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高二数学选修2-1椭圆的标准方程教案 苏教版


高二数学椭圆的标准方程教案
教学目标: 1、知识与技能:理解椭圆标准方程的推导;掌握椭圆的标准方程;会根据条件求椭圆的标 准方程,会根据椭圆的标准方程求焦点坐标。 2、过程与方法:让学生经历椭圆标准方程的推导过程,进一步掌握求曲线方程的一般方法, 体会数形结合等数学思想;培养学生运用类比、联想等方法提出问题。 3、情感态度与价值观:通过具体的情境感知研究椭圆标准方程的必要性和实际意义;体会 数学的对称美、简洁美,培养学生的审美情趣,形成学习数学知识的积极态 度。 教学重点:椭圆的标准方程 教学难点:椭圆标准方程的推导 四、教学过程: 1、问题情境: 生活中存在着大量的椭圆,比如:餐桌 问题 1:汽车贮油罐的横截面的外轮廓线的形状是椭圆,怎样设计才能精确地制造它们? 问题 2:把一个圆压扁了,像一个椭圆,它究竟是不是椭圆? 问题 3:电影放映机上的聚光灯泡的反射镜、运用高能冲击波击碎肾结石的碎石机等仪器设 备都是运用椭圆的性质制造的。怎样才能准确地制造它们? 学生回忆: 椭圆的定义:平面内到两定点 F1、F2 距离之和等于常数(大于 F1F2)的点的轨迹叫做椭圆, 两定点 F1、F2 叫做椭圆的焦点,两定点间的距离叫做焦距. 注:满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆? (1)平面内;若把平面内去掉,则轨迹是什么? (2)椭圆上的点到两个焦点的距离之和为常数;记为 2a; 两焦点之间的距离称为焦距,记为 2c,即:F1F2=2c. (3)常数 2a ? F1 F2 ,若 2a ? F1 F2 ,则轨迹是什么?若 2a ? F1 F2 呢? 2 建构数学: (1)回顾求圆的标准方程的基本步骤 建立坐标系、设点、找等量关系、代入坐标、化简 ⑵如何建立适当的坐标系? 原则:尽可能使方程的形式简单、运算简单; (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线

作为坐标轴。) ①建立适当的直角坐标系: 以直线 F1 F2 为 x 轴,线段 F1 F2 的垂直平分线为 y 轴,建立如图所示的坐标系。 ②设点:设 P ( x, y ) 是椭圆上的任意一点, ∵ F1 F2 ? 2c ,则 F1 (?c,0) , F2 (c,0) ; x y ③根据条件 PF1 ? PF2 ? 2a 得
P

( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y ? 2a (1)
2 2 2 2

F1

o

F2

④化简: (方法一:两边平方)
(a 2 ? c 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (a 2 ? c 2 )

问①能否美化结论的形象? ∵ a ? c ? 0 ,∴ a 2 ? c 2 ? 0 ,令 a 2 ? c 2 ? b 2 则: b 2 x 2 ? a 2 x 2 ? a 2 b 2 问②由直线方程的截距式是否可以得到启发? ∴椭圆方程为:
x2 y2 ? ?1 a2 b2

思考:怎样推导焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程? 问题 1:椭圆标准方程的特点是什么? 问题 2: 如何判断椭圆焦点位置? 椭圆的定义

图形

标准方程 焦点坐标 a,b,c 的关系 焦点位置的判断 例题讲解 一、基础训练 1、求适合下列条件的椭圆方程 (1)a=4,b=3,焦点在 x 轴上; (2)b=1, c ? 15 ,焦点在 y 轴上 2、已知椭圆的方程为 为: ,焦距为 。

x2 y2 ? ? 1 ,则 a ? 36 100

,b?

,c?

,焦点坐标

如果曲线上一点 P 到焦点 F1 的距离为 8,则点 P 到另一个

焦点 F2 的距离等于

3.若椭圆满足: a ? 5 , c ? 3 ,焦点在 x 轴上,求它的标准方程。

变:若把焦点在 x 轴上去掉呢? 4、若动点 P 到两定点 F1(-4,0),F2(4,0)的距离之和为 8,则动点 P 的轨迹为( A. 椭圆 B. 线段 F1F2 C. 直线 F1F2 D. 不存在 5 求下列椭圆的焦点坐标 1、



x2 x2 y2 ? y 2 ? 1 2、 ? ? 1 3、 x 2 ? 2 y 2 ? 4 9 3 12

4、 16x 2 ? 9 y 2 ? 144

例 1、已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆,它的焦距为 2.4 m,外轮廓 线上的点到两个焦点之和为 3m,求这个椭圆的标准方程。
2 2 例 2、将圆 x ? y ? 4 上的点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的一半,求所得曲线的

方程,并说明它是什么曲线? 课堂小结: 这节课我们学习了椭圆的标准方程, 掌握了求焦点在 x 轴上和在 y 轴上的标准方 程,求标准方程常用的方法:待定系数法,坐标转移法;有时还需要数形结合、分类讨论等 思想。 作业布置 1、思考题:设动点 P 到点 F(1,0)的距离是到直线 x=9 的距离的

1 ,求点 P 3

的轨迹方程,并判断此轨迹是什么图形?
2、教材 P26 页习题 2.2(1)第 2,3,4 题 3、推导焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程。 板书设计: 椭圆的标准方程 1、定义 2、标准方程: ①焦点在 x 轴上:
x2 y2 ? ?1 a2 b2
(a ? b ? 0)

例题讲解: 1.

演算区 2.

②焦点在 y 轴上:
y2 x2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a2 b2


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