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2012年高三数学专题复习资料(新课标高中数学三基训练手册之百题计划)


新课标高中数学三基训练手册

主编

邬小军

新课标高中数学三基训练手册 ——专题训练之百题计划

第一部分
【三角函数专题训练】

三角函数类

sin(?? ? ? ) ? 3cos( ? ? ) 3? ? 2 1.已知 tan(?? ? ? ) ? 3 ,求 ? 2sin 2 (? ? ? ) ? 4 cos 2 (? ? ? ) ; cos(2? ? ? ) ? 2sin(?? ? ? ) 2 2

?

2.若 0<?< ? , - ? <?<0 , cos( ? ? ? ) ? 1 , cos( ? ? ? ) ?
2
2

4

3

4

2

3 ,则 ? cos(? ? ) ? 3 2 C

A. 3
3
4 cos ? ? ? 5, 3.若

B. ? 3 3
1 ? tan

C. 5 3
9
? ?
2 ? 2

D. ?

6 9

? 是第三象限的角,则
(C) -2

1 ? tan

(C)

A

2

B 1/2

(D) -1/2

4.已知函数 f ( x) ? (A) ? ?1,1?

1 1 (sin x ? cos x) ? sin x ? cos x ,则 f ( x) 的值域是( C ) 2 2
? 2 ? ? ?

(B) ? ? 2 ,1? ? ?
(?

(C) ? ?1, 2 ? ? ?
? 2 ?

? ? (D) ? ?1, ? 2 ? 2 ? ?

5.已知函数 y ? tan ? x 在 A. 0 ? ? ? 1

, ) 2 2 内是减函数,则( B )

B. ?1 ? ? ? 0

C. ? ? 1
?

D. ? ? ?1 ( | ? |

?

??

)

x?? 8 对称,那么 a 等于( D ) 6.如果函数 y ? sin 2 x ? a cos 2 x 的图象关于直线

A. 2

B. ? 2

C.1

D.-1

? x 为常数, ( , 7. 已 知 函 数 f ( x)? a s i nx b c o s a b
y? f( 3? ? x) 4 是( D )

?a

? ?x 在Rx ) 4 处 取 得 最 小 值 , 则 函 数 0,

?

A.偶函数且它的图象关于点 (? , 0) 对称
3? , 0) C.奇函数且它的图象关于点 2 对称 (

B.偶函数且它的图象关于点

(

3? , 0) 2 对称

D.奇函数且它的图象关于点 (? , 0) 对称

8.若函数 f ( x) ? 3 cos(3x ? a) ? sin(3x ? a) 是奇函数,则 a 等于( D ) A. k? (k ? Z ) B.
k? ?

?
6

(k ? Z )

C.
?

k? ?

?
3

(k ? Z )

D.

k? ?

?
3

(k ? Z )

( , 0) 9.已知函数 y ? tan(2 x ? ? ) 的图象过点 12 ,则 ? 可以是( A )

? A. 6
?

? B. 6

? C. 12
?

? D. 12
-1数学专题训练(理科)

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邬小军

10.定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,且在[-3,-2]上是减函数, ? , ? 是锐角三角形的两 个角,则( A ) A. f (sin ? ) ? f (cos ? ) B. f (sin ? ) ? f (cos ? ) C. f (sin ? ) ? f (sin ? ) D. f (cos ? ) ? f (cos ? ) 11.当 A.2
0? x?

?
2

时,函数 B. 2 3

f

? x? ?

1 ? cos 2 x ? 8 sin 2 x sin 2 x

的最小值为



C )

C.4
?

D. 4 3 .

[0, ] 3 上的最大值为 2 ,则= 12.若 f ( x) ? 2sin ? x(0 ? ? ? 1) 在区间

(

? x ?[0,

?? ? 3 ] ? [0, ], ? ? 3 2 4)
y?

13.求函数 14.已知:

4? 7 4? 7 2 ? sin x ymin ? , ymax ? 3 3 2 ? cos x 的最大值和最小值.( )

?

?
2

? x ? 0, sin x ? cos x ?

1 5.

1)求 cos x ? sin x 的值;(7/5) 15.在中 ?ABC ,若
4

sin 2 x ? 2 sin 2 x 1 ? tan x 2)求

的值.(-24/175)

cos A ?

1 B?C sin 2 ? COS 2 A 3 ,则 2 的值是?(-1/9)
4

16.求函数 y ? sin x ? 2 3 sin x cos x ? cos x 的最小正周期和最小值,并写出该函数在 [0, ? ] 上的单调 递增区间.(
[0,

?
3

],[

5? ,? ] 6 )

17.已知函数

f ( x) ? sin( x ?

7 3 ? ) ? cos( x ? ? ), x ? R 4 4

f ( x) ? 2sin( x ? ) 4 ) 1)求 f ( x) 的最小正周期和最小值;(

?

2)已知

cos( ? ? a) ?

4 4 ? 2 , cos( ? ? ? ) ? ? , (0 ? ? ? ? ? ) 5 5 2 ,求证: [ f ( ? )] ? 2 ? 0

18.已知函数

f ( x) ? tan(2 x ?

?
4

),
?
8 ? k? , k ? Z} 2

{x ? R | x ? 1)求 f ( x) 的定义域与最小正周期;(

)

? ? ? ? ? 0, ? f ( ) ? 2 cos 2? , ? ? ? 4 ? ,若 ? 2 2)设 求 ? 的大小.(
2 19.已知函数 f (x) ? 2cos 2 x ? sin x ? 4cos x 。

??

12 )

1)求

f ?(

?

) 3 的值;(-9/4)

2)求 f (x) 的最大值和最小值。(6;-7/3)

20.已知函数 f ( x) ? 2cos x sin( x ? ①求函数 f ( x) 的最小正周期;

?
3

) ? 3 sin 2 x ? sin x cos x .

②求 f ( x) 的最小值及取得最小值时相应的 x 的值.
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π 21.已知函数 f ( x ) ? 2 sin 2 ? ? x ? ? ? ? ?4 ?
1)求 f ( x) 的最大值和最小值; (3,2)

?π π? 3 cos 2 x , x ? ? , ? . ?4 2?

π 2)若不等式 f ( x) ? m ? 2 在 x ? ? π , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. (1,4) ?4 2? ? ?

22.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 两个交点之间的距离为

?
2

)的图象与 x 轴的交点中,相邻

? 2? ,且图象上一个最低点为 M ( , ?2) . 2 3 ? 1)求 f ( x) 的解析式;( f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ) 6 ? ? 2)当 x ? [ , ] ,求 f ( x) 的值域.( [-1,2]) 12 2
f

23. 设 a ? R ,
[

? x ? ? cos x ? a sin x ? cos x ? ? cos 2 ? ?

?

?2

? ? ? ? ? x? f ? ? ? ? f ?0? ? 满足 ? 3 ? , 求函 数

f ( x) 在

? 11?
4 ,

] 24 上的最大值和最小值.(max:2;min:

2)

24.已知函数 f ( x) ?

1 ? sin x ? cos x ? sin 2 x . 1 ? sin x ? cos x

(1)求函数 f ( x) 的定义域;( {x | x ? 2k? ?

?

2

且x ? 2k? ?
, 4 ])

?
2

, k ? Z} )

(2)求函数 f ( x) 在 [0, 2? ] 上的单调区间.( [

? 5?
4

25.设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? )(?? ? ? ? 0) , y ? f ( x) 图像的一条对称轴是直线 x ?

?
8

.

①求 ? ;②求函数 y ? f ( x) 的单调区间;③画出函数 y ? f ( x) 在区间 ? 0, ? ? 上的图像. 26.已知函数 f(x)=A sin (? x ? ? ) (A>0, ? >0,0< ? <
2

? 函数, y=f(x)的最大值为 2, 且 其图象相邻两对称 2

轴间的距离为 2,并过点(1,2). 1)求 ? ;( ? =

27.已知向量 a ? ( 3 cos x ? 3,s in x) , b ? (1 ? cos x, cos x) ,设 f ( x) ? a ? b . 1)求 f ? 25? ? 的值;(0) f ( x) ? ? 3 ? sin(2 x ? ? ) ? ? 2 3 ? 6 ? 2)当 x ? ? ? ? , ? ? 时,求函数 f ( x) 的值域。( f ( x) ? ? ? 3,1 ? 3 ? ? ? ? 3 6? 2 ? ? ? ? 28.已知曲线 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 上的一个最高点的坐标为 (

? ) 4 ?

2)计算 f(1)+f(2)+… +f(2 008).( 2008 )

?

? ?

?
2

, 2) ,由此点到相邻最低点间

3? ? ? , 0) ,若 ? ? (? , ) . 2 2 2 1 ? (1)试求这条曲线的函数表达式;( y ? 2 sin( x ? ) ) 2 4
的曲线与 x 轴交于点 ( (2)写出(1)中函数的单调区间.
-3-

数学专题训练(理科)

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(单增: [4k? ?

3? ? ? 5? , 4k? ? ](k ? Z ) ;单减: [4k? ? , 4k? ? ](k ? Z ) ) 2 2 2 2

29.平面直角坐标系内有点 P(1, cos x), Q(cos x,1), x ?[?

, ]. 4 4 ??? ???? ? 2 cos x (1)求向量 OP 和 OQ 的夹角 ? 的余弦值;( cos ? ? ) 1 ? cos 2 x
(2)令 f ( x) ? cos ? ,求 f ( x) 的最小值.( f ( x) min ?

? ?

2 2 ) 3
cos A-2 cos C 2c-a = cos B b .

30.在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知
sin C 1)求 sin A 的值; (2)

2)若 cosB= 4 ,b=2, ?ABC 的面积 S.( 31.在 △ABC 中, tan A ?

1

15

4 )

1 3 , tan B ? . 4 5

1)求角 C 的大小;(? C ? 3 π ) 4 2)若 △ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边的边长. BC ? 32.在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a, b, c 1)若 2)若
sin( A ?

2

?
6

) ? 2 cos A,

求 A 的值;( 3 )

?

cos A ?

1 , b ? 3c 3 ,求 sin C 的值.(1/3)

33. 在 ?ABC 中 , a 、 b 、 c 分 别 是 角 A 、 B 、 C 的 对 边 ,S 为 ?ABC 的 面 积 , 且
4sin B sin 2 (

?
4

?

B ) ? cos 2 B ? 1 ? 3 2
B?

?
3

1)求角 B 的度数; (



2? 3



2)若 a ? 4, S ? 5 3 ,求 b 的值。 21或 61 ) ( 34.设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a、b、c, a ? 2b sin A .
?

1)求 B 的大小;( 6 )

2)求 cos A ? sin C 的取值范围.( 2 2 )

(

3 3 , )

?? ? ?? ? A, B, C 是 ?ABC 的三个内角,向量 m ? (?1,3 ), n ? (cos A,sin A) ,且 m ? n ? 1. 35.已知
1)求角 A ; A ? 60 ) ( 1?sin2 B ? ?3 5 tan C ? 8?11 3 2 2 2)若 cos B ?sin B ,求 tan C .( )
?

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36.一艘缉私巡逻艇在小岛 A 南偏西 38? 方向,距小岛 3 海里的 B 处,发现 隐藏在小岛边上的一艘走私船正开始向岛北偏西 22? 方向行驶, 测得其速度为 10 海里/小时,问巡逻艇需用多大的速度朝什么方向行驶,恰好用 0.5 小时在 C 处截住该走私船?(14 海里/小时,方向正北):Z (参考数据 sin 38? ? 5 3 ,sin 22? ? 3 3 . )
14 14

第二部分
【函数专题训练】 1.已知函数 f ( x ) ? ?

函数类

? x2 , x ? 0 ? x, x ? 0

,若 f (2 ? a ) ? f (a) ,则实数 a 的取值范围是( C )
2

A. (??, ?1) ? (2, ??) 2.已知 f ( x ) ? ?

B. (?1, 2)

C. (?2,1)

D. (??, ?2) ? (1, ??)

?(3 ? a ) x ? 4a, x ? 1 是 R 上的增函数,那么 a 的取值范围是 (1,3) ; ?log a x, x ? 1

? x 2 ? 1, x ? 0 f ( x) ? ? 2 x?0 ?1, 3.已知函数 ,则满足不等式 f (1 ? x ) ? f (2 x) 的 x 的范围是(-1, 2 ?1 );

4.对 a, b ? R ,记 min{a, b} ? ?

