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学案2.doc 一元二次不等式的解法


学案 2 一元二次不等式及其解法导学案
问题 1. 二次函数的图像和性质,如 y ? x ? 2 x ? 3 的开口方向、顶点坐标、与 x 轴的交点
2

坐标及对称轴分别是什么?并作出它的草图. (1)开口方向: (3)与 x 轴的交点坐标: 问题 2. 根据草图填空: 1. 当 x ? 2. 当 x? 或 时, y ? 0 ,即 x ? 2 x ? 3 ? 0 ;
2

;(2)顶点坐标: ;(4)对称轴为:

; .

时,函数的图像位于 x 轴的下方,则 y

0 ,即 x 2 ? 2 x ? 3

0 ; ( 填 ? 、 ? 、 ? 或 ? ) . 所 以 不 等 式 x2 ? 2 x ? 3 ? 0 的 解 集
是 3. 当 x? ; 时,函数的图像位于 x 轴的上方,则 y

0 ,即 x 2 ? 2 x ? 3

0 ; ( 填 ? 、 ? 、 ? 或 ? ) . 所 以 不 等 式 x2 ? 2 x ? 3 ? 0 的 解 集
是 ;
2

总 结 归 纳 : 上 述 方 法 可 以 推 广 到 求 一 般 的 一 元 二 次 不 等 式 ax ? bx ? c ? 0 或

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的解集;
问题 3:完成下表格,并回答思考问题:

??0

??0

??0

二次函数

y ? ax 2 ? bx ? c
( a ? 0 )的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

ax ? bx ? c ? 0
2

?a ? 0?的根
ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0)的解集

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x2 ? ?

b 2a

无实根

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b ? ?x x ? ? ? 2a ? ?

R

ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

?x x

1

? x ?x2?

?

?

1

小结 1:利用二次函数的图像解一元二次不等式的步骤是: ① 将二次项系数化为“+” :A= ax ? bx ? c >0(或<0)(a>0)
2

② 计算判别式 ? ,分析不等式的解的情况: ⅰ. ? >0 时,求根 x1 < x 2 , ?

?若A ? 0,则x ? x1或 ? x 2; ?若A ? 0,则x1 ? x ? x 2 .

?若A ? 0,则x ? x0的一切实数; ? ⅱ. ? =0 时,求根 x1 = x 2 = x 0 , ?若A ? 0,则x ? ?; ?若A ? 0,则x ? x . 0 ?
ⅲ. ? <0 时,方程无解, ?

?若A ? 0,则x ? R; ?若A ? 0,则x ? ? .

③ 写出解集. 小结 2:二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系 例 1:解下列不等式: (1) x ? 3x ? 4 ? 0
2

(2) 4 x ? 4 x ? 1 ? 0
2

(3) ? x ? 2 x ? 3 ? 0
2

例 2:解下列不等式: (1) ( x ? 1)( x ? a) ? 0 解: (2) x ? 5ax ? 6a ? 0 (a ? 0)
2 2

解:

练习:若 0 ? t ? 1,则不等式 ( x ? t )( x ? ) ? 0 的解集为(

1 t



1 A. {x | ? x ? t} t 1 C. {x | x ? t或x ? } t
2

1 B. {x | x ? 或x ? t} t 1 D. {x | t ? x ? } t

例 3:已知一元二次不等式 ax ? bx ? 6 ? 0 的解集 {x | ?2 ? x ? 3} ,求 a , b 的值.

2

巩固练习 (一) 、一元二次不等式的解法 1、求解下列不等式 (1) 3x ? x1 、 7 0 ?
2

(2) ?2 x ? x ? 0 、 5 ?
2

(3) ? x ? 4 x ? 4 ? 0
2

2、求下列函数的定义域 (1) y ? 、

x2 ? 4x ? 9

(2) y ?

?2 x 2 ? 12 x ? 18

3、已知集合 A ? x | x ? 16 ? 0 ,
2

?

?

B ? ? x | x 2 ? 4 x ? 3 ? 0? ,求 A ? B

(二) 、检测题 一、选择题 1、不等式 ?

?1 ?? 1 ? ? x ?? ? x ? ? 0 的解集为 ( ?2 ?? 3 ?
B、 ? x | x ?



A、 ? x |

? ?

1 1? ?x? ? 3 2?
1? 3?

? ?

1? ? 2? 1 1? 或x? ? 3 2?

C、 ? x | x ? ?

? ?

D、 ? x | x ? (
2

? ?

2、在下列不等式中,解集为 ? 的是 A、 2 x ? 3x ? 2 ? 0
2



B、 x ? 4 x ? 4 ? 0 D、 ?2 ? 3x ? 2 x ? 0
2

C、 4 ? 4 x ? x ? 0
2

3、函数 y ?

x 2 ? 2 x ? 3 ? log 2 ? x ? 3? 的定义域为
B、 ? ?3, ?1?

( )

A、 ? ??, ?1? ? ? 3, ?? ?

3

C、 ? ??, ?1? ? ?3, ?? ?

D、 ? ?3, ?1? ? ?3, ?? ?
2

2 4、若 2 x ? 3x ? 0 ,则函数 f ? x ? ? x ? x ? 1





3 ,无最大值 4 19 C、有最小值 1,最大值 4
A、有最小值
2

B、有最小值

3 ,最大值 1 4

D、无最小值,也无最大值 )

5、若不等式 x ? mx ? 1 ? 0 的解集为 R ,则 m 的取值范围是( A. R B. ? ?2, 2 ?
2 2

C. ? ??, ?2 ? ? ? 2, ?? ?

D. ? ?2, 2? ) D. ? 2a, 6a ? )

6、不等式 x ? ax ? 12a ? 0 ? a ? 0 ? 的解集是( A. ? ?3a, 4a ? B. ? 4a, ?3a ? C. ? ?3, 4 ?

2 7、不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集是 ? x ?

? ?

1 1? ? x ? ? ,则 a ? b ? ( 2 3?
D. 10

A. ?14 二、填空题

B. 14

C. ?10

8、设 f ? x ? ? x ? bx ? 1 ,且 f ?1? ? f ? 3? ,则 f ? x ? ? 0 的解集为
2



9、已知集合 A ? x | x ? x ? 2 ? 0 , B ? ? x | a ? x ? a ? 3? ,若 A ? B ? ? ,则实数 a 的取
2

?

?

值范围是 10 、 利 用 为 11、使不等式 2

x?a x ?1 ? 0 ? ? x ? a ?? x ? b ? ? 0 , 可 以 求 得 不 等 式 ?2 的解集 x ?b x

x 2 ? 7 x ?10

?

1 成立的 x 的取值范围是 4



12、二次函数 y ? ax ? bx ? c ? x ? R ? 的部分对应值如下表:
2

x y
2

?3 6

?2 0

?1 ?4

0 ?6

1 ?6

2 ?4

3 0

4 6

则不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是____________________________.
2 13、已知不等式 x ? px ? q ? 0 的解集是 x ?3 ? x ? 2 ,则 p ? q ? ________.

?

?

三、解答题

4

14、解关于 x 的不等式 x ? ? a ? 1? x ? a ? 0
2

15、已知函数 f ? x ? ? x ? 5 x ? 2 ,为使 ?4 ? f ? x ? ? 26 的 x 的取值范围。
2

16、已知不等式 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集为 A,不等式 x ? x ? 6 ? 0 的解集为 B,求
2 2

A? B 。

17、已知集合 ? ? x x ? 9 ? 0 , ? ? x x ? 4 x ? 3 ? 0 ,求 ? ? ? , ? ? ? .
2 2

?

?

?

?

5


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