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圆的大题训练含答案


圆的大题训练(含答案)
1、 (2013 四川绵阳,21,12 分)如图,AB 是⊙O 的直径,C 是半圆 O 上的一点,AC 平分 ∠DAB,AD⊥CD,垂足为 D,AD 交⊙O 于 E,连接 CE。 (1) 判断 CD 与⊙O 的位 (2)若E 是 分的面积。 解(1)直线 CD 与⊙O 相切。 证明:连结 AC,OA=OC, ∠OAC=∠OCA, AC 平分∠DAB,∠DAC=∠OAC, ∠DAC=∠OCA,AD//OC,AD⊥CD,OC⊥CD,CD 与⊙O 相切。 (2)连结 OE, , 点 E 是 的中点, ,∠DAC=∠ECA(相等的弧所对的圆周角相等) , ∠DAC=∠OAC( (1)中已证) ,∠ECA=∠OAC,CE//OA,AD//OC, 四边形 AOCE 是平行四边形,CE=OA,AE=OC, OA=OC=OE=1, 置关系,并证明你的结论;

的中点,⊙O 的半径为 1,求图中阴影部

OC=OE=CE=OA=AE=1,四边形 AOCE 是菱形,△OCE 是等边三角形, ∠OCE=60?,∠OCD=90?,∠DCE=∠OCD-∠OCE=90?-60?=30?, AD⊥CD,在 Rt△DCE 中,ED= 1 1 3 CE = ,DC=cos30??CE= , 2 2 2

CE 弧与 CE 弦所围成部分的面积 = AE 弧与 AE 弦所围成部分的面积, 1 1 1 3 3 S 阴影=S△DCE= ?ED?DC= × × = . 2 2 2 2 8 答:图中阴影部分的面积为 3 。 8

2、 (2013 四川内江,25,12 分)如图,AB 是半圆 O 的直径,点 P 在 BA 的延长线上,PD 切⊙ O 于点 C,BD⊥ PD,垂足为 D,连接 BC. (1)求证:BC 平分∠ PDB; (2)求证:BC =AB?BD; (3)若 PA=6,PC=6 ,求 BD 的长.
2

考点: 切线的性质;相似三角形的判定与性质. 专题: 计算题. 分析: (1)连接 OC,由 PD 为圆 O 的切线,利用切线的性质得到 OC 垂直于 PD,由 BD 垂 直于 PD,得到 OC 与 BD 平行,利用两直线平行得到一对内错角相等,再由 OC=OB, 利用等边对等角得到一对角相等,等量代换即可得证; (2)连接 AC,由 AB 为圆 O 的直径,利用直径所对的圆周角为直角得到△ ABC 为直 角三角形,根据一对直角相等,以及第一问的结论得到一对角相等,确定出△ ABC 与 △ BCD 相似,由相似得比例,变形即可得证; (3)由切割线定理列出关系式,将 PA,PC 的长代入求出 PB 的长,由 PB﹣PA 求出 AB 的长,确定出圆的半径,由 OC 与 BD 平行得到△ PCO 与△ DPB 相似,由相似得比 例,将 OC,OP,以及 PB 的长代入即可求出 BD 的长. 解答: (1)证明:连接 OC, ∵ PD 为圆 O 的切线, ∴ OC⊥ PD, ∵ BD⊥ PD, ∴ OC∥ BD, ∴ ∠ OCB=∠ CBD, ∵ OC=OB, ∴ ∠ OCB=∠ OBC, ∴ ∠ CBD=∠ OBC, 则 BC 平分∠ PBD;

(2)证明:连接 AC, ∵ AB 为圆 O 的直径, ∴ ∠ ACB=90°, ∵ ∠ ACB=∠ CDB=90°,∠ ABC=∠ CBD, ∴ △ ABC∽ △ CBD, ∴ = ,即 BC =AB?BD;
2

(3)解:∵ PC 为圆 O 的切线,PAB 为割线, ∴ PC =PA?PB,即 72=6PB, 解得:PB=12, ∴ AB=PB﹣PA=12﹣6=6,
2

∴ OC=3,PO=PA+AO=9, ∵ △ OCP∽ △ BDP, ∴ = ,即 = ,

则 BD=4.