? a ( a ? b) 1 , 函数 f ( x) ? min{ x, ? | x ? 1| ?2} 的最大值为 1. 2 ?b(a ? b)

1 5.函数 y ? log a ( x ? 3) ? 1(a ? 0, a ? 1) 的图象恒过定点 A, 若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上, 其中 mn>0, 则 m + 2 的最小值为 n 8

6.已知函数 F(x)=|lgx|,若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是 C A (2 2, ??) B [2 2, ??) C (3, ??) D [3, ??)

f 7.函数 (x)= ?
A.0

? x 2 +2x-3,x ? 0 ?-2+ ln x,x>0
B.1
x

的零点个数为 ( C ) C.2 D.3

8.函数 f(x)= e ? x ? 2 的零点所在的一个区间是( C ) A)(-2,-1) B) (-1,0) C) (0,1) D) (1,2)

9.已知 2 ? a ? 2 ,则函数 f ( x ) ? A.1 10.若函数 f(x)= 11.已知函数 B.2

a 2 ? x 2 ? x ? 2 的零点个数为( D )
C.3 D.4

log a ?1 (a ? 3 ? ax)

在(0,3)上单调递增,则 a∈ (1,3/2] .

y ? log a ( x 2 ? 2 x ? 3)

,当 x ? 2 时, y ? 0 ,则此函数的单调递减区间是( A )

A. (??, ?3) B. (1, ??) C. (??, ?1) D. (?1, ??)
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?x ? 1 f ( x) ? ? 2 ?x ? 1 12.已知 x ? [ ?1,0) x ? [0,1]

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则下列函数的图象错误的是(D)

(1 ? x0 2 )(1 ? cos 2 x0 ) 13.设函数 f ( x) ? 1 ? x sin x 在 x=x0 处取得极值, 则 的值为( D )

A. -1

B. 0

C. 1

D.2

14.直线 y=kx+1 与 y=x3+ax+b 曲线相切于 A(1,3), 则 b 的值为( A ) A. 3 B. -3 C. 5 D. -5

1 ? x 2 ? b ln( x ? 2)在(-1,+?) 15.若 f(x)= 2 上是减函数,则 b 的取值范围是 C

A.[-1,+≦)

B.(-1,+≦) C.(-≦,-1]

D.(-≦,-1)
y=-x+8

16.如图,函数的图像在 P 点处的切线方程是 y=-x+8, 若点 P 的横坐标是 5,则 f (5) ? f '(5) ? ( C )
A.

1 2

0 B. 1 C. 2 D. 0

5

x

17.已知点 P 在曲线 y ?

? A. [0, ) 4
1 x 2

4 上, 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角, a 的取值范围是( D ) a 则 e ?1 ? ? ? 3? 3? B. [ , ) C. ( , ] D. [ , ? ) 4 2 2 4 4
x

2 18.曲线 y ? e 在点 (4,e ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(



9

A. 2

e2

B. 4e
3

2

C. 2e

2

D. e

2

x ?x ' ' 19.设 a ? R ,函数 f ( x) ? e ? a ? e 的导函数是 f ( x) ,且 f ( x) 是奇函数。若曲线 y ? f ( x) 的

一条切线的斜率是 2 ,则切点的横坐标为( A A. ln 2 B. ? ln 2 C.
ln 2 2

) D. 2/3 .
? ln 2 2

? 1? ? 1? f ? x ? ? x 2 ? 2 f ? ? ? ? x, 则f ? ? ? ? ? 3? ? 3 ? 的值是 20.已知函数

2 21.如果函数 f ( x) ? 2 x ? ln x 在定义域的一个子区间 (k ? 1, k ? 1) 上不是单调函数,则实数 k 的

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取值范围是( A. k ? 3
2

D

) B. k ? ? 1
2

C. ? 1 ? k ? 3
2

2

D. 1 ? k ? 3
2

3 22.已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x ? ax 在 [1, ??) 上是单调增函数,则 a 的最大值是(

D

)

A.0 B.1 C.2 D.3 f ( x) 在 R 上满足 f (1 ? x) ? 2 f (1 ? x) ? x 2 ? 3x ? 1 ,则曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处 23.已知函数 的切线方程是A A. x ? y ? 2 ? 0 B. x ? y ? 0 C. 3x ? y ? 2 ? 0 D. 3x ? y ? 2 ? 0 24.设函数 (x)= 1 x 3 ? a x 2 ? bx ? c ,其中 a>0,曲线 y ? (x) 在点 P(0, (0) )处的切 f f f
3 2

线方程为 y=1,则 b=

0

, c=

1 ;

2 25.已知不等式 2 x ? 1 ? m( x ? 1) .

(1)若对于所有实数 x 不等式恒成立,求 m 的取值范围;( m?? )
m ? ? ?2, 2?

(2)若对于

不等式恒成立,求实数 x 的取值范围. (

{x |

?1 ? 7 1? 3 ?x? } 2 2 )

2 26.已知常数 a ? R ,解关于 x 的不等式 ax ? 2 x ? a ? 0 .

a ? 1, x ? ?; 0 ? a ? 1,{x |

1 ? 1 ? a2 1? ?x? a

1 ? a2 }; a ? 0,{x | x ? 0}; ?1 ? a ? 0, a

{x | x ?

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 , 或x ? }; a ? ?1,{x | x ? R, 且x ? ?1}; a ? ?1, x ? R. a a )

27.已知函数 f ( x) 的定义域为 R,对任意实数 m, n 都有 f ( m ? n) ? f ( m) ? f ( n),且当 x ? 0 时,
0 ? f ( x) ? 1 .

(1)证明: f (0) ? 1 ,且 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ; (2) f ( x) 在 R 上单调递减;
A ? ?( x, y ) | f ( x 2 ) ? f ( y 2 ) ? f (1)? B ? ?( x, y ) | f (ax ? y ? 2) ? 1, a ? R? (3)设 , ,若 A ? B ? ? ,试确

定 a 的取值范围.( a ? [? 3, 3] )
f ( x) ? x2 ax ? b (a,b 为常数)且方程 f(x)-x+12=0 有两个实根为 x1=3, x2=4.

28.已知函数

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)设 k ? 2 ,解关于 x 的不等式;
f ( x) ? (k ? 1) x ? k 2? x

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(Ⅰ)易解得 (Ⅱ)由

a ? ?1, b ? 2, f ( x) ?
(k ? 1) x ? k 2? x

x 2? x

2

f ? x? ?

( x ? k )( x ? 1) ?0 2?k 得

, ( x ? k )( x ?1)( x ? 2) ? 0

当 k ? 1 时,解得 x ? (k ,1) ? (2, ??) 当 k ? 1 时,解得 x ? (0, ??) 当 1 ? k ? 2 时,解得 x ? (1, k ) ? (2, ??) 29. 若不等式
3x
2

? 2 ax

1 ? ( ) x ?1 3 对一切实数 x 都成立,则实数 a 的取值范围是 (-1/2,3/2)

30. 设 函 数 f ( x) ? ax ? (a ? 1) ln( x ? 1) , 其 中 a ? ?1 , 求 f ( x) 的 单 调 区 间 .( ?1 ? a ? 0 在
(?1, ??) 上单减; a ? 0 在 (?1, a ) 上单减,在 ( a , ??) 上单增.)
2 31.设函数 f ( x) ? ln(2 x ? 3) ? x

1

1

? 1)讨论 f ( x) 的单调性; ?
3 1

?

3 1? ? ? ? 1 ? ? , 1? ? , ? ? ?1 ? ? ? ? , ∞? 2 2 ? 单调减少. ? ,? 2 ? 单调增加,在区间 ?

? ? f ? ? ln f ( x) 在区间 ? ? 4 , ? 的最大值和最小值.Max: ? 4 ? 16 2 ;min: 4? ? ? ? 2)求

?1?

1

7

1 ? 1? f ? ? ? ? ln 2 ? 4 ? 2?

ax ? 6 的图象在点 M (?1, f (?1)) 处的切线方程为 x ? 2 y ? 5 ? 0 . x2 ? b 2x ? 6 (1) 求函数 y ? f ( x) 的解析式;( f ( x) ? 2 ) x ?3

32.已知函数 f ( x) ?

(2)求函数 y ? f ( x) 的单调区间. ( (??,3 ? 2 3) 单减, (3 ? 2 3,3 ? 2 3) 单增, (3 ? 2 3, ??) 单减) 33.设 a 为实数,函数 f ( x) ? x3 ? x 2 ? x ? a . (1)求 f ( x) 的极值;( f极小 ( x)=f (1) ? a ? 1) (2)当 a 在什么范围内取值时,曲线 y ? f ( x) 与 x 轴仅有一个交点. (当极大值小于零或极小值大于零, a ? (??, ? 34.已知函数 f ( x)= ? x 2 ? 8 x, g ( x) ? 6ln x ? m .
??t 2 ? 6t ? 7, t ? 3 (1)求 y ? f ( x) 在区间[t,t+1]上的最大值 h(t);( h(t ) ? ?16,3 ? t ? 4 ) ? ??t 2 ? 8t , t ? 4 ?

5 ) ? (1, ??) ) 27

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(2)是否存在实数 m,使得 y ? f ( x) 的图象与 y ? g ( x) 的图象有且只有三个不同的交点?若存 在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由。
? F极大 ( x) ? m ? 7 ? 0 ? , 7 ? m ? 15 ? 6 ln 3 ) (由 ? ? F极小 ( x) ? m ? 6 ln 3 ? 15 ? 0 ?
35.设函数 f(x)=2x ? 3(a ? 1) x ? 1 ,其中 a ? 1.
3 2

1)求 f(x)的单调区间; 2)讨论 f(x)的极值.

? 解:(1)由已知得 f ( x) ? 6 x ? 6(a ? 1) x
2

x ? 0, x2 ? a ? 1 ? 令 f ( x) ? 0 得 1 ? ①当 a=1 时, f ( x) ? 6 x ? 0 ,则函数 f ( x) 在 R 单调递增;
2

? ②当 a>1 时,由 f ( x) ? 0 ,解得 x ? a ?1或x ? 0
则函数 f ( x) 在 (??, 0) 和 (a ? 1, ??) 单调递增, 在 (0, a ? 1) 单调递减. (2)由(1)可知 当 a=1 时, f ( x) 无极值; 当 a>1 时, 函数 f ( x) 在 x ? 0 处取得极大值 1;在 x ? a ? 1 处取得了极小值 1 ? (a ? 1) .
3

36.已知函数 1)函数

f

? x? ?

1 2 x ? a ln x ? a ? R ? 2

f ? x ? 在x ? 2

处的切线方程为 y ? x ? b ,求 a 、 b 的值;

2)若函数在

?1, ?? ? 上为增函数,求 a 的取值范围;
1 2 a x ? a ln x,? f ? ? x ? ? x ? ? x ? 0 ? 2 x 。

?1? ? f ? x ? ?

a? ? ? y ? f ? 2? ? ? 2 ? ? ? x ? 2? ? f ? x ? 在x ? 2处 2? ? 的切线方程为 y ? x ? b , 。
?2 ? a ln 2 ? a ? b ? a?2 ? ?? ,解得 ? a 2? ?1 ?b ? ?2 ln 2 ? ? 2

? ? 2 ? 若函数 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上为增函数, f ? ? x ? ? x ? x ? 0在 ?1, ?? ? 上 恒成立, a ? x 2在 ?1, ? ? 则 即

a

上恒成立,所以 a ? 1 .
3 2 37.设 函数f ( x) ? kx ? 3x ? 1 (k ? 0)

1)求函数 f (x)的单调区间;

-9数学专题训练(理科)

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邬小军

2)若函数 f (x) 的极小值大于 0,求 k 的取值范围. 解:1)当 k=0 时,f(x)=-3x2+1. ?f(x)的单调增区间为(-≦,0]单调减区间为(0,+≦). 当 k>0 时 f ? (x)=3kx2-6x=3kx(x- k ), ?f(x)的单调增区间为(- ? ,0], k ,+≦ [ 2)当 k=0 时,函数 f(x)不存在极小值.
2 8 ? 12 k2

2

2

? ,单调减区间为[0, k ].
2

当 k>0 时,依题意 f( k )= k 2

+1>0.

即 k2>4.

由条件 k>0,所以 k 的取值范围为(2,+≦).
a ln x f ( x) ? 1 ? , g ( x) ? , x x 且函数 f ( x)在点(1, f (1)) 处的切线与直线 x ? y ? 3 ? 0 垂直. 38.已知函数

1)求 a 的值; 2)证明: g ( x) ? f ( x)在x ? (0, ??) 内恒成立. 解析:1)? 2)令
?

f ?( x) ?

a x 2 ? f ?(1) ? a

由已知 a? (?1) ? ?1

? a ?1

h( x) ? g ( x) ? f ( x) ?

ln x ? x ? 1 ( x ? 0) x

h?( x) ?

