届高三上学期期中数学考试题(理科)
满分 150 分,考试时间 120 分钟 出题人:江海兵 审题人:廖学军

一、选择题,本大题有 10 个小题每小题 5 分,共 50 分,每小题有一个正确选项,请将正确 选项涂在答题卷上. 1 1.△A BC 中,角 A,B,c 的对边分别为 a,b,c,若 a=3,b=2.cos(A 十 B)= 3,则 c=( ) A.4 B. 15 C.3 D. 17

2. 《张丘建算经》卷上第 22 题为:今有女善织,日益功疾,且从第 2 天起,每天比前一天 多织相同量的布,若第 1 天织 5 尺布,现在一月(按 30 天计)共织 390 尺布,则每天比前 一天多织 1 A.2 尺布。 (不作近似计算)( 8 B.15 16 c.29 16 D. 31 ) D .(-∞ , - 1] )

1 3.若 f(x)= -2x2+bln (x+2)在(-1,+∞)上是减函数,则 b 的取值范围是( A .[-1, +∞) B .(- l,+∞ ) C .(-∞ , - 1)

4.己知平面α ,β 和直线 m,给出条件:①m∥α ;②m⊥α ;③m?a;④α ⊥β ;⑤α ∥ β 能推导出 m∥β 的是( ) A. ①④ B.①⑤ C.②⑤ D.③⑤ )

5.己知数列{an)满足 a1=0,an+1= A.0 B.- 3 C. 3 D

an- 3 .n∈N*,则 a2015 等于( 3an+1 3 2

6. 在△ABC 中, 若 a、 b、 c 分别为角 A、 B、 C 的对边, 且 cos2B +cos B +cos(A -c)=1, 则有( A.a,c,b 成等比数列 B.a,c,b 成等差数列 C.a,b,c 成等差数列 数列

)

D.a,b,c 成等比

→ ︱ MD︱ → 3 → 3→ → 7.设 M 是△ABC 所在平面上的一点,且MB+2 MA+2MC= 0, D 是 AC 中点,则 的 ︱ BM︱ 值为( 1 A. 3 ) 1 B. 2 C. 1 D. 2 15 4 x-9 都相切,则 a = ( )

8.若存在过点(1,0)的直线与曲线 y=x3 和 y=ax2+

25 21 7 25 7 A.一 1 或一64 B.—1 或 4 C.— 4 或一64 D.— 4或 7

第 1 页 共 10 页

9.己知 x,y 满足约束条件 取到最小值 2 5时,a2 +b2 的最小值为( A. 1 B. 2 C.3 D. 4 )

当目标函数 z=ax+ by (a>0,b>o)在约束条件下

第1页 10.我们把具有以下性质的函数 f(x)称为“好函数” :对于在 f(x)定义域内的任意三个数以 a, b, c, 若这三个数能作为三角形的三边长, 则f (a) , f(b), f(c)也能作为三角形的三边长. 现 有如下一些函数: ①f(x)= x 1 ② f(x)=1— x , x∈(o,2) ) D.①③④ ③ f(x)=ex, x∈(o,1) ④f(x)= sinx, x∈(o,π )

其中是“好函数”的序号有( A.①② B.①②③

C.②③④

二、填空题,本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,请将正确答案填在答题卷上. 1 11.已知指数函数 y=f(x),对数函数 y=g(x)和冥函数 y=h(x)的图像都过 P(2,2) ,如果 f(x1)=g(x2)= h(x3)=4,那么 xl+x2+x3 = → 12.已知|a | =6,
|b | =

.



→ → 6 2 ,若 ta +b 与 ta -b 的夹角为钝角,则 t 的取值范围为

13.定义在 R 上的奇函数 y=f(x) 满足 f(3)=0,且不等式 f(x>一 f′(x)在(0:+∞)上恒成立,则函 数 g(x)=xf(x) +lg|k+1| 的零点个数为 .

