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2016届高考数学一轮复习同步检测:阶段回扣练4+三角函数、解三角形


阶段回扣练 4 三角函数、解三角形
一、选择题 1.下列函数中周期为π 且为偶函数的是 π? π? ? ? ? π? A.y=sin?2x- ? B.y=cos?2x- ? C.y=sin?x+ ? 2? 2? 2? ? ? ? ( )

? π? D.y=cos?x+ ? 2? ?

π? ? 解析 y=sin?2x- ?=-cos 2x 为偶函数,且周期是π ,故选 A. 2? ? π? 2 2? 2.(2014?包头市测试)已知 sin 2α = ,则 sin ?α + ?= 4? 3 ? 1 A. 3 1 B. 2 C. 3 4 D. 5 6 ( )

π? 1 1 5 2? 2 解析 依题意得 sin ?α + ?= (sin α +cos α ) = (1+sin 2α )= ,故选 D. 4? 2 2 6 ? 3.(2015?合肥检测)函数 f(x)= 3sin 2x+cos 2x 图像的一条对称轴方程是 π A.x=- 12 π B.x= 3 5π C.x= 12 2π D.x= 3 ( )

π? ? 解析 依题意得 f(x)=2sin?2x+ ?,且 f 6? ? 2π 像关于直线 x= 对称,故选 D. 3

?2π ?=2sin?2?2π +π ?=-2,因此其图 ? 3 ? ? ? 3 6? ? ? ?

4.(2014?南昌模拟)已知函数 f(x)=cos ω x(x∈R,ω >0)的最小正周期为π ,为了得到 π? ? 函数 g(x)=sin?ω x+ ?的图像,只要将 y=f(x)的图像 4? ? π A.向左平移 个单位长度 8 π C.向左平移 个单位长度 4 π B.向右平移 个单位长度 8 π D.向右平移 个单位长度 4 ( )

2π 解析 依题意得 =π ,ω =2,f(x)=cos 2x, ω π? π? ? ?π ? ? g(x)=sin?2x+ ?=cos? -2x?=cos?2x- ?= 4 4 4? ? ? ? ? ? π ? ? π ?? cos?2?x- ??,因此只需将 y=f(x)=cos 2x 的图像向右平移 个单位长度.答案 B 8 ?? 8 ? ? 5.某登山队在山脚 A 处测得山顶 B 的仰角为 45°,沿倾斜角为 30°的斜坡前进 1 000 m 后到达 D 处,又测得山顶的仰角为 60°,则山的高度 BC 为( A.500( 3+1)m B.500 m C.500( 2+1)m )

D.1 000 m

解析 过点 D 作 DE∥AC 交 BC 于 E,因为∠DAC=30°,故∠ADE=150°.于是∠ADB=360°

1

-150°-60°=150°.又∠BAD=45°-30°=15°, ADsin∠ADB 故∠ABD=15°,由正弦定理,得 AB= sin∠ABD 1 000sin 150° = =500( 6+ 2)(m), sin 15° 所以在 Rt△ABC 中,BC=ABsin 45°=500( 3+1)(m).

? π? ?π π ? 6. 若函数 f(x)=sin ω x(ω >0)在区间?0, ?上单调递增, 在区间 ? , ?上单调递减, 3 ? ? ?3 2?
则ω= 2 A. 3 B. 3 2 C.2 D.3 ( )

解析 由于函数 f(x)=sin ω x(ω >0)的图像经过坐标原点, 由题意知 f(x)的一条对称 π 4π 3 轴为直线 x= ,和它相邻的一个对称中心为原点,则 f(x)的周期 T= ,从而 ω = . 3 3 2 π? π ? 7. (2015?湖北七市(州)联考)将函数 g(x)=3sin?2x+ ?图像上所有点向左平移 个单位, 6 6 ? ? 1 再将各点横坐标缩短为原来的 ,得到函数 f(x),则 2 ( )

? π? A.f(x)在?0, ?上单调递减 4? ? ? π? C.f(x)在?0, ?上单调递增 4? ?
解析

? π 3π ? B.f(x)在? , ?上单调递减 4 ? ?4
D.f(x)在?

?π ,3π ?上单调递增 4 ? ?4 ?

依题意,将函数 g(x) 的图像向左平移

π 个单位长度得到的曲线方程是 y = 6

1 ? ? π? π? 3sin?2?x+ ?+ ?=3cos 2x,再将各点横坐标缩短为原来的 ,得到的曲线方程是 y 6 6 2 ? ? ? ?

