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浅谈中学数学的一题多解与一题多变


浅谈中学数学的一题多解与一题多变

学生姓名: 学生学号:

Q

Q

Q

xxxxxxxxxxx

院系班级: 10 级数学与应用数学(2)班 指导老师: Q Q

1

浅谈中学数学的一题多解与一题多变
摘要:一题多解与一题多变是开发智力、培养能力的一种行之有效的方法,
它对沟通不同知识间的联系,开拓思路,培养发散思维能力,激发学生的学习兴趣 都十分有益。在教学中,恰当而又适量地采用一题多解和一题多变的方法,进行 思路分析,探讨解题规律和对习题的多角度“追踪”,能“以少胜多”地巩固基 础知识,提高分析问题和解决问题的能力,掌握基本的解题方法和技巧。

正文: 对于所有中学生来说,要学好数学这门学科,却不是一件容易的事。
大多数中学生对数学的印象就是枯燥、乏味、没有兴趣。但由于中考和高考“指 挥棒”的作用,又不得不学。 “怎样才能学好数学?”成了学子们问得最多的问 题。 而怎样回答这个问题便成了教师们的难题。很多人便单纯的认为要学好数学 就是要多做题,见的题多了,做的题多了,自然就熟练了,成绩就提高了!于是, “题海战术”便受到很多教育工作者的青睐。熟话说, “熟能生巧” ,当然,多做 题肯定对学生数学成绩的提高有一定的好处。但长期这样,只会使数学越来越枯 燥,让学生越来越厌烦,于是出现厌学、抄作业等现象。 众所周知,数学题是做不完的。我认为要使学生学好数学,还是要从提高学 生的数学思维能力和学习数学的兴趣上下工夫。 要利用书本上有限的例题和习题 来提高学生的学习兴趣和能力。在数学教学过程中,通过利用一切有用条件,进 行对比、联想,采取一题多解与一题多变的形式进行教学。这对培养学生思维的 广阔性、深刻性、探索性、灵活性、独创性无疑是一条有效的途径。另外,能力 提高的过程中, 学生的成就感自然增强,并且在不断的变化和解决问题的不同途 径中,兴趣油然而生。 对于传统的数学教学来说, 教学过程的重点不外乎为: 讲解定义, 推导公式, 例题演练,练习,及习题的安排。下面就几道典型的一题多解与一题多变问题在 教学中的运用谈谈我个人的几点看法, 借以使学子们初步认识一题多解与一题多 变问题,领略一题多解与一题多变问题的魅力,激发起学习兴趣,活化其解题思 想。

一题多解
1、解不等式 3 ? 2 x - 3 ? 5 解法一:根据绝对值的定义,进行分类讨论求解 (1)当 2 x - 3 ? 0 时,不等式可化为 3 ? 2 x - 3 ? 5 ?3 ? x ? 4 (2)当 2 x - 3 ? 0 时,不等式可化为 3 ? -2x ? 3 ? 5 ?-1 ? x ? 0 综上:解集为 x 3 ? x ? 4或 -1 ? x ? 0 解法二:转化为不等式组求解 原不等式等价于
2 x - 3 ? 3且 2 x - 3 ? 5 ?3 ? x ? 4或 1 ? x ? 0
2

?

?

综上:解集为 x 3 ? x ? 4或 -1 ? x ? 0

?

?

解法三:利用等价命题法 原不等式等价于 3 ? 2 x - 3 ? 5或 - 5 ? 2x - 3 ? -3 ,即 3 ? x ? 4或 - 1 ? x ? 0 解集为 x 3 ? x ? 4或 -1 ? x ? 0 解法四:利用绝对值的集合意义 原不等式可化为
3 3 3 3 5 ? x - ? ,不等式的几何意义时数轴上的点 x到 的距离大于 , 2 2 2 2 2

?

?

5 且小于 2 ,由图得,

解集为 x 3 ? x ? 4或 -1 ? x ? 0

?

?