14.己知命题 p:函数 f(x)=x2 + ax—2 在[-1,1]内有且仅有一个零点,命题 q:x2+3(a+1)x+2 1 3 ≤o 在区间[2,2]内 恒成立,若命题“p 且 g”是假命题,实数 q 的取值范围是 1 1 15.给出定义:若 x∈〔m -2, m+2],(m∈z),则 m 叫做实数 x 的“亲密函数” ,记作{x}=m, 在此基础上给出下列 函数 f(x)=|x -{x}|的四个命题: ①函数 y=f(x)在 x∈(o,1)上是增函数;②函数 y=f(x)是周期函数,最小正周期为 1; k ③函数 y=f(x)的图像关于直线 x=2(k∈Z)对称; ④当 x∈(0,2]时,函数 g(x)=f(x) - ln x 有两个零点 其中正确命题的序号是 三、解答题,本大题共 6 个小题,共 75 分,请将答案及过程写在答题卷上

第 2 页 共 10 页

π 16.(12 分)己知函数 f(x)= 3cos4x -2 cos2(2x+ 4 )+1 π π (1)求 f(x)的最小正周期;(2)求 f(x)在区间[- , ]上的取值范围. 6 4

第2页

17. (12 分)己知数列{an}满足 a1=1, an+1 =

2n+ 1an an+2n (n∈N*),

2n (I)证明数列{ a }是等差数列;( II)求数列{an)的通项公式; n

(III)设 bn=n(n+1)an 求数列{bn}的前 n 项和 Sn 。

18.(12 分)△ABC 为一个等腰三角形形状的空地,腰 AC 的长为 3(百米) ,底 AB 的长为 4 (百米) .现决定在空地内筑一条笔直的小路 EF(宽度不计) ,将该空地分成一个四边形和 一个三角形,设分成的四边形和三角形的周长相等,面积分别为 s1 和 s2. (1)若小路一端 E 为 AC 的中点,求此时小路的长度; S1 (2)若小路的端点 E,F 两点分别在两腰上,求S 的最小值
2

19.(12 分)如图分别是正三棱台 ABC —A1B1C1 的直观图和正视图,O,O1 分别是上下底面 的中心,E 是 BC 中点.

第 3 页 共 10 页

(1) 求 正 三 棱 台

ABC

–A1B1C1 的 体 积 ; ( 注 : 棱 台 体 积 公 式 :

其中 s 上为棱台上底面面积, s 下为棱台下底面面积, h 为棱台高) (2)求平面 EA1B1.与平面 A1B1C1 的夹角的余弦; (3)若 P 是棱 A1C1 上一点,求 CP+PB1 的最小值。 第3页 1 ′ 20. (13 分)己知函数 f(x)=x 2,g(x)= 2 λ f (x) +sin x,其中函数 g(x)在[-1,1]上是减函数 (1)求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若 g(x)≤ λ +3 sin 1 在 x∈[-1,1]上恒成立,求λ 的取值范围. 1 (3)关于 x 的方程 lnf(x+1) =2x-m,x∈[e – 1. e-1,]有两个实根,求 m 的取值范围

21.(14 分)己知函数 f(x)=sin(ω + ) (ω >o,0< <)的周期为π ,图像的一个对称中心 π 为( 4 ,0) , 将函数 f(x)图像上的所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再将所得图像向 π 右平移 个单位长度后得到函数 g(x)的图像. 2 (1)求函数 f(x)与 g(x)的解析式;

第 4 页 共 10 页

π π (2)是否存在 x。∈( 6 , 4 ) ,使得 f(x。 ) ,g(x。),f(x。)g(x。)按照某种顺序成等差数列? 若存在,请确定 x。的个数;若不存在,说明理由. (3)求实数 a 与正整数 n,使得 F(x)=f(x)+ag(x)在(0,nπ )内恰有 2013 个零点。

第4页

成都七中高 2015 届高三上学期期中数学考试题(理科)答案
1D2C3D4 11 答案: 解 D 5 B 6 D 7A 8 A 9 D 10 B

3 2
析 : 令

f ( x) ? a x , g ( x) ? logb x, h( x) ? xc



1 1 1 1 f ( ) ? a 2 ? 2, g ( ) ? log b ? ? log b 2 ? 2 , 2 2 2

1 1 h( ) ? ( ) c ? 2 2 2 ? x1 ? x2 ? x3 ?
12 答 案 : (? 2 , 0 ) 解 析

? a ? 4, b ?
3 2

2 1 1 , c ? ?1? f ( x1 ) ? 4 x1 ? 4 ? x1 ? 1, x2 ? , x3 ? 2 4 4

( 0, 2 )


t ? 与 a ?