? π? =3cos 4x,即 f(x)=3cos 4x,易知函数 f(x)=3cos 4x 在?0, ?上单调递减,故选 4? ?
A. 8.(2014?宜春模拟)在△ABC 中,AC?cos A=3BC?cos B,且 cos C= 5 ,则 A= 5 ( A.30° B.45° C.60° D.120° )

解析 由题意及正弦定理得 sin Bcos A=3sin Acos B, π 5 2 5 ∴tan B=3tan A,∴0<A,B< ,又 cos C= ,故 sin C= , 2 5 5 ∴tan C=2,而 A+B+C=180°,∴tan(A+B)=-tan C=-2, tan A+tan B 4tan A 即 =-2,将 tan B=3tan A 代入,得 2 =-2, 1-tan Atan B 1-3tan A

2

1 ∴tan A=1 或 tan A=- ,而 0°<A<90°,则 A=45°,故选 B. 3

? π? 9.已知函数 f(x)= 3sin 2x+cos 2x-m 在?0, ?上有两个零点,则 m 的取值范围是 2? ?
( A.(1,2) B.[1,2) C.(1,2] D.[1,2] )

π? ? 解析 利用三角函数公式转化一下,得 f(x)=2sin?2x+ ?-m,它的零点是函数 y1= 6? ? π? ? 2sin?2x+ ?和 y2=m 的交点所对应的 x 的值, 6? ?

? π? ∴要在?0, ?上有两个零点,y1 和 y2 就要有两个交点, 2? ?
π? ? π? ? 结合函数 y1=2sin?2x+ ?在?0, ?上的图像, 6? ? 2? ? 知当 y2=m 在[1,2)上移动时,两个函数有两个交点.答案 B 10.(2014?天津卷)已知函数 f(x)= 3sin ω x+cos ω x(ω >0),x∈R.在曲线 y=f(x) π 与直线 y=1 的交点中,若相邻交点距离的最小值为 ,则 f(x)的最小正周期为 3 ( π A. 2 解析 2π B. 3 C.π D.2π )

π? π? ? ? f(x) = 3 sin ω x + cos ω x = 2sin ?ω x+ ? , 由 2sin ?ω x+ ? = 1 , 得 6? 6? ? ?

π? 1 π ? sin?ω x+ ?= ,设 x1,x2 分别为距离最小的相邻交点的横坐标,则 ω x1+ =2kπ + 6 6 ? ? 2 π π 5π 2π π ,ω x2+ =2kπ + (k∈Z),两式相减,得 x2-x1= = ,所以 ω =2,故 f(x) 6 6 6 3ω 3 π? ? =2sin?2x+ ?的最小正周期为π ,故选 C. 6? ? 二、填空题 1 11 .(2014?南昌模拟 ) 已知角 α ( - π < α < 0) 的终边与单位圆交点的横坐标是 ,则 3 cos?

?π +α ?的值是________. ? ?2 ?

2 2? ?1 ?π ? 解析 依题意得, 角 α 的终边与单位圆的交点坐标是? ,- cos? +α ?=-sin ?, 2 ? ? 3 ? ?3 2 2 α = . 3 π? 7 2 ? ?π π ? 12.已知 sin?α + ?= ,α ∈? , ?,则 cos α =________. 4 ? 10 ? ?4 2?

3

π ? π 3π ? ?π π ? 解析 ∵α ∈? , ?,∴α + ∈? , ?, 4 ? 4 ?2 ?4 2? π? ? ∴cos?α + ?=- 4? ? π? 2? 1-sin ?α + ?=- 4? ? 2 ?7 2?2 1-? ? =- 10 , ? 10 ?

π? π? π? π? π π ?? ? ? ∴cos α =cos??α + ?- ?=cos?α + ?cos +sin?α + ?sin 4 4 4 4 4 ? 4? ? ? ? ? ?? =?-

? ?

2 7 2 2 3 2? ?? 2 + 10 ? 2 =5. 10 ?

2 13.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,若 b=1,c= 3,C= π ,则 S△ABC= 3 ________. 解析 因为 c>b,所以 B<C,所以由正弦定理得 b c 1 3 = ,即 = =2, sin B sin C sin B 2π sin 3

1 π π 2π π 1 1 即 sin B= ,所以 B= ,所以 A=π - - = .所以 S△ABC= bc sin A= ? 3? 2 6 6 3 6 2 2 1 3 = . 2 4 14.如图所示的是函数 y=Asin(ω x+φ )

?A>0,ω >0,|φ |<π ? 图像的一部分,则其函数解析 ? 2? ? ?
式是________. T π ? π? π 解析 由图像知 A=1,= -?- ?= , 得 T=2π , 则 ω =1, 所以 y=sin(x+φ ). 由 4 6 ? 3? 2 π ?π ? 图像过点? ,1?,可得 φ =2kπ + (k∈Z), 6 3 ? ? π π ? π? 又|φ |< ,所以 φ = ,所以所求函数解析式是 y=sin?x+ ?. 3? 2 3 ? 15.(2014?江苏卷)若△ABC 的内角满足 sin A+ 2sin B=2sin C,则 cos C 的最小值是 ________. 解析 由已知 sin A+ 2sin B=2sin C 及正弦定理可得 a+ 2b=2c. a +b -c 又由余弦定理得 cos C= = 2ab a +b -?
2 2 2 2 2