解法分析:本题利用了定义法、等价转化及数形结合等常用解题方法。 2、求函数 f ( x) ? x ?
1 ( x ? 0) 的值域 x

解法一:判别式法 1 设 y ? x? ,则 x 2 - yx ? 1 ? 0 ,由Δ ? y 2 - 4 ? 0 ? y ? 2 x 当 y ? 2 时, x 2 - 2 x ? 1 ? 0 ? x ? 1 , 因此当 x ? 1 时,
1 ( x ? 0) 有最小值 2,即值域为 ?2,??? x 解法二:单调性法 1 先判断函数 f ( x) ? x ? ( x ? 0) 的单调性 x f ( x) ? x ?

任取 0 ? x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) - f ( x2 ) ?

( x1 - x2 )(x1 x2 - 1) x1 x2

当 0 ? x1 ? x2 ? 2 时,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,此时 f (x) 在 (0,1] 上时减函数 当 2 ? x1 ? x2 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) f (x) 在 ?2,??? 上是增函数

? 由 f (x) 在 ?0,1? 上是减函数, f (x) 在 ?1,?∞ 上是增函数,知
x ? 1 时, f (x) 有最小值 2,即值域为 ?2,???

解法三:配方法
f ( x) ? x ? 1 1 1 2 ?( x) ? 2 ,当 x ? 0 时, x ? 1 ,此时 x x x
3

f (x) 有最小值 2,即值域为 ?2,???

解法四:基本不等式法
f ( x) ? x ?

1 1 1 ? ( x )2 ? ( )2 ? 2 x ?2 x x x

f (x) 有最小值 2,即值域为 ?2,???

解法分析:本题利用了函数的性质,一元一次方程解的判断和已知不等式 转化成等价问题。 3、 已知函数 f(x) x ?
2

? 2x ? a x

, x ? ?1, ?? 若对任意 x ? ?1 ? ??,f(x)>0 恒 ?

成立,试求实数 a 的取值范围。 解法一: 在区间 ?1, ? ? 上, f(x) x ? ? 成立,设 y ? 当且仅当 y
2

? 2x ? a x

? 0 恒成立 ?

x

2

? 2x ? a ? 0 恒

x

2

? 2 x ? a 在 ?1, ? ? 递增 ,∴ 当 x=1 时 y ?

min

? 3 ? a ,于是

min

? 3 ? a ? 0 时,函数恒成立,故 a>—3。
a ? 2,x ? ?1, ? ? 当 a ? 0 的值恒为正,当 a<0 时,函数 ? x

? 解法二: f(x) x ?

f(x) 为增函数故当 x=1 时
a>—3。

f(x) ? 3 ? a 于是当且仅当 3+a>)时恒成立,
min



解法三:在区间 ?1, ? ? 上 f(x) x ? ?
2

2

? 2x ? a x
2

恒成立 ?

x

2

? 2 x ? a ? 0 恒成立

? ?a ? — x — 2 x 恒成立, a 应大于 u ? — x — 2 x,x ? ?1, ? ? 时的最大值—3, 故
?a ? —

?x?1? ? 1
2

当 x=1 时,取得最大值 —3

? a ? —3。

解法分析:巧妙利用分析法和综合法解决问题。 4、已知 sn 是等比数列的前 n 想项和,s3 , s6 , s9 成等差数列,求证:a2 , a5 , a8 成 等差数列 解法一:用公式 sn ?

a1 (1一q n ) , 1一q
4

因为 s3 , s6 , s9 成等差数列,所以 s3 ? s6 ? 2s9 且 q ? 1 则

a1 (1一q3 ) a1 (1一q6 ) 2a1 (1一q9 ) ? ? ?q3 ? q6 ? 2q9 (q ≠ ) ? ? q3 ? 2q6 1 1 1一q 1一q 1一q
所以 a2 ? a5 ? a1q ? a1q 4 ? a1q(2q 6 ) ? 2a1q 7 ? 2a8 所以 a2 , a5 , a8 成等差数列` 解法二:用公式 s n ?
a1一an q , 1一q

