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8月10号周测数学文


2014-2015 学年度 8 月 10 号周测
考试范围:三角,函数,参数方程;考试时间:120 分钟; 命题人:尹海哲,审题人:孙晓亚 一、选择题(每题 5 分) 1.函数 y=-xcosx 的部分图象是( ).

2.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

2? 3

sin 2A - sinB a ? b ? ,则角 A 的大小为( ). sinC c

3.△ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,若 a , b, c 成等比数列,且 c ? 2a ,则 cos B ? (



A.

1 4

B.

3 4

C.

2 4

D.

2 3


4.已知 sin ? A. ?

?? ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? ,则 cos ? ? 2? ? 的值等于( ?6 ? 3 ? 3 ?
B. ?

5 9

7 9

C.

5 9

D.

7 9

5.若函数 f ( x) ? sin ? x ? 3 cos ? x ( x ? R ) ,又 f (? ) ? ?2 , f (? ) ? 0 ,且 ? ? ? 的最小值为 则正数 ? 的值是( ) B.

3? , 4

1 A. 3

3 2

C.

4 3

D.

2 3

6 .设 f ( x) 是定义在 R 上且以 5 为周期的奇函数,若 f (2) ? 1, f (3) ? ( ).A、 (??, 2) B、 ?? ?,?2 ? ? ?0,3? C、 (0,3)

a2 ? a ? 3 , 则 a 的取值范围是 a ?3
D、 ?? ?,2 ? ? ?0,3?

7.设 a=log36,b=log510,c=log714,则( ). A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b

D.a>b>c

?a ? 2 x , x ? 0 ? 8.已知函数 f ( x) ? ?log x, x ? 0 ,若关于 x 的方程 f(f(x))=0 有且仅有一个实数解,则实数 a 的取值范 1 ? ? 2
围是( ).A.(-∞,0) B.(-∞,0)∪(0,1) C.(0,1) D.(0,1)∪(1,+∞)

试卷第 1 页,总 4 页

9.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A>0, | ? |? g(x)=sin2x 的图象(
y π 3 O -1 7π 12 x

?
2

)的图象如图所示,为了得到 f ( x) 的图象,则只需将



? 个长度单位 6 ? C. 向右平移 个长度单位 3
A. 向右平移

? 个长度单位 6 ? D. 向左平移 个长度单位 3 ? 10.如果函数 y ? sin 2 x ? a cos 2 x 的图象关于直线 x ? ? 对称,那么 a 等于( 8
B. 向左平移 A.



2

B.-

2

C.1

D.-1

11.若函数 f ( x) ? A. 1

k ? 2x (a为常数) 在定义域上为奇函数,则 k的值为 ( 1? k ? 2x
C. ? 1 D. 0 )



B. ? 1

12.关于 f ( x) ? 3 sin( 2 x ?

?
4

) 有以下命题,其中正确的个数(

①若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , 则 x1 ? x2 ? k? (k ? Z ) ; ② f ( x ) 图象与 g ( x) ? 3 cos( 2 x ? 在区间 [ ? A.0

?
4

) 图象相同; ③ f ( x)

? 7? 3? ,? ] 上是减函数;④ f ( x) 图象关于点 (? ,0) 对称. 8 8 8
B.1 C.2 D.3

二、填空题(每题 5 分)

x? 13. 设 常 数 a 使 方 程 s i n x1 ? x2 ? x3 ? ____________.

3 cx? o s a在 闭 区 间 [0 , 2? ] 上 恰 有 三 个 解 x1 , x2 , x3 , 则

14.在△ ABC 中, ①若 A ? B ,则 cos 2 A ? cos 2 B ; ②若 tan A ? tan B ? tan C ? 0 ,则△ ABC 是锐角三角形; ③若△ ABC 是锐角三角形,则 cos A ? sin B ; ④若 (1 ? tan A)(1 ? tan B) ? 2 ,则 A ? B ? 2k? ? 以上命题的正确的是 .

?
4

( k ? Z ).

15.已知方程 x 2 ? 4ax ? 3a ? 1 ? 0(a 为大于 1 的常数)的两根为 tan ? ,t an ? ,且 ? 、? ? ? ?

? ? ?? , ?, ? 2 2?

