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高一数学试题


2013—2014 学年度下学期期末模块考试
五校联考高一年级数学科试题 1 参考公式:锥体的体积公式 V= Sh ,其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 3

第一部分

选择题(共 50 分)

一.选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题给出的四个选项中,只有一个选项 最

符合题目要求.) 1.设 A ? {x | x2 ? 4 x ? 5 ? 0} , B ? {x | x2 ? 1},则 A ? B 等于( A. {5, ?1,1} B. {5, ?1} C. {?1,1} D. {?1} ).

2.下列各式正确的是 ( A. 4 3 ? 33
3. 函数 f ? x ? ?


1 1 C . ( ) ?3 ? ( ) 3 2 2

B. log0.5 4 ? log0.5 6

D. lg1.6 ? lg1.4 )
? 7? 13? ? D. ? , ? ? 6 6 ?

?? ? 2 cos? x ? ? 的一个单调递增区间可以是( 3? ?
? 5? ? ? B. ?- , ? ? 6 6?

? ? 2? ? A. ?- , ? ? 3 3 ?

? 2? 5? ? C. ? , ? ? 3 3?


4.函数 f ( x) ? sin x ? cos x( x ? R) 的最小正周期是( A.

? 2

B. ?

C. 2?

D. 3?

5.如图,在平行四边形 ABCD 中,若,OA ? a ,OB ? b 则下列各表述是正确的为(

??? ?

?

??? ?

?


C

??? ? ??? ? ??? ? A. OA ? OB ? AB ??? ? ? ? C. CD ? ?a ? b
x

??? ? ???? ??? ? B. OC ? OD ? AB
??? ? ? ? D. BC ? ? a ? b

D A

O
B

?

?


6.函数 f ( x) ? e ? x 的零点所在一个区间是(

2
2 正视图 1 左视图

2
2

A.(-2,-1)

B. (-1,0)

C. (0,1)

D (1,2)


7.如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为( A. 3?

20 ? B. 3

C.

7 ? 3

D. ?
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五校联考高一数学学科试卷

俯视图

8.要得到函数 y ? sin 2 x 的图象,只需将函数 y ? sin ? 2 x ?

? ?

?? ? 的图象( ??



? 个单位 ? ? C.向左平移 个单位 ?
A.向右平移

? 个单位 ? ? D.向左平移 个单位 ?
B.向右平移 )

9.在等差数列 {an } 中, a1 ? a2 ? a3 ? 3 , a28 ? a29 ? a30 ? 165 ,则此数列前 30 项的和等于( A. 810 B. 840 C. 870 D. 900 )

? x ? y ?1 ? 0 ? 10.设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 , 则 z ? 3x ? y 的最小值为( ?x ? 3y ? 3 ? 0 ?
??? ? ??? ? 11 在△ ABC 中,已知 AB ? AC ? 5 , BC ? 6 ,则 AB?BC ? (

A. ? 10 A. -18

B. ? 6 B. 36

C. -1

D. 9


C. 18

D. ? 36

12.已知函数 y ? f ( x) 的周期为 2,当 x ?[?1,1] 时 f ( x) ? x2 ,那么函数 y ? f ( x) 的图象与函 数 y ?| lg x | 的图象的交点共有( ) A.10 个 B.9 个 C.8 个 D.1 个

第二部分

非选择题(共 100 分)

二.填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.)

? 2e x ?1 , x?2 13.已知设 f ( x) ? ? 则 ———— 2 x?2 ?log3 ( x ? 1), ? ? ? ? ? ? 14. 已知 a ? (2,0), b ? (0,3), 且 3 a ?2 b与?a ? b 垂直,则 ? 等于
15. 等比数列 {an } 的各项均为正数,且 a4 a5a6 a7 ? 81 ,则 a1a10 ? 16.已知 x ? 0 , y ? 0 ,且

. .

3 2 ? ? 1 ,那么 x ? y 的最小值是 x y

.

五校联考高一数学学科试卷

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三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ) 17.在△ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 a ? 2 , c ? 3 , cos B ? (1)求 b 的值; (2)求 sin C 的值.

1 . 4

18 已知函数 f ( x) ? sin 2 ? x ? 3 sin ? x sin ? ? x ? (1)求 ? 的值; (2)求函数 f ( x ) 在区间 ?0, ? 上的取值范围. 3

? ?

π? ? ( ? ? 0 )的最小正周期为 π . 2?

? 2π ? ? ?

19. 如图所示, ABCD 是正方形, PA ? 平面ABCD , E、F 是 AC、PC 的中点 (1)求证: AC ? DF ; (2)若 PA ? 2, AB ? 1 ,求三棱锥 C ? PED 的体积.
F A B E C D P

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20.(本小题满分 10 分)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S n ? (1)求数列 {an } 的通项公式;

3 2 1 n ? n , n? N? 。 2 2

(2)设 bn ?