? ln x x2

令 h?( x) ? 0

即 ln x ? 0

解得: 0 ? x ? 1

? h( x) 在 (0,1) 上单增,在上 (1, ??) 单减 ? hmax ( x) ? h极小 ( x) ? h(1) ? 0

? h( x) ? g ( x) ? f ( x) ? 0 即 g ( x) ? f ( x)

39.已知函数

f ( x) ? ( x 2 ? x ?

1 ax )e a (a ? 0)

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http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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1) 当 a ? 2 时,求函数 f ( x) 的单调区间; ((-1,1)) 2) 若不等式
f ( x) ? 3 ?0 a 对 x ? R 恒成立,求

1 3 ? ea ? ? 0 a a a 的取值范围 ( 等价 0 ? a ? ln 3
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ax 解: 对函数 f ( x) 求导得: f ?( x) ? e (ax ? 2)( x ? 1) 2x 1)当 a ? 2 时, f ?( x) ? e (2 x ? 2)( x ? 1)

令 f ?( x) ? 0 解得 x ? 1 或 x ? ?1 , f ?( x) ? 0 解得 ?1 ? x ? 1 所以, f ( x) 单调增区间为 (??, ?1) , (1, ??) ,
f ( x) 单调减区间为(-1,1)
- 10 数学专题训练(理科)

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2) 令

2 f ?( x) ? 0 ,即 (ax ? 2)( x ? 1) ? 0 ,解得 x ? ? a 或 x

?1

由 a ? 0 时,列表得:
2 a
2 ( ? ,1) a

x
f ?( x)
f ( x)

2 (??, ? ) a

?

1 0 极小值

(1, ??)

+
?

0 极大值


?

+
?

对于

x??

2 2 1 x 2 ? 0, ? x ? , a ? 0 x2 ? x ? ? 0 a 时,因为 a a ,所以 ,? f ( x) >0 2 1 f (1) ? ? ea ? 0 a 时,由表可知函数在 x ? 1 时取得最小值 a

对于

x??

1 f ( x) min ? f (1) ? ? e a a 所以,当 x ? R 时, f ( x) ? 3 ?0 a 对 x ? R 恒成立,

由题意,不等式

1 3 ? ea ? ? 0 a 所以得 a ,解得 0 ? a ? ln 3

40.已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? ln( x ? 1) , (a ? R) . 1)若 a ? 2 ,求当 x 为何值时,函数 f ( x) 取得极大值或极小值; ( 为极大值点, 为极小值点) 2)若函数 f ( x) 在区间(0,1)上恒有 f ?( x) ? x ,求实数 a 的取值范围.( 反解法: a ≤1) 3 2 2 41.设函数 f ( x) ? x ? ax ? a x ? m (a ? 0) 1)若 a ? 1 时函数 f ( x) 有三个互不相同的零点,求 m 的范围; ? ?1,1? 内没有极值点,求 a 的范围; 2)若函数 f ( x) 在
3 2 1)当 a ? 1 时 f ( x) ? x ? x ? x ? m , 3 2 因为 f ( x) 有三个互不相同的零点,所以 f ( x) ? x ? x ? x ? m ? 0 ,

?

2 2

2 2

3 2 即 m ? ? x ? x ? x 有三个互不相同的实数根。
3 2 ' 2 令 g ( x) ? ? x ? x ? x ,则 g ( x) ? ?3x ? 2 x ? 1 ? ?(3x ? 1)( x ? 1) 。

因为 g ( x) 在 (??, ?1) 和

( 1 , ??) 3

均为减函数,在

5 ? ?1, 1 ? 为增函数, m 的取值范围 ? ?1, 27 ? 3

- 11 数学专题训练(理科)

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' 2 2 ? ?1,1? 上没有实数根, 2)由题可知,方程 f ( x) ? 3x ? 2ax ? a ? 0 在

? f ' (1) ? 3 ? 2a ? a 2 ? 0 ? ' 2 ? f (?1) ? 3 ? 2a ? a ? 0 ? a?0 因为 ? ,所以 a ? 3
3 2 g 42.已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? x ? 4, ( x) ? ax 2 ? x ? 8 .

1)求函数 f ( x ) 的极值; (极大:-4 极小:-112/27) 2)若对任意的 x ??0, ? ?? 都有 f ( x) ? g( x) ,求实数 a 的取值范围.( ? ??,5? ) (①若 2 ? a ? 0,显然F ( x) min ? 4 ? 0 ; ②若 2 ? a ? 0,F '( x) ? 3x 2 ? (4 ? 2a ) x
令F '( x ) ? 0,解得x ? 0,x ? 2a ? 4 2a ? 4 当0 ? x ? 时,F ? ( x) ? 0, 3 3
3 2

当x ?

2a ? 4 时,F ? ( x) ? 0 3

? 2a ? 4 ? ? 2a ? 4 ? ? 2a ? 4 ? ?当x ? ?0, ? ?时,F ( x) min ? F ? ? ? ? 0, 即? ? ? (a ? 2)? ? ?4?0 3 ? 3 ? ? ? ? 3 ?

解不等式得a ? 5, 2 ? a ? 5 ?

)

a2 , g ? x ? ? x ? ln x ,其中 a ? 1 . x 1)若 x ? 1 是函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 的极值点,求实数 a 的值;( a ? 3 )

43.已知函数 f ? x ? ? x ?

2)若对任意的 x1 , x2 ? ?1,e? ( e 为自然对数的底数)都有 f ? x1 ? ≥ g ? x2 ? 成立,求实数 a 的取 值范围.(对任意的 x1 , x2 ? ?1,e? 都有 ? f ? x ?? ≥ ? g ? x ? ? ) ? e ? 1 , ?? ? . ? ? max ? ? ? ?
min

? 2

?

第三部分
【数列专题训练】

数列类

??? ??? ??? ? ? ? ? 1.已知△ABC 的三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P 满足 PA ? PB ? PC ? 0 ,若实数 λ 满足: ??? ???? ? ??? ? AB ? AC ? ? AP, 则?值为 ( C )

A.2

B.3/2
??? ? ??? ?

C.3
???? ?

D.6

2.点 O 在 ?ABC 内,满足 OA ? 2OB ? 3OC ? 0 ,那么 ?AOB 与 ?AOC 的面积之比是 B B. 3: 2 ? C. 3:1 D. 5: 3 ? ? ? ? a ? (1, 2 b ,? (?2 ,,)且 a 与 b 的 夹 角 为 锐 角 , 则 实 数 ? 的 取 值 范 围 是 ? ) 3. 已 知 向 量 A. 2 :1

? ? ?,

. ? ? a 、 b 是两个非零向量,且 A.300 B.450

? ? ? ? ,?1 4 ? 4

? ? ? ? a ? b ? a ?b

? ? ? a 与 a ? b 的夹角为 ( A ) ,则

C.600

D.900 .

??? ??? ???? ? ? 4.在 ?ABC 中,O 为中线 AM 上一个动点,若 AM=2,则 OA ? (OB ? OC ) 的最小值是 -2

- 12 数学专题训练(理科)

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? x ? 3 y ? 3 ? 0, ? ? 2 x ? y ? 3 ? 0, y 满足不等式组 ? x ? my ? 1 ? 0, 且 x ? ?

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5.若实数 x , A. ?2

y 的最大值为 9,则实数 m ? ( C )
D.2

B. ?1

C.1
? x ? 3 y ? 3 ? 0, ? ? 2 x ? y ? 3 ? 0, ? x ? my ? 1 ? 0, ?

6.若实数 x , y 满足不等式组 A. ?2 B. ?1

且 x ? y 的最大值为 9,则实数 m ? ( C ) D.2

C.1

7.在 ?ABC ,A(2,0) 、B(5,1) 、C(4,2)所表示的平面区域内,若目标函数 z ? x ? ay 取 得最小值的最优解有无数个,则的最大值是(B ) A.2/3 B.2/5 C.1/6 D.1/4
?x ? y ?1 ? 0 ? ?x ?1 ? 0 ? ax ? y ? 1 ? 0 ?

8.在平面直角坐标系中,若不等式组 于 2,则 a 的值为( D ) A.-5 B.1 C.2

( a 为常数)所表示的平面区域的面积等 D.3

9.已知 x、y、z A. 9/5 10.若

?y ? x ? ?x ? 2 y ? 4 ? 满足不等式组 ? y ? ?2 ,

则 t=x2+y2+2x-2y+2 的最小值为( D. 2
{ 1 } a n 的前

D

)

B.

2

C.3

an为(1 ? x) n?1

n ?1 的展开式中含 x 项的系数,则数列

n 项和为



D



n( n ? 3) 2 A.

B.

n( n ? 1) 2

n n ?1 C.

2n n ?1 D.

11.根据下列条件,求数列 1)在数列

?an ? 的通项公式.
; (

?an ? 中,

a1 ? 1, an ?1 ? an ? 2n
a1 ? 4, an ?1 ?

an ? 2n ? 1(n ? N ? )

)

?a ? 2)在数列 n 中,
3)在数列 4)在数列 5)在数列

n?2 an a ? 2n(n ? 1)(n ? N ? ) n ; ( n )

?an ? 中, ?an ? 中, ?an ? 中,
{an }

a1 ? 3, an?1 ? 2an ? 1 a1 ? 3, an?1 ? an ? 2 a1 ? 2, an?1 ? 2an

; (

an ? 2n ?1 ? 1(n ? N ? )
)

)

; (

an ? 2n ? 1(n ? N ? )
)

; (

an ? 2n (n ? N ? )

12.数列

的前 n 项和
f ( x) ?

Sn ? n 2 ? 13n ? 1

,求数列

{| an |}

的前 20 项的和
Sn

T20

.(225)

13.已知函数

1 2 3 x ? x 2 2 , 数列

?an ? 的前 n 项和为 S n ,(n, 点

( ) n ? N? ) 在函数 y ? f ( x)

的图象上.1)求数列

?an ? 的通项公式 an ; an ? n ? 1 ) (
- 13 数学专题训练(理科)

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a n?3 bn ? nn 1 Tn ? 6 ? n ?1 ? {bn } Tn Tn 2 , 是数列 2 2)令 的前 n 项和,求 ; ( )
cn ? an a 1 ? n ?1 2n ? c1 ? c2 ? ??? ? cn ? 2n ? an ?1 an ,证明: 2.

3)令

14.已知等比数列 项和为
Sn

?an ? 各项均为正数,数列 {b } 满足 b
n

n

? lg an , b3 ? 18, b6 ? 12 , 数列 {bn } 的前 n

,则使得

Sn

取最大值时 n 的值.( n =11 或 12)
an ?

15.设数列 (
Sn ?

{an }

中,

a1 ? 1

,且

1 2Sn 2 { } (n ? 2) S 2Sn ? 1 ,证明数列 S n 是等差数列,并求 n .

1 (n ? N ? ) 2n ? 1 )

16.数列

{an }

S 的前 n 项和记为 n ,已知
{

a1 ? 1, an ?1 ?

n?2 Sn (n ? 1, 2,3,?) n .

Sn } 求证:(1)数列 n 是等比数列;

(2)

Sn?1 ? 4an

. (

a1 ? 1, an ?1 ? 2Sn ? 3(n ? 1), ba1 ? 2, an ?1 ? 4an ? 3n ? 1(n ? N ? )

)

17.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ?1 ? 2an ? 2n . Ⅰ)设 bn ?
an .证明:数列 ?bn ? 是等差数列;并求数列 ?an ? 通项式; 2n ?1

Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n . S n ? n ? 2 n ? 1? 2 0 ? 21 ? 2 2 ? ? ? 2 n?1 ? n ? 2 n ? 2 n ? 1 ) ( 18.已知数列 ?an } 满足, a1= ’ 2 ? 2, an+2= 1a
an ? an?1 , n ? N* . 2

? ? ? 令 bn ? an?1 ? an ,证明: {bn } 是等比数列;
5 2 1 (Ⅱ)求 ?an } 的通项公式。( an ? ? (? )n ?1 (n ? N * ) ) 3 3 2

19.在数列

{an }

中,

a1 ? 2, an?1 ? 4an ? 3n ? 1(n ? N ? )

.

