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直线与方程


解析几何
青海湟川一分校 熊进

考试要求
1.理解倾斜角和斜率的概念, 2.掌握斜率公式、两点间距离公式、点到 直线的距离公式, 3.会求两条平行线间的距离; 4.能根据斜率判断两条直线平行或垂直; 5.掌握直线方程的几种形式:(点斜式、两 点式、一般式、斜截式、截距式); 6.能用解方程组的方法求两直线的交点.会 求几种形式的直线方程

.

1.平面直角坐标系; 2.点的坐标表示;? 3.直线倾斜角α,0≤α<π如图;? 4.斜率公式

π ①k=tanα,当0<α< 2 π 时,k>0;当 <α<π时,k <0; 2 π 当α=0时,k=0;当α= 时,k不存在. 2 ②设A(x1,y1)、B(x2,y2).

y 2 ? y1 K= (x1≠x2) x2 ? x2

5.两点距离公式|AB|= ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )
2

2

6.点线距离公式设点(x0,y0),直线Ax+By+C=0,

|Ax0 ? By0 ? C| 则距离d = 2 2 A ?B
7.两平行线距离:l1:Ax+By+C1=0,
l2:Ax+By+C2=0之间的距离d =

| C1 ? C2 | A ?B
2 2

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知识要点
9.两直线垂直和平行的判定: 设l1:y=k1x+b1 , l2:y=k2x+b2, (1)k1=k2,b1≠b2

(2)k1=k2,b1=b2
(3) k1k2=-1

? l ∥l ; ? l ,l 重合; ? l ⊥l
1 2

1

2

1

2

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例1:直线l 过点(5,10)且到原点的距离
为5,求l的方程.

[点评]利用斜率求直线方程时,一定要
注意斜率是否存在,防止遗漏。

[解析]当直线l斜率不存在,l与方程x -5=0 满足题意,当直线l斜率存在,设l与方程为 y -10=k(x-5),即kx-y+(10-5k)=0

?

| 5k ? 10 ? (10 ? 5k ) | k ?1
2

3 ? 5 解得k ? , 4

3 l方程为y-10= (x-5) 4
   综上知,所求l方程x -5=0或3x -4y+25=0

[例2] 直线l经过点P(2,3),且被两平行线 l1:3x+4y=7和l2:3x+4y+3=0截得的线段长 为 5 ,求l的方程. [分析]求直线方程,题目给了过点P,还差斜 率,方法是直接求交点,套两点距离公式.

[解析] 设l:y-3=k(x-2),分别与两直线联
立,记交点A(x1,y1),B(x2,y2) 8k ? 5 8k ? 15 得x1 ? , x2 ? 4k ? 3 4k ? 3

?| AB |? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )
2
2 2

2
2

? (1 ? k )( x1 ? x2 ) ? 1 ? k | x1 ? x2 |
10 ? 1? k · ? 5 | 4k ? 3 |
2

得4k ? 24 k ? 11 ? 0
2

1 11 解得 k ? 或k ? 2 2 ? l的方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0或11x ? 2 y ? 16 ? 0

例题剖析

[例3]设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R)
(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程; (2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.

[点评](1)由于截距可以为零,所以必须分类讨论. (2)直线l可以过原点,不能遗漏.

[解析](1)当直线过原点时,该直线在x轴和y轴上
的截距为零,显然相等.此时,a=2,方程为3x+y=0;
a?2 当a ? 2时,由截距相等, 即 ? a?2 a ?1 得a ? 0, 此时方程为x ? y ? 2 ? 0 ? 所求l的方程为y ? ?( a ? 1) x ? a ? 2, l不经过第二象限, ?? ( a ? 1) ? 0 等价于? 解得a ? ?1. ?a ? 2 ? 0

例题剖析

[ 例 4] 从 P(2,3) 出 发 的 光 线 , 射 在 直 线
l:x+y+1=0上,反射后到达点Q(1,1). (1)求入射光所 在直线方程; (2)求光线所经 路程全长.

[解析] 设Q关于l的对称
点为Q′,由光的性质知,入 射光所在直线为PQ ′ 设Q′(x,y) ,由

? x ?1 y ? 2 ? ?1 ? 0 ? 2 ? x ? ?2 ? 2 ?? ? ? y ? ?2 ? y ? 1 ? (?1) ? ?1 ? x ?1 ?
可得Q′(-2,-2)

∴入射光所在直线方程为

y?2 x?2 ? 即5x-4y+2=0 且光线所经路程长等于 3? 2 2? 2 | PQ′|= 41


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