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天津版2016届高三第五次月考 数学(理)


第五次月考数学理试题【天津版】
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟。答 卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时, 考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 注意事项: 1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净 后,再选涂其他答案标号。 3.本卷共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 参考公式: · 柱体的体积公式 V ? Sh · 如果事件 A , B 互斥,那么 1 · 锥体的体积公式 V ? Sh P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 3 · 如果事件 A , B 相互独立,那么 P( AB) ? P( A) ? P( B) 其中 S 表示柱(锥)体的底面面 积

h 表示柱(锥)体的高 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1) i 是虚数单位, z 表示复数 z 的共轭复数.若 z ? 1 ? i ,则 (A) ?2 (B) 2 (C) ? 2i

z ?i?z ? i
(D) 2 i

(2)设 ?an ? 是公比为 q 的等比数列,则“ 0 ? q ? 1 ”是“ ?an ? 为递减数列”的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序, 则输出的 K 和 S 值分别为 (A) 9 ,

开始

4 9

(C) 13 ,

6 13

5 11 7 (D) 15 , 15
(B) 11,

S ?0

K ?1

2 (4)函数 f ? x ? ? ln x ? 2 x ? 3 的单调

?

?



递减区间为 (A) ? ??,1? (C) ? ??, ?1?
2

K ? 10?
(B) ?1, ?? ? (D) ? 3, ?? ?
2



输出 K,S

S?S?

1 K ( K ? 2)
结束

x y K ? K ?2 ? 2 ? 1 的焦距 2 a b 为 10 ,点 P(1, 2) 在 C 的渐近线上,则 C 的方程为 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 (B) ? ? 1 (C) ? ? 1 (D) ? ?1 (A) 20 5 20 80 5 20 80 20 (6)设 ?ABC 的内角 A , B , C 所对边的长分别是 a , b , c ,且 b ? 3 , c ? 1 , A ? 2 B . 则 a 的值为
(5)已知双曲线 C : (A) 2 (B) 2 2 (C) 3 (D) 2 3 (7)若 a ? 0 , b ? 0 , a ? b ? 2 ,则下列不等式中 ① ab ? 1 ;② a ? b ?

1 1 2 ;③ a 2 ? b 2 ? 2 ;④ ? ? 2 . a b
(C)①③④ (D)②③④

对一切满足条件的 a , b 恒成立的序号是 (A)①② (B)①③

(8)在边长为 1 的正三角形 ABC 中,设 BC ? 2 BD , CA ? ? CE ,若 AD ? BE ? ? 为 (A)

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

???? ??? ?

1 ,则 ? 的值 4

1 2

(B) 2

(C)

1 3

(D) 3

第Ⅱ卷 注意事项: 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2.本卷共 12 小题,共 110 分。 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. (9)某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有40名,高二年级有50名现用分层抽样的方法在这90 名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了8名,则在 高二年级的学生中应抽取的人数为 . (10)一空间几何体的三视图如右图所示,该几何体的体积为

8 5 ,则正视图与侧视图中 x 的值为 . 3 7 1 a? ? ( 11 ) 若 二 项 式 ? 2 x ? ? 的 展 开 式 中 3 的 系 数 是 84 , 则 实 数 x x? ? . a? (12)以平面直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极 坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线 l 的参数方程是 ? x ? t ?1 ( t 为参数), 圆 C 的极坐标方程是 ? ? 4 cos ? , 则直线 l 被 ? ?y ? t ?3 圆 C 截得的弦长为 . (13)过圆外一点 P 作圆的切线 PA ( A 为切点), 再作割线 PBC 依次交圆于 B , C .若 PA ? 6 , AB ? 4 , BC ? 9 ,则 AC ? . (14)已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, 12? ?
f ? x? ? 1 2

? x?a

2

? x ? 2a 2 ? 3a 2 . 若 ?x ? R , f ? x ?1? ? f ? x ? , 则 实 数 a 的 取 值 范 围

?

