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【师说】2015高考雄关漫道(新课标)数学(文)全程复习构想练习:4.3 平面向量的数量积 Word版含解析


4.3

平面向量的数量积

一、选择题 1.已知向量 a=(2,1),b=(-1,k),a· (2a-b)=0,则 k=( ) A.-12 B.-6 C.6 D.12 解析:∵2a-b=(4,2)-(-1,k)=(5,2-k),由 a· (2a-b)=0,得(2,1)· (5,2- k)=0 ∴10+2-k=0,解得 k=12. 答案:D

1 2.设向量 a,b 满足|a|=|b|=1,a· b=- ,则|a+2b|=( ) 2 A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 ? 1? 解析:依题意得(a+2b)2=a2+4b2+4a· b=5+4×?-2?=3,则|a+2b|= 3, ? ? 故选 B. 答案:B 3.在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD⊥AB,B=45° ,AB=2CD=2,M → → 为腰 BC 的中点,则MA· MD=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 → → ?1 → → ? ? 1 → → ? 1→ 1→ → ?- CB+CD?=- |CB|2+ CB· 解析:据题意可得MA· MD=? CB+BA?· CD 4 2 ?2 ?? 2 ? 1→ → → → 1 1 1 -2CB· BA+BA· CD=-4×( 2)2+2× 2×1×cos135° -2× 2×2×1×cos135° 1 1 +2×1×cos0° =-2-2+1+2=2. 答案:B 4.已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 θ,有下列四个命题 2π p1:|a+b|>1?θ∈[0, 3 ) 2π p2:|a+b|>1?θ∈( ,π] 3 π p3:|a-b|>1?θ∈[0,3) π p4:|a-b|>1?θ∈(3,π] 其中的真命题是( ) A.p1,p4 B.p1,p3 C.p2,p3 D.p2,p4 解析:由|a+b|>1 可得:a2+2a· b+b2>1,
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1 2π 2π 1 ∵|a|=1,|b|=1,∴a· b>-2,故 θ∈[0, 3 ).当 θ∈[0, 3 )时,a· b>-2, |a+b|2=a2+2a· b+b2>1,即|a+b|>1;由|a-b|>1 可得: a2-2a· b+b2>1, 1 π ∵|a|=1,|b|=1,∴a· b<2,故 θ∈(3,π],反之也成立,选 A. 答案:A 5.若 a,b,c 均为单位向量,且 a· b=0,(a-c)· (b-c)≤0,则|a+b-c|的 最大值为( ) A. 2-1 B.1 C. 2 D.2 解析:由已知条件,向量 a,b,c 都是单位向量可以求出,a2=1,b2=1, c2=1,由 a· b=0,及(a-c)(b-c)≤0,可以知道,(a+b)· c≥c2=1,因为|a+b- c|2=a2+b2+c2+2a· b-2a· c-2b· c, 2 所以有|a+b-c| =3-2(a· c+b· c)≤1, 故|a+b-c|≤1. 答案:B → → 6.设 A(a,1)、B(2,b)、C(4,5)为坐标平面上三点,O 为坐标原点,若OA与OB → 在OC方向上的投影相同,则 a 与 b 满足的关系式为( ) A.4a-5b=3 B.5a-4b=3 C.4a+5b=14 D.5a+4b=14

→ → → → → 解析:由图知,要使OA与OB在OC方向上的投影相同,只需使AB⊥OC,即 (2-a,b-1)· (4,5)=0 得 4a-5b-3=0. 答案:A 二、填空题 7.已知向量 a,b 满足(a+2b)· (a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,则 a 与 b 的 夹角为________. 解析:设 a 与 b 的夹角为 θ,依题意有(a+2b)· (a-b)=a2+a· b-2b2=-7+ 1 π 2cosθ=-6,所以 cosθ=2,因为 0≤θ≤π,所以 θ=3. π 答案:3 8.已知单位向量 e1,e2 的夹角为 60° ,则|2e1-e2|=__________. 2 2 2 解析: 依题意得(2e1-e2) =4e1+e2-4e1· e2=4+1-4×12×cos60° =3, 故|2e1 -e2|= 3. 答案: 3 9.若平面向量 α,β 满足|α|=1,|β|≤1,且以向量 α,β 为邻边的平行四边
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1 形的面积为2,则 α 与 β 的夹角 θ 的取值范围是________.

