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2012年北京市石景山区高三一模数学理科试题


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北京市石景山区高三统一测试 (2012 年)

数学(理科)试题
第Ⅰ卷

一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设集合 M ? {x | x2 ? 2x ? 3 ? 0}, N ? {x | log 1 x ? 0} ,则 M ? N 等于(
2



A. (?1,1) 2.在复平面内,复数 A.第一象限 3.圆 ?

B. (1,3)

C. ( 0,1) ) C.第三象限

D. (?1,0)

2?i 对应的点位于( 1? i
B. 第二象限

D.第四象限

? x ? 2 cos ? , 的圆心坐标是( ? y ? 2 sin ? ? 2
B. (2, 0)

) C. (0, ?2) D. ( ?2, 0)

A. (0, 2)

4.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,下列命题正确的是( A. 若m // n, m // ? , 则n // ? C. 若m // ? , n // ? , 则m // n B. 若? ? ? , ? ? ? , 则? // ? D. 若m ? ? , n // ? , 则m ? n



5.执行右面的框图,若输入的 N 是 6 , 则输出 p 的值是( A. 120 C. 1440 ) B. 720 D. 5040

6.若 ( x2 ? )n 展开式中的所有二项式系数和 为 512,则该展开式中的常数项为 ( A. ? 84 B. 84 )

1 x

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C. ? 36

D. 36

7.某几何体的三视图如图所示,则它的体积是( A. 8 ?



4 3 3 2 3 3

B. 8 ?

4 2 3

C. 8 ?

D.

32 3

8.如图,已知平面 ? ? ? ? l , A 、 B 是 l 上的两个 点, C 、 D 在平面 ? 内,且 DA ? ? , CB ? ? ,

?
P A B C

AD ? 4 , AB ? 6, BC ? 8 ,在平面 ? 上有一个
动点 P ,使得 ?APD ? ?BPC ,则 P ? ABCD 体积 的最大值是( A. 24 3 ) B. 16 C. 48

?

D

D. 144

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第Ⅱ卷
?

非选择题

二、填空题:本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.设向量 a ? (cos? ,1), b ? (1,3 cos ? ) ,且 a // b ,则 cos2? =

?

?

?



10.等差数列 ?an ?前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a4 ? ak ? 0 ,则 k =________. 11.如图,已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F , CE 与圆 相切交 AB 延长线上于点 E ,若 DF ? CF ? 2 2 , A D B E

AF : FB : BE ? 4: 2:1 ,则线段 CE 的长为



F

C

1 ? ? ? x ? a, x ? 2 , ? 12.设函数 f ( x) ? ? 的最小值为 ? 1 ,则实数 a 的取值范围是 ? log x, x ? 1 2 ? ? 2
13.如图,圆 O : x2 ? y2 ? ? 2 内的正弦曲线 y ? sin x 与 x 轴围成的区域记为 M (图中阴影部分),随机 往圆 O 内投一个点 A ,则点 A 落在区域 M 内的 概率是 .



, 14.集合 U ? ?( x, y) | x ? R, y ? R?, M ? ( x, y) | x ? y ? a , P ? ?( x, y) | y ? f ( x)?
现给出下列函数:① y ? a x ,② y = log a x ,③ y ? sin( x ? a ) ,④ y ? cos ax , 若 0 ? a ? 1 时,恒有 P ? CU M ? P, 则所有满足条件的函数 f (x ) 的编号是 .

?

?

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 80 分.应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分)

s s 在 ?ABC 中, A ,B ,C 所对应的边分别为 a ,b ,c , (2a ? c) co B ? b co C . 角 且

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(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 cos A ?

2 , a ? 2 ,求 ?ABC的面积. 2

16.(本小题满分 13 分) 甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛,甲每次投中的概率为 率为

1 ,乙每次投中的概 3

1 ,每人分别进行三次投篮. 2

(Ⅰ)记甲投中的次数为ξ ,求ξ 的分布列及数学期望 Eξ ; (Ⅱ)求乙至多投中 2 次的概率; (Ⅲ)求乙恰好比甲多投进 2 次的概率.

17 . (本小题满分 14 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ⊥面 ABC, BC ? AC , BC ? AC ? 2 ,

AA1 ? 3, D 为 AC 的中点.
(Ⅰ)求证: AB1 // 面BDC1 ; (Ⅱ)求二面角 C1 ? BD ? C 的余弦值; (Ⅲ)在侧棱 AA1 上是否存在点 P ,使得

B1

B

C C1 D A1 A

CP ? 面BDC1 ?请证明你的结论.

18. (本小题满分 14 分)

已知函数 f (x) ? x 2 ?2a ln x .
(Ⅰ)若函数 f ( x ) 的图象在 (2, f (2)) 处的切线斜率为 1 ,求实数 a 的值;

(Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间;
(Ⅲ)若函数 g ( x) ?

2 ? f ( x) 在 [1, 2] 上是减函数,求实数 a 的取值范围. x

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19. (本小题满分 13 分) 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )右顶点与右焦点的距离为 3 ? 1, a2 b2

短轴长为 2 2 . (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过左焦点 F 的直线与椭圆分别交于 A 、 B 两点,若三角形 OAB 的

面积为

3 2 ,求直线 AB 的方程. 4

20. (本小题满分 13 分) 若数列 {An } 满足 An?1 ? An
2



则称数列 {An } 为“平方递推数列” .已知数列 {an } 中,

a1 ? 2 ,点( an , an?1 )在函数 f ( x) ? 2x 2 ? 2x 的图像上,其中 n 为正整数.
(Ⅰ)证明数列 {2an ? 1 是“平方递推数列” ,且数列 {lg(2 n ? 1)} 为等比数列; } a (Ⅱ)设(Ⅰ)中“平方递推数列”的前 n 项之积为 T n ,即

T n? (2a1 ? 1)(2a2 ? 1)? 2an ? 1) ,求数列 {an } 的通项及 T n 关于 n 的表达式; (
(Ⅲ)记 bn ? log 2 an ?1 Tn ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n ,并求使 Sn ? 2012

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的 n 的最小值.

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