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广东省揭阳市2013-2014学年高一下学期学业水平考试数学试题 Word版含答案


广东省揭阳市 2013-2014 学年高一下学期学业水平考试数学 试题
(测试时间 120 分钟,满分 150 分) 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号,用钢笔或签字笔填写在答题卡密封线内。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 型铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案;不能答在试题卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡指定区域内的相应位 置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。 不按以上要求作答的答案无效。

第一部分 选择题(共 50 分)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的 1.设集合 A ? {x | y ? lg x}, B ? {x | x ? 1} ,则 A ? B ? A. (0, ??) B. [1, ??) C. (0,1] D. (??,1]

2.下列函数是偶函数的是 A. y ? lg x
2

B. y ? ( )

1 2

x

C. y ? 1 ? x

2

, x ? (?11]

D. y ? x

?1

3.下列式子中成立的是 A. log 1 4 ? log 1 6
2 2

B. ( )

1 2

0.3

1 ? ( )0.3 3

C. ( )

1 2

3.4

1 ? ? )3.5 2

D. log3 2 ? log 2 3

4.将正方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图(1)示,则有关该几何体 的三视图表述正确的是 A. 正视图与俯视图形状完全相同 B. 侧视图与俯视图形状完全相同 C. 正视图与侧视图形状完全相同 D. 正视图、侧视图与俯视图形状完全相同 5.执行图(2)所示的程序框图,若输入的 x 值为 A.2 B.-2 C.

1 ,则输出的 y 的值为 4
D. 4 2

开始 输入x x≤2? 是 y=log2x 否

1 2

6.过点 (?1,3) 且平行于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程为 A. x ? 2 y ? 7 ? 0 C. x ? 2 y ? 5 ? 0 B. 2 x ? y ? 1 ? 0 D. 2 x ? y ? 5 ? 0

y=2x

输出y

图(2)
结束

7.函数 f ( x) ? lg x ? ( ) 的零点个数为
x

1 2

8.设 b、c 表示两条不重合的直线, ?、? 表示两个不同的平面,则下列命题是真命题的是
第 1 页 共 11 页

A. 3

B. 0

C. 1

D. 2

A.

b ??? ? ? b / /c c / /? ? c ? ?? ? ?? ? ? c / /? ?

B.

b ??? ? ? c / /? c / /b ?

C.

D.

? ? ?? ??c ? ? c / /? ?

9.为了得到函数 y ? sin(2 x ? A.向右平移

?
6

) 的图象,只需把正弦曲线 y ? sin x 上所有点

? 1 个单位长度,再将所得图象上的点横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不变 6 2 ? 1 B.向左平移 个单位长度,再将所得图象上的点横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不变 6 2 ? C.向右平移 个单位长度,再将所得图象上的点横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 6 ? D.向左平移 个单位长度,再将所得图象上的点横坐标缩短为原来的 2 倍,纵坐标不变 6 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 1O.已知平面向量 a, b, c 两两所成的角相等,且 | a |? 1,| b | ? 1,| c |? 2 ,则 | a ? b ? c |?
A.4 B. 1 或 4 C. 1 D. 2 或 1

第二部分 非选择题(共 100 分)
二.填空题(每小题 5 分 ,共 25 分) 11.若函数 y ? f ( x) 是函数 y ? log 1 x 的反函数,则 f ( x) ?
2


.

乙 8 9 3 3 7 8 9

9 8 2 0 1

12. sin15 cos15 =

?

?



图(3)

13.图 ( 3 ) 是 甲 , 乙 两 名 同 学 5 次综合测评成绩的 茎 叶 图 , 则乙的成绩的中位数是 ,甲乙两人中成绩较为稳定的 是 . 14.如图(4) ,在平行四边形 ABCD 中,E 是 BC 中点,G 为 AC 与

D G A 图(4) B E

C

??? ? ??? ? ???? DE 的交点,若 AB ? a, AD ? b, 则用 a , b 表示 BG ?



15.已知 ? O : x 2 ? y 2 ? 1,直线 l : y ? ?1 ,则在 ? O 上任取一点,该点到直线 l 的距离 不小于

3 的概率是 2



三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. y 16. (本小题满分 10 分) 已知函数 y ? f ( x) 是定义在 [?1,1] 上的奇函数,当 x ? (0,1] 时 的图象如图(5)所示. (1)画出函数在 [?1,0) 上的图象, (2)求函数 y ? f ( x) 的解析式.
第 2 页 共 11 页

2

1 -1

°
x
0 1 -1 -2

图(5)

17. (本小题满分 12 分) 某班主任对全班 50 名学生进行了作业量多少的调查,数据如下表:
认为作业多 喜欢电脑游戏 不喜欢电脑游戏 列总数 20 5 25 认为作业不多 10 15 25 总数 30 20 50

(1)如果校长随机地问这个班的一名学生,下面事件发生的概率是多少? ①认为作业不多;②喜欢电脑游戏并认为作业多; (2) 在认为作业多的学生中采用分层抽样的方法随机抽取 5 名, 喜欢电脑游戏的应抽取 几名? (3)在(2)中抽取的 5 名中再任取 2 名,求恰有 1 名不喜欢电脑游戏的概率. 18. (本小题满分 12 分) 如图(6) ,在四棱锥 V-ABC 中,VA=VC=AB=BC=1,∠AVC=∠ABC=90°, 二面角 V-AC-B 的大小为 60°. (1)求证:VB⊥AC; (2)求四棱锥 V-ABC 的体积. 19. (本小题满分 13 分) 已知向量 a ? (sin

?