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则 tan

? ??
2

的值是_________________

16. 已知函数 y ?

x2 ?1 x ?1

的图象与函数 y ? kx ? 2 的图象恰有两个交点, 则实数 k 的取值范围是_________.

三、解答题:17.设函数 f ( x) ? 中心到最近的对称轴的距离为

3 ? 3 sin 2 ? x ? sin ? x cos ? x (? ? 0) ,且 y ? f ( x) 的图象的一个对称 2
,(1)求 ? 的值; (2)求 f ( x) 在区间 [? ,

?
4

3? ] 上的最大值和最小值. 2

18.在△ ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,已知 B ? C, 2b ? 3a. (1)求 cos A 的值; (2) cos(2 A ?

?
4

) 的值.

19.在 ?ABC 中, (2a ? c) cos B ? b cos C (1)求角 B 的大小; (2)求 2cos A ? cos( A ? C) 的取值范围.
2

试卷第 3 页,总 4 页

20.设

,其中 a∈R,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与 y 轴相交于点(0,6).

(1)确定 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值.

21.已知函数 f ( x) ? sin x ? ax ? bx cos x (a ? R, b ? R) . (1)若 b ? 0 ,讨论函数 f ( x ) 在区间 (0, ? ) 上的单调性; (2)若 a ? 2b 且对任意的 x ? 0 ,都有 f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

22.极坐标系的极点是直角坐标系的原点,极轴为 x 轴正半轴.已知曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 4 cos? , 曲线 C 2 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? 2t ? y ? 3 ? 2 3t

(其中 t 为参数)

(1)求曲线 C 1 的直角坐标方程和曲线 C 2 的普通方程; (2)判断曲线 C 1 和曲线 C 2 的位置关系;若曲线 C 1 和曲线 C 2 相交,求出弦长.

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参考答案 1.D. 【解析】 试题分析:选判断函数的奇偶性,此时 x ? R ,有 f (? x) ? x cos x ? ? f ( x) ,可知此函数为 奇函数,排除 A,C;又当 x>0 时,取 x ?

?
2

时,可知此时 f ( ) ? 0 ,易知图像与 x 轴交于

?

2

? ? ? ? ? ? 2 ( , 0) ,而当 x ? 时, f ( ) ? ? ? cos ? ? ? ? 0 ,故选 D. 2 4 4 4 4 4 2
考点:函数图像的辨析与识别,奇偶函数的定义与性质,排除法,特殊角的三角函数值. 2.C. 【解析】 试题分析:根据正弦定理, a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C (其中 R 为三角形外接

sin 2 A ? sin B sin A ? sin B ? ,所以有 sin 2 A ? sin A ,又 sin A ?0 ,所 sin C sin C ? 1 以有 2 cos A ? 1 ,即 cos A ? ,又 A ? (0 , ? ) ,所以 A ? . 3 2
圆的半径) ,则有 考点:正弦定理,二倍角的正弦公式,特殊角的三角函数值. 3.B. 【解析】
2 试题分析:∵ a , b , c 成等比数列,∴ b ? ac ,又∵ c ? 2a ,∴ b 2 ? 2a 2 ,

∴ cos B ?

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? 4a 2 ? 2 a 2 3 ? ? . 2ac 2a ? 2a 4

考点:余弦定理的变式. 4.B 【解析】 试 题 分 析 : 令

?
6

?? ??

, 有 sin ? ?

1 ? , 则 ? ?? ? 3 6


, 从 而

2? 2? ?? ? ? 2? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? 2? 3 3 6? ?





7 ? 2? ? cos ? ? 2? ? ? cos(? ? 2? ) ? ? cos 2? ? ?(1 ? 2sin 2 ? ) ? ? ,故选择 B.这里用了配角 9 ? 3 ?
技巧,具体方法从本题的解法去体会. 考点:三角函数求值和配角技巧. 5.D 【解析】 试题分析: f ( x) ? sin ? x ? 3 cos ? x ? 2sin ? ? x ?

? ?

??

? ,又 f (? ) ? ?2 , f (? ) ? 0 ,说 3?