(1)证明数列

{an ? n}

是等比数列;(首项是 1,公比为 4)
an ? 4
n ?1

(2)求数列

{an }

的前项和
Sn?1 ? 4Sn

Sn

;(

4n ? 1 n(n ? 1) ? n, Sn ? ? 3 2 )

(3)证明不等式

对任意

n ? N?

皆成立.

20.在各项为正的数列 ?an ? 中,若 a1 ? 1, an?12 ? 1 ? 4an 2 ? 4an (n ? N ? ) ,求该数列 ?an ? 通项式. 21.已知数列是正项数列, a1 ? 1 ,其前 n 项和为 S n ,且满足 2Sn ? 2an 2 ? an ? 1(n ? N ? ) .
- 14 数学专题训练(理科)

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1)求数列 ?an ? 的通项公式;( a n ? n ? 1 ) 2

2)若 b n ?

4Sn n ? 2 ,数列 ?bn ? 前 n 项和为 T n .( Tn ? (n ? 1) ? 2n?1 ? 2 ) n?3
an an

22.已知数列{ 1)求数列{ 2) 若
bn ?

}的前 n 项的和为 }的通项公式;

Sn

,对一切正整数 n 都有

2Sn ? n 2 ? an

.

1 2n ? 1 b1 ? b2 ? ? ? bn ? (n ? N * ) an 3. 3 ,证明:

n2 an (n ? 1 2 an?1 ) Sn ? ? ,Sn ?1 ? ? , 2 2 2 2 解: (Ⅰ)≧

?

an?1 ? Sn?1 ? Sn ?

2n ? 1 an?1 an ? ? ,即an?1 ? an ? 2n ? 1 2 2 2

( ) ( ? an?1 ? n ? 1 ? ? an ? n)


bn ? an ? n

,则

bn?1 ? ?bn

,?

bn ? (?1)n ?1 b1

又a1 ? S1 ?

1 a1 ? 得a1 ? 1 2 2 ,? b1 ? a1 ? 1 ? 0

? bn ? 0,即an ? n .……………6 分 2)证明:由(Ⅰ)知:
bn ? 2n ? 1 (n ? N * ) 3n

1 3 5 2n ? 1 Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n 3 3 3 3 记

用错位相减法求和得: 令
cn ?

Sn ? 1 ?

n ?1 3n

n ?1 n ? 1 n ? 2 2n ? 1 cn ? cn?1 ? n ? n?1 ? n ? 0 n 3 ,≧ 3 3 3 cn ? c1 ? 2 3,

?数列

{cn }

是递减数列,?

? 23.已知数列

Sn ? 1 ?

n ?1 2 1 1 ? 1? ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? n 3 3 3. 即 3.

?an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 ,且 3an?1 ? 2Sn ? 3 ( n 为正整数) 。 ?an ? 通项公式;
- 15 数学专题训练(理科)

1)求数列

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2)记

S ? a1 ? a2 ? ? ? an ? ?

,若对于任意正整数 n ,

kS ? S n

恒成立,求实数 k 的最大值。

? 3an?1 ? 2Sn ? 3 ?当n ? 2时, 3an ? 2Sn?1 ? 3 ? 解:1) ① ②,

①-②得
?

3an ?1 ? 3an ? 2an ? 0

an ?1 1 ? ? n ? 2? an 3



a1 ? 1,3a2 ? 2a1 ? 3, 解得a2 ?

1 3
?1? ?? ? ?3?
n ?1

?数列?an ?

1 ? an 是首项为 1,公比为 3 的等比数列。
S ? a1 1 3 ? ? 1 1? q 2 1? 3
Sn ? a1 ?1 ? q n ? 1? q ?

2)由

?1? 知,



1 n 1 ? ( )n 3? ?1? ? 3 ? ?1 ? ? ? ? 1 2? ?3? ? ? ? 1? 3

3 3? 1 ? 1 k ? ?1 ? ( ) n ? k ? 1 ? ( )n 2? 3 ? ,解得 3 由题意知,对于任意的正整数 n,恒有 2
? ? 1 ?n ? 2 ? ? ?数列 ?1 ? ? ? ? 单调递增, 当n ? 1时数列中的最小项为 ? ?k 3? ? 3 ? ? ? ? ,

2 ? , 即实数k的最大值为 2 3 3

1 1 1 1 1 2 ? ??? ? ? log 2 (a ? 1) ? 2n ? 1 2n 12 3 对一切大于 1 的自然数 n 都成立, 24.已知不等式 n ? 1 n ? 2

求实数 a 的取值范围.(先利用作差法判断函数单调性,再用恒成立问题研究.

1? a ?

3 2)

变式:已知点 P1(a1,b1) 2(a2,b2)...,Pn(an,bn)...(n 为正整数)都在函数 y ? a x ,P (a>0,a≠1 的常数)的图像上,其中 1)求数列

?an ? 是以 1 为首项,2 为公差的等差数列.
n n

?an ? 的通项公式,并证明数列{b }是等比数列;(a =2n-1)

2)设 Qn(an,0),当 a=2/3 时,问 ?OPnQn (O 为坐标原点)的面积是否存在最大值?若存在,求出 最大值;若不存在,请说明理由.(
?C n ? C n ?1 ? 利用单调性或 ?Cn ? Cn ?1

2 1 2 bn ? ( ) 2 n ?1 S? ? ? (2n ? 1)( ) 2 n ?1 3 2 3 ;



Cn ?

1 2 ? (2n ? 1)( ) 2 n ?1 2 3

,n=2 时,最大为 4/9)

25.设 c 1 , c 2 ..., c n ,…是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在 x 轴的正半轴上,且都与 直线 y=
3 3

x 相切,对每一个正整数 n,圆 c n 都与圆 c n ?1 相互外切,以 r n 表示 c n 的半径,已
y

知 ?r n ? 为递增数列. 1)证明: ?r n

? 为等比数列;
O x

(设出圆心坐标(Xn,0),rn= Xn/2;rn+1=3rn)

- 16 数学专题训练(理科)

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? n ? ? ? ? ? ? ? 2)设 r 1 =1,求数列 ? r n ? 的前

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邬小军

n 项和.(

Sn ?

9 1 3 1 ? (n ? ) ? ( ) n ?1 4 2 2 3 )

26. 设

f ( x) ?

ax x?a

(a ? 0) ,令 a1 ? 1 , an?1 ? f (an ) ,又 bn ? a n ? a n?1 , n ? N ? .

? 1 ? ? ? 1)判断数列 ? an ? 是等差数列还是等比数列并证明;

2)求数列 3)求数列

?an ? 的通项公式; ?bn ? 的前 n 项和.
an ?1 ?

解:1) 由 变形得:

an ?1 ? f (an )

得:

a ? an an ? a ,……(2 分)
1 1 1 ? ? an ?1 an a

an? an ?1 ? a(an ? an ?1 )

即:

, ………(4分)

? 1 ? ? ? ?数列 ? an ? 是首项为

1 1,公差为 a 的等差数列. ………(5 分)

1 1 ? 1 ? ( n ? 1) a , ………(7 分) 2) 由(1)得: an
1 n ?1? a ? an a

, ?

an ?

a n ? a ? 1 ………(9

分)

3)由(1)知:

bn ? an ? an?1 ? a(an ? an?1 )

………(11 分)

?

………(14分) 27.某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合 物,6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物,6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外,该儿童这两餐需要的营状中至少含 64 个单 位的碳水化合物和 42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元,那么要满足上述的营养要求, 并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?( (4,3) ) 解:设为该儿童分别预订 x 个单位的午餐和 y 个单位的晚餐,设费用为 F,则 F ? 2.5x ? 4 y , 由题意知:
12 x ? 8 y ? 64
6 x ? 6 y ? 42
6 x ? 10 y ? 54

S n ? a (a1 ? an ?1 ) ? a (1 ?

a na ) ? n?a n?a

x ? 0, y ? 0

变换目标函数:

y??

5 F x? 8 4

- 17 数学专题训练(理科)

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第四部分
【立体几何专题训练】

立体几何类

1.判断下列命题真假 1)线线平行: ① a ? b ? ? ? a // b; ③ a // b, b // ? , ? ? ? ? c, b ? ? ? a // c ; 2)线线垂直: ① a ? b, b ? c ? a ? c ; 3)线面平行: ① a // b, b ? ? ? a // ? ; ③ ? ? ? , a ? ? , a ? ? ? a // ? ; ⑤ a ? ? , a ? b, b ? ? ? b // ? ; 4)线面垂直: ① a ? b, b ? ? ? a ? ? ; ③ a ? b, a ? c, b, c异面, b // ? , c // ? ? a ? ? ; ⑤ ? ? ? , a // ? ? a ? ? ; 5)面面平行: ① a ? ? , b ? ? , a // b ? ? // ? ; ③ ? ? ? ? m, ? ? ? ? n, 且m//n ? ? // ? ; 6)面面垂直: ① ? ? ? , ? ? ? ? ? ? ? ; ② a ? ? , a // ? ? ? ? ? ; ③ ? // ? , ? ? ? ? ? ? ? ; ② ? ? ? , ? ? ? ? ? // ? ; ② a ? ? , ? // ? , a // b ? b ? ? ; ; ④ ? ? ? ? m, a ? m, a ? ? ? a ? ? ; ② a ? b, b ? c ? a // c ; ④ a // ? , a // ? , ? ? ? ? l , ? a // l ; ② a // ? , b ? ? ? a ? b ; ② a // ? , ? // ? , a ? ? ? a // ? ; ④ a // b, b // ? , a ? ? ? a // ? ;

2.已知正四棱锥 P-ABCD 中, PA=2, AB= 2 , M 是侧棱 PC 的中点, 则异面 直线 PA 与 BM 所成角的大小为 45°

3.在三棱锥 A ? BCD 中, 侧棱 AB 、AC 、AD 两两垂直,?ABC 、?ACD 、?ADB 的面积分别为 A. 2?
2 2

、 3 、 6 ,则三棱锥 A ? BCD 的外接球的面积为 B
2
2

B. 6?

C. 4 6?

D. 24?

4.已知四面体 A ? BCD 中, AB ? 2, CD ? 1, AB 与 CD 间的距离与 夹角分别为 3 与 30 ,则四面体 A ? BCD 的体积为 A
?

A.1/2 5.如图,在长方体

B.1

C.2

3 D. 2
A1 A

D1 B1 D

ABCD ? A1 B1C1D1

C1 C

中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与
- 18 -

数学专题训练(理科) B

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邬小军

平面 BB1D1D 所成角的正弦值为( D )
6

A. 3

B.

2 5 5

C.

15 5

D.

10 5

6.长方体的一个顶点上的三条棱长分别是 3,4,x,且它的 8 个顶点都在同一球面上,这个球的表面积是 125 ? ,则 x 的值是 A. 5 B. 10 C. 8 D. 6 ( B )

7.一个正四棱锥的底面边长为 2 ,侧棱长为 2,它的所有顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为
16? 3

.
3 a 2 ; (等面积法)

8.在平面内,边长为 a 的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值,这个定值为

6 a 推广到空间中,棱长为 a 的正四面体内任一点到各面距离之和为 3 .(等体积法)

9.在正三棱柱 A1B1C1-ABC 中,所有棱长均为 1,则点 B1 到平面 A1BC 的距离为

.(垂面法

21 7

)

10.已知正三棱柱 A1B1C1-ABC 的侧棱长和底面边长为 1,M 是底面 BC 边上的中点,N 是侧棱 CC1 上的点,且 CN=2 C1N. (1)求二面角的平面角的余弦值;(垂面法:
5 5

)

(2)求点 B1 到平面 AMN 的距离.(等体积或垂面法,1) 11. 在正三棱柱 A1B1C1-ABC 中,P 是 A1B 的中点,且 CP=AB. 1)求证:

CP ? A1 B1

;

2)求 C1A 与平面 BPC 所成角的大小.( 利用等体积法先计算出点 A 到面 A1BC 的距离再利用正弦即 可,
arcsin 42 7 )
S

12.已知 P 是正四面体 S ? ABC 的面 SBC 上一点, P 到面 ABC 的距离与到 点 S 的距离相等,则动点 P 的轨迹所在的曲线是( B ) A. 圆 B.椭圆 C. 双曲线 D.抛物线
A

P C

B

13.已知四面体 A-BCD 中,AB=2,CD=1,AB 与 CD 间的距离与夹角分别是 3 和 600,则四面体 A-BCD 的体 积为( D ) (补形成棱柱再完成) A.1/2 B.1 C.2
3 2 D.