为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin ?? ? ? x ? cos ?x ? cos ? x (? ? 0) 的最小正周期为 ? .
2

(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)将函数 y ? f ( x) 的图象上各点的横坐标缩短到原来的

1 ,纵坐标不变,得到函数 2

? ? ? y ? g ( x) 的图象,求函数 y ? g ( x) 在区间 ? 0, ? 上的最小值. ? 16 ?

(16) (本小题满分 13 分) 某批产品成箱包装,每箱 5 件.一用户在购进该批产品前先取出 3 箱,设取出的 3 箱中,第一, 二,三箱中分别有 0 件, 1 件, 2 件二等品,其余为一等品. (Ⅰ)在取出的 3 箱中,若该用户从第三箱中有放回的抽取 3 次(每次一件),求恰有两次抽到二 等品的概率; (Ⅱ)在取出的 3 箱中,若该用户再从每箱中任意抽取 2 件产品进行检验,用 ? 表示抽检的 6 件 产品中二等品的件数,求 ? 的分布列及数学期望.

(17) (本小题满分 13 分) 如图甲,在平面四边形 ABCD 中,已知 ?A ? 45 , ?C ? 90 , ?ADC ? 105? , AB ? BD ,现将四
?
?

边形 ABCD 沿 BD 折起,使平面 ABD ? 平面 BDC (如图乙) ,设点 E , F 分别为棱 AC , AD 的中点. (Ⅰ)证明 DC ? 平面 ABC ; (Ⅱ)求 BF 与平面 ABC 所成角的正弦值; (Ⅲ)求二面角 B ? EF ? A 的余弦值.

(18) (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? 的焦距为 4 ,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成 a 2 b2

正三角形. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设 F 为椭圆 C 的左焦点, T 为直线 x ? ?3 上任意一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于 点 P ,Q , ①证明: OT 平分线段 PQ (其中 O 为坐标原点),

②当

TF PQ

值最小时,求点 T 的坐标.

(19) (本小题满分 14 分) 已知等差数列 ?an ? 的公差为 2 ,前 n 项和为 Sn ,且 S1 , S2 , S4 成等比数列. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ? ? ?1?
n ?1

4n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an an ?1

(20) (本小题满分 14 分)

已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? f ( x) ? ax2 ? bx ,函数 g ( x) 的图象在点 (1, g (1)) 处的切线平行 于 x 轴. (Ⅰ)确定 a 与 b 的关系; (Ⅱ)试讨论函数 g ( x) 的单调性; (Ⅲ)证明:对任意 n ? N ,都有 ln(1 ? n) ?
?

?
i ?1

n

i ?1 成立. i2

参考答案

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. (15) (本小题满分 13 分)

(Ⅰ)解:因为 f ( x) ? sin ?? ? ? x ? cos ?x + cos ? x ,
2

所以 f ( x) ? sin ? x cos ? x ?

1 ? cos 2? x 2 1 1 1 ? sin 2? x ? cos 2? x ? 2 2 2

…………2 分

?
由于 ? ? 0 ,依题意得

2 ?? 1 ? sin ? 2? x ? ? ? . 2 4? 2 ?

…………4 分

2? ? ? ,所以 ? ? 1 . 2?

…………6 分

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 f ? x ? ?

2 ?? 1 ? sin ? 2 x ? ? ? , 2 4? 2 ? 2 ?? 1 ? sin ? 4 x ? ? ? . 2 4? 2 ?
…………8 分

所以 g ? x ? ? f ? 2x ? ? 当0 ? x ?

?
16

时,

?
4

? 4x ?

?
4

?

?
2

,

所以

1? 2 2 ?? ? ,…………12 分 ? sin ? 4 x ? ? ? 1 ,即 1 ? g ? x ? ? 2 2 4? ?

故 g ? x ? 在区间 ? 0,

? ? ? 的最小值为 1 . ? 16 ? ?

