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2009-2010江苏省扬州中学高二数学竞赛培训讲义学生(三角、向量)


2009-2010 江苏省扬州中学高二数学竞赛培训讲义 第一章 三角函数 一、基础知识 定理 1 三角函数有界性:|sinα |≤1,|cosα |≤1,|asinα +bcosα |≤_________ 定理 2 恒等式:4 sinα sin (600+α ) sin (600-α ) =________=3 sinα -4sin3α 4 cosα cos (600+α )co

s (600-α ) =_______= 4 cos3α -3 cosα sinα +sin (α - 120 )+sin (α + 120 )=_______ cosα + cos (α - 120 )+ cos (α + 120 )=________ 定理 3 恒等式:(sinα ±cosα )2=1±2sinα cosα 定理 4 和差化积与积化和差公式:
? ? ? ?

?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? cos ? ? ,sinα -sinβ =2sin ? ? cos ? ?, ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? cosα +cosβ =2cos ? ? cos ? ? , cosα -cosβ =-2sin ? ? sin ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 sin 2? 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 定理 5 降幂公式:sinα cosα = ,cos2α = ,sin2α = 2 2 2 (1 ? cos? ) (1 ? cos? ) ?? ? ?? ? 定理 6 半角公式:sin ? ? = ? ,cos ? ? = ? , 2 2 ?2? ?2?
sinα +sinβ =2sin ? tan ?

? ?, ?

sin ? (1 ? cos? ) (1 ? cos? ) ?? ? ? . =___________ = ?=? sin ? (1 ? cos? ) (1 ? cos? ) ?2? ?? ? ?? ? 1 ? tan2 ? ? 2 tan? ? ?2?, ? 2 ? , cos? ? 定理 7 万能公式: sin ? ? ?? ? ?? ? 1 ? tan2 ? ? 1 ? tan2 ? ? ?2? ?2? ?? ? 2 tan? ? ?2? . tan? ? ?? ? 1 ? tan2 ? ? ?2? 定理 8 辅助角公式:如果 a, b 是实数且 a2+b2 ? 0,则取始边在 x 轴正半轴,终边经过点 b a
(a, b)的一个角为β ,则 sinβ =

a2 ? b2

,cosβ =

a2 ? b2

,对任意的角α .

asinα +bcosα =______________ 定理 9 恒等式:sin(α -β ) sin (α +β )= ___________ 定理 10 锐角三角形△ ABC :sinA+sin B+sinC_____cosA+cosB+cosC 定理 11 三角形△ ABC: tanA+tanB+tanC_____tan A?tan B?tanC 定理 12 在△ ABC 中, S△ ABC=2R2 sinAsin BsinC=

p( p ? a)( p ? b( p ? c) (其中 p ?

a?b?c ), 2

-1-

r?

2S a?b?c C ? ? tan a?b?c 2 2

射影定理:a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=bcosA+acosB 定理 13 三角方程的解集,如果 a∈ (-1,1), 方程 sinx=a 的解集是{x|x=kπ+(-1) karcsina, k∈ Z}。 方程 cosx=a 的解集是{x|x=2kx ? arccosa, k∈ Z}. 如果 a∈ R, 方程 tanx=a 的解集是{x|x=kπ+arctana, k∈ Z}。 恒等式:arcsina+arccosa=_____;arctana+arccota=_____.

? ?? ? ,则 sinx<x<tanx. ? 2? ? 定理 15 若α +β = ,则(1+tanα )(1+tanβ )=______ 4
定理 14 若 x ? ? 0, 二、方法与例题

? cos ? ? ? cos ? ? ? 例 1.已知α ,β 为锐角,且 x? (α +β - )>0,求证: ? ? sin ? ? ? ? ? sin ? ? ? 2. 2 ? ? ? ?

x

x

例 2.已知函数 y=sinx+ 1 ? cos2 x ,求函数的最大值与最小值。

例 3.设 0< ? <π,求 sin

?
2

(1 ? cos ? ) 的最大值___________。

例 4.求 y ?

sin x cos x 的值域_____________。 1 ? sin x ? cos x

例 5. 已知 f(x)=sin( ? x+ ? )( ? >0, 0≤ ? ≤π)是 R 上的偶函数, 其图象关于点 M ? 称,且在区间 ?0,

? 3? ? ,0 ? 对 ? 4 ?

? ?? ? 上是单调函数,求 ? 和 ? 的值。 ? 2?

-2-

例 6. 已知 sin(α-β)= 的值。

5 5 ?? ? ? 3? ? , sin(α+β)= , 且 α-β∈ ? , ? ? , α+β∈ ? 求 sin2α,cos2β ,2? ? , 13 13 ?2 ? ? 2 ?

例 7.已知△ ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,且

cos

A?C 的值为_____________。 2

1 1 2 ,试求 ? ?? cos A cosC cos B

例 8.在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且 a ? 4, b ? c ? 5 , tan A ? tan B = ? 3(1 ? tan A tan B) ,求 sinA=_______________.

. 例 9.已知函数 f(x)=

m ? 2 sin x ? ?? 在区间 ? 0, ? 上单调递减,试求实数 m 的取值范围。 cos x ? 2?

例 10.(1)若直角三角形两直角边长之和为 12,求其周长 p 的最小值; (2)求 a, b, c 满足 9 ? a ? 8 ? b ? 4 ? c ? 3 的三角形其面积的最大值。

-3-

例 11.在△ABC 中, a、 b、 c 分别为∠A、 ∠B、 ∠C 的对边, 若 a、 b、 c 成等差数列, sinB= 且△ABC 的面积为

4 5

3 ,求 b. 2

例 12.在 ?ABC 中, AB? AC ? 9, sin B ? cos A sin C , ?ABC 的面积等于 6. (1)求 ?ABC 的三边之长; 、 BC 、CA 的 距 离 分 别 为 ( 2 ) 设 p 是 ?ABC ( 含 边 界 ) 内 一 点 , p 到 三 边 A B
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?