14. 如 图 , PA 垂 直 于 矩 形 ABCD 所 在 的 平 面 , AD ? PA ? 2 ,

CD ? 2 2 , E 、 F 分别是 AB 、 PD 的中点. (1)求证: AF // 平面 PCE ; (2)求证:平面 PCE ? 平面 PCD ;

- 19 数学专题训练(理科)

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2 2 (3)求四面体 PEFC 的体积.( 3 )

D1
15.如图,正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 4 ,动点 P 在棱 A1 B1 上. (1)求证: PD ? AD1 ;

C1

A1

P
D

B1

C

(2)当

A1P ? A1P ?

1 A1B1 2 时,求 CP 与平面 D1DCC1 所成角的正弦值;(2/3) 3 A1B1 4 时,求点 C 到平面 D1DP 的距离.(16/5)

A

B

(3)当

16 如图,在直三棱柱

ABC ? A1B1C1

? 中 ?ACB ? 90 , AC ? BC ? 4, D、

A1 M

C1

E分别为棱AB、BC的中点,M 为棱AA1

上的点, 二面角 M ? DE ? A 为

B1 C D E B

30?
1)求证:A1B1⊥C1D; 2)求 MA 的长.(
AM ? AF tan 30? ? 2 3 3 )

A

3)求点 A 到平面 MDE 的距离。(1) 17.如图,ABCDEFG 为多面体, 平面 ABED 与平面 AGFD 垂直, O 在线段 AD 上,OA ? 1, OD ? 2, 点 △OAB,,△ OAC ,△ ODE ,△ ODF 都是正三角形。 1)证明直线 BC ∥ EF ; 2)求棱锥 F—OBED 的体积。(3/2)

图 17 18.如图,四棱锥 S ? ABCD 中, AB // CD , BC ? CD , 侧面 SAB 为等边三角形, AB ? BC ? 2, CD ? SD ? 1 . (Ⅰ)证明: SD ? 平面SAB ; (Ⅱ)求 AB 与平面 SBC 所成角的大小.

- 20 数学专题训练(理科)

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??? ? ? ??? ? ? | AB ? n | 2 3 21 ? ? ? | cos ? AB, n ?|? ??? ? 7 | AB | ? | n | 2 7 答案:

19.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1. D 是棱 CC1 上的一 P 是 AD 的延长线与 A1C1 的延长线的交点, 且 PB1∥平面 BDA. (I)求证:CD=C1D: (II)求二面角 A-A1D-B 的平面角的余弦值;(2/3) (Ⅲ)求点 C 到平面 B1DP 的距离.(1/3)

? 20.如图, ?ABC 中, ABC ? 60 , ?BAC ? 90 , AD 是 BC 上的高, AD 把 ?ABC 折起, ?BCD ? 90 . 在 沿 使
? ?
?

1)证明:平面ADB

⊥平面BDC;

2)设E为BC的中点,求 AE 与 DB 夹角的余弦值。

??? ?

??? ?

解:1)≧折起前AD是BC边上的高, ? 当Δ ABD折起后,AD⊥DC,AD⊥DB, 又 DB ? DC=D,?AD⊥平面BDC, ≧AD 平面 平面 BDC.?平面 ABD ? 平面 BDC。
DB

2) 由∠ BDC= 90? 及 (Ⅰ) DA, 知 DB, 两两垂直, DC 不防设

??? ???? ??? ? ? DB, DC , DA =1, D 为坐标原点, 以 以

所在直线 x, y, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,易得 D(0,0,0) ,B(1,0,0) ,C(0,3,0) ,A(0,0,

3) ,E(1/2,3/2,0) ,
?1 3 ? ??? ? , , ? 3 ? ??? ? ? ? , DB =(1,0,0,) ? AE = ? 2 2 ,
? 1? 1 2 22 4 ? 22 22

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? AE 与 DB 夹角的余弦值为 cos < AE , DB >



21.已知四棱锥 P-ABCD 的底面为等腰梯形,AB//CD,AC⊥BD,垂足为 H,PH 是四棱锥的高. 1)证明:平面 PAC⊥平面 PBD; 2)若 AB=6,CD=4,∠APB=60 ,求四棱锥 P-ABCD 的体积.( 25 2 ) 22. 已知四棱锥 P-ABCD 的底面为边长为 2 的菱形, ∠ABC=60 ,且 PA=PC,PB=PD.设 AD,BC 的中点分别为 Q,M,PQ 的中点为 N,若 MN⊥PQ.
0 0

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1)设 BD 与 AC 交于点 O,求 OP 的长;(

3)

2)求平面 AMN 与平面 QMN 夹角的余弦值.(

21 ) 7

23.如图所示,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,AB=AD=1,AA1=2,M 是棱 CC1 的中点 1)求异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值;( 2 ) 2)证明:平面 ABM⊥平面 A1B1M1

24. 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是正方形,MA ? 平面 ABCD ,

PD // MA ,E 、 、F 分别为 MB 、PB 、PC 的中点, AD ? PD ? 2MA . G 且
1)求证:平面 EFG ? 平面 PDC ; 2)求三棱锥 P ? MAB 与四棱锥 P ? ABCD 的体积之比.(1:4) 25.如图,正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB= 2 ,CE=EF=1. 1)求证:AF∥平面 BDE; 2)求证:CF⊥平面 BDE;

26.如图, 在五棱锥 P—ABCDE 中, PA⊥平面 ABCDE, AB∥CD, AC∥ED, AE∥BC, ∠ABC=450.AB=2 2 , BC=2AE=4, 三角形 PAB 是等腰三角形.

1)求证:平面 PCD⊥平面 PAC; 0 2)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小;(30 )

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3)求四棱锥 P—ACDE 的体积.( 2 2 ) 26.在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB//DC, ?PAD 是等边三角形, 已知 BD=2AD=8,AB=2DC= 4 5 . 1)设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD⊥平面 PAD; 2)求四棱锥 P-ABCD 的体积.( 16 3 ) A

P

M D C

B

第五部分
【直线与圆锥曲线专题训练】 1.设 P( x, y ) 是曲线 A. C.
x2 ? 25

直线与圆锥曲线类

y2 ?1 F (?4, 0), F2 (4, 0) 9 上的点, 1 ,则(

C )

| F1P | ? | F2 P |? 10 | F1P | ? | F2 P |? 10
2 2

B. D.

| F1P | ? | F2 P |? 10 | F1P | ? | F2 P |? 10

2.过点 A(11,2)作圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 164 ? 0 的弦,其中弦长为整数的共有 C A.16 条
2 2

B.17 条

C.32 条

D.34 条

3.圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 关于直线 2ax ? by ? 2 ? 0(a, b ? R) 对称,则 ab 的取值范围是 A

1 1 (??, ] (0, ] 4 B. 4 A.

1 1 (? ,0) (??, ) 4 C. 4 D.

4.在圆内,过点 E(0,1)的最长弦与最短弦分别是 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为( B ) A. 5 2 B. 10 2 C. 15 2 D. 20 2
2 2

5. 已知条件 p : k ? 3 ,条件 q :直线 y ? kx ? 2 与圆 x ? y ? 1相切,则 p 是 q 的( A )

A .充分不必要条件

B .必要不充分条件

C .充要条件

D .既不充分又不必要条件

x2 y2 2 2 ? 2 ?1 2 b 6.若椭圆 a 的焦点在 x 轴上,过点(1,1/2)作圆 x +y =1 的切线,切点分别为 A,B,直线 AB
x2 y2 ? ?1 4 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是 5
x2 y2 x2 ? y2 ? 1 ? ?1 ( 9 或 81 9 )

; 7.已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的 3 倍,并且过点 P(3,0),求椭圆的方程.

8. 已 知 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 2 x ? 3y ? 0, 若 双 曲 线 两 顶 点 距 离 是 6, 求 双 曲 线 的 标 准 方
2 2 2 2 程;( x ? y ? 1 或 y ? x

9

4

9

81/ 4

? 1)

- 23 数学专题训练(理科)

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9.以椭圆的中心为圆心,焦距为直径的圆与椭圆交于四点,若这四点与两焦点组成正六边形,则这个椭 圆的离心率是( A ) (赋值法:令|PF2|=1) A. 3 ? 1 B. 2 ? 1
2 2

C.1/2

2 D. 2

x y 2 ? 2 ? 1(b ? 1) 10.若动点(x,y)在曲线 4 b 上变化,则 x ? 2 y 的最大值为( A ) ? b2 ? b2 ? 4(0 ? b ? 2) ? ? 4(0 ? b ? 4) ? ?4 ?4 b2 ?4 ? 2b(b ? 2) ? 2b(b ? 4) A. ? B. ? C. 4 D. 2b

11.已知直线 x-y-1=0 与抛物线 y=ax 相切,则 a= 1/4 .
2 12.已知点 P 是抛物线 y = 2x 上的动点,点 p 在 y 轴上的射影是 M,点 A 的坐标是

2

?7 ? A? ,4 ? ?2 ?,

|PA| + |PM|的最小值是 9/2 . 13.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( B ) A.4/5 B.3/5 C. 2/5 D. 1/5
0

14.椭圆的两个焦点为 F1 、 F2 ,短轴的一个端点为 A,且⊿ F1 A F2 是顶角为 120 的等腰三角形,则此椭圆的 离心率为
3 2

.

x2 y2 ? ?1 15.在平面直角坐标系 XOY 中,已知 ?ABC 的顶点 A(-4,0)和 C(4,0)顶点 B 在椭圆 25 9 上,

sin A ? sin C ? sin B 则

5/4

.

16.设

F1 , F2
;

x2 ? y2 ? 1 3 分别为椭圆 的左、右焦点,点

???? ???? ? A, B 在椭圆上,若 F1 A ? 5F2 B ;则点 A 的坐标是

(0, ?1)

17.设 F1,2 分别是双曲线 F 则双曲线离心率为( A.
5 2

x2 y2 ? 2 ?1 2 a b 的左、 右焦点。 若双曲线上存在点 A, 使∠F1AF2=90?

, 且|AF1|=3|AF2|,

B
10

) C.
15 2

B. 2

D.

5

? y2 x2 p(?3,1) 在双曲线 a2 ? b2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左准线上,过点 p 且方向向量为 a ? (2,5) 的光线, 18.若点
经直线 y ? ?2 反射后通过双曲线的左焦点,则这个双曲线的离心率为 A
15

3

5

A. 3

B. 3
x
2

C. 3
y
2

D.4/3

? ?1 9 19.以点 A( 0 , 5 ) 为圆心、双曲线 16 的渐近线为切线的圆的半径是( B )

A.5
y2 a2 20.双曲线
2

B.4

C.3

D.1

? x2 ? 1
b

的一条渐近线方程为

y?4x 3

,则双曲线的离心率为( C )

- 24 数学专题训练(理科)

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5 A. 3 4 B. 3 5 C. 4
2 2

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7

D. 4

21.设 以

F1



F2

x y ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2 分别是双曲线 的左、右焦点,A、B 是以 O(坐标原点)为圆心,

OF1

为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且 B、 5
5

?F2 AB

是等边三角形,则双曲线的离心率为( D )

2 D、 1 ? 3 x C、 y 2 x y ? 2 ? 1(a ? 0, m ? b ? 0) ? 2 ?1 2 2 b b 22.双曲线 a 与椭圆 m 的离心率之积大于1 , 则以 a, b, m 为边长的三

A、 3

2

2

2

角形一定是( D )

A .等腰三角形
2

B .锐角三角形

C .直角三角形

D .钝角三角形
AF ? BF =3

23.已知 F 是抛物线 y =x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点, 的距离为 C

,则线段 AB 的中点到 y 轴

(A)3/4 (B)1 (C)5/4 (D)7/4 2 24.P 是抛物线 y =x 上的点,F 是该抛物线的焦点,则点 P 到 F 与 P 到 A(3,-1)的距离之和的最小值是 13/4,此时 P 点坐标是 . 已知抛物线 C: y ? 4 x 的焦点为 F,直线 y ? 2 x ? 4 与 C 交于 A,B 两点.则 cos ?AFB =D
2

A. 4/5

B.3/5

C.-3/5

D. -4/5

2 25.将两个顶点在抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为 n,则 C

A.n=0
2

B.n=1 C.