…………13 分

(16) (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:设 A 表示事件“从第三箱中有放回地抽取 3 次(每次一件) ,恰有两次取到二等品”, 依题意知,每次抽到二等品的概率为 故 P ( A) ? C3 ( ) ?
2 2

2 , 5

…………2 分 …………5 分 …………6 分
1 1 1 2 12 C32 C4 C3 ? C2 C4 ? , ? ? ? 2 2 2 2 25 C5 C5 C5 C5

2 5

3 36 ? . 5 125

(Ⅱ)解: ? 可能的取值为 0 , 1 , 2 , 3 .

P ?? ? 0 ? ?

2 9 C32 18 C4 ? ? , ? 2 2 C5 C5 100 50

P ?? ? 1? ?

1 1 1 2 2 1 2 15 1 C3 ? C2 C4 C2 C4 C4 C2 ? , P ?? ? 3? ? 2 ? 2 ? . ? 2? 2 P ?? ? 2? ? 2 ? 2 C5 C5 25 C5 C5 C5 C5 50

? 的分布列为
?
P

…………10 分

0

1

2

3

9 50

12 25

15 50
…………13 分

1 25

…………11 分 数学期望为 E? ? 1?

12 15 1 ? 2 ? ? 3? ? 1.2 . 25 50 25

(17) (本小题满分 13 分) (Ⅰ)证明:在图甲中由 AB ? BD 且 ?A ? 45? 得 ?ADB ? 45? , ?ABC ? 90? 即 AB ? BD 在图乙中,因为平面 ABD ? 平面 BDC ,且平面 ABD ? 平面 BDC = BD 所以 AB ⊥底面 BDC ,所以 AB ⊥ CD . 又 ?DCB ? 90? ,得 DC ⊥ BC ,且 AB ? BC ? B 所以 DC ? 平面 ABC . (Ⅱ)解法 1:由 E 、 F 分别为 AC 、 AD 的中点 得 EF // CD ,又由(Ⅰ)知, DC ? 平面 ABC , 所以 EF ⊥平面 ABC ,垂足为点 E 则 ?FBE 是 BF 与平面 ABC 所成的角 …………2 分 …………3 分 …………4 分

…………6 分

在图甲中,由 ?ADC ? 105? , 得 ?BDC ? 60? , ?DBC ? 30? 设 CD ? a 则 BD ? 2a , BC ? 3a , BF ?

1 1 2 BD ? 2 2a , EF ? CD ? a …………8 分 2 2

1 a 2 EF 2 ? ? 所以在 Rt ?FEB 中, sin ?FBE ? 4 FB 2a
即 BF 与平面 ABC 所成角的正弦值为

2 . 4

…………9 分

解法 2:如图,以 B 为坐标原点, BD 所在的直线为 x 轴建立空间直角坐标系如下图示, 设 CD ? a ,则 BD ? AB ? 2a, BC ? 3a , AD ? 2 2a …………6 分 可得 B (0, 0, 0) , D(2a, 0, 0) , A(0, 0, 2a ) , C ( a,

3 2

3 a, 0) , F (a, 0, a ) , 2
F E

Z A

所以 CD ? ( a, ?

??? ?

1 2

??? ? 3 a, 0) , BF ? (a, 0, a) …………8 分 2
X D C

设 BF 与平面 ABC 所成的角为 ? 由(Ⅰ)知 DC ? 平面 ABC

B y

1 2 ??? ? ??? ? a 2 CD ? BF 2 ? ? ???? ? ? 所以 cos( ? ? ) ? ??? 4 2 | CD | ? | BF | a ? 2a

?

即 sin ? ?

2 4

…………9 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知 EF ⊥平面 ABC , 又因为 BE ? 平面 ABC , AE ? 平面 ABC ,所以 FE ⊥ BE , FE ⊥ AE , 所以 ?AEB 为二面角 B ? EF ? A 的平面角 …………11 分 在 ?AEB 中, AE ? BE ?