1 1 ,数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ,求证: Tn ? ; 3 an an ?1

21. (本小题满分 12 分)已知圆 C 经过点(-1,3),在 y 轴上截得的线段长为 4 3,且圆心 C 在直 线 l:x-y -1=0 上,半径小于 5. (I)求圆 C 的方程;

(II)若直线 l1 与直线 l 垂直, l1 与圆 C 交于点 A、B,且 AB ? 2 5 ,求直线 l1 的方程。

22.(本小题满分 12 分) 已知

1 ? a ? 1 , 若函数 f ? x ? ? ax2 ? 2x 在 ?1, 3? 上的最大值为 M ? a ? , 3

最小值为 N ? a ? , 令 g ? a ? ? M ? a ? ? N ? a ? . (1)求 g ? a ? 的表达式; (2)若关于 a 的方程 g ? a ? ? t ? 0 有解, 求实数 t 的取值范围.

.

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2013—2014 学年度下学期期末模块考试
五校联考高一年级数学科参考答案
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.) 1—5 DCCCD 6—10 BCDB C 11-12 A A 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13. 2 14.

3 2

15. 9

16.

5? 2 6

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ) 17.解: (1)由余弦定理, b ? a ? c ? 2ac cos B ,………………………………2 分
2 2 2

得 b ? 2 ? 3 ? 2 ? 2 ? 3?
2 2 2

1 ? 10 ,…………4 分? b ? 10 ……………6 分 4

a 2 ? b2 ? c 2 (2)方法 1:由余弦定理,得 cos C ? ,………………………………8 分 2ab

?

4 ? 10 ? 9 10 ,………………………10 分 ? 8 2 ? 2 ? 10
2

∵ C 是 ?ABC 的内角,∴ sin C ? 1 ? cos C ?

3 6 .……………12 分 8

方法 2:∵ cos B ?

1 15 2 ,且 B 是 ?ABC 的内角,∴ sin B ? 1 ? cos B ? ……8 分 4 4

b c c sin B ? ? 根据正弦定理, , 得 sin C ? sin B sin C b
18.解: (Ⅰ) f ( x) ?

3?

15 4 ? 3 6 .………12 分 8 10

1 ? cos 2? x 3 3 1 1 ? sin 2? x ? sin 2? x ? cos 2? x ? ………2 分 2 2 2 2 2

π? 1 ? ? sin ? 2? x ? ? ? .……………………4 分 6? 2 ?
因为函数 f ( x ) 的最小正周期为 π ,且 ? ? 0 ,所以

2π ? π ,解得 ? ? 1 .……6 分 2?

五校联考高一数学学科试卷

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(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? sin ? 2 x ?

? ?

π? 1 ? ? .………………………7 分 6? 2

因为 0 ≤ x ≤

2π π π 7π 1 π? ? ,所以 ? ≤ 2 x ? ≤ , 所以 ? ≤ sin ? 2 x ? ? ≤1 ,………11 分 3 6 6 6 2 6? ?

因此 0 ≤ sin ? 2 x ?

? ?

π? 1 3 ? 3? ? ? ≤ ,即 f ( x) 的取值范围为 ?0, ? .……………………12 分 6? 2 2 ? 2?
P

19.解: (1)连接 ED、EF , ∵ ABCD 是正方形, E 是 AC 的中点, ∴ ED ? AC …………………1 分

F

又∵ E、F 分别是 AC、PC 的中点 ∴ EF ∥ PA …………………2 分
B

A E C

D

又∵ PA ? 平面ABCD , ∴ EF ? 平面ABCD ,…………………3 分 ∵ AC ? 平面ABCD , 又∵ ED I EF=E ∴ EF ? AC …………………4 分 …………………5 分

∴ AC ? 平面DEF

又∵ DF ? 平面DEF 故 AC ? DF …………………7 分

(2)∵ PA ? 平面ABCD ,∴ PA 是三棱锥 P ? CED 的高, PA ? 2 ∵ ABCD 是正方形, E 是 AC 的中点,∴ VCED 是等腰直角三角形………………9 分

2 1 1 2 2 1 , SVCED ? CE ? ED ? ? …………………12 分 ? ? 2 2 2 2 2 4 1 1 1 1 故 VC ? PED ? VP?CED ? ? SVCED ? PA ? ? ? 2 ? ………………………14 分 3 3 4 6 3 1 3 1 20.解: (1)当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? n 2 ? n ? [ (n ? 1) 2 ? (n ? 1)] ? 3n ? 2 ,…………2 分 2 2 2 2

AB ? 1 ,故 CE ? ED ?

当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 ? 3 ?1 ? 2 , ………………3 分 ∴ an ? 3n ? 2 (n ? N ? ) , ……………………5 分
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(2)∵ bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ,……………7 分 an an ?1 (3n ? 2)(3n ? 1) 3 3n ? 2 3n ? 1

∴ Tn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? (

1 3

1 4

1 4

1 7

1 4

1 7

1 1 1 1 ? )] ? (1 ? ) 3n ? 1 3n ? 1 3 3n ? 1

? Tn ?