n=2

D.n ? 3

26.过抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 的焦点作斜率为 1 的直线与该抛物线交于 A,B 两点,A,B 在 x 轴上的正射影 分别为 D,C.若梯形 ABCD 的面积为 12 2 ,求 p 的值.( S ? 27.设 P 是曲线 y =4x 上的一个动点. 1)求点 P 至点 A(-1,1)距离与点 P 到直线 x=-1 的距离之和最小值;( 5 ) 2)若 B(3,2),点 F 是抛物线的焦点,求 PB+PF 的最小值.(4) 28.过 A(0,2)可以作 4 条直线与双曲线 x ?
2
2

1 ( y1 ? y2 )( x2 ? x1 ) ;p=2) 2

y2 ? 1 有且只有一个公共点; 4

2 2 29.过双曲线 2x ? y ? 2 ? 0 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A, B 两点,若 | AB |? 4 ,则这样的直线 l 有 C

A.1 条

B.2 条
2 2

C.3 条

D.4 条

0 30.已知 F1、F2 为双曲线 C: x ? y ? 1 的左、右焦点,点 P 在曲线 C 上, ?F1PF2 ? 60 ,求点 P 到 x 轴的

距离及

| PF1 | ? | PF2 |

的值.(利用等面积法;
2

6 6

;4)

x ? y2 ? 1 a2 31.若点 O 和点 F(-2,0)分别为双曲线 (a>0)的中心和左焦点,点 P 为双曲线右支上的任

- 25 数学专题训练(理科)

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??? ??? ? ? 意一点,则 OP ? FP 的取值范围为 B
A. [3- 2 3 , ?? ) B. [3+ 2 3 , ?? ) C. [ ? 7 , ?? )
4
2

D. [ 7 , ?? )
4
2

32.已知直线 l: (2m ? 1) x ? (m ? 1) y ? 7m ? 4 ,圆 C: ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 25 ,则 m 为任意实数时, l 与 圆 C 是否相交?若相交,求出相交的弦长的最小值对应的 m 的值;若不相交说明理由. 33.设集合
A ? {( x, y ) | m ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? m 2 , x, y ? R} 2 ,
1 2

B ? {( x, y) | 2m ? x ? y ? 2m ? 1, x, y ? R} , 若 A ? B ? ? , 则实数 m 的取值范围是[ 2 , 2 ?

];

2 2 34.已知圆 C: x ? y ? Dx ? Ey ? 3 ? 0 ,圆 C 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,圆心在第二象限,半径为 2

(Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)已知不过原点的直线 l 与圆 C 相切,且在 x 轴、y 轴上的截距相等,求直线 l 的方程。
2 2 (? ,? ) 2 2 (Ⅰ)由 x ? y ? Dx ? Ey ? 3 ? 0 知圆心 C 的坐标为

D

E

≧圆 C 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称 ?点
(? D E ,? ) 2 2 在直线 x ?

y ?1 ? 0 上

D 2 ? E 2 ? 12 ?2 4 即 D+E=-2,且

又≧圆心 C 在第二象限 由①②解得 D=2,E=-4

? D ? 0, E ? 0 ?所求圆 C 的方程为: x ? y ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0
2 2

(Ⅱ)?切线在两坐标轴上的截距相等且不为零,设 l : x ? y ? ?
?1 ? 2 ? ? ? 2 ,即

?圆 C: (x ? 1) ? (y ? 2) ? 2 ?圆心 c(?1, 2) 到切线的距离等于半径 2
2 2

2

?? ? ?1或? ? 3 。

所求切线方程 x ? y ? 1或x ? y ? 3 ? 0

35.在空间直角坐标系中,已知点 A(1,0,2) ,B(1,-3,1),点 M 在 y 轴上,且 M 到 A 与到 B 的距离相 等,则 M 的坐标是_(0,-1,0). 36.已知椭圆 5 x ? 9 y ? 45 的左右两焦点分别为 F1、F2,点A(1,1)在椭圆内部,点P为椭圆上
2 2

的点,求: (1)|PA|+|PF1|的最小值; (利用|PA|+|PF1|=|PA|+2a-|PF2| ? 2a-|AF2|= 6 ? 2 )
3

(2)|PA|+ 2 |PF2|的最小值. (7/2) 37.已知以坐标原点为中心,焦点为 F1,F2,且长轴在轴上的椭圆 C 经过点 A (? 3, 0) ,点 P(1,1)满足

- 26 数学专题训练(理科)

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???? ???? ? PF1 ? PF2 ? 0 .
2 1)求椭圆 C 的方程;( x ? y 2 ? 1 )

3

2)若过点 P 且斜率为 K 的直线与椭圆 C 交于 M,N 两点,求实数 K 的取值范围.( k ? 0 或 k ? ?1 ) 38.如图, P 是圆 x ? y ? 25 上的动点, D 是 P 在 x 轴上的摄影, 为 PD 上一点, 设 点 M 且
2 2

MD ?

4 PD 5

(Ⅰ)当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为 4/5 的直线被 C 所截线段的长度 解: (Ⅰ)设 M 的坐标为(x,y)P 的坐标为(xp,yp)
? xp ? x, ? ? 5 ? yp ? 4 y , 由已知得 ?

≧P 在圆上, ?

?5 ? x 2 ? ? y ? ? 25 ?4 ? ,即

2

x2 y2 ? ?1 C 的方程为 25 16

4 4 y ? ? x ? 3? 5 (Ⅱ)过点(3,0)且斜率为 5 的直线方程为 ,
设直线与 C 的交点为

A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ?

y?
将直线方程
2

4 ? x ? 3? 5 代入 C 的方程,得
2 即 x ? 3x ? 8 ? 0

? x ? 3? ? 1 x2 ? 25 25
?
x1 ? 3? 2 41 , x2 ? 3? 2
2

41

?
? 16 ? 2 ? ?1 ? ? ? x1 ? x2 ? ? 25 ? ?

线段 AB 的长度为

AB ?

? x1 ? x2 ?

2

? ? y1 ? y2 ?

41 41 ? 41 ? 25 5

39.若长度为 8 的线段 AB 的两个端点 A,B 分别在 x 轴, y 轴上滑动,点 M 在 AB 上且 AM ? 2MB ,求点 M
9x2 9 y2 ? ?1 256 的轨迹方程.( 64 )
?

???? ?

????

40. 倾 斜 角 为 程.(
x ? 4 y ? 0(?

4

的直线交椭圆

x2 ? y2 ? 1 4

于 A,B 两 点 , 则 线 段 AB 中 点 的 轨 迹 方

4 4 5?x? 5) 5 5 )

41.已知点

A ? ?1,? 0



B ?1,? 0

,动点 P 满足: ?APB ? 2? ,且

PA ? PB cos 2 ? ? 1

1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; 2)过点 A 的直线 l 交曲线 C 于 E、F 两点,若 ?BEF 的面积等于 3 ,求直线 l 的方程。 解:1)在 得
4

?PAB中 AB ? PA ? PB ? 2 PA PB ? cos 2?
2 2 2

4 ? ? PA ? PB ? ? 2 PA PB ?1 ? cos 2? ?
2

PA ? PB ? ??
- 27 -

2

? 4 PA PB cos 2 ?

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主编

邬小军

? PA ? PB ? 2 2 x2 ? y2 ? 1 所以点 P 的轨迹 C 的方程为 2
? x ? ty ? 1 ? 2 ?x ? y2 ? 1 l 的方程为x ? ty ? 1 ,由 ? 2 ? 2)设直线 得

? ? PA ? PB ? ? 4
2

?t

2

? 2 ? y 2 ? 2ty ? 1 ? 0, 设E ? x1 , y1 ?



F ? x2 , y2 ?

,则

y1 ? y2 ?

2t ?1 , y1 y2 ? 2 t ?2 t ?2
2

? S?BEF ?
2

1 AB y1 ? y2 ? 2

? y1 ? y2 ?

2

? 4 y1 y2

?

4 ? 2t ? ? ? 2 ? ? 2 t ?2? t ?2 ?

2

8t 2 ? 8 4 ? t2 ? 2 3

解得 t ? 1,? t ? ?1 故直线 l 的方程为 x ? y ? 1 ? 0或x ? y ? 1 ? 0 42.过抛物线 y ? 4 x 的焦点作直线 l 交抛物线于 A,B 两点,若线段 AB 的中点横坐标为 3,则直线 l 的方
2

程为 y ? ?( x ? 1) .
2 2 过椭圆 x ? y ? 1 的右焦点且斜率为 1 的直线交椭圆于 A、B 两点,若 O 为坐标原点,M 为椭圆上一点,

4

3

满足 OM ? ? OA ? OB ,求 ? 的值.
x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 43.设椭圆 C: a 的左焦点为 F,过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A,B 两点,直线 l

???? ?

??? ??? ? ?

的倾斜角为 60o, AF ? 2 FB . 1)求椭圆 C 的离心率;(2/3)
x2 y2 ? ?1 5 2)如果|AB|=15/4,求椭圆 C 的方程.( 9 )

??? ?

??? ?

44.已知双曲线

x2 ?

y2 ?1 2 .

(1)求以点 A(1,2)为中点的弦的方程;(4x-y-7=0)
( x ? 1) 2 ? 7 8 (y ? 1 2 ) 2 ?1 7 4 )

(2)求过点 A(1,2)的各弦中点 M 的轨迹.(
2 2

45.已知定点 C (?1, 0) 及椭圆 x ? 3 y ? 5 ,过点 C 的动直线与该椭圆相交于 A, B 两点. 1)若线段 AB 中点的横坐标是 ,求直线 AB 的方程; ?? ?? ?? ?? MB 为常数?若存在,求出点 M 的坐标;如果不存在,请说明理由. 2)在 x 轴上是否存在点 M ,使 MA ?

?1 2

( ? 1 ) 设 直 线 AB : y ? k ( x ? 1) , 将 AB: y? k x 1)代 入 椭 圆 的 方 程 x ? 3 y ? 5 , 消 去 y 整 理 得
2 2

(3k 2 ? 1) x 2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 5 ? 0 ,


A( x1 , y1 )

, ,
- 28 数学专题训练(理科)

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邬小军

? ? ? 36k ? 4(3k ? 1)(3k ? 5) ? 0 ? 2 ? x1 ? x2 ? ? 36 k ?1 ? k2 ? 则
4 2 2

因为线段 AB 的中点的横坐标为

?1 2

,解得

k ??

3 3

所以直线 AB 的方程为 x ? 3 y ? 1 ? 0 (2)假设在 x 轴上存在点 M (m, 0) ,使得 MA ? MB 位常数,

???? ????

x ? x2 ? ? 36 k ?1 x1 ? x2 ? 3k ?5 k 3 k ?1 (1)当直线 AB 与 x 轴不垂直时,由(1)知 1 , ???? ???? MA ? MB ? ( x1 ? m)( x2 ? m) ? y1 y2 (k 2 ? 1) x1 x2 ? (k 2 ? m)( x1 ? x2 ) ? k 2 ? m2 所以 =
2 2 2 2

6 ? m 2 ? 2m ? 1 ? 3(3m ?141) 3 k2 ?

???? ???? 6m ? 4 ? 0, m ? ? 7 3 , ,因为 MA ? MB 是与 k 无关的常数,从而有

此时

???? ???? MA ? MB ?

4 9



(2)当直线 AB 与 x 轴垂直时,此时结论成立,

???? ???? 7 4 x 轴上存在定点 M (? 3 , 0) ,使 MA ? MB ? 9 为实数。 综上可知,在
46.在已知抛物线 y= x 上存在两个不同点 M、N 关于直线
2

y ? ? kx ?

9 2

对称我,求 k 的取值范围.

1 1 k ? (??, ? ) ? ( , ??) 4 4 ( )
47.已知双曲线
x2 ? y2 ?1 3 ,双曲线上存在关于直线 l :

y ? kx ? 4 对称的点,求实数 k 的取值范围.

( 由 判 别 式 可 得 :

?3k 2 ? 1 ? 0 ? ? 2 2 2 ?k b ? 3k ? 1 ? 0 ?

; 由 中 点 在 直 线 上 可 得 :

k b ? 3k ? 1 ,
2 2

k ?(

3 3 1 1 , ??) ? (??, ? ) ? (? , 0) ? (0, ) 3 3 2 2 )

x2 ? y2 ? 1 48.设 F1、F2分别为椭圆 4 的左右焦点.

(1)若 P 是该椭圆上的一个动点为,求

???? ???? pF1 ? pF2

的最大值和最小值;(max:1,min:-2)

(2)设过定点 M(0,2)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A,B,且 ?AOB 为锐角(其中 O 为坐标原点),求直线 l
k? 3 3 或k ? ? 2 2 由 ?AOB 为锐角得: ?2 ? k

的斜率 K 的取值范围.( 由判别式可得:
?2 ? k ? ? 3 3 或 ?k?2 2 2 )

? 2 则:

- 29 数学专题训练(理科)

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x
2 2 49.设双曲线 C: a

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邬小军

? y 2 ? 1( a ? 0)

与直线 l : x ? y ? 1 相交于两个不同的点 A,B.