?a+ 2b?2 ? ? 2 ? 3a2+2b2-2 2ab 2 6ab-2 2ab
= 8ab ≥ 8ab

2ab =

6- 2 a 6 6- 2 2 2 ,当且仅当 3a =2b ,即 = 时等号成立,所以 cos C 的最小值为 . 4 b 3 4

三、解答题
4

π? ? 16.函数 f(x)=Asin?ω x- ?+1(A>0,ω >0)的最大值为 3,其图像相邻两条对称轴之间 6? ? π 的距离为 . 2 (1)求函数 f(x)的解析式;

? π? (2)设 α ∈?0, ?,f 2? ?

?α ?=2,求 α 的值. ?2? ? ?

解 (1)∵函数 f(x)的最大值为 3,∴A+1=3,即 A=2, π ∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为 ,∴最小正周期 T=π , 2 π? ? ∴ω =2,故函数 f(x)的解析式为 y=2sin?2x- ?+1. 6? ? π? π? 1 ?α ? ? ? (2)f ? ?=2sin?α - ?+1=2,即 sin?α - ?= , 6? 6? 2 ?2? ? ? π π π π π π π ∵0<α < ,∴- <α - < ,∴α - = ,故 α = . 2 6 6 3 6 6 3

? π? 17.(2014?东北三省四市联考)已知函数 f(x)=4cos x?sin?x+ ?-1. 6? ?
(1)求 f(x)的最小正周期和最大值及取得最大值时自变量 x 的集合; (2)求 f(x)的单调递增区间. 1 ? 3 ? sin x+ cos x?-1 2 ?2 ? π? ? 2 =2 3sin xcos x+2cos x-1= 3sin 2x+cos 2x=2sin?2x+ ?, 6? ?

? π? 解 f(x)=4cos xsin?x+ ?-1=4cos 6? ?

x?

2π π π (1)函数的最小正周期为 =π ,令 2x+ =2kπ + ,k∈Z, 2 6 2 y 取得最大值为 2.
? ? π 此时自变量 x 的取值集合为?x|x=kπ + ,k∈Z?. 6 ? ?

π π π (2)令 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 2 6 2 π π 解得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z, 3 6 π π? ? ∴递增区间是?kπ - ,kπ + ?(k∈Z). 3 6? ? 18.(2014?安徽卷)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c,且 b=3,c=1, △ABC 的面积为 2,求 cos A 与 a 的值. 1 2 2 解 由三角形面积公式,得 ?3?1?sin A= 2,故 sin A= . 2 3 因为 sin A+cos A=1,所以 cos A=± 1-sin A=±
5
2 2 2

8 1 1- =± . 9 3

1 1 2 2 2 2 2 ①当 cos A= 时,由余弦定理得 a =b +c -2bccos A=3 +1 -2?1?3? =8,所以 3 3 1 a=2 2.②当 cos A=- 时,由余弦定理得 3

? 1? 2 2 2 2 2 a =b +c -2bccos A=3 +1 -2?1?3??- ?=12,所以 a=2 3. ? 3?
π ? 1 5? 19. 已知函数 f(x)= 3sin 2ω x-cos 2ω x 的图像关于直线 x= 对称, 其中 ω ∈?- , ?. 3 ? 2 2? (1)求函数 f(x)的解析式;

?B π ? 2 5 , (2)在△ABC 中,a,b,c 分别为三个内角 A,B,C 的对边,锐角 B 满足 f ? + ?= ?2 12? 3
b= 2,求△ABC 面积的最大值. π? π ? 解 (1)因为 f(x)= 3sin 2ω x-cos 2ω x=2sin?2ω x- ?的图像关于直线 x= 对 6? 3 ? π π π 3k 1 ? 1 5? 称,所以 2ω ? - =kπ + (k∈Z),所以 ω = +1.因为 ω ∈?- , ?,所以- 2 2 3 6 2 2 2 ? ? π? 3k 5 ? < +1< ,所以-1<k<1(k∈Z),所以 k=0,ω =1,所以 f(x)=2sin?2x- ?. 6? 2 2 ? 2 5 5 π ?B π ? (2)f ? + ?=2sin B= ,所以 sin B= ,因为 B 为锐角,所以 0<B< ,所以 3 3 2 ?2 12? 2 a +c -b a +c -b 2 4 2 2 cos B= ,因为 cos B= ,所以 = ,所以 ac=a +c -2≥2ac-2, 3 2ac 2ac 3 3 所以 ac≤3,当且仅当 a=c= 3时,ac 取到最大值 3, 1 1 5 5 所以△ABC 面积的最大值为 acsin B= ?3? = . 2 2 3 2
2 2 2 2 2 2

6


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