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内切球、外接球问题--原创


专题讲解:处理球的“内切” “外接”问题

外接球内切球问题专题一
一、球与棱柱的组合体问题: 1 正方体的内切球: 设正方体的棱长为

a ,求(1)内切球半径;(2)外接球半径;(3)与棱相切的球半径。
? a ; 2

(1)截面图为正方形 EFGH 的内切圆,得 R

(2

)与正方体各棱相切的球:球与正方体的各棱相切,切点为各棱的中点,如图 4 作截面图,圆 O 为正方形 EFGH 的外接圆,易得

R?

2 a。 2
正方体的外接球:正方体的八个顶点都在球面上,如图 5,以对角面

(3)

AA1 作截面图得,圆 O 为矩形 AA1C1C 的外接圆,易得

R ? A1O ?

3 a 2

图3

图4 图5

2.在球面上有四个点 P 、 A 、 B 、C .如果 PA 、 PB 、PC 两两互相垂直, 且 PA 【构造直三角形,巧解正棱柱与球的组合问题

? PB ? PC ? a ,求这个球的表面积是______.

正棱柱的外接球,其球心定在上下底面中心连线的中点处,由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。 】 3.已知底面边长为

a 正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的六个顶点在球 O1 上,又知球 O2 与此正三棱柱的 5 个面都相切,求球 O1 与球 O2 的体积

之比与表面积之比。 分析:先画出过球心的截面图,再来探求半径之间的关系。 解:如图 6,由题意得两球心 O1 、 O2 是重合的,过正三棱柱的一条

侧棱

AA1 和 它 们 的 球 心 作 截 面 , 设 正 三 棱 柱 底 面 边 长 为 a , 则
3 a 6
, 正 三 棱 柱 的 高 为

R2 ?

h ? 2 R2 ?

3 a 3

, 由

Rt?A1 D1O 中,得

图6

1

? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? 5 5 2 2 2 ? ? R2 2 ? ? ? ? ? R1 ? ? a ? 3 ? ? 3 a ? ? ? 6 a ? ? 12 a , ? R1 ? 12a ? S1 : S 2 ? R1 : R2 ? 5 : 1 , ? ? ? ? ? ?
2

2

2

2

V1 : V2 ? 5 5 : 1
二 棱锥的内切、外接球问题 4 .正四面体的外接球和内切球的半径是多少? 分析:运用正四面体的二心合一性质,作出截面图,通过点、线、面关系解之。 解:如图 1 所示,设点 O 是内切球的球心,正四面体棱长为 的球心.设内切球半径为

a .由图形的对称性知,点 O 也是外接球
2

r ,外接球半径为 R .
2 2 2

? 3 ? 6 2 ? 在 Rt ?BEO 中, BO ? BE ? EO ,即 R ? ? ? 3 a ? ? r ,得 R ? 4 a ,得 ? ? R ? 3r
2

【点评】由于正四面体本身的对称性可知,内切球和外接球的两个球心是重合的,为正四面体高的四 等分点,即内切球的半径为

h 4

(

h 为正四面体的高),且外接球的半径

3h ,从而可以通过截面图中 4

Rt ?OBE
5.正三棱锥 S

建立棱长与半径之间的关系。

? ABC ,底面边长为 3,侧棱长为 2,则其外接球和内切球的半径是多少 ? ABCD ,底面边长为 2,侧棱长为 3,则其外接球和内切球的半径是多少

图1

6. 正四棱锥 S

练习:1.(球内接正四面体问题)一个四面体的所有棱长都为 则此球的表面积为

2 ,四个顶点在同一球面上,


2. (球内接长方体问题) 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上, 且一个顶点上的三条棱的长分别为 1, 2, 3, 则此球的表面积为 3.设 P,

A, B, C 是球 O 面上的四点,且 PA, PB, PC 两两互相垂直,若 PA ? PB ? PC ? a ,
ABC 的距离是
.