? s3 ? s6 ? 2s9 ,∴

a1一a3 q a1一a6 q 2(a1一a9 q) ? ? 1一q 1一q 1一q

则 a3 ? a6 ? 2a9 ? a2 q ? a5 q ? 2a8 q ? a2 ? a5 ? 2a8 ,所以 a2 , a5 , a8 成等差 数列` 解法三: (用公式 s2n ? sn (1 ? q n ), s3n ? sn (1 ? q n ? q 2n ) )
? s6 ? s3 ? a4 ? a5 ? a6 ? s3 ? (a1 ? a2 ? a3 )q3 ? (1 ? q3 )s3

s9 ? s3 (1 ? q 3 ? q 6 ) ? s3 ? s6 ? 2s9 ? s3 ? s3 (1 ? q 3 ) ? 2s3 (1 ? q 3 ? q 6 )
1 解得 q 3 ? 一 (下略) 2 解法分析:数列相关性质及公式的灵活使用

5、设 a ? lg a ? 10 , b ? 10b ? 10 ,求 a ? b 的值。 解法一(构造函数) :设 f ( x) ? x ? lg x , 则 f (a) ? 10 ? b ? 10b ? lg10b ? 10b ? f (10b ) ,由于 f (x) 在 (0,??) 上是 单调递增函数,所以 a ? 10b ,故 a ? b ? 10b ? b ? 10 。 解法二(图象法) 因为 a 是方程 x ? lg x ? 10 的一个根,也就是方程 lg x ? 10 - x 的一个根 是方程 x ? 10x ? 10 的一个根,也就是方程 10x ? 10 -x 的一个根 令 g ( x) ? lg x , h( x) ? 10x , ?( x) ? 10 - x ,在同一坐标系中作出他们的图 象,如图所示:
5

10

8

6

4

2

-5

B

5

AC

10 A

a 是方程 g ( x) ? ?( x) 的根,即图中 OA= a
b 是方程 h( x) ? ?( x) 的根,即图中 OB= b

易得 OA+OB=10,所以 a ? b ? 10 解 法 三 : 方 程 x ? lg x ? 10 , x ? 10x ? 10 的 根 为 a , b 由 x ? 10x ? 10 , 得
10x ? 10 - x ,? x ? lg(10 - x) ,又 x ? lg x ? 10 ? lg(10 - x) ? lgx ? 10 ,

即x(10- x) ? 1010 , 即x 2 - 10x ? 1010 ? 0

x1 ? x2 ? 10

(虚根? ? 0)

解法分析:本题利用了函数法、图像法和方程法等方法。 上面为大家展示了若干个问题转换方法,另外还有许多其他方法,此 处不一一列举,教师在教学的过程中及学生在学习的过程中应慢慢渗透、 掌握和熟练运用这些方法,一达到较佳的教学效果和学习效率。

一题多变
1、原题: f ( x) ? mx2 ? 8x ? 4 的定义域为 R,求 m 的取值范围 解:由题意 mx2 ? 8x ? 4 ? 0 在 R 上恒成立
? m ? 0 且Δ ? 0 ,得 m ? 4

变 1: f ( x) ? log 3 mx 2 ? 8 x ? 4 的定义域为 R,求 m 的取值范围
2 解:由题意 m x + 8 x + 4 > 0 在 R 上恒成立

? m ? 0 且Δ < 0 ,得 m > 4
6

变 2: f ( x) ? log3 (mx2 ? 8x ? 4) 的值域为 R,求 m 的取值范围 解:令 t ? mx2 ? 8x ? 4 ,则要求 t 能取到所有大于 0 的实数,
? 当 m ? 0 时,t 能取到所有大于 0 的实数 当 m ? 0 时, m ? 0 且Δ ? 0 ?0 ? m ≤4 ?0 ? m ? 4

变 3: f ( x) ? log3

m x2 ? 8 x ? n 的定义域为 R,值域为 ?0,2? ,求 m,n 的值 x2 ?1 m x2 ? 8 x ? n ∈ ?1,9? ,得 y - m)x 2 - 8x ? y - n ? 0 ( 2 x ?1

解:由题意,令 y ?

y ? m 时,Δ ? 0 ? y 2 - (m ? n) y ? mn- 16 ? 0 ? 1 和 9 时 y 2 - (m ? n) y ? mn- 16 ? 0 的两个根

?
?

m?n?5

当 y ? m 时, x ?