答案第 1 页,总 10 页

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明在 x ? ? 时函数取得最小值,在 x ? ? 时,函数图象与 x 轴的交点,即平衡点, ? ? ? 的 最小值应为

1 1 2? 3? 2 T ,即 ? ? ,所以 ? ? . 4 4 ? 4 3

考点:三角函数图象与性质以及引入辅助角的方法. 6.B 【解析】 试 题 分 析 : 由 题 意 , 得 :

f (? x) ? ? f ( x), f ( x ? 5) ? f ( x) , 所 以

f (3) ? f (?2) ? ? f (2) ? ?1 ,


a2 ? a ? 3 a 2 ? 2a ? ?1 ,? ? 0 , a(a ? 2)(a ? 3) ? 0 ,? a ? ?2或0 ? x ? 3 . a ?3 a ?3

考点:函数的奇偶性、周期性. 7.D 【解析】 试 题 分 析 : ? a ? lo g 3 6 ? 1 ? lo g 3 2 ? 1?

1 1 , b ? log5 10 ? 1 ? log5 2 ? 1 ? , lo g log2 5 23

c ? log7 14 ? 1 ? log7 2 ? 1 ?
考点:对数函数的单调性. 8.B 【解析】

1 ;且 log2 7 ? log2 5 ? log2 3 ? 0 ;? a ? b ? c . log2 7

试题分析:令 t ? f ( x) ,则 y ? f (t ) ;令 f (t ) ? 0 ,则 t ? 1或a ? 0(舍) ;令 f ( x) ? 1 ,则

1 或a ? 2 x ? 1有非正解 ;因为关于 x 的方程 f(f(x))=0 有且仅有一个实数解,所以 2 1 f ( x) ? 1 有 且 仅 有 一 个 实 数 解 , ? a ? 2 x ? 1( x ? 0) 无 解 , 即 a ? x ( x ? 0) 无 解 , 2 1 ? x ? 0,? x ? 1 ;? a ? (??,0) ? (0,1) . 2 x?
考点:分段函数、方程解的个数. 9.B 【解析】由图可得, A ? 1 . T ? 4( 所以 f ( x) ? sin(2 x ? 10.D 【解析】 【错解分析】函数 y ? Asin ?? x ? ? ? 的对称轴一定经过图象的波峰顶或波谷底,且与 y 轴

?

? ? 7? ? ? ) ? ? ,所以 ? ? 2 .又由 2 ? ? ? ? ? ? ? ? . 3 3 12 3

) ? sin 2( x ? ) ,所以应将 g ( x) 的图象向左平移 个长度单位. 3 6 6

?

?

答案第 2 页,总 10 页

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平行,而对称中心是图象与 x 轴的交点,学生对函数的对称性不理解误认为当 x ? ? y=0,导致解答出错。 【正解】 (法一) 函数的解析式可化为 y ? 依题意,直线 x ? ?

?
8

时,

2 a 2 ? 1sin ? 2 x ? ? ? , 故 y 的最大值为 a ? 1 ,

?
8

是函数的对称轴,则它通过函数的最大值或最小值点即

? ?? ? ?? sin ? ? ? ? a cos ? ? ? ? 4? ? 4?

? a2 ? 1 ,解得 a ? ?1 .故选 D
(法二) 依题意函数为 y ?

a 2 ? 1sin ? 2 x ? arctan a ? ,直线 x ? ?

?
8

是函数的对称轴,故有

3? ? ? ?? ? ? ?? ,而 arctan a ? ? ? , 2 ? ? ? ? ? arctan a ? k? ? , k ? z ,即:arctan a ? k? ? ? 4 2 ? 8? ? 2 2?
故 arctan a ? ?

?
4

,从而 a ? ?1 故选 D.

(法三) 若函数关于直线 x ? ? 挂选 D。

?
8

是函数的对称则必有 f ? 0 ? ? f ? ?

? ?? 代入即得 a ? ?1 。 ?, ? 4?

【点评】对于正弦型函数 y ? Asin ?? x ? ? ? 及余弦型函数 y ? A cos ?? x ? ? ? 它们有无穷 多条对称轴及无数多个对称中心, 它们的意义是分别使得函数取得最值的 x 值和使得函数值 为零的 x 值, 这是它们的几何和代数特征。 希望同学们认真学习本题的三种解法根据具体问 题的不同灵活处理。 11.C 【解析】 【错解分析】此题容易错选为 A,错误原因是直接利用了 f (0) ? 0 ,万万不可。 【正解】利用定义: f (? x) ? f ( x) ? 0 , f ( x) ? f (? x) ?
2x 2 2x 化简得 f ? x ? ? f ? ? x ? ? 1 ? 2 k ? 2 ? 1 ? 0

k ? 2x k ? 2? x ? 1 ? k ? 2 x 1 ? k ? 2? x

?