则球心 O 到截面

4.(球内接正三棱锥问题)在正三棱锥 S

? ABC 中,侧棱 SC ? 侧面SAB ,侧棱 SC ? 2 ,则此正三棱锥的外接球的表面积为

5.(球内接棱柱问题) 若一个底面边长为

3 ,棱长为 6 的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上,则此球的体积为 2
。 .



6.(正三棱柱内切球、外接球问题)一个正三棱柱恰好有一个内切球(球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切)和一个外接球(球经过三棱柱的 6 个 顶点),则此内切球与外接球表面积之比为

7.(球内接正四棱锥问题)半径为 R 的球内接一个各棱长都相等的正四棱锥.则四棱锥的体积为 8.(正三棱锥球内切问题) 正三棱锥的高为3,底面边长为 8 为 9. 三棱锥 .

3 ,正三棱锥内有一个球与其四个面相切.则球的表面积与体积分别

A ? BCD 的两条棱 AB ? CD ? 6 ,其余各棱长均为 5 ,求三棱锥的内切球半径.

说明:球与正三棱锥四个面相切,实际上,球是正三棱锥的内切球,球心到正三棱锥的四个面的距离相等,都为球半径 R .这样求球的半径可转化 为求球心到三棱锥面的距离,而点面距离常可以用等体积法解决.

1

3?

;2

14?

;3

3 a ;4 12? 6

;5

9 ? 2

;6

1: 5 ;7
2

2 3 64 256 R ;8 ?; ? 3 9 81

外接球内切球问题专题二
1. (陕西理?6)一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是( A. )

3 3 4

B.

3 3

C.

3 4

D.

3 12

答案 B 2. 直三棱柱 若 AB ? AC ? AA 则此球的表面积等于 ABC ? A1B1C1 的各顶点都在同一球面上, 1 ? 2 , ?BAC ? 120? , 。

解:在 ?ABC 中

AB ? AC ? 2 , ?BAC ? 120? ,可得 BC ? 2 3 ,由正弦定理,可得 ?ABC

外接圆半径 r=2,设此圆圆心为 O ? ,球心为 O ,在 RT ?OBO ? 中,易得球半径 R

? 5 ,故此球的表面积为 4? R 2 ? 20? .

3.正三棱柱

ABC ? A1B1C1 内接于半径为 2 的球,若 A, B 两点的球面距离为 ? ,则正三棱


柱的体积为 答案 8

4.表面积为 2

3

的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为

A.

2 ? 3

B.

1 ? 3

C.

2 ? 3

D.

2 2 ? 3

答案 A 【解析】此正八面体是每个面的边长均为

a 的正三角形,所以由 8 ?

3a 2 ? 2 3 知, 4

a ? 1 ,则此球的直径为 2 ,故选 A。 32 ? ,那么正方体的棱长等于( 5.已知正方体外接球的体积是 3
A.2



2
D

B.

2 3 3

C.

4 2 3
)

D.

4 3 3

答案

6.(2006 山东卷)正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( A. 1∶ 答案

3
C

B. 1∶3

C. 1∶3

3

D. 1∶9

7.(2008 海南、宁夏理科)一个六棱柱的底面是正六边 形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为

答案

4? 3


9 ,底面周长为 3,则这个球的体积为 8



8. (2007 天津理?12)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱 的长分别为 1,2,3,则此球的表面积为 答案

14 π
3

9.(2007 全国Ⅱ理?15)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2 cm 的球面上。如果正四 棱柱的底面边长为 1 cm,那么该棱柱的表面积为 答案 cm2.

2? 4 2
ABCDEF ,则此正六棱
P

10.(2006 辽宁)如图,半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥 P ? 锥的侧面积是________. 答案

6 7
B A

C

D E F

11.(辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考) 棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个 球面上,若过该球球心的一个截面如图,则图中 三角形(正四面体的截面)的面积是 答案 .

2
( )

12.(2009 枣庄一模)一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体外接球的表面积为

? 16? C. 3
A. 3 答案 C

B. 2

?