?m?n?5

n-m ? 0 ? x ? R ,也符合题意 8

1 2、原题::若 f ( ) ? x ? 1 ? x 2 ( x ? 0) ,则 f (x) ? x 分析:用倒数换元 1 1 解: 令 t ? 则x ? , 所以 x t

1 1 f (t ) ? ? 1 ? ( ) 2 (t ? 0) t t

将 t 换成 x 得到:
f (t ) ? 1 1 ? 1 ? ( )2 ( x ? 0) x x

1 变题 1:设 f (x) 满足关系式 f ( x) ? 2 f ( ) ? 3 x, 求 f (x) 的解析式 x 1 1 解: t ? 则x ? x t 1 1 f ( ) ? 2 f (t ) ? 3 t t 将 t 换成 x 得到: 1 1 f ( ) ? 2 f ( x) ? 3 x x

7

1 与原式联立方程组消去 f ( ) 得到 x 2 f ( x) ? ? x( x ? 0) x

变题 2:已知 af ( x) ? f (? x) ? bx ,其中 a 2 ? 1 试求 f (x) 的解析式 解:用相反数换元 令 t ? ? x, x ? ?t 代入到原式当中得到:

af (?t ) ? f (t ) ? ?bt

将 t 换成 x 得到:
af (? x) ? f ( x) ? ?bx

与原式联立方程组,得到:

(a2 ?1) f ( x) ? b(a ? 1) x
?
a2 ? 1



f ( x) ?

b(a ? 1) b x? x 2 (a ? 1) a ?1

2 2 变题 3:已知 af (4x ? 3) ? bf (3 ? 4x) ? 2x, a ? b ,试求 f (x) 的解析式

解:令 4 x ? 3 ? t ,则 2 x ?
af (t ) ? bf (?t ) ? ?t ? 3 2

t ?3 2



?1?

将 ?1? 中 t 换-t 得到:
af (?t ) ? bf (t ) ? t ?3 2

与 (1) 联立方程组得到:
(a 2 ? b 2 ) f (t ) ?
?a2 ? b2

a?b 3 t ? ( a ? b) 2 2

? f (t ) ?

1 3 t? 2(a ? b) 2(a ? b) 1 3 x? 2(a ? b) 2(a ? b)
8

? f ( x) ?

n n 2 变题 4:已知 af ( x ) ? f (? x ) ? bx,其中a ? 1, n为奇数, f (x) 求

解:设 x n ? t , x ? n t

代入原式得:

af (t ) ? f (?t ) ? b n t
将 t 换成—t 得到:
af (—t ) ? f (t ) ? —bn t

与上式联立方程组得到

(a 2 —1) f (t ) ? b(a ? 1)n t
?
a2 ? 1



f ( x) ?

b(a ? 1) n b n t? t 2 (a ? 1) a ?1 f ( x) ? b(a ? 1) n b n x? x 2 (a ? 1) a ?1



f (x) 的解析式为:

3、原题:已知 f (x) 对于任意实数 x. y 满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,当 x ? 0 时,
f ( x) ? 0

求证

f ( x ) ? - f (- x )

判断 f (x) 的单调性 证明 (1)令 x ? y ? 0, 得 f (0) ? f (0) ? f (0)


f (0) ? 0

令 x ? -y ,得 f (0) ? f ( x) ? f (-x) ? 0


f ( x ) ? - f (- x )

(2)设 x1 ? x 2 ,则

f ( x 2 ) ? f [ x1 ? ( x2 - x1 )] ? f ( x1 ) ? f ( x2 - x1 ) ? f ( x1 )


f (x) 在 R 上是单调函数

变题 1.