? ? ? 1 1 x, 3), b ? (1, cos x) ,函数 f ( x) ? a ? b . 2 2

图(6)

(1)若 f ( x) ? 0 且 ? ? x ? 2? ,求 x 的值; (2)求 f ( x) 的最小正周期; (3)若 f (2? ?

?
3

)?

? 10 4? 6 , f (2 ? ? ) ? ? , ? , ? ? [0, ] ,求 cos(? ? ? ) 的值. 2 13 3 5

20. (本小题满分 13 分)
已知直线 l 经过点 P(2,-1),且在两坐标轴上的截距之和为 2,圆 M 的圆心在直线 2 x ? y ? 0 上, 且与直线 l 相切于点 P. (1)求直线 l 的方程; (2)求圆 M 的方程; (3)求圆 M 在 y 轴上截得的弦长.

21. (本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? x +(4 ? 2a) x ? a ? 1 .
2 2

第 3 页 共 11 页

(1)若函数 f ( x) 在区间 [1, ??) 上单调递增,求实数 a 的取值范围; (2)设 P ?

x ?x 1 [ f ( x1 ) ? f ( x2 )], Q ? f ( 1 2 ) ,试比较 P 与 Q 的大小; 2 2

(3)是否存在实数 a ? [?8, 0] ,使得函数 f ( x) 在区间 [?4, 0] 上的最小值为 ?7 ?若存 在,求出 a 的值;若不存在,请说明理由.

第 4 页 共 11 页

揭阳市 2013-2014 学年度高中一年级学业水平考试
数学试题参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主 要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后续部分的解答未改变该题的内容和 难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后 续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数. 一.选择题:CABCB ADCAB 解析:7.函数 f ( x) ? lg x ? ( ) 的零点个数,即函数 y ?| lg x | 与
x

1 2

1 y ? ( ) x 的图象交点的个数,如图易得答案 D. 2

∴当 x ? (0,1] 时,函数的解析式为 f ( x) ? ?2 x ? 2 , ----------------------------------5 分 当 x ? [?1, 0) 时,? x ? (0,1] , 故有 分

f (? x) ? ?2(? x) ? 2 ? 2 x ? 2 , -------------------7

第 5 页 共 11 页

y ? ?2 x ? 2 ,
-------------------------------------------------------------------4 分 ∴当 x ? (0,1] 时,函数的解析式为 f ( x) ? ?2 x ? 2 , ----------------------------------5 分 当 x ? [?1, 0) 时,函数图象所在的直线过点(-1,0) , (0,-2) , 其方程为 y ? ?2 x ? 2 , -----------------------------------------------------------7 分 即当 x ? [?1, 0) 时,f ( x) ? ?2 x ? 2 , ----------------------------------------------8 分 当 x ? 0 时,由 f (?0) ? f (0) ? ? f (0) 得

f (0) ? 0 -----------------------------------9 分


??2 x ? 2, x ? [?1, 0) ? f ( x) ? ?0,x ? 0 --------------------------------------------------10 ??2 x ? 2.x ? (0,1] ?
分】 【注:没有考虑 x ? 0 的情况,整体扣 1 分】 17.解: (1)①如果校长随机地问这个班的一名学生,认为作业不多的概率

P?

25 1 ? -------------------------------------------------------------------50 2

-2 分 ②喜欢电脑游戏并认为作业多的概率

P?

20 2 ? .-----------------------------------4 分 50 5

第 6 页 共 11 页

(2) 在认为作业多的学生中采用分层抽样的方法随机抽取 5 名,喜欢电脑游戏的应抽取的 人数为:

5 ? 20 ? 4 ; 25

---------------------------------------------------------------6 分 (3)由(2)知,在所抽 5 人中,喜欢电脑游戏的有 4 人,则不喜欢电脑游戏的有 1 人,记 喜欢电脑游戏的 4 人分别为: a, b, c, d , 不喜欢电脑游戏的 1 人为 e ; ------------------------7 分

∴VD=DB=

2 ,----------------------------------------------------------------8 2

分 ∴△VDB 为等边三角形,∴

S?VDB ?