?

d1、d2、d3 ,求 d1 ? d 2 ? d3 的取值范围.

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【练习】 :

1 3 =________ ? ? sin10 cos10? 2.求值:sin50°(1+ 3 tan10°)=________
1.求值: 3. [x]表示不超过实数 x 的最大整数, 则[sin10°]+[sin20°]+[sin30°]+…[sin2010°]=_____ 4.求值: sin 10 ? cos 40 ? sin 10 cos40 =__________
2 ? 2 ? ? ?

5.已知: ?XOY ? 60 ,M 是 ?XOY 内的一点,它到角两边的距离分别为 2 和 11,则 OM 的长为_______
?

6.函数 y ? 2sin(3 x ? 一、基础知识 1.重要不等式

?

4

) 图象的两条相邻对称轴之间的距离是____________
第二章 向量

|| a |-| b ||≤| a ± b |≤| a |+| b | 2.已知:A、B、C 是不共线的三点,O 是△ABC 内的一点,若 OA + OB + OC = 0 ,求证: O 是△ABC 的_____心. 3.两个向量共线定理 已知 C 是直线 AB 上的一点,且 AC =λ CB (λ ? -1).试证: OC = 特别地,当 λ=1(即 C 为 AB 中点)时,有 OC =_____________.
-4-

OA ? ? OB 1? ?

变式:已知 AM 是△ABC 的 BC 边上的中线,若 AB = a , AC = b ,则 AM ____________ 变式: 若 P、 A、 B 三点共线, O 是任意一点, 则存在 m, n∈R,且 m+n=1, OA +n· OP =m· OB 4.平面向量基本定理:

a , b 是一组不共线的向量,对平面内的任意向量 c ,存在 m,n∈R, 使得 c =m· a +n· b 二、方法与例题
例 1.在三角形 ?ABC 内求一点 P,使 AP ? BP ? CP 最小。
2 2 2

例 2.G 是 ?ABC 的重心,O 是任意一点,求证: OG =

1 ( OA + OB + OC ) 3

例 3.O 是 ?ABC 的外心,H 是垂心,求证: OH = OA + OB + OC

推论: ?ABC 的外心 O, 垂心 H, 重心 G 在同一直线 (欧拉线) 上, 且 | OG |:| GH |? 1 : 2 例 4.设 G 为△OAB 的重心,过 G 的直线与 OA,OB 分别交于 P 和 Q, 已知 OP =h OA , OQ =k OB ,△OAB 与△OPQ 的面积分别为 S 和 T。求证: (1)

1 1 4S 1 + =3; (2) ≤T≤ S。 h k 9 2

例 5.O 是任意一点,若 ?ABC 中有 ? OA + ? OB + ? OC = 0 成立,求证:

S ?OBC : S ?OAC : S ?OAB ? ? : ? : ?

例 6.在 ?ABC 中, CA ? a, CB ? b ,求证: ?ABC 的面积为 S=

1 2

?a ? b ? ? ?a ? b? ;
2 2

(2)又 a ? (a1 , a2 ) , b ? (b1 , b2 ) ,用 a1,a2,b1,b2 表示三角形面积 S。

-5-

? 例 7.已知:a,b,c ? R ,试求 y ?

x 2 ? a 2 ? (c ? x) 2 ? b 2 的最小值。

【变式】 :试求 y ?

x 2 ? x ? 1 ? x 2 ? x ? 1 的值域。

【练习】 : 1.在△ABC 中, AB ?

3 , BC ? 2, ?A ?

?
2

,如果不等式 BA ? t BC ? AC 恒成立,则实 , 且A CA B ?

数 t 的取值范围是_________

c2 ?a2 ? b c 2. 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c , 若 b2 ?
则 S?ABC ? ______

??? ? ??? ?

? 4,

3. △ABC 满足 AB ? AC ? 2 3 , ?BAC ? 30? ,M 为△ABC 内一点,设 x, y , z 分别表示

??? ? ??? ?

1 1 4 ,则 ? 的最小值为______ 2 x y ??? ? ??? ? ??? ? 4.已知向量 OB ? (2,0) ,向量 OC ? (2, 2) ,向量 CA ? ( 2 cos ? , 2 sin ? ) ,则向量 ??? ? ??? ? OA 与向量 OB 的夹角的取值范围是____________
△MBC,△MCA,△MAB 的面积,若 z ? 5.已知△ABC 的三个顶点 A、B、C 及△ABC 所在平面内一点 P,若 PA ? PB ? PC ? 0 , 若实数 ?满足AB ? AC ? ? AP ,则实数 ? 等于____________ 6. 已 知 | O A? 点 C | 1 ,O | B ? | 2 O?, A O ?B 0 ,在 ?AOB 内 , 且 ?AOC ? 450 , 设 ???? ??? ? ??? ? m O C? m O ?A n O B m, n ? R ,则 等于__________. ,其中

? ? ??

? ? ??

? ? ?? ? ? ??

? ??? ? 1 ??? CA ? ? CB , 则 ? ? _____ 3 ? ? 3? ? 8.已知点 A(3,0) 、B(0,3) 、 C (cos? , sin ? ),? ? ? , ?. ?2 2 ? CD ? 7. 在 △ ABC 中, 已知 D 是 AB 边上一点, 若 AD ? 2 DB,
(1)若 AC ? BC , 求角?的值; (2)若 AC ? BC ? ?1, 求

n

????

??? ? ??? ?

???? ??? ?

2sin 2 ? ? sin 2? 的值. 1 ? tan ?

-6-


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