D.以上都不对

2 3 13.(吉林省吉林市 2008)设正方体的棱长为 ,则它的外接球的表面积为( 3 A.



8 ? 3

B.2π

C.4π

D.

4 ? 3
为球 O 的直径 , 且

答案 C 1 . ( 2012 新课标理)已知三棱锥

S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的求面上 , ?ABC 是边长为 1 的正三角形 , SC
( )

SC ? 2 ;则此棱锥的体积为

A.

2 6

B.

3 6

C.

2 3

D.

2 2
3 正方形.若 PA=2 6 ,则△OAB 的面

B.25. (2012 辽宁文)已知点 P,A,B,C,D 是球 O 表面上的点,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是边长为 2 积为______________.

外接球内切球问题专题三
1.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是( A. )

3 3 4

B.

3 3

C.

3 4

D.

3 12

答案 B 2. 直三棱柱

ABC ? A1B1C1 的各顶点都在同一球面上,若


AB ? AC ? AA1 ? 2 , ?BAC ? 120? ,则此球的表面积等于
解:在 ?ABC 中

AB ? AC ? 2 , ?BAC ? 120? ,可得 BC ? 2 3 ,由正弦定理,可得 ?ABC
4

外接圆半径 r=2,设此圆圆心为 O ? ,球心为 O ,在 RT ?OBO ? 中,易得球半径 R

? 5 ,故此球的表面积为 4? R 2 ? 20? .

3.正三棱柱

ABC ? A1B1C1 内接于半径为 2 的球,若 A, B 两点的球面距离为 ? ,则正三棱


柱的体积为 答案 8

4.表面积为 2

3

的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为

A.

2 ? 3

B.

1 ? 3

C.

2 ? 3

D.

2 2 ? 3

答案 A 【解析】此正八面体是每个面的边长均为

a 的正三角形,所以由 8 ?

3a 2 ? 2 3 知, 4

a ? 1 ,则此球的直径为 2 ,故选 A。 32 ? ,那么正方体的棱长等于( 5.已知正方体外接球的体积是 3
A.2



2
D

B.

2 3 3

C.

4 2 3
)

D.

4 3 3

答案

6.(2006 山东卷)正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( A. 1∶ 答案

3
C

B. 1∶3

C. 1∶3

3

D. 1∶9

7.(2008 海南、宁夏理科)一个六棱柱的底面是正六边 形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为

答案

4? 3


9 ,底面周长为 3,则这个球的体积为 8



8. (2007 天津理?12)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱 的长分别为 1,2,3,则此球的表面积为 答案

P

14 π
C B A F
cm2.

9.(2007 全国Ⅱ理?15)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2 cm 的球面上。如果正四 棱柱的底面边长为 1 cm,那么该棱柱的表面积为 答案

D E

2? 4 2
ABCDEF ,则此正六棱

10.(2006 辽宁)如图,半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥 P ? 锥的侧面积是________. 答案

6 7

11.(辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考) 棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个

5

球面上,若过该球球心的一个截面如图,则图中 三角形(正四面体的截面)的面积是 答案 .

2
( )

12.(2009 枣庄一模)一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体外接球的表面积为

? 16? C. 3
A. 3 答案 C

B. 2

?

D.以上都不对

2 3 13.(吉林省吉林市 2008 届上期末)设正方体的棱长为 ,则它的外接球的表面积为( 3 A.



8 ? 3

B.2π

C.4π

D.

4 ? 3
为球 O 的直径 , 且

答案 C 1 . ( 2012 新课标理)已知三棱锥

S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的求面上 , ?ABC 是边长为 1 的正三角形 , SC
( )

SC ? 2 ;则此棱锥的体积为
A.

2 6

B.

3 6

C.

2 3

D.

2 2
3 正方形.若 PA=2 6 ,则△OAB 的面积为

25. (2012 辽宁文)已知点 P,A,B,C,D 是球 O 表面上的点,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是边长为 2 ______________.

6


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