?

因为 1 ? 2 >0
2x

所以 k ? 1 ? 0
2

k ? ?1 ,故选 C
【点评】对于一个函数在定义域范围内关于原点( 0 , 0 )对称、对任意的 x 都满足

f ? ? x? ? ? f ? x? ,解题时一定要注意奇函数性质成立的条件必须是在定义域范围内,同时

答案第 3 页,总 10 页

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本题的计算有点复杂,要注意把 2 看做一个整体求解。 12.D. 【解析】 试题分析:①:∵ f ( x) ? 3 sin( 2 x ? ∴①错误; ②: ∵ cos( 2 x ? 时,

x

?
4

) , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,∴ x1 ? x2 ?

k? (k ? Z ) , 2

?

7? 3? ? ? ? ,? ] ) ? sin[( 2 x ? ) ? ] ? sin( 2 x ? ) , ∴②正确; ③: 当 x ? [? 8 8 4 4 2 4

2x ?
时,

?
4

? [?

? 7? 3? 3? ? ,? ] 上是减函数,③正确;④:当 x ? ? ,? ] ,∴ f ( x) 在区间 [ ? 8 8 8 2 2

2x ?

?

? 0 ,∴ f (? ) ? 0 ,∴④正确. 4 8

?

考点:三角函数的图象与性质. 13 .

7 ? 3

试题分析:先利用两角和公式对函数解析式化简,画出函数

y ? 2sin( x ? ) 的 图 象 ,方 程 的 解 即 为 直 线 与 三 角 函 数 图 象 的 交 点 ,在 [0 ,2 π 3
上 , 当 a=

?

]

3 时,直线与三角函数图象恰有三个交点,进而求得此时

x1, x2, x3

最后相加即可.

?? 3 ? ? sin ? x ? ? ? 得到x1 ? 0, x2 ? , x3 ? 2? 3? 2 3 ?
7 x1 ? x2 ? x3 ? ? 3
考点:正 弦 函 数 的 图 象 ; 两 角 和 与 差 的 正 弦 函 数 . 14.①②③ 【解析】 试 题 分 析 : 在 △

ABC





A ? B ? a ? b ? sin A ? sin B ? sin 2 A ? sin 2 B ? 1 ? 2sin 2 A ? 1 ? 2sin 2 B ? cos 2 A ? cos 2B
故 ① 正 确 ; 由

tan A ? ? tan( B ? C ) ? ?

tan A ? tan B 可得 tan A tan B tan C ? tan A ? tan B ? tan C , 由 1 ? tan A tan B

②若 tan A ? tan B ? tan C ? 0 , 则有 tan A tan B tan C ? 0 , 则进而有 tan A, tan B, tan C 均

答案第 4 页,总 10 页

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为正,即有△ ABC 是锐角三角形,故②正确;由③若△ ABC 是锐角三角形,则 A, B, C 均 为锐角,且 A ? B ?

?
2

,所以 A ?

?

? ?? ? B ,因为余弦函数在 ? 0, ? 上为减函数,故有 2 ? 2?

?? ? cos A ? cos ? ? B ? ,即 cos A ? sin B ,所以③也正确;④若 (1 ? tan A)(1 ? tan B) ? 2 , ?2 ?
则有 tan A ? tan B ? 1 ? tan A tan B , 即有 tan( A ? B) ? 1 , 在△ ABC 中只能有 A ? B ?

?
4



故④不正确.最后应填①②③. ①②③作为常规结论,最好能记住,掌握它的推导那就更好. 考点:解三角形和三角形形状判断. 15. ?2 【解析】 【错解分析】 :? tan? , tan ? 是方程 x 2 ? 4ax ? 3a ? 1 ? 0 的两个根

? tan? ? tan ? ? ?4a ,
tan? ? tan ? ? 3a ? 1
由 tan

?? ? ? ?

=

4 tan? ? tan ? ? 4a = = 可 得 3 1 ? tan? ? tan ? 1 ? ?3a ? 1?

t an

? ??
2

? ?2 .