的夹角为钝角 b

t



a

b

第 5 页 共 10 页

? (ta ? b)( ? ta ? b) ? 0,?t 2 a ? b ? 0,?36t 2 ? 72 ? 0,?? 2 ? t ? 2 ,
又 因 为 t a? b与 ta ? b 不 共 线 , 所 以 t ? 0 , 所 以 t ? (? 2 , 0 ) 13. 答案: 3 解析: f ( x) ? ? xf ?( x) ?? xf ( x)?? ? 0 ? xf ( x) 在 (0, ??) 单增, 又 xf ( x) 为偶函数且有一个零点为 3, 令 g ( x) ?0 得 xf ( x) ? ? lg x ? 1 , 如图可知

2

2

( 0, 2 )

g ( x) 有 3 个零点
14. 答案: a ? ?

5 2

提示:先确定 p 且 q 为真命题的 a 的取值范围,然后取补集可得结果. 15. 答案:②③④ 解析: x ? ? ?

? 1 1? ? 1 3? , ? 时, f ( x) ? x ? ? x? ? x ? 0 ,当 x ? ? , ? 时, f ( x) ? x ?1 ? 2 2? ? 2 2?

当 x ??

? 3 5? , 时, f ( x) ? x ? 2 ,作出函数的图像可知①错,②,③对,再作出 y ? ln x 的 ? 2 2? ?

图像可判断有两个交点,④对 三、解答题,本大题共 6 个小题,共 75 分,请将答案及过程写在答题卷上. 16. 解析: (1) f ( x) ? 3 cos 4 x ? cos(4 x ? (2) ?

?

) ? 3 cos 4 x ? sin 4 x ? 2sin(4 x ? ),?T ? 2 3 3

?

?

?
6
?

?x?

?
4

,??

?
3

? 4x ?

?
3

?

4? 3 ? ,?? ? sin(4 x ? ) ? 1 ? f ( x) 的取值范围 3 2 3

为 ? ? 3, 2 ?

?

17. 解析:(Ⅰ)由已知可得
an ?1 an 2n ?1 2n 2 n ?1 2 n ? ? ? 1 ,即 ? ? 1, ,所以 n ?1 n 2 an ? 2 an ?1 an an ?1 an

∴数列 ?

? 2n ? ? 是公差为 1 的等差数列. ? an ?
2n 2 2n ? ? (n ? 1) ? 1 ? n ? 1 ,∴ an ? .. an a1 n ?1

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得

第 6 页 共 10 页

( Ⅲ ) 由 ( Ⅱ ) 知 , bn ? n ? 2n , 所 以 Sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ?
2Sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? n ? 2n ?1

? n ? 2n , ? 2n ? n ? 2n ?1









?Sn ? 2 ? 22 ? 23 ?

? 2n ?1 ? 2 ? n ? 2n ?1 ,∴ Sn ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? 2

18.

? AE ? EC ? 解: (1) E 为 AC 中点,
上,可得 AF ?

3 , 2

3 3 ? F 不在 BC 上, ?3 ? ? 4, 故 F 在 AB 2 2

7 , 2 2 15 2 2 2 , 在 ?AEF 中 , EF ? AE ? AF ? 2 AE ? AF cos A ? , 3 2

在 ?ABC 中 , c o sA ?

? EF ?

30 2

(2)若小路的端点 E , F 两点分别在两腰上,如图所示,设 CE ? x, CF ? y ,则 x ? y ? 5

S1 S ?ABC ? S ?CEF S ?ABC ? ? S2 S ?CEF S ?CEF

1 CA ? CB sin C 9 9 11 2 ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? 2 1 xy 25 ? x? y? CE ? CF sin C E ? ? 2 ? 2 ?
A

C

F B

当且仅当 x ? y ? 19.

