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2016届高考数学一轮复习 1坐标系与简单曲线的极坐标方程课时达标训练 文 湘教版选修4-4


2016 届高考数学一轮复习 1 坐标系与简单曲线的极坐标方程课时达 标训练 文 湘教版选修 4-4
一、选择题 1.圆 ρ = 2(cos θ -sin θ )的圆心的一个极坐标是( ? π? ? 7π ? A.?1, ? B.?1, ? 4 4 ? ? ? ? π? ? C.? 2, ? 4? ? 7π ? ? D.? 2, ? 4 ? ?
2 2

)

【解析】 圆方程化为 x +y = 2x- 2y,圆心? 7π ∴ρ =1,tan θ =-1,∴θ = ,故选 B. 4

2? ? 2 ,- ?, 2 ? ?2

【答案】 B 2. 在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中, 直线 y+kx+2=0 与曲线 ρ =2cos θ 相交,则 k 的取值范围是( )
? ? ? ? 3? 3? A.?k?k<- ? B.?k?k≥- ? 4 4? ? ? ? ? ?

C.{k|k∈R} D.{k|k∈R 且 k≠0} 2 2 2 2 【解析】 由 ρ =2cos θ 得,x +y -2x=0,与 y+kx+2=0 联立得:(1+k )x +(4k 3 2 2 -2)x+4=0.依题意有:Δ =(4k-2) -16(1+k )>0,解得 k<- .故选 A. 4 【答案】 A

? π? 3.在极坐标系中,点?2, ?到圆 ρ =2cos θ 的圆心的距离为( 3? ?
A. 2 B. C. π 1+ 9
2

)

π 4+ 9 D.

2

3

? π? 【解析】 点?2, ?和 ρ =2cos θ 的圆心在平面直角坐标系中分别为(1, 3)和(1, 3? ?
0).故选 D. 【答案】 D 4 4.(2013·天津模拟)方程 ρ =-2cos θ 和 ρ + =4 2sin θ 的曲线的位置关系为 ρ ( ) A. 相离 C. 相交 B. 外切 D. 内切

4 【解析】 方程 ρ =-2cos θ 和 ρ + =4 2sin θ ρ 即 ρ =-2ρ cos θ 和 ρ -4 2ρ sin θ +4=0. 曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为
2 2

x2+y2+2x=0 和 x2+y2-4 2y+4=0,
1

分别配方,得(x+1) +y =1,x +(y-2 2) =4,分别表示圆心为 C1(-1,0),半径 为 r1=1 的圆和圆心为 C2(0,2 2),半径为 r2=2 的圆. ∵|C1C2|=3=r1+r2,∴两圆外切. 【答案】 B 5.在极坐标系中有如下三个结论: ①点 P 在曲线 C 上,则点 P 的极坐标满足曲线 C 的极坐标方程; π ②tan θ =1 与 θ = 表示同一条曲线; 4 ③ρ =3 与 ρ =-3 表示同一条曲线. 其中正确的是( ) A.①③ B.① C.②③ D.③ 【解析】 在极坐标系中,点的坐标不是唯一的, 因此曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程. 若曲线 C 的极坐标方程为 ρ =1,点 P(-1,0)在曲线 C 上, 但点 P 的极坐标不满足曲线 C 的极坐标方程,故①错; π 5π tan θ =1 不仅表示 θ = 这条射线,还表示 θ = 这条射线, 4 4 故②错;ρ =3 与 ρ =-3 都表示过极点半径为 3 的圆,故③正确. 故选 D. 【答案】 D 6.在极坐标系中,以点(cos 1,sin 1)为圆心,1 为半径的圆的方程是( π? π? ? ? A.ρ =2cos ?θ - ? B.ρ =2sin ?θ - ? 4? 4? ? ? C.ρ =2cos

2

2

2

2

)



-1) D.ρ =2sin



-1)

【解析】 如图,设 P(ρ ,θ )是圆上一点, 过 C 作 CD⊥OP 于 D,易知 OP=2DO. 在 Rt△CDO 中,∠DOC=θ -1, ∴|OP|=2|DO|=2cos (θ -1), ∴ρ =2cos (θ -1),故选 C. 【答案】 C 二、填空题 7. 在极坐标系中,已知圆 ρ =2cos θ 与直线 3ρ cos θ +4ρ sin θ +a=0 相切, 则实数 a 的值为________. 2 2 2 2 【解析】 将极坐标方程化为直角坐标方程,得圆的方程为 x +y =2x,即(x-1) +y =1, 直线的方程为 3x+4y+a=0. 由题设知,圆心(1,0)到直线的距离为 1,

2

|3×1+4×0+a| 即有 =1,解得 a=-8 或 a=2. 2 2 3 +4 故 a 的值为-8 或 2. 【答案】 -8 或 2 π ? π? 8.已知极坐标系中,极点为 O,将点 A?4, ?绕极点逆时针旋转 得到点 B,且 OA= 6? 4 ?