【正解】? a ? 1

? tan? ? tan? ? ?4a ? 0 , tan? ? tan? ? 3a ? 1 ? o

? tan? , tan? 是方程 x 2 ? 4ax ? 3a ? 1 ? 0 的两个负根
又?, ? ? ? ?

? ? ?? , ? ? 2 2?

? ?? ? ? ? ? ? ? ?? , ? ? ? ? ,0 ? 即 ? ? ? ,0 ? 2 ? 2 ? ? 2 ?

由 tan

?? ? ? ? =

4 ? ?? tan? ? tan ? ? 4a ? ?2. = = 可得 tan 2 1 ? tan? ? tan ? 1 ? ?3a ? 1? 3

【点评】错解中忽略了隐含限制 t an? , t an? 是方程 x 2 ? 4ax ? 3a ? 1 ? 0 的两个负根,从 而导致错误. 16. (0,1)

(1, 4)

【解析】 y ? 形结合:

x2 ?1 x ?1

?

x ? 1 x ?1 ? ? x ? 1, x ? 1, ?? 函数 y ? kx ? 2 过定点(0,-2) ,由数 x ?1 ? ?? x ? 1 , x ? 1,

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y
C (1, 2)

O

x
B

A(0, ?2)

k AB ? k ? 1或1 ? k ? k AC ,?0 ? k ? 1或1 ? k ? 4.
【考点定位】本题考查函数的图像和性质,考查学生画图、识图以及利用图像解决问题的能 力. 17. (1)1; (2) 【解析】 试题分析: (1) 本小题中的函数是常考的一种形式, 先用降幂公式把 sin 2 ? x 化为一次形式, 但角变为 2? x ,再运用辅助角公式化为 y ? A sin(? x ? ? ) 形式,又由对称中心到最近的对

3 , ?1 . 2

? ? ,可知此函数的周期为 ,从而利用周期公式易求出 ? ; (2)本小题在前小 4 4 3? 题的函数的基础上进行完成,因此用换元法只需令 ? x ? ? ? u ,利用 ? ? x ? 求出 u 的 2
称轴距离为 范围,结合正弦函数图像即可找到函数的最值. 试 题 解 析 : ( 1 )

f ( x) ?

3 ? 3 sin 2 ? x ? sin ? x cos ? x 2

?

3 1 ? cos 2? x 1 ? 3 ? sin 2? x 2 2 2

?

? 3 1 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴距 cos 2? x ? sin 2? x ? ? sin(2? x ? ) . 3 2 2

? 2? ? ? 4 ? ,因此 ? ? 1 . ,又 ? ? 0 ,所以 4 2? 4 ? 3? 5? ? 8? 2 x? . ) 当? ? x ? ? 2x ? ? ( 2 ) 由 ( 1 ) 知 f ( x ) ? ? s i n (? 时, 所以 3 2 3 3 3
离为

?

3? 3 3 ? ] 上的最大值和 . 故 f ( x ) 在区间 [? , ? ? si n( 2 ?x ? ) ? 1 因此 ?1 ? f ( x) ? 2 2 2 3 ,

最小值分别为

3 , ?1 . 2

考点:降幂公式,辅助角公式,周期公式,换元法,正弦函数图像,化归思想.
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18. (1) 【解析】

1 8?7 2 (2) ? 3 18 .

试题分析: (1)本小题中 B=C 可得 b=c,又 2b= 3 a,所以 b,c 均能用 a 表示,利用余弦定 理的推论可把 cos A 写成关于 a 的关系式即可求其值; (2)本小题只需利用两角和的余弦公 式把式子展开 cos ? 2 A ?

? ?

??

其中 cos 2 A,sin2A 用二倍角 ? ? cos 2 Acos ?sin 2 Asin , 4? 4 4

?

?

cos A ,而这两个值可由(1)题中找到或求出,但要注意角的范围. 公式,因此只需求 sin A,
试 题 解 析 :( 1 ) 解 : 由 B ? C , 2 b ?

3 可得 a,

?c

3 所a以 ?b 2 ,

3 2 3 2 a ? a ?a 2 2 b2 ? c ? a 24 1 4 cos A ? ? ? 2bc 3 3 3 2? a? a 2 2 .
s? ( 2 ) 解 : 因 为 c oA 7 cos 2 A ? ?2 cos 2 A ? 1 ? ? . 9 1 A? , 3

?( 0 , , 所 )以 sin A ? 1 ? cos 2 A ?
4 2 9

2 2 3 ,

sin 2 A ? 2sin A cos A ?