点评: 此题考查了切线的性质,相似三角形的判定与性质,熟练掌握切线的性质是解本题的 关键.

3、 (2013 贵州省黔西南州,22,12 分)如图,AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB 与点 E,点 P 在⊙O 上,∠1=∠C, (1)求证:CB∥PD; (2)若 BC=3,sin∠P=

3 ,求⊙O 的直径. 5

考点: 圆周角定理;圆心角、弧、弦的关系;锐角三角函数的定义. 专题: 几何综合题. 分析: (1)要证明 CB∥PD,可以求得∠1=∠P,根据 ∠C,即可得∠1=∠P; (2)根据题意可知∠P=∠CAB,则 sin∠CAB=,即 解答: (1)证明:∵∠C=∠P 又∵∠1=∠C ∴∠1=∠P ∴CB∥PD; = = 可以确定∠C=∠P,又知∠1=

3 ,所以可以求得圆的直径. 5

(2)解:连接 AC ∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠ACB=90° 又∵CD⊥AB, ∴ = ,

∴∠P=∠CAB, ∴sin∠CAB= 即 =

3 , 5

3 , 5

又知,BC=3, ∴AB=5, ∴直径为 5.

点评: 本题考查的是垂径定理和平行线、圆周角性质,解题时细心是解答好本题的关键.

4、已知:如图,AB 为⊙ O 的直径,AB⊥ AC,BC 交⊙ O 于 D,E 是 AC 的中点,ED 与 AB 的延长线相交于点 F. (1)求证:DE 为⊙ O 的切线. (2)求证:AB:AC=BF:DF.

考点: 切线的判定;相似三角形的判定与性质.

专题: 证明题. 分析: (1) 连接 OD、 AD, 求出 CDA=∠ BDA=90°, 求出∠ 1=∠ 4, ∠ 2=∠ 3, 推出∠ 4+∠ 3=∠ 1+∠ 2=90°, 根据切线的判定推出即可; (2)证△ ABD∽ △ CAD,推出 AC=BF:DF. 解答: 证明: (1)连结 DO、DA, ∵ AB 为⊙ O 直径, ∴ ∠ CDA=∠ BDA=90°, ∵ CE=EA, ∴ DE=EA, ∴ ∠ 1=∠ 4, ∵ OD=OA, ∴ ∠ 2=∠ 3, ∵ ∠ 4+∠ 3=90°, ∴ ∠ 1+∠ 2=90°, 即:∠ EDO=90°, ∵ OD 是半径, ∴ DE 为⊙ O 的切线; = ,证△ FAD∽ △ FDB,推出 = ,即可得出 AB:

(2)∵ ∠ 3+∠ DBA=90°,∠ 3+∠ 4=90°, ∴ ∠ 4=∠ DBA, ∵ ∠ CDA=∠ BDA=90°, ∴ △ ABD∽ △ CAD, ∴ = ,

∵ ∠ FDB+∠ BDO=90°,∠ DBO+∠ 3=90°, 又∵ OD=OB, ∴ ∠ BDO=∠ DBO, ∴ ∠ 3=∠ FDB, ∵ ∠ F=∠ F, ∴ △ FAD∽ △ FDB, ∴ = ∴ = , ,

即 AB:AC=BF:DF.

点评: 本题考查了切线的判定,圆周角定理,相似三角形的性质和判定的应用,主要考查学 生的推理能力,题目比较典型,是一道比较好的题目.

5、 (2013 四川宜宾,22,8 分)(本题满分 8 分) 如图,Rt△ABC 中,∠ABC=90° ,以 AB 为直径作⊙O 交 AC 边于点 D,E 是边 BC 的中点, 连接 DE. (1)求证: 直线 DE 是⊙O 的切线; (2)连接 OC 交 DE 于点 F, 若 OF=CF, 求 tan∠ACO 的值.