1)求实数 a 的取值范围; (0,1) ? (1, 2)
??? 5 ??? ? ? PA ? PB 12 2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P,取 ,求 a 的值.(17/13)

50.椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上, 离心率为 且直线 MA、MB 的斜率之和为 0.

2 2

,?ABM 的三个顶点都在椭圆上, 其中点 M (1, , 1)

(1)求椭圆方程; (2)求证:直线 AB 的斜率是定值. 解:(1)设椭圆方程为
x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
c

依题意 a

?

2 2

, 即a ?

2c

?

a 2 ? 2c 2 ? 2(a 2 ? b2 ) ,即 a 2 ? 2b2
1
2

则椭圆方程为
3 1 ?1 b2 ? 2 b2 ,得

x2 y2 ? 2 ?1 2 2b b

因为点 M(1,1)在椭圆上,所以得 2b 故椭圆方程为 (2)设
x2 2 y2 ? ?1 3 3 .

?

A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

设直线 MA 方程为 y ? k ( x ? 1) ? 1(k ? 0) 代入椭圆方程整理得

(2k 2 ? 1) x 2 ? 4k (1 ? k ) x ? 2k 2 ? 4k ? 1 ? 0

? ? 16k 2 (1 ? k )2 ? 4(2k 2 ? 1)(2k 2 ? 4k ? 1) ? 4(2k ? 1) 2 ? 0 得 k ? ? 2
2 2 2 由已知,1 是方程 (2k ? 1) x ? 4k (1 ? k ) x ? 2k ? 4k ? 1 ? 0 的根,由根与系数的关系得

1

x1 ?1 ?

2k 2 ? 4k ? 1 1 (k ? 0, k ? ? ) 2k 2 ? 1 2

直线 MB 的方程为 y ? ?k ( x ? 1) ? 1(k ? 0) ,同理可得

x2 ?1 ?

2k 2 ? 4k ? 1 1 (k ? 0, k ? ? ) 2 2k ? 1 2

k AB ?
直线 AB 的斜率

y2 ? y1 k ( x2 ? 1) ? k ( x1 ? 1) k ( x2 ? x1 ) ?4k 1 ? ? ? ? x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x1 ?8k 2

即直线 AB 的斜率为定值 1/2. 51.椭圆的对称中心在坐标原点,一个顶点为 A ( 0 , 2 ) ,右焦点 F 与点 B( 2 , 1)求椭圆的方程; 2 ) 是 否 存 在 斜 率 k ? 0 的 直 线 l : y ? kx ? 2 , 使 直 线 l 与 椭 圆 相 交 于 不 同 的 两 点 M , N 满 足

2) 的距离为 2 。

| AM | ? | AN | ,若存在,求直线 l 的倾斜角 ? ;若不存在,说明理由。

- 30 数学专题训练(理科)

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2 2

主编

邬小军

x y ? 2 ?1(a ? b ? 0 ) a2 b 解: (Ⅰ)依题意,设椭圆方程为 ,则其右焦点坐标为

F (c , 0 ) , c ? a 2 ? b 2


2 2

………… 2 分

(c ? 2) ? (0 ? 2) ? 2 由 | FB |? 2 ,得 ,
即 (c ? 2) ? 2 ? 4 , 解得 c ? 2 2 。 ≧ b ? 2 , a ? c ? b 又 ?
2

2

2

2

x2 y2 ? ?1 ? 12 , 4 即椭圆方程为 12 .

(Ⅱ)由 | AM | ? | AN | 知点 A 在线段 MN 的垂直平分线上,
?y ? kx? 2 ? 2 ?x y2 ? ?1 ? 4 由 ? 12 消去
2 2

y 得 x 2 ? 3(kx ? 2) 2 ? 12
(*) ………… 6 分
2 2

即 (1 ? 3k ) x ? 12 kx ? 0

由 k ? 0 ,得方程(*)的 ? ? (?12 k ) ? 144 k ? 0 ,即方程(*)有两个不相等的实数根。

P ( x0 , y 0 ) 设 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x 2 , y 2 ) ,线段 MN 的中点 ,

x1 ? x 2 ?

x ? x2 6k 12 k x0 ? 1 ? 2 1 ? 3k 2 , 1 ? 3k 2 ,?
6k 2 ? 2 (1 ? 3k 2 ) ?2 6k ?2 ? P( , ) 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 ,即 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

?

y 0 ? k x0 ? 2 ?

……… 9 分

? k ? 0 ,?直线

?2 ?2 ? 2 ? 2(1 ? 3k 2 ) 1 ? 3k 2 k1 ? ? 6k 6k 1 ? 3k 2 AP 的斜率为

,……10 分

? 2 ? 2(1 ? 3k 2 ) ? k ? ?1 6k 由 AP ? MN ,得 ,

? 2 ? 2 ? 6k ? 6 ,解得:
2

k ??

3 3
5? 6

,即 ,
?
6

tan? ? ?

3 3 ,

又 0 ? ? ? ? ,故

? ?

?
6

,或

? ?

? ? 存在直线 l 满足题意,其倾斜角
2

?

,或

? ?

5? 6

.…… 12 分

52.已知椭圆

C1

x ? y2 ? 1 4 的方程为 ,双曲线 C2 的左、右焦点分别是 C1 的左、右顶点,而 C2 的左、右顶点

分别是 C1 的左、右焦点。 1)求双曲线 C2 的方程; 2)若直线 l:y ? kx ? 2 与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A 和 B ,且 OA ? OB ? 2 ,其中 O 为原点,求 k 的范 围。 解 : (1) 椭 圆 C1 的 焦 点 F1 (? 3 , 0 ) F2 ( 3,0) , 左 右 顶 点 D1 (? 2 , 0 )、 D2 (2,0) 。 设 双 曲 线 C2 的 方 程 为 、
- 31 数学专题训练(理科)

??? ??? ? ?

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2 2

主编
2

邬小军

x y x ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ? y2 ? 1 2 2 2 a 2 b2 ,则 a ? 3 , a ? b ? 4 , b ? 1 故 C2 的方程为 3 。…… 6 分
? y ? kx ? 2 ? 2 ?x 2 ? ? y ?1 联立方程组 ? 3

2 2 消 y 得: (1 ? 3k ) x ? 6 2kx ? 9 ? 0

?1 ? 3k 2 ? 0 ? ? 2 2 C2 ?(6 2k ) ? 36(1 ? 3k ) ? 0 由直线 l 与双曲线 交于不同的两点得: ?



? 2 1 ?k ? 3 ? ?k 2 ? 1 ?

2 于是 k ? 1 ,且

k2 ?

1 3

………………①

? 6 2k ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 3k 2 ? ? x x ? ?9 ? 1 2 1 ? 3k 2 A( x1 , kx1 ? 2) B( x2 , kx2 ? 2) 设 、 ,则 ?

?9 ? 9k 2 12k 2 3k 2 ? 9 ??? ??? ? ? ? ? ?2? ?2 2 OA ? OB ? x1x2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? (1 ? k ) x1x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 3k 2 ? 9 1 ??? ??? ? ? ?0 ? k2 ? 3 OA ? OB ? 2 ,所以 1 ? 3k 2 3 又 ,解得

……………②

由①和②得

1 ? k2 ?1 3
(?1,

3 3 ? k ?1 ?1 ? k ? 3 3 即 或 3 3 ) ? ( ,1) 3 3 。……………… ……………………12 分

故 k 的取值范围为
2

53.已知抛物线 y ? ? x 与直线 l : y ? k ( x ? 1) 相交于 A,B 两点. 1)求证:OA⊥OB; 2)当⊿OAB 的面积等于 10 时,求 K 的值. 54.给定抛物线 C:y2=4x,F 是 C 的焦点,过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点。 → → 1)设 l 的斜率为 1,求OA〃OB的值(O 为坐标原点) → → 2)设FB=λAF,若λ∈[4,9],求 l 在 y 轴上截距的变化范围. 解: (Ⅰ)C 的焦点为 F(1,0) ,直线 l 的斜率为 1,所以 l 的方程为 y=x-1 将 y=x-1 代入方程 y2=4x,并整理得 x2-6x+1=0 设 A(x1,y1),B(x2,y2)则有 x1+x2=6, x1x2=1. →〃→ = (x1,y1) 〃(x2,y2) = x1x2+y1y2 =2x1x2-(x1+x2) + 1 =-3 OA OB → (Ⅱ)由题设→=λAF得 FB
?x2-1 =λ(1-x1) 即? ? y2= -λy1

(x2-1,y2)=λ(1-x1,-y1), ① ② ?x2=λ2x1.③

由②得 y22=λ2y12, ≧y12=4x1,y22=4x2 联立①、③解得 x2=λ,依题意有λ>0

- 32 数学专题训练(理科)

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邬小军

?B(λ, 2 λ), 或 B(λ,-2 λ)又 F(1,0) ,得直线 l 方程为 (λ-1)y=2 λ(x-1)或(λ-1)y=-2 λ(x-1) 当λ∈[4,9]时,l 在方程 y 轴上的截距为 2 λ 2 λ 2 = + λ-1 λ-1 λ+1 2 λ 2 λ 或- , λ-1 λ-1



可知

2 λ 在[4,9]上是递减的, λ-1

3 2 λ 4 4 2 λ 3 ? ≤ ≤ , - ≤- ≤- 4 λ-1 3 3 λ-1 4 4 3 3 4 直线 l 在 y 轴上截距的变化范围为[- , - ]∪[ , ] 3 4 4 3

x2 ?
55.己知双曲线 C:

y2 ? 1, 2 过点 A( 3, 0 )作直线 l 与双曲线 C 交于 P,Q 两点,若 PQ 的长等于双曲线

C 的实轴长的 3 倍,求直线 l 的斜率.

y2 x ? ?1 2 2 2 2 x,y ( x , y ), 2 解:设 l : y ? k ( x ? 3) 代入 得 (2 ? k ) x ? 2 3k x ? 3k ? 2 ? 0 设 P( 1 1 ),Q 2 2
2

x1 ? x2 ?

?2 3k 2 3k 2 ? 2 , x1 x2 ? 2 . 2 ? k2 k ?2
2 2

2 ? k 2 ? 0.? ? 0. PQ ? (1 ? k 2 ) x1 ? x2

? (1 ? k 2 ) ?( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? ? 36. ? ?

整理,

5k 4 ? 44k 2 ? 32 ? 0, k 2 ? 8, k 2 ?

2 4 k ? ?2 2, k ? ? . 5 5 此时, ? ? 0.

5.

x2 y 2 ???? ???? ? ? ?1 F1 , F2 , P 是椭圆在第一象限的点,且满足 PF1 ? PF2 ? 1 ,过点 P 2 4 56.已知椭圆 的两个焦点分别是

作倾斜角互补的两条直 PA, PB ,分别交椭圆于 A, B 两点. 1)求点 P 的坐标; 2)求直线 AB 的斜率; 解:Ⅰ由于
F1 (0, 2)



F2 (0, ? 2)

???? ???? ? P( x, y) ,由 PF1 ? PF2 ? 1 得 ,设

(? x, 2 ? y) ? (? x, ? 2 ? y) ? x2 ? y 2 ? 2 ? 1 ,

x2 y 2 ? ?1 x2 ? y 2 ? 3 ,与 2 4 那么 联立得 P(1, 2)

Ⅱ 设 kPB

x2 y 2 ? ?1 ?k , 那 么 kPA ? ?k , 其 中 k ? 0 , 将 直 线 PB 的 方 程 y ? 2 ? k ( x ? 1) 代 入 椭 圆 2 4 得

(k 2 ? 2) x2 ? 2k ( 2 ? k ) x ? k 2 ? 2 2k ? 2 ? 0 ,

- 33 数学专题训练(理科)

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邬小军

由于

xP xB ?

k ? 2 2k ? 2 k ? 2 2k ? 2 xB ? xP ? 1 k2 ? 2 k2 ? 2 ,而 ,那么
2 2

x2 y 2 ? ?1 2 2 2 将直线 PA 的方程 y ? 2 ? ?k ( x ? 1) 代入椭圆 2 4 得 (k ? 2) x ? 2k ( 2 ? k ) x ? k ? 2 2k ? 2 ? 0 ,

由于 那么

xP xA ?

k 2 ? 2 2k ? 2 k 2 ? 2 2k ? 2 xA ? k2 ? 2 k2 ? 2 ,而 xP ? 1 ,那么 k 2 ? 2 2k ? 2 k 2 ? 2 2k ? 2 4 2k ? ? 2 k2 ? 2 k2 ? 2 k ?2 y ? yb 2k 2 ? 4 ?8k k? A ? 2 ? 2k ? 2 2 xA ? xb k ?2 k ? 2 ,那么

xA ? xB ?

yA ? yB ? ?k ( xA ? xB ) ? 2k ? ?k ?

