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高中数学 第一章《三角函数》测试题 新人教A版必修4


第一章《三角函数》测试题
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是最符合题目要求的.) 1.下列命题正确的是( ). A.终边相同的角都相等 C.第一象限角都是锐角 B.钝角比第三象限角小 D.锐角都是第一象限角 ).

2.若角 600 ? 的终边上有一点 ? ? 4 , a ? ,则 a 的值是(

A. ? 4 3
3? 5

B. ? 4 3

C. 3

D. 4 3

3. 1 ? s in

2

化简的结果是(
3? 5

).
3? 5
? 3

A. c o s

3? 5

B. ? c o s

C. ? c o s

D. c o s

2? 5

4.下列函数中,最小正周期为 ? ,且图象关于直线 x ? A. y ? sin( 2 x ? 6 ) B. y ? s in (
x 2 ? ? 6 )

对称的是(
? 6 )

). D. y ? s in ( 2 x ? ).
? 3 )

C. y ? s in ( 2 x ?

5.函数 y ? sin( ? x ? ? ) 的部分图象如右图,则 ? , ? 可以取的一组值是( y ? ? ? ? A. ? ? , ? ? B. ? ? , ? ?
2 4 ,? ? 5? 4 3 6 ,? ? ? 4

C. ? ?

? 4

D. ? ?
? 4

? 4

O
).

1

2

3

x

6.要得到 y ? 3 s in ( 2 x ? A.向左平移 C.向左平移
? 4 ? 8

) 的图象,只需将 y ? 3 sin 2 x 的图象(

个单位 个单位

B.向右平移 D.向右平移
s in ( ? ? ? ) ? c o s ( ? ? ? ) s in ( ? ? ? ) ? c o s ( ? ? ? )

? 4 ? 8

个单位 个单位

7.设 ta n ( ? ? ? ) ? 2 ,则
1 3

? (

).

A. 3

B.

C. 1

D. ? 1
12 25

8. A 为三角形 ABC 的一个内角,若 s in A ? c o s A ? A. 锐角三角形 B. 钝角三角形

,则这个三角形的形状为( D. 等腰三角形

).

C. 等腰直角三角形

9.定义在 R 上的函数 f ( x ) 既是偶函数又是周期函数,若 f ( x ) 的最小正周期是 ? ,且当

用心 爱心 专心

1

x ? [0,

? 2

] 时, f ( x ) ? sin x ,则 f (

5? 3

) 的值为(

).
3

A. ?

1 2

B.

3 2

C. ?

D.

1 2

2

10.函数 y ?
? ?
?
3

2 c o s x ? 1 的定义域是(
? ? (k ? Z ) 3 ? ?
2? ? 3 ? ?

).
? ?
?
6
2? 3

A. ? 2 k ?
? ?

?

, 2k? ?

B. ? 2 k ?
? ?

?

, 2k? ?

? ? (k ? Z ) 6 ? ?
2? ? 3 ? ?

C. ? 2 k ?

?

?
3

, 2k? ?

(k ? Z )

D. ? 2 k ?

?

, 2k? ?

(k ? Z )

11.函数 y ? 2 s in ( A. [ 0 ,
? 3 ]

? 6

? 2 x ) ( x ? [ 0 , ? ] )的单调递增区间是( ? 7?

).

B. [

,

]

C. [

12 12

? 5? , ] 3 6

D. [

5? 6

, ?]
2

12.设 a 为常数,且 a ? 1 , 0 ? x ? 2 ? ,则函数 f ( x ) ? cos ( ). A. 2 a ? 1 B. 2 a ? 1 C. ? 2 a ? 1 第Ⅱ卷(非选择题 D. a
2

x ? 2 a sin x ? 1 的最大值为

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 把答案填在题中的横线上.) 13.在扇形中, 已知半径为 8 , 弧长为 12 , 则圆心角是 14.函数 y ?
2 ? cos x 2 ? cos x

弧度, 扇形面积是

.

的最大值为________.

15.方程 sin x ? lg x 的解的个数为__________. 16.设 f ( x ) ? a s in ( ? x ? ? ) ? b c o s ( ? x ? ? ) ,其中 a , b , ? , ? 为非零常数. 若 f ( 2009 ) ? ? 1 ,则 f ( 2010 ) ? .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤.) 17.(本小题满分 10 分) 已知 ? 是第三角限角,化简
1 ? sin ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? 1 ? sin ?

.

18.(本小题满分 12 分)
用心 爱心 专心

2

已知角 ? 的终边在直线 y ? 2 x 上,求角 ? 的正弦、余弦和正切值.

19.(本小题满分 12 分) (1)当 tan ? ? 3 ,求 cos ? ? 3 sin ? cos ? 的值;
2

2 c o s ? ? s in ( 2 ? ? ? ) ? s in (
3 2

? 2

??)?3

(2)设 f ( ? ) ?

2 ? 2 cos ( ? ? ? ) ? cos( ?? )
2

,求 f ( ) 的值.
3

?

20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?
2 cos(2 x ? ? 4 ) ,x?R .