x 已知函数是定义 R 在上的增函数,且满足 f ( ) ? f ( x) - f ( y ) y
9

求 f (1) 的值
1 若 f (6) ? 1, 解不等式 f ( x ? 5) - f ( ) ? 2 x

解 (1)

令 x ? y ? 1 ,得

f (1) ? f (1) - f (1)


f (1) ? 0 -

x 在 f ( ) ? f ( x) - f ( y ) 中,令 x = 1, y = 6 得 y
1 f ( ) ? - f (6) ? -1 6 1 从而 f (36) ? f (6) - f ( ) ? 2 6

又原不等式可化为
f [ x( x ? 5)] ? f (36) ,

且 f (x) 是 (0,??) 上的增函数,
∴ 原不等式等价于

x( x ? 5) ? 36


-9 ? x ? 4




? 解得

x?0 x?5? 0 0? x?4

原不等式的解集为(0,4)

4、原题: ax 2 - ax ?

1 ? 0 恒成立,求 a 的取值范围 2 1 解:1、当 a ? 0 时 ? 0 2 a?0 2、 ?0?a?2 1 ? ? a 2 - 4a ? ≤ 0 2
10

∴0 ? a ? 2 变式 1:已知函数 g ?x ? ? ax2 ? ax ? 围。 解:由题意得 ax 2 - ax ? ∴1、当 a ? 0 时 2、
a?0 ?0?a?2
? ? a 2 - 4a ?

1 的定义域为 R ,求实数 a 的取值范 2

1 ? 0 恒成立, 2

1 ?0 2

1 ?0 2

∴0 ? a ? 2 变式 2、函数 g ?x ? ? ax2 ? ax ?

1 的定义域为 R 的充要条件是什么 2

解:由题意得 ax 2 - ax ? ∴1、当 a ? 0 时 2、
a?0
1 ?0 2

1 ? 0 恒成立, 2

?0?a?2
? ? a 2 - 4a ?

1 ≤0 2

∴0≤ a ≤ 2 变式 3、 y ?

1 1 ax ? ax ? 2
2

的定义域为 R ,求实数 a 的取值范围。

解:由题意得 ax 2 - ax ? ∴1、当 a ? 0 时 2、
a?0
1 ?0 2

1 ? 0 恒成立, 2

?0 ? a ? 2
? ? a 2 - 4a ?

1 <0 2

∴0 ? a ? 2

11

变式 4、 y ?

1 1 ax ? ax ? 2
2

的定义域为 R,求实数 a 的取值范围。
1 1 ? 0 无解即 ? ? 0, a 2 - 4a ? ? 0 ? 0 ? a ? 2 2 2

解:由题意得 ax 2 - ax ? 或a ? 0 ∴0 ? a ? 2

1 变式 5、 y = log2 (ax2 - ax + ) 的定义域为 R,求 a 的取值范围 2 1 解:由题意得 ax 2 - ax ? ? 0 恒成立, 2 1 ∴1、当 a ? 0 时 ? 0 2 2、 a ? 0 ?0 ? a ? 2 1 ? ? a 2 - 4a ? < 0 2 0?a?2 ∴

总之,在数学习题教学中,选用一些非加探索不能发现其内在联系的习题, 采用一题多解与一题多变的形式进行教学,有助于启发学生分析思考,逐步把学 生引入胜境,从而使学生开拓知识视野,增强能力,发展创造思维,同时还可以 帮助学生对知识系统性、特殊性、广泛性的深刻理解。一题多解与一题多变是发 散思维在数学上的具体体现,应该说,通过一题多解与一题多变的训练,学生的 解决问题上的能力会进一步提高和优化, 但一题多解的最终目的不是来展示有多 少种解决问题的途径, 也不是所有的题目都需要用多种方法去解决,而是要寻找 一种最佳、最近的途径,也就是说,掌握一题多解的最终目的是为了一题一解。 因此, 教学中教师不仅要善于诱导学生去发现问题,更要善于帮助他们总结归纳 问题,使其认知水平有所提高。

12


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