?? ? ? ? 7? 2 4 2 2 8?7 2 ? cos ? 2 A ? ? ? cos 2 A cos ? sin 2 A sin ? ? ? ? ? ? ? ?? 4? 4 4 ? 9? 2 9 2 18 . ?
考点:余弦定理的推论,同角三角函数的基本关系(平方关系) ,二倍角公式,两角和的余 弦公式,化归思想. 19. (1) B ? 【解析】 试题分析: (1)条件中给出的关系式 (2a ? c) cos B ? b cos C 是边角之间的关系式,因此考 虑 采 用 正 弦 定 理 进 行 边 角 互 化 , 将 其 统 一 为 角 之 间 的 关 系 式 :

?
3

; (2) (0, 2] .

(2a ? c) cos B ? b cos C ? (2sin A ? sin C ) cos B ? sin B cos C
? 2sin A cos B ? sin( B ? C) ? sin A ? cos B ?
2

2? 1 ? (2)由(1)可知 A ? C ? ,因此 ?B? ; 2 3 3

可以将表达式 2cos A ? cos( A ? C) 转化为只与 A 有关的三角表达式, 再利用三角恒等变形 将 其 化 简 , 结 合

0? A?

2? 3



















答案第 7 页,总 10 页

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2 cos 2 A ? cos( A ? C ) ? 2 cos 2 A ? cos(2 A ?

2? ) ? (cos 2 A ? 1) 3
, 再 由

1 3 ?(? cos 2 A ? sin 2 A) 2 2
0? A?

?

3 1 ? sin 2 A ? cos 2 A ? 1 ? sin(2 A ? ) ? 1 2 2 6

2? ? ? 3? ? 可知 ? 2 A ? ? ,从而 0 ? sin( 2 A ? ) ? 1 ? 2 ,即取值范围是 (0, 2] . 3 6 6 2 6
B c b ? o s C
, 由正弦定理, ∴ (2sin A ? sin C ) cos B ? sin B cos C ,
1 , 2

试题解析: (1) ∵( 2 a ?c )c o s

即 2sin A cos B ? sin( B ? C ) ? sin A ,又∵ A ? (0, ? ) ,∴ sin A ? 0 ,∴ cos B ? 又∵ B ? (0, ? ) ,∴ B ?

?
3



(2)由(1)得: A ? C ? ∴

2? , 3

2cos2 A ? cos( A ? C ) ? 2cos 2 A ? cos(2 A ?

2? 1 3 ) ? (cos 2 A ? 1) ? (? cos 2 A ? sin 2 A) 3 2 2

?

3 1 ? sin 2 A ? cos 2 A ? 1 ? sin(2 A ? ) ? 1 , 2 2 6
2? 3
, ∴

又 ∵ 0? A?

?
6

? 2A ?

?
6

?

0 ? sin( 2 A ?
2

?
6

3? 2

A? ( , ∴ ? 1 ? s i 2n

?
6

) ?1 ,

) ?1 ? 2 ,

即 2cos A ? cos ? A ? C ? 的取值范围是 (0, 2] . 考点:1.正弦定理解三角形;2.三角恒等变形. 20. (1) (2)增区间(0,2),(3,+∞);减区间(2,3);极大值 【解析】(1)因 ,故 ,极小值 . .

令 x=1,得 f(1)=16a,f '(1)=6-8a,所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y- 16a=(6-8a)(x-1),由点(0,6)在切线上可得 6-16a=8a-6,故 a= (2)由(1)知, , 令 ,解得 .
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当 0<x<2 或 x>3 时,

,故 f(x)在(0,2),(3,+∞)上为增函数;当 2<x<3 时,

,故 f(x)在(2,3)上为减函数. 由此可知 f(x)在 x=2 处取得极大值 21. (1)参考解析; (2) [ , ??) 【解析】 试题分析: ( 1 )函数 f ( x) ? sin x ? ax ? bx cos x(a ? R, b? R) , b ? 0 ,所以可得函数 ,在 x=3 处取得极小值 f(3)=2+6ln 3.

2 3

f ( x) ? sin x ? ax .通过对函数求导,以及对 a 讨论即可得到结论.
(2)由 a ? 2b 且对任意的 x ? 0 ,将 b 换留下 a 一个参数,又 f ( x) ? 0 恒成立.构建新函数

g ( x) ?