解析:如图,向量 α 与 β 在单位圆 O 内,其中因|α|=1,|β|≤1,且以向量 α, 1 1 β 为邻边的平行四边形的面积为2,故以向量 α,β 为边的三角形的面积为4,故 β → 1 的终点在如图的线段 AB(α∥AB且圆心 O 到 AB 的距离为2)上,因此夹角 θ 的取 π 5π 值范围为[ , ]. 6 6 π 5π 答案:[6, 6 ] 三、解答题 → → → → → 10.已知OA=(2,5),OB=(3,1), OC=(6,3),在OC上是否存在点 M,使MA → ⊥MB,若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由. → → 解析:设存在点 M,且OM=λOC=(6λ,3λ)(0<λ≤1), → → ∴MA=(2-6λ,5-3λ),MB=(3-6λ,1-3λ). → → ∵MA⊥MB, ∴(2-6λ)(3-6λ)+(5-3λ)(1-3λ)=0, 1 11 即 45λ2-48λ+11=0,解得 λ=3,或 λ=15. → → 22 11 ∴OM=(2,1),或OM=( 5 , 5 ). 22 11 ∴存在 M(2,1),或 M( 5 , 5 )满足题意. 11.(2014· 佛山质检)设向量 a=(4cosα,sinα),b=(sinβ,4cosβ),c=(cosβ, -4sinβ). (1)若 a 与 b-2c 垂直,求 tan(α+β)的值; (2)求|b+c|的最大值; (3)若 tanαtanβ=16,求证:a∥b. 解析:(1)因为 a 与 b-2c 垂直,所以 a· (b - 2c) = 4cosαsinβ - 8cosαcosβ + 4sinαcosβ + 8sinαsinβ = 4sin(α + β) - 8cos(α+β)=0, 因此 tan(α+β)=2. (2)由 b+c=(sinβ+cosβ,4cosβ-4sinβ),得 |b+c|= ?sinβ+cosβ?2+?4cosβ-4sinβ?2 = 17-15sin2β≤4 2.
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π 又当 β=-4时,等号成立,所以|b+c|的最大值为 4 2. 4cosα sinα (3)由 tanαtanβ=16 得 sinβ =4cosβ,所以 a∥b. 3 12.已知向量 m=(1,1),向量 n 与向量 m 的夹角为4π,且 m· n=-1. (1)求向量 n; (2)△ABC 中三内角 A、B、C 依次成等差数列,若向量 n=(0,-1),向量 p C = (cosA,2cos2 2 ),求|n+p|的取值范围. 解析:(1)设 n=(x,y),由 m· n=-1,可得 x+y=-1,① 3 3 又 m 与 n 的夹角为4π,有 m· n=|m|· |n|· cos4π,则 x2+y2=1,② ?x=-1 ?x=0 由①、②解得? 或? . ?y=0 ?y=-1 ∴n=(-1,0)或 n=(0,-1). π 2π 2π (2)由 2B=A+C 知 B=3,A+C= 3 ,0<A< 3 , C 若 n=(0,-1),则 n+p=(cosA,2cos2 2 -1)=(cosA,cosC), ∴|n+p|2=cos2A+cos2C 1+cos2A 1+cos2C = + 2 2 1 4π =1+2[cos2A+cos( 3 -2A)] 1 π =1+2cos(2A+3), 2π π π 5π ∵0<A< 3 ,3<2A+3< 3 , π 1 1 1 π 5 1 5 ∴-1≤cos(2A+3)<2,2≤1+2cos(2A+3)<4,即|n+p|2∈[2,4), 2 5 ∴|n+p|∈[ 2 , 2 ).

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