OB,则点 B 的直角坐标为________.

? 5π ? 【解析】 依题意,点 B 的极坐标为?4, ?. 12 ? ?
∵cos = 5π π π π π ?π π ? =cos? + ?=cos cos -sin sin 12 4 6 4 6 ?4 6?

2 3 2 1 6- 2 × - × = , 2 2 2 2 4 5π π π π π ?π π ? =sin? + ?=sin cos +cos sin 12 4 6 4 6 ?4 6?

sin =

2 3 2 1 6+ 2 × + × = , 2 2 2 2 4 6- 2 = 6- 2, 4

∴x=ρ cos θ =4×

y=ρ sin θ =4×

6+ 2 = 6+ 2. 4

【答案】 ( 6- 2, 6+ 2) 9 . 直 线 2x + 3y - 1 = 0 经 过 变 换可 以 化为 6x + 6y - 1 = 0 , 则 坐标 变 换公 式 是 ____________.

【解析】

x ? ?x′=3, 依题意有:3x′=x,2y′=y,即? y ?y′=2. ?
1 ? ?x′=3x ? 1 ? ?y′=2y

【答案】

π? ? 10.在极坐标系中,点 A?2,- ?. 2? ? (1)过 A 作与极轴平行的直线 l,则直线 l 的方程为________________. (2)过 A 作曲线 ρ =-2cos θ 的切线,则切线长为________. 【解析】 (1)设 l 上任一点 P(ρ ,θ ),则在△POA 中,|OA|=2,|OP|=ρ ,∠APO =2π -θ ,∴ρ sin(2π -θ )=2,∴ρ sin θ =-2. (2)显然极垂线与圆 ρ =-2cos θ 相切,∴切线长为 2. 【答案】 (1)ρ sin θ =-2 (2)2 三、解答题 π? ? 2 11.已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 ρ =2,ρ -2 2ρ cos?θ - ?=2. 4? ?
3

(1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程. 2 【解析】 (1)由 ρ =2 知 ρ =4, 2 2 所以 x +y =4; π? ? 2 因为 ρ -2 2ρ cos?θ - ?=2, 4? ? π π? ? 2 所以 ρ -2 2ρ ?cos θ cos +sin θ sin ?=2, 4 4? ? 所以 x +y -2x-2y-2=0. (2)将两圆的直角坐标方程相减, 得经过两圆交点的直线方程为 x+y=1, 化为极坐标方程为 ρ cos θ +ρ sin θ =1, π? 2 ? 即 ρ sin?θ + ?= . 4? 2 ? 12.(2013·东北模拟)在极坐标系中,曲线 L:ρ sin θ =2cos θ ,过点 A(5,α )作 π 3 平行于 θ = (ρ ∈R)的直线 lα 为锐角且 tan α = ,且 l 与曲线 L 分别交于 B,C 两点. 4 4 (1)以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴,取与极坐标相同单位长度,建立平面直角坐 标系,写出曲线 L 和直线 l 的普通方程; (2)求|BC|的长. 2 【解析】 (1)由题意得点 A 的直角坐标为(5cos θ ,5sin θ ),即(4,3);由 ρ sin 2 2 2 θ =2cos θ ,得 ρ sin θ =2ρ cos θ ,曲线 L 的直角坐标方程为 y =2x,直线 l 的直角 坐标方程为 y-3=x-4,即 y=x-1.
2 2 2

?y =2x, (2)设 B(x1,y1),C(x2,y2),联立? ?y=x-1,
消去 y 得 x -4x+1=0, 由韦达定理得 x1+x2=4,x1·x2=1, 由弦长公式得|BC|= 1+k |x1-x2| 2 2 = 1+k · (x1+x2) -4x1·x2=2 6.
2 2

2

? π? 13.在极坐标系中,已知圆 C 的圆心 C?3, ?,半径 r=3. 6? ?
(1)求圆 C 的极坐标方程; (2)若 Q 点在圆 C 上运动,P 在 OQ 的延长线上,且|OQ|∶|QP|=3∶2,求动点 P 的轨迹 方程. 【解析】 (1)设 M(ρ ,θ )为圆 C 上任一点,OM 的中点为 N, 因为 O 在圆 C 上,∴△OCM 为等腰三角形. π? ? 由垂径定理可得|ON|=|OC|cos?θ - ?, 6? ? π? ? 所以|OM|=2×3cos?θ - ?, 6? ? π? ? 即 ρ =6cos?θ - ?为所求圆 C 的极坐标方程. 6? ? (2)设点 P 的极坐标为(ρ ,θ ),
4

因为 P 在 OQ 的延长线上,且|OQ|∶|QP|=3∶2,

?3 ? 所以点 Q 的坐标为? ρ ,θ ?. ?5 ?
π? 3 ? 由于点 Q 在圆 C 上,所以 ρ =6cos?θ - ?. 6? 5 ? π? ? 故点 P 的轨迹方程为 ρ =10cos?θ - ?. 6? ?

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