5 11 S 时取等号,故 1 的最小值为 . 2 25 S2

解析: (1)由题意 AC ? 2 3, A1C1 ? 4 3 ,正三棱台高为 3

S ?ABC ? 3 3, S ?A1B1C1 ? 12 3,VABC? A1B1C1 ? 21
(2) 设 O, O1 分别是上下底面的中心,E 是 BC 中点,F 是 B1C1 中点.以 O1 为原点, 过 O1 平行 B1C1 的线为 x 轴建立空间直角坐标系 O1 ? xyz . C1 (?2 3,2,0) , C(? 3,1, 3) ,

E(0,1, 3) , A1 (0,?4,0) , B1 (2 3,2,0) , A1 E ? (0,1, 3) , A1 B1 ? (2 3,6,0) ,
设平面 EA 1 B1 的一个法向量 n ? ( x, y, z ) ,则 ?

? ? ?n ? A1 E ? 0 ?5 y ? 3 z ? 0 即? ? ?n ? A1 B1 ? 0 ? ? 3x ? 3 y ? 0

取 n ? (?3, 3,?5) ,取平面 A1 B1C1 的一个法向

第 7 页 共 10 页

量 m ? (0,0,1) ,设所求角为 ? 则 cos? ?

m?n m?n

?

5 37 37

( 3 ) 将 梯 形 A1 ACC1 绕 A1C1 旋 转 到 A1 A' C ' C1 , 使 其 与 ?A1 B1C1 成 平 角

cos ?C ' C1 A1 ? cos ?CC1 A1 ?

C1C ? C1 A1 C1C ? C1 A1

?

21 2 7 , sin ?CC1 A1 ? 7 7

? cos?CC1 B1 ? cos(?CC1 A1 ?
由余弦定理得? C ' B1 ? 20. 解析: (1)

?
3

)??

21 14

?C 'C1 B1中, C 'C1 ? 3, C1 B1 ? 4 3 ,

67

即 CP ? PB1 的最小值为 67

) 的切线方程为 f ( x) ? x2 ,? f ?( x) ? 2x, f ?(1) ? 2 , ? 在 点 (1,f (1)处

y ? 1 ? 2( x ? 1) ,
即 2x ? y ?1 ? 0 (2) g ( x) ? ? x ? sin x,? g ?( x) ? ? ? cos x, 上恒成立, 即 ? ? ? cos x 在 ??1,1? 上 恒 成 立 , ? ? ? ?1 , 又

g ( x) 在 ??1,1? 上单减? g ?( x) ? 0 在 ??1,1? g ( x) 在 ??1,1? 单 减 ,

?? g ( x)?max ? g (?1) ? ?? sin1
??? 3 si恒 n1 成立, g ( x) ? ? ? 3sin1 在 x ???1,1? 上 恒 成 立 , ? 只 需 ?? ? s i n 1

? ? ? ?2sin1

sin 30 ? sin1,1 ? 2sin1,??2sin1 ? ? ? ?1
( 3 ) 由 ( 1 ) 知

f( ? 1 x ? )

(?21 x

方 ( x1 ? ) 程 为 l n?

2

, 设 ? ) x ?2 m

h( x? )

2 l n ?( x1 ? ) x,则方程 ? 2 m ln(1 ? x)2 ? 2x ? m 根的个数即为函数 h( x) 图像与 x 轴

交点的个数.

h?( x) ?

2 ?2 x ?2 ? ,当 x ? (?1, 0) 时, h?( x) ? 0,? h( x) 在 (?1, 0) 上为增函数, 1? x 1? x
(0, ??) 时, h?( x) ? 0,? h( x) 在 x ? (??, ?1)和(0, ??) 都是减函数.

当 x ? (??, ?1)

? 1 ? ? h( x ) 在 ? , 0 ? 上为减函数,在 ? 0, e ?1? 上为减函数. ? e ?1 ?

第 8 页 共 10 页

1 2 ? 1 ? ? h( x ) 在 ? , e ? 1? 上的最大值为 h(0) ? m ,又 h( ? 1) ? m ? , h(e ? 1) ? m ? 4 ? 2e e e ? e ?1 ?

? 1 ?h( e ? 1) ? 0 ? 2 2 且 2e ? 4 ? , ? 所求方程有两根需满足 ? h(0) ? 0 ? 0 ? m ? 时原方程有两根, e e ? h(e ? 1) ? 0 ? ?
? 2? ? m ? ? 0, ? ? e?
21. 解: (Ⅰ )由函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 的周期为 ? , ? ? 0 ,得 ? ? 2 又曲线 y ? f ( x) 的一个对称中心为 ( 故 f ( ) ? sin(2 ?