【思路分析】 (1)连接 OD、OE、BD 由△ODE≌△OBE 证明 OD⊥DE(∠ODE =90° ). (2)要求 tan∠ACO 的值首先应将∠ACO 构造在直角三角形中,可过点 O 作 AC 的垂直平 分线,因为 O,E 分别为 AB,BC 的中点可得 OE 为△ABC 的中位线,因为 OF=CF 所以 △DCF≌△EOF 得到 OE=CD=AD.根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离 相等得出 AB=AC,所以△ABC 为等腰直角三角形,所以∠A=45° ,由垂径定理及等腰 三角形的性质可知 OH=AH=DH,所以 CH=3OH,故 tan∠ACO= 【解】 (1)连接 OD、OE、BD. ∵AB 是⊙O 的直径,∴∠CDB=∠ADB=90° , ∵E 点是 BC 的中点,∴DE=CE=BE. ∵OD=OB,OE=OE,∴△ODE≌△OBE. ∴∠ODE=∠OBE=90° ,∴直线 DE 是⊙O 的切线.

OH 1 ? CH 3

(2)作 OH⊥AC 于点 H, 由(1)知,BD⊥AC,EC=EB. ∵OA=OB,∴OE∥AC,且 OE ?

1 AC . 2

∴∠CDF=∠OEF,∠DCF=∠EOF. ∵CF=OF, ∴△DCF≌△EOF, ∴DC=OE=AD. ∴BA=BC, ∴∠A=45° . ∵OH⊥AD,∴OH=AH=DH. ∴CH=3OH,∴tan∠ACO=

OH 1 ? . CH 3

【方法指导】 (1)证切线共有两种类型题①已知半径则证垂直.在证垂直时要充分运用题目 中已有的直角.②不知半径则作垂直证半径.(2)要求一个锐角的三角函数值首先要把这个 角构造在直角三角形中或把与这个角相等的角构造在直角三角形中.解决此类问题要注意三 角形中位线、线段垂直平分线及三角形全等(相似)等知识的应用.

6、 (2013 四川泸州,24,10 分)如图,D 为 ? O 上一点,点 C 在直径 BA 的延长线上,且

?CDA ? ?CBD .
E D B A C

O

第24题图
2 (1)求证: CD ? CA ? CB ;

(2)求证: CD 是 ? O 的切线; (3)过点 B 作 ? O 的切线交 CD 的延长线于点 E,若 BC=12,tan ?CDA = 长. 【答案】 (1) 证明:?CDA ? ?CBD, ?DCA ? ?BCD ,∴ △ ACD~△ DCB,∴
2 CB , 即 CD ? CA?

2 ,求 BE 的 3
CD CA ? , CB AD

(2)证明:连 OD,OE,如图,

∵ AB 为直径,∴?ADB ? 900 ,即 ?ADO ? ?BDO ? 900 , 又∵?CDA ? ?CBD ,而 ?CBD ? ?BDO , ∴BDO ? ?CDA , ∴?CDA ? ?ADO ? 90 ,即 ?CDO ? 90 ,
0 0

∴ CD 是 ? O 的切线. (3)解:∵ EB 为 ? O 的切线, ∴ ED=EB,OE⊥ BD. ∴?ABD ? ?OEB ,∴?CDA ? ?OEB .

OB 2 2 ,∴ tan ?OEB ? = , BE 3 3 CD OD OB 2 ? ? ? , ∵ Rt△ CDO~△ CBE,∴ CB BE BE 3 2 ∴CD ? ? 12 ? 8 , 3
而 tan ?CDA =
2 2 在 Rt△ CBE 中,设 BE=x,∴? x ? 8 ? ? x ? 12 ,解得 x ? 5 . 2

即 BE 的长为 5. 【解析】 (1)通过相似三角形(△ ADC∽ △ DBC)的对应边成比例来证得结论; (2)如图,连接 OD.欲证明 CD 是⊙ O 的切线,只需证明 CD⊥ OA 即可; (3)通过相似三角形△ EBC∽ △ ODC 的对应边成比例列出关于 BE 的方程,通过解方程来求 线段 BE 的长度即可. 【方法指导】 本题考查了切线的判定与性质: 过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线; 同时考查了圆周角定理的推论以及三角形相似的判定与性质.


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