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2016年春苏教版高中数学选修2-1课件:第3章 空间向量与立体几何 1.5


第3章—— 3.1.5 空间向量的数量积 [学习目标] 1. 掌握空间向量夹角的概念及表示方法,掌握两个向量的 数量积的概念、性质和计算方法及运算规律. 2. 掌握两个向量的数量积的主要用途,会用它解决立体几 何中一些简单的问题. 栏目索引 CONTENTS PAGE 1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测 挑战自我,点点落实 重点难点,个个击破 当堂训练,体验成功 预习导学 挑战自我,点点落实 [知识链接] 空间两个向量的夹角是怎样定义的,范围怎样规定? → 答: 已知两个非零向量 a, b, 在空间任取一点 O, 作OA=a, → OB=b,则∠AOB 叫做向量 a,b 的夹角,记作〈a,b〉. 规定:0≤〈a,b〉≤π. 3.1.5 空间向量的数量积 4 [预习导引] 1.空间向量的夹角 → 已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作 OA 定义 → =b,则∠AOB叫做向量a,b的夹角 =a, OB 记法 范围 〈a,b〉 π [ 0 , π ] 〈a,b〉∈ .当〈a,b〉= 时,a ⊥ b 2 5 3.1.5 空间向量的数量积 2.空间向量的数量积 (1)定义 已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos〈a,b〉叫做a,b的数 量积,记作a· b. 3.1.5 空间向量的数量积 6 (2)数量积的运算律 数乘向量与向量 数量积的结合律 (λa)· b=λ(a· b)(λ∈R) 交换律 分配律 a· b=b· a a· (b+c)=a· b+a· c 3.1.5 空间向量的数量积 7 (3)数量积的性质 ①若a,b是非零向量,则a⊥b?a· b=0 b=|a|· |b|; 两个向 ②若a与b同向,则a· b=-|a|· |b|. 量数量 若反向,则a· a=|a|2或|a|= a· a 积的性 特别地,a· 质 a· b ③若θ为a,b的夹角,则cos θ= |a||b| ④|a· b|≤|a|· |b| 3.1.5 空间向量的数量积 8 课堂讲义 重点难点,个个击破 要点一 空间向量的数量积运算 例1 已知长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4, E为侧面AB1的中心,F为A1D1的中点.试计算: → → → → → → (1)BC· ED1;(2)BF· AB1;(3)EF· FC1. → → → 解 如图,设AB=a,AD=b,AA1=c, 则|a|=|c|=2,|b|=4, a· b=b· c=c· a=0. 3.1.5 空间向量的数量积 9 1 → → (1)BC· ED1=b· [2(c-a)+b]=|b|2=42=16. 1 ? → → ? ? 2 2 2 2 (2)BF· AB1=?c-a+2b? · ( a + c ) = | c | - | a | = 2 - 2 =0. ? ? ? ? ? 1 ? → → ? ?1 ? ?1 ? (3)EF· FC1=?2?c-a?+2b?· ?2b+a? ? ? ? ? ?1 ? 1 1 2 1 2 ? ? =2(-a+b+c)· ?2b+a?=-2|a| +4|b| =2. ? ? 3.1.5 空间向量的数量积 10 规律方法 行运算. 计算两个向量的数量积,可先将各向量用同 一顶点上的三条棱对应向量表示,再代入数量积公式进 3.1.5 空间向量的数量积 11 跟踪演练1 已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=3, -13 |b|=

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