?
4

, 0) , ? ? (0, ? )

?

?
4

4

? ? ) ? 0 ,得 ? ?

?
2

,所以 f ( x) ? cos 2 x

将函数 f ( x) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)后可得 y ? cos x 的图 象,再将 y ? cos x 的图象向右平移 (Ⅱ ) 当 x ? ( , ) 时, ? sin x ?

? 个单位长度后得到函数 g ( x) ? sin x 2
1 2 ,0 ? cos 2 x ? 所以 sin x ? cos 2 x ? sin x cos 2 x 2 2

? ?

6 4

1 2

? ? , ) 内是否有解 6 4 ? ? 设 G( x) ? sin x ? sin x cos 2 x ? 2cos 2 x , x ? ( , ) 则 6 4
问题转化为方程 2 cos 2 x ? sin x ? sin x cos 2 x 在 (

G?( x) ? cos x ? cos x cos 2 x ? 2sin 2 x(2 ? sin x)
因为 x ? (

? ?
,

? ? ? 1 ) , 所 以 G?( x) ? 0 , G ( x) 在 ( , ) 内 单 调 递 增 , 又 G ( ) ? ? ? 0 , 6 4 6 4 6 4

? ? ? 2 故可知函数 G ( x) 在 ( , ) 内存在唯一零点 G( ) ? ? 0 且函数 G ( x) 的图象连续不断, 6 4 4 2

? ? x0 ,即存在唯一的 x0 ? ( , ) 满足题意 6 4
(Ⅲ )依题意, F ( x) ? a sin x ? cos 2 x ,令 F ( x) ? a sin x ? cos 2 x ? 0 当 sin x ? 0 ,即 x ? k? (k ? Z ) 时, cos 2 x ? 1 ,从而 x ? k? (k ? Z ) 不是方程 F ( x) ? 0 的

第 9 页 共 10 页

解 , 所 以 方 程 F ( x) ? 0 等 价 于 关 于 x 的 方 程 a ? ?

cos 2 x , x ? k? (k ? Z ) 现 研 究 sin x

x ? (0, ? ) U (? , 2? ) 时方程解的情况,令 h( x) ? ?

cos 2 x , x ? (0, ? ) U (? , 2? ) 则问题转化 sin x

为研究直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 x ? (0, ? ) U (? , 2? ) 的交点情况

h?( x) ?

cos x(2sin 2 x ? 1) ? 3? ,令 h?( x) ? 0 ,得 x ? 或 x ? 2 2 2 sin x

当 x 变化时, h( x) 和 h?( x) 变化情况如下表

x
h?( x)

(0, ) 2

?

?
Z

? 2 0
1

( ,? ) 2 ?
]

?

(? ,

?
]

3? ) 2

3? 2 0

(

3? , 2? ) 2

?
Z

h( x )

?1

当 x ? 0 且 x 趋近于 0 时, h( x) 趋向于 ?? ,当 x ? ? 且 x 趋近于 ? 时, h( x) 趋向于 ?? 当 x ? ? 且 x 趋近于 ? 时, h( x) 趋向于 ?? ,当 x ? 2? 且 x 趋近于 2? 时, h( x) 趋向于 ?? 故当 a ? 1 时,直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, ? ) 内有无交点,在 (? , 2? ) 内有 2 个交点; 当 a ? ?1 时,直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, ? ) 内有 2 个交点,在 (? , 2? ) 内无交点; 当 ?1 ? a ? 1 时,直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, ? ) 内有 2 个交点,在 (? , 2? ) 内有 2 个交 点 由函数 h( x) 的周期性,可知当 a ? ?1 时,直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, n? ) 内总有偶数 个交点,从而不存在正整数 n ,使得直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, n? ) 内恰有 2013 个交 点;当 a ? ?1 时,直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, ? ) U (? , 2? ) 内有 3 个交点,由周期性,

2013 ? 3 ? 671 ,所以 n ? 671? 2 ? 1342
综上,当 a ? ?1 , n ? 1342 时,函数 F ( x) ? f ( x) ? ag ( x) 在 (0, n? ) 内恰有 2013 个零点

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