? 57.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点 (0, 3) , (0,3) 的距离之和等于 4,设点 P 的轨迹为 C .

1)写出 C 的方程;

AB 2)设直线 y ? kx ? 1 与 C 交于 A,B 两点,且 OA ? OB ,求 的值.

? (0 1)设 P(x,y) ,由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (0, 3),,3) 为焦点,长半轴为 2 的椭圆.它
的短半轴
b? 22 ? ( 3) 2 ? 1

,故曲线 C 的方程为

x2 ?

y2 ?1 4 .

? 2 y2 ?1 , ?x ? 4 ? ? A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) 2)设 ,其坐标满足 ? y ? kx ? 1.

消去 y 并整理得 (k ? 4) x ? 2kx ? 3 ? 0 ,
2 2



x1 ? x2 ? ?

2k 3 ,x1 x2 ? ? 2 OA ? OB , xx2 k2 ? 4 k ?4. 即 1
2 2 2

?1 2 yy

?0

. 而

yy2 ? 1 2 kx? 1x ( ? kxx2 1 2

? 1 )



于是 所以 当

x1 x2 ? y1 y2 ? ?

3 3k 2k ?4k ? 1 ? ? ?1 ? k2 ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4 .

k??

1 2 时, x1 x2

? y1 y2 ? 0

??? ??? ? ? ,故 OA ? OB .

k ??

1 4 12 x1 ? x2 ? ? x1 x2 ? ? 2 时, 17 , 17 .

AB ?

?x2 ? x1 ?2 ? ? y2 ? y1 ?2

? 1 ? k 2 x2 ? x1

?

??

?

2



( x2 ? x1 )2 ? ( x2 ? x1 ) 2 ? 4 x1 x2

?

42 4?3 43 ?13 4 65 ? 4? ? AB ? 2 17 17 17 2 ,所以 17 .

第六部分

概率类

【概率专题训练】 1.某一批花生种子,如果每 1 粒发牙的概率为 4/5,那么播下 4 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是(B A.16/625 B. 96/625 C. 192/625 D. 256/625 2.
(x ? a 1 )(2 x ? )5 x x 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为 D

D1 B1 D B

C1 C

A.—40 3.设

B.—20
2

C.20
21

D.40 ,则

( x ? 1)

21

? a0 ? a1 x ? a 2 x ? ? ? a 21 x

a?? ? a?? ?

A1 0 . A

- 34 -

数学专题训练(理科)

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2 4.设 a 、 b 分别是甲、乙各抛掷一枚骰子得到的点数。已知乙所得的点数为 2 ,则方程 x ? ax ? b ? 0 有

两个不相等的实数根的概率为( A A 2/3 B 1/3
2

) C 1/2 D
2

5/12

解析:即 b ? 2 ,由方程 x ? ax ? 2 ? 0 有两个不相等的实数根,得 a ? 8 ? 0 ,故 a ? 3 , 4 , 5 , 6 ; 5.从单词“education”中选取 5 个不同的字母排成一排,则含“at”“at”相连且顺序不变)的概率 A ( A.1/18 B.1/378 C.1/432 D.1/756

1 (3 3 x ? )n x 的展开式的各项系数和为 p ,所有二项式系数的和是,若 p ? s ? 272 ,则 n ? C 6.设二项式

A.6

B.5

C.4

D.8
5 C7 5 C10

7.张奖券中只有 3 张有奖,5 个人购买,每人 1 张,至少有 1 人中奖的概率是( D ) A.3/10 B.1/12 C.1/2 D.11/12 (
1?



8.已知随机变量 ? 的概率分布如下:

?
P

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 m

2 3

2 32

2 33

2 34

2 35

2 36

2 37

2 38

2 39

则 P(? ? 10) ? ( C
2

) (利用分布列中概率之和是 1 完成)
2
1

1

A. 3

9

B. 3

10

C. 3

9

D. 3 -1 a 0 b 1 c

10

9.隋机变量 ? 的分布列如下:

?
P

其中 a,b,c 成等差数列.若

E? ?

1 3 ,则 D? 的值是

.

1 ? ? ?a ? 6 ?a ? b ? c ? 1 ? ? 1 ? ? a ? c ? 2b ?b ? 3 ? ? 1 1 ? ??1? a ? 0 ? b ? 1? c ? c? 3 ,得 ? 2 ? (?



10.设离散型随机变量 ? 可能取的值为 1,2,3,4. P(? ? k ) ? ak ? b(k ? 1, 2,3, 4) .又 ? 的数学期望

E? ? 3 ,则 a+b=

1/10.(a=1/10,b=0)

11.某电视台"挑战主持人"节目的挑占者闯关时, 需要回答两个问题, 其中和一个问题回答正确得 10 分, 回答不正确得 0 分;第二个问题回答正确得 20 分, 回答不正确得-10 分, 如果一位挑战者第一题回答正 确的概率是 0.8, 第二题回答正确的概率是 0.6, 且各题回答正确与否相互之间没有影响. 1)求这位挑战者总得分ξ不为负分(即ξ≥0)的概率; 2)求这位挑战者回答这两个问题的总得分η的概率分布和数学期望.

- 35 数学专题训练(理科)

新课标高中数学三基训练手册

主编

邬小军

解: (1) 设这位挑战者回答第一个问题正确为事件 A, 回答第二个问题正确为事件 B, 则这位挑战者得负分记作事件 C, 由题知 P(C)= P( A 〃 B )=P( A )〃P( B ) =[1-P(A)][1-P(B)]= 0.2×0.4=0.08, 所以这位挑战者总得分ξ不为负分的概率为 1-0.08=0.92 (2)P(η=-10)=P( A 〃 B )=P( A )〃P( B )=0.2×0.4=0.08, P(η=0)=P(A〃 B )=P(A)〃P( B )= 0.8×0.4=0.32 P(η=20)=P( A 〃B)=P( A )〃P(B)=0.2〃0.6=0.12 P(η=30)=P(A〃B)=P(A)〃P(B)=0.8×0.6=0.48 η P -10 0.08 0 0.32 20 0.12 30 0.48

Eη=(-10)×0.08+0×0.32+20×0.12+30×0.48=16 12.某地机动车驾照考试规定:每位考试者在一年内最多有 3 次参加考试的机会,一旦某次考试通过,便 可领取驾照,不再参加以后的考试,否则就一直考到第三次为止,如果小王决定参加驾照考试,设他一 年中三次参加考试通过的概率依次为 0.6, 0.7, 0.8 . 1)求小王在一年内领到驾照的概率; 2)求在一年内小王参加驾照考试次数 ? 的分布列和 ? 的数学期望. 解:Ⅰ)小王在一年内领到驾照的概率为:

P ? 1 ? (1 ? 0.6)(1 ? 0.7)(1 ? 0.8) ? 0.976 ………………………( 4 分)
(Ⅱ) ? 的取值分别为 1,2,3.

P(? ? 1) ? 0.6 , P(? ? 2) ? (1 ? 0.6) ? 0.7 ? 0.28 P(? ? 3) ? (1 ? 0.6) ? (1 ? 0.7) ? 0.12 ………………………( 8 分)
所以小王参加考试次数 ? 的分布列为:

?
P

1 0.6

2 0.28

3 0.12 ……………………12 分

所以 ? 的数学期望为 E? ? 1.52

13.某种比赛的规则是 5 局 3 胜制,甲、乙两人在比赛中获胜的概率分别是 2/3 和 1/3。 1)若前 3 局中乙以 2:1 领先,求乙获胜的概率;
- 36 数学专题训练(理科)

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2)若胜 1 局得 2 分,负 1 局得-1 分,求甲得分 ? 的数学期望。 解析:1)设“前 3 局中乙以 2:1 领先,最后乙获胜”为事件 A,则乙只要再胜 1 局 ?
1 p( A) ? C2 ?

1 2 1 4 1 5 2 ? ? C2 ? ( ) 2 ? ? ? 3 3 3 9 9 9

(2)
2 1 1 0 p (? ? ?3) ? C3 ? ( ) 0 ? ( )3 ? (连负三局); 3 3 27 2 1 1 2 1 p (? ? ?1) ? C3 ? ( )1 ? ( ) 2 ? ? (前3局胜1局,第4局负); 3 3 3 27 2 1 1 8 2 p (? ? 1) ? C4 ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? ? (前4局胜2局,第5局负); 3 3 3 81 2 1 2 16 2 p (? ? 4) ? C4 ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? ? (前4局胜2局,第5局负); 3 3 3 81 2 1 2 8 2 p (? ? 5) ? C3 ? ( ) 2 ? ( ) ? ? (前3局胜2局,第4局胜); 3 3 3 27 2 8 3 p (? ? 6) ? C3 ? ( )3 ? (连胜3局); 3 27

?甲得分 ? 的分布列为:

?
P ?

-3 1/27
E? =-3 ?

-1 2/27

1 8/81

4 16/81

5 8/27

6 8/27

1 2 8 16 8 8 107 ? (?1) ? ? 1? ? 4? ? 5? ? 6? ? 27 27 81 81 27 27 27

13.袋中装着标有数字 1,2,3 的小球各两个,从袋中任取两个小球,每个小球被取出的可能性都相等. 1)求取出的两个小球上的数字互不相同的概率; 2)用 ? 表示取出的两个小球上的数字之和,求随机变量 ? 的分布列与数学期望. 解: (Ⅰ)记“取出的 2 个小球上的数字互不相同”为事件 A , 从袋中的 6 个小球中任取 2 个小球的方法共有 C6 种,其中取出的 2 个小球上的数字互不相同的方法有
2 C3C1 C1 2 2

2

种,?

P ? A? ?

2 C3C1 C1 3 ? 2 ? 2 4 2 2 ? ? 2 C6 15 5


P ?? ? 2 ? ? C2 1 2 ? 2 C6 15 C2 1 2 ? 2 C6 15

(Ⅱ)由题意, ? 所有可能的取值为:2,3,4,5,6.
P ? ? ? 3? ? C1 C1 4 2 2 ? 2 C6 15



P ?? ? 4 ? ?

C2 ? C1 C1 5 2 2 2 ? 2 C6 15



P ?? ? 5 ? ?

C1 C1 4 2 2 ? 2 C6 15



P ?? ? 6 ? ?



随机变量 ? 的概率分布列为
?

2
1 15
E? ? 2 ?

3
4 15

4
5 15

5
4 15

6
1 15

P
? 的数学期望

1 4 5 4 1 ? 3? ? 4 ? ? 5? ? 6 ? ? 4 15 15 15 15 15 .
- 37 数学专题训练(理科)

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14.某市公租房的房源位于 A,B,C 三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,且申请其中任 一个片区的房源是等可能的求该市的任 4 位申请人中: 1)恰有 2 人申请 A 片区房源的概率; 2)申请的房源所在片区的个数 ? 的分布列与期望 解:这是等可能性事件的概率计算问题. (I)解法一:所有可能的申请方式有 34 种,恰有 2 人申请 A 片区房源的申请方式 有 2 人申请 A
2 C4 ? 2 2 8 ? . 27 片区房源的概率为 34

2 C4 ? 22

种,从而恰

(II)ξ的所有可能值为 1,2,3.又
3 1 ? , 27 34 1 3 2 2 C 2 (C2 C4 ? C4 C2 ) 14 C 2 (24 ? 2) 14 P (? ? 2) ? 3 ? (或P (? ? 2) ? 3 4 ? ) 27 27 34 3 P (? ? 1) ?
P(? ? 3) ?
1 2 1 C3 C4 C2 C 2 A3 4 4 ? (或P(? ? 3) ? 4 4 3 ? ). 4 9 9 3 3

综上知,ξ有分布列 ξ P 1 2 3

1 27
E? ? 1 ?

14 27

4 9

从而有

1 14 4 65 ? 2? ? 3? ? . 27 27 9 27

- 38 数学专题训练(理科)


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