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间; (2)求函数 f ( x ) 在区间 [ ?
? ? , ] 上的最小值和最大值,并求出取得最值时 x 的值. 8 2

21.(本小题满分 14 分) 已知 f ( x ) ? ? 2 a s i n ( 2 x ?
f ( x ) 的值域为 { y | ? 3 ? y ?

? 6

) ? 2a ? b , x ? [

? 3? , ] ,是否存在常数 a , b ? Q ,使得 4 4

3 ? 1} ?若存在,求出 a , b 的值;若不存在,说明理由.

22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? A sin ? ? x ? ? ? ? B ? A ? 0 , ? ? 0 ? 的一系列对应值如下表:
x

?

? 6

? 3

5? 6

4? 3

1 1? 6

7? 3

17? 6

y

?1

1

3

1

?1

1

3

(1)根据表格提供的数据求函数 f ? x ? 的一个解析式; (2)根据(1)的结果,若函数 y ? f ? k x ? ? k ? 0 ? 周期为
f
2? 3

,当 x ? [ 0 ,

? 3

] 时,方程

? kx ? ?

m 恰有两个不同的解,求实数 m 的取值范围.

用心 爱心 专心

3

第一章《三角函数》测试题参考答案 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是最符合题目要求的.) 1.D 由任意角和象限角的定义易得只有 D 正确. 2.A 因为 tan 600 ? ?
3? 5

a ? 4

? tan( 540 ? ? 60 ? ) ? tan 60 ? ?
3? 5 3? 5 3? 5

3 ,故 a ? ? 4

3 .

3.B

1 ? s in

2

?

cos

2

?| cos

|? ? c o s

.
? 3

4.C

∵最小正周期为 ? ,∴ ? ? 2 ,又∵图象关于直线 x ?

对称,∴ f ( ) ? ? 1 ,故只
3 ? 4

?

有 C 符合. 5.D ∵
T 4 ? 3 ? 1 ? 2 ,∴ T ? 8 , ? ? ? 8 ) ? 3 s in ( 2 x ? ? 4 ? 4

,又由

? 4

?1? ? ?

? 2

得? ?

.

6.C ∵ y ? 3 s in 2 ( x ?

) ,故选 C.

7.A 由 ta n ( ? ? ? ) ? 2 ,得 ta n ? ? 2 ,
s in ( ? ? ? ) ? c o s ( ? ? ? ) s in ( ? ? ? ) ? c o s ( ? ? ? ) ? s in ? ? c o s ? ? s in ? ? ( ? c o s ? )
2



?

?

s in ? ? c o s ? s in ? ? c o s ?

?

ta n ? ? 1 ta n ? ? 1
2

? 3.

8.B 将 sin A ? cos A ? ∴ 2 sin A cos A ?
5? 3

2 5 4 25

两边平方,得 sin
?1 ? ? 21 25
? 3 ) ? f ( ? 3

A ? 2 sin A cos A ? cos

A ?

4 25



? 0,

又∵ 0 ? A ? ? ,
? 3 3 2

∴ A 为钝角.

9.B

f (

) ? f (2 ? ?

? 3

) ? f (?

) ? s in

?

.
2? 3 ? 6

10.D 由 2 cos x ? 1 ? 0 得 cos x ? ? 11.C 由
? 2 ? 2k ? ? ? 6 ? 2x ? 3? 2

1 2

,∴ 2 k ? ?
2? 3

2? 3

? x ? 2k ? ?

,k ? Z .

? 2k? 得?

? k? ? x ? ?

, ? k? (k ? Z )

又∵ x ? [ 0 , ? ] , 12.B
f ( x ) ? cos
2

∴单调递增区间为 [
2

? 5? , ]. 3 6
2

x ? 2 a sin x ? 1 ? 1 ? sin

x ? 2 a sin x ? 1 ? ? (sin x ? a )

? a

2



∵ 0 ? x ? 2? ,

∴ ? 1 ? sin x ? 1 , 又∵ a ? 1 ,

2 2 ∴ f ( x ) m ax ? ? (1 ? a ) ? a ? 2 a ? 1 .

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 把答案填在题中的横线上.) 13.
3 2

, 48

圆心角 ? ?

l r

?

12 8

?

3 2

,扇形面积 S ?

1 2

lr ?

1 2

? 12 ? 8 ? 48 .

用心 爱心 专心

4

14. 3

y (2 ? cos x ) ? 2 ? cos x, cos x ?

2y ? 2 y ?1

? ?1 ?

2y ?2 y ?1

? 1,

1 3

? y ? 3 .

15. 3 16. 1

画出函数 y ? sin x 和 y ? lg x 的图象,结合图象易知这两个函数的图象有 3 交点.
f ( 2 0 0 9 ) ? a s in ( 2 0 0 9 ? ? ? ) ? b c o s ( 2 0 0 9 ? ? ? ) ? ? 1 , f ( 2 0 1 0 ) ? a s in ( 2 0 1 0 ? ? ? ) ? b c o s ( 2 0 1 0 ? ? ? ) ? a s in [ ? ? ( 2 0 0 9 ? ? ? ) ] ? b c o