1 ……………………………………………………………10 分 3
2 2 2

21.解:(I) 设圆 C 的方程为: (x-a) +(y-b) =r ,依题意得:…………1 分

?( ?1 ? a ) 2 ? (2 ? b) 2 ? r 2 ?a ? 1 ?a ? 5 ? 2 ? ? 2 2 a ? (2 3) ? r ,……… 解得 ……5 分 b ? 0 或 ? 3分 ? ?b ? 4 2 2 ?a ? b ? 1 ? 0 ? ?r ? 13 ? ?r ? 37(不合,舍去) ?
∴圆 C 为(x-1) +y =13. (II)设直线 l1 的方程为 x+y+m=0, 点 C 到直线 l1 距离 d ?
2 2

…………6 分 …………7 分 所以 d 2 ? (

1? m 2

………8 分

2 5 2 ) ? r 2 …………9 分 2

∴m=3 或-5…………11 分

经检验均满足 Δ>0

∴直线 l1 的方程为 x+y+3=0 或 x+y-5=0. ……12 分 22.本小题主要考查二次函数的最值、方程等基础知识,考查运算求解能力,以及分类讨论的数 学思想方法.满分 12 分.

1 1 1? 1 ? ? a ? 1 , ∴1 ? ? 3 . (1) 解: f ? x ? ? ax ? 2 x ? a ? x ? ? ? . ∵ 3 a a? a ? 1 1 1 ① 当 1 ? ? 2 ,即 ? a ? 1 时, 则 x ? 3 时, 函数 f ? x ? 取得最大值; x ? 时, 函数 f ? x ? 取 a 2 a
2

2

得最小值. ∴

M ? a ? ? f ?3? ? 9a ? 6



1 ?1? N ?a? ? f ? ? ? ? a ?a?

.



g ? a ? ? M ? a ? ? N ? a ? ? 9a ?
② 当2?

1 ? 6 .……3 分 a

1 1 1 1 ? 3 , 即 ? a ? 时 , 则 x ? 1 时 , 函数 f ? x ? 取得最大值 ; x ? 时 , 函数 f ? x ? a 3 2 a

取得最小值.

五校联考高一数学学科试卷

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1 1 ?1? ? ? ? .∴ g ? a ? ? M ? a ? ? N ? a ? ? a ? a ? 2 a ?a? 1 1 1 ? a ? ? 2, ?a? , ? ? a 3 2 综上,得 g ? a ? ? ? ………5 分 ?9a ? 1 ? 6, 1 ? a ? 1. ? a 2 ? ? ? ? ? 1 1 ?1 1 ? ? 2? (2)解:任取 a1 , a2 ? ? , ? ,且 a1 ? a2 , g ? a1 ? ? g ? a2 ? ? ? a1 ? ? 2 ? ? ? a2 ? a1 a2 ?3 2 ? ? ? ? ?
∴ M ? a ? ? f ?1? ? a ? 2 , N ? a ? ? f ?

?

? a1 ? a2 ?? a1a2 ?1? .
a1a2

………6 分 ∴ a1 ? a2 ? 0, a1a2 ? 0, a1a2 ?1 ? 0 . ∴ g ? a1 ? ? g ? a2 ? .

∵ a1 , a2 ? ? , ? ,且 a1 ? a2 , ∴

?1 1 ? ?3 2 ? ? a1 ? a2 ?? a1a2 ? 1?

a1a2

? 0 ,即 g ? a1 ? ? g ? a2 ? ? 0 .

?1 1 ? ………7 分 ? 上单调递减. ?3 2 ? ?1 ? 任取 a3 , a4 ? ? ,1? 且 a3 ? a4 , ?2 ? ? ? ? ? 1 1 g ? a3 ? ? g ? a4 ? ? ? 9a3 ? ? 6 ? ? ? 9a4 ? ? 6? a3 a4 ? ? ? ? ? a ? a4 ?? 9a3 a4 ? 1? . ………8 分 ? 3 a3 a4 ?1 ? ∵ a3 , a4 ? ? ,1? ,且 a3 ? a4 , ∴ a3 ? a4 ? 0, a3 a4 ? 0,9a3 a4 ? 1 ? 0 . ?2 ? ? a3 ? a4 ?? 9a3 a4 ? 1? ,即 ∴ ∴ g ? a3 ? ? g ? a4 ? . g ? a3 ? ? g ? a4 ? ? 0 . ?0 a3 a4 ?1 ? ∴函数 g ? a ? 在 ? ,1? 上单调递增. ………9 分 ?2 ? 1 ?1? 1 当 a ? 时, g ? a ? 取得最小值,其值为 g ? ? ? , ………10 分 2 ?2? 2 ?1? 4 ?1 ? 又 g ? ? ? , g ?1? ? 4 . ∴函数 g ? a ? 的值域为 ? , 4 ? .…11 分 ?3? 3 ?2 ? ∵关于 a 的方程 g ? a ? ? t ? 0 有解等价于 t ? g ? a ? 有解,∴实数 t 的取值范围为函数 g ? a ? 的
∴函数 g ? a ? 在 ? , 值域 ∴实数 t 的取值范围为 ? , 4 ? . 2
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?1 ?

? ?

………12


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