1 7 1 AB 2 ? BC 2 ? a AC ? 2 2 2

AE 2 ? BE 2 ? AB 2 1 ?? 所以 cos ?AEB ? 2 AE ? BE 7
即所求二面角 B ? EF ? A 的余弦为 ? (18) (本小题满分 13 分)

1 . 7

…………13 分

? a 2 ? b2 ? 2b ? (Ⅰ)解:由已知可得 ? , 2 2 2 c ? 2 a ? b ? 4 ? ?
解得 a ? 6 , b ? 2 ,
2 2

…………2 分

…………4 分

所以椭圆 C 的标准方程是

x2 y 2 ? ? 1 . …………5 分 6 2

(Ⅱ)①证明:由(Ⅰ)可得, F 的坐标是 ? ?2,0 ? ,设 T 点的坐标为 ? ?3, m ? , 则直线 TF 的斜率 kTF ?

m?0 ? ?m . ?3 ? (?2)
1 .直线 PQ 的方程是 x ? my ? 2 . m

当 m ? 0 时,直线 PQ 的斜率 k PQ ?

当 m ? 0 时,直线 PQ 的方程是 x ? ?2 ,也符合 x ? my ? 2 的形式.…………6 分 设 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? ,将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立,
2 2 消去 x ,得 m ? 3 y ? 4my ? 2 ? 0 , 2 2 其判别式 ? ? 16m ? 8 m ? 3 ? 0 .

?

?

?

?

所以 y1 ? y2 ?

4m ?2 , y1 y2 ? 2 , 2 m ?3 m ?3 ?12 . x1 ? x2 ? m ? y1 ? y2 ? ? 4 ? 2 m ?3

…………8 分

设 M 为 PQ 的中点,则 M 点的坐标为 ? 所以直线 OM 的斜率 kOM ? ?

2m ? ? ?6 , 2 ?. 2 ? m ?3 m ?3?

m m ,又直线 OT 的斜率 kOT ? ? , 3 3
…………9 分

所以点 M 在直线 OT 上,因此 OT 平分线段 PQ .

②解:由①可得,

TF ? m 2 ? 1 ,

…………10 分 …………12 分

当且仅当 m ? 1 ?
2

TF 4 ,即 m ? ?1 时,等号成立,此时 取得最小值. m ?1 PQ
2

故当

TF 最小时, T 点的坐标是 ? ?3,1? 或 ? ?3, ?1? . …………13 分 PQ
2 ?1 4?3 ? 2 ? 2a1 ? 2 , S4 ? 4a1 ? ? 2 ? 4a1 ? 12 , 2 2

(19) (本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:因为 S1 ? a1 , S 2 ? 2a1 ?
2

由题意得 ? 2a1 ? 2 ? ? a1 ? 4a1 ? 12 ? ,解得 a1 ? 1 ,所以 an ? 2n ? 1. …………6 分 (Ⅱ)解:由题意可知,

bn ? ? ?1?

n ?1

4n 4n 1 1 ? n ?1 n ?1 ? ? ? ?1? ? ? ?1? ? ? ? .……8 分 an an?1 ? 2n ?1?? 2n ? 1? ? 2n ? 1 2 n ? 1 ?

当 n 为偶数时,

1 ? ? 1? ?1 1? ? 1 Tn ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3? ? 3 5? ? 2n ? 3 2 n ? 1 ?
? 1? 1 2n ? . 2n ? 1 2 n ? 1

1 ? ? 1 ?? ? ? ? 2n ? 1 2 n ? 1 ?
…………11 分

当 n 为奇数时,

1 ? ? 1? ?1 1? ? 1 Tn ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3? ? 3 5? ? 2n ? 3 2 n ? 1 ?
? 1? 1 2n ? 2 ? . 2n ? 1 2 n ? 1

1 ? ? 1 ?? ? ? ? 2n ? 1 2 n ? 1 ?
………… 14 分

? 2n ? 2 , n为奇数 ? 2n ? 1 ? (?1) n ?1 ? 2n ? 1 所以 Tn ? ? .(或 Tn ? ) 2n ? 1 ? 2n , n为偶数 ? 2n ? 1 ?
(20) (本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:依题意得 g ( x) ? ln x ? ax ? bx ,则 g '( x) ?
2