3 2 2 3 ( ) ? ,-------------------------------10 分 4 2 8

1 1 3 6 ? 2? .----------------------12 VV ? ABC ? VA?VDB ? VC ?VDB ? S ?VDB ? AC = ? 3 3 8 24
分 【解法 2:由(1)知 AC⊥平面 VDB,且 AC ? 平面 ABC ∴平面 ABC⊥平面 VDB, --------------------------------------------------------7 V 分 且平面 ABC∩平面 VDB=DB, 又由(1)知∠VDB 是二面角 V-AC-B 的平面角,∴∠VDB=60°,-----8 分A
第 7 页 共 11 页

D E B

C

∵∠AVC=∠ABC=90°,VA=VC=AB=BC=1 ∴VD=DB=

2 , 2

∴△VDB 为等边三角形, ---------------------------------------------------------9 分 取 DB 的中点 E,连结 VE,则 VE⊥DB, ∵ VE ? 平面 VDB, ∴VE⊥平面 ABC, --------------------------------------------------------------10 分



tan


1 x ? ? 3 ----------------------------------------------------------------3 2

1 2? x? , 2 3 4? ∴x ? 3
∴ ---------------------------------------------------------------------4 分

第 8 页 共 11 页

∴ sin ? ? 1 ? cos

2

? ? 1 ? ( )2 ?

5 13

12 , 13

-----------------------------------------10 分

3 4 cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? ( )2 ? , 5 5
---------------------------------------------11 分 ∴

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?


5 4 12 3 16 ? ? ? ? ? .-------------------13 13 5 13 5 65
y

x o A M B 2x+y=0 x+y-1=0

当 k ? ?1 时,直线 l 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 .---------------5 分 (2)设圆 M 的圆心为 ( a, b) ∵圆与直线相切于点 P(2,-1) ∴

b ?1 ? 1 ? b ? a ? 3 ---------------①-------------6 分 a?2

又圆心在直线 2 x ? y ? 0 上. ∴ 2a ? b ? 0 ------②------7 分 ①②联立解得: a ? 1, b ? ?2

第 9 页 共 11 页

------------------------------------------------------8 分 ∴圆的半径 r ?

(2 ? 1) 2 ? (?1 ? 2) 2 ? 2

∴所求圆 M 的方程为: ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 2 -------------------------------------10 分 (3)解法 1:令 x ? 0 得 y ? ?1 或

y ? ?3 ---------------------------------------------11 分
即圆 M 与 y 轴的交点为 A (0, ?1) 和 B (0, ?3) ----------------------------------------12 分 ∴圆 M 在 y 轴上截得的弦长: | AB |? ?1 ? (?3) ? 2 . ---------------------------------13 分

【解法 2: ∵圆心到 y 轴的距离 d ? 1 ,圆的半径

r ? 2 -------------------------------12 分
∴圆 M 在 y 轴上截得的弦长为 2 ( 2) ? 1 ? 2 ------------------------------------13
2

分】 21.解: (1) ∵抛物线 y ? f ( x) 的对称轴方程为 x ? a ? 2 -----------------------------1 分 由函数 f ( x) 在区间 [1, ??) 上单调递增, ∴

a ? 2 ? 1 --------------------------------2 分


a ? 3 .-----------------------------------------------------------------------3
分 (2)∵ P ?

1 1 2 [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? [ x12 ? x2 ? (4 ? 2a)( x1 ? x2 ) ? 2( a 2 ? 1)] 2 2 x ?x 1 2 ? ( x12 ? x2 ) ? (4 ? 2a )( 1 2 ) ? a 2 ? 1------------------------------------------2 2

4分

Q? f(

x1 ? x2 x ?x x ?x ) ? ( 1 2 ) 2 ? (4 ? 2a)( 1 2 ) ? a 2 ? 1 , 2 2 2 x ?x 1 2 1 2 ( x1 ? x2 ) ? ( 1 2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 0 , 2 2 4

-----------------------------5 分 ∴ P ?Q ?

第 10 页 共 11 页

--------------------------------6 分 ∴当 x1 ? x2 时 P ? Q ; -----------------------------------------------------------7 分 当 x1 ? x2 时即

P ? Q -------------------------------------------------------------8 分
(或答 P ? Q ,当且仅当 x1 ? x2 时, “=”成立.) (3)假设存在实数 a ? [?8, 0] ,使得函数 f ( x) 在区间 [?4, 0] 上的最小值为 ?7 ,因抛物线的 对称轴方程为 x ? a ? 2 ,则 ?10 ? a ? 2 ? ?2 , ------------------------------------------9 分 ①当 ?4 ? a ? 2 ? ?2 ,即 ?2 ? a ? 0 时,函数 f ( x) 在区间 [?4, 0] 上的最小值

f ( x)min ? f (a ? 2) ? a2 ? 1 ? (a ? 2)2 ? ?7 ---------------------------------------10 分 整理得 4a ? 3 ? ?7, 解得 a ? ?1 , 符合题意; ---------------------------------------11 分 ②当 ?10 ? a ? 2 ? ?4 ,即 ?8 ? a ? ?2 时,函数 f ( x) 在区间 [?4, 0] 上单调递增, 故

f ( x)min ? f (?4) ? 16 ?16 ? 8a ? a2 ?1 ? ?7 -------------------------------------12
分 整理得 a ? 8a ? 8 ? 0 ,
2

解得 a ? ?4 ? 2 2, 或 a ? ?4 ? 2 2 , 其中 a ? ?4 ? 2 2 不合题意舍去; --------------14 分 综上得:存在 a ? ?1 和 a ? ?4 ? 2 2 使得函数 f ( x) 在区间 [?4, 0] 上的最小值为

?7 .-----15 分

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