1 1 a 1 sin x a ? ) 2 ? ? ,对 a 的 ? x ,通过对函数求导得到 g '( x) ? ?3( 2 ? cos x 3 2 3 2 ? cos x 2
1分 2分 3分 4分 5分 6分

取值分类讨论即可得结论. 试题解析: (1) b ? 0 时, f ( x) ? sin x ? ax ,则 f '( x) ? cos x ? a , 当 a ? 1 时, f '( x) ? 0 ,所以函数 f ( x ) 在区间 (0, ? ) 上单调递减; 当 a ? ?1 时, f '( x) ? 0 ,所以函数 f ( x ) 在区间 (0, ? ) 上单调递增; 当 ?1 ? a ? 1 时,存在 ? ? (0, ? ) ,使得 cos ? ? a ,即 f (? ) ? 0 ,

x ? (0, ? ) 时, f '( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在区间 (0, ? ) 上单调递增, x ? (? , ? ) 时, f '( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在区间 (? , ? ) 上单调递减.

a x(2 ? cos x) , 2 sin x a ? x, f ( x) ? 0 恒成立,等价于 2 ? cos x 2 sin x a ? x, 记 g ( x) ? 2 ? cos x 2
(2) a ? 2b 时, f ( x) ? sin x ? 则 g '( x) ?

7分

2cos x ? 1 a 1 1 a 1 ? ? ?3( ? )2 ? ? , 2 (2 ? cos x) 2 2 ? cos x 3 2 3

8分



a 1 2 ? ,即 a ? 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 在区间 [0, ??) 上单调递减, 2 3 3
10 分

所以当 x ? 0 时, g ( x) ? g (0) ? 0 ,即 f ( x) ? 0 恒成立;

答案第 9 页,总 10 页

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sin x a a 1 2 cos x a ? x ,则 h '( x) ? ? ,即 0 ? a ? 时,记 h( x) ? ? , 3 2 2 3 3 3 2 ? 3 存在 ? 0 ? (0, ) ,使得 cos ? 0 ? a , 2 2 sin x a ? x, 此时 x ? (0,?0 ) 时, h '( x) ? 0 , h( x) 单调递增, h( x) ? h(0) ? 0 ,即 3 2 sin x sin x a ? ? x ,即 f ( x) ? 0 ,不合题意; 所以 12 分 2 ? cos x 3 2 ? a 当 a ? 0 时, f ( ) ? 1 ? ? ? 0 ,不合题意; 13 分 2 2 2 综上,实数 a 的取值范围是 [ , ??) 14 分 3
当0 ? 考点:1.函数的单调性.2.函数的最值.3.恒成立问题.4.归纳化归的思想. 22. (1) C 1 : x ? y ? 4 x ? 0 , 3x ? y ? 3 3 ? 0 ;(2) 2 2 2 ? (
2 2

3 2 ) ? 13 2

【解析】 试题分析: (1)利用极坐标系中点转化为直角坐标系中的点的方法可求得 C1: x ? y ? 4 x ,C2:
2 2

(2)利用点到直线的距离公式可求得 3x ? y ? 3 3 ? 0 ;

d=

| Axo ? Byo ? C | A ?B
2 2

=

3 3 2 ,然后再求弦长 2 2 2 ? ( ) ? 13 . 2 2
2 2 2

试题解析: (1)由 ? ? 4 cos? 得 ? ? 4? cos? ,所以 x ? y ? 4 x , 即曲线 C 1 : x ? y ? 4 x ? 0
2 2

3分 5分

由?

? x ? 2 ? 2t ? y ? 3 ? 2 3t

得,

y ? 3 ? 2 3t ? ?? 3, x?2 2t
6 分;

即曲线 C 2

3x ? y ? 3 3 ? 0

(2)由(1)得,圆 C 1 的圆心为(2,0) ,半径为 2, 圆心到直线的距离为 d ?

7分

| 2 3 ?0?3 3 | 3 ? ?2 2 2
9分

8分

所以曲线 C 1 和曲线 C 2 的相交 所求弦长为: 2 2 2 ? (

3 2 ) ? 13 2

13 分.

考点:1,极坐标系中点转为直坐标系中的点的方法 2,点到直线的距离.

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