1 ? 2ax ? b x

由函数 g ( x) 的图象在点 (1, g (1)) 处的切线平行于 x 轴得: g '(1) ? 1 ? 2a ? b ? 0 所以 b ? ?2a ? 1 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 g '( x) ? …………3 分

2ax 2 ? (2a ? 1) x ?1 (2ax ? 1)( x ?1) ? …………4 分 x x

因为函数 g ( x) 的定义域为 (0, ??) 所以当 a ? 0 时, 2ax ? 1 ? 0 在 (0, ??) 上恒成立, 由 g '( x) ? 0 得 0 ? x ? 1 ,由 g '( x) ? 0 得 x ? 1 ,

即函数 g ( x) 在 ? 0,1? 上单调递增,在 (1, ??) 单调递减; 当 a ? 0 时,令 g '( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? 若

…………5 分

1 , 2a

1 1 1 1 ? 1 ,即 a ? 时,由 g '( x) ? 0 得 x ? 1 或 0 ? x ? ? x ?1, ,由 g '( x) ? 0 得 2a 2 2a 2a 1 1 ) , (1, ??) 上单调递增,在 ( ,1) 单调递减; …………6 分 即函数 g ( x) 在 (0, 2a 2a 1 1 1 ? 1 ,即 0 ? a ? 时,由 g '( x) ? 0 得 x ? 若 或 0 ? x ? 1 ,由 g '( x) ? 0 2a 2a 2 1 得1 ? x ? , 2a 1 1 ) 单调递减;…………7 分 即函数 g ( x) 在 (0,1) , ( , ??) 上单调递增,在 (1, 2a 2a 1 1 ? 1 ,即 a ? 时,在 (0, ??) 上恒有 g '( x) ? 0 , 若 2a 2
即函数 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增, …………8 分

综上得:当 a ? 0 时,函数 g ( x) 在 ? 0,1? 上单调递增,在 (1, ??) 单调递减; 当0 ? a ? 当a ?

1 1 1 ) 单调递减; 时,函数 g ( x) 在 (0,1) , ( , ??) 单调递增,在 (1, 2a 2 2a

1 时,函数 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增; 2 1 1 1 ) , (1, ??) 上单调递增,在 ( ,1) 单调递减.……9 分 当 a ? 时,函数 g ( x) 在 (0, 2 2a 2a
(Ⅲ)证法 1:由(Ⅱ)知当 a ? 1 时,函数 g ( x) ? ln x ? x2 ? 3x 在 (1, ??) 单调递增, 所以 ln x ? x2 ? 3x ? g (1) ? ?2 ,即 ln x ? ? x ? 3x ? 2 ? ?( x ? 1)( x ? 2) ,………11 分
2

1 1 1 1 , n ? N * ,则 ln(1 ? ) ? ? 2 , …………12 分 n n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ?... ? ln(1 ? ) ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ... ? ? 2 n 1 1 2 2 3 3 n n 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ln[(1 ? )(1 ? )(1 ? ) ?... ? (1 ? )] ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ... ? ? 2 n 1 1 2 2 3 3 n n 1 2 3
令 x ? 1? 即 ln ?1 ? n ? ?

?
i ?1

n

i ?1 i2

…………14 分

证法 2:构造数列 {an } ,使其前 n 项和 Tn ? ln(1 ? n) , 则当 n ? 2 时, an ? Tn ? Tn?1 ? ln( 显然 a1 ? ln 2 也满足该式,

1? n 1 ) ? ln(1 ? ) , n n

…………11 分

故只需证 ln(1 ? ) ? 令x?

1 n

n ?1 1 1 ? ? 2 n2 n n

…………12 分

1 ,即证 ln(1 ? x) ? x ? x2 ? 0 ,记 h( x) ? ln(1 ? x) ? x ? x2 , x ? 0 n 1 1 x(2 x ? 1) ?1? 2x ? ?1? 2x ? ?0, 则 h '( x) ? 1? x 1? x 1? x

h( x) 在 (0, ??) 上单调递增,故 h( x) ? h(0) ? 0 ,
所以 ln(1 ? ) ?

1 n

n ?1 1 1 ? ? 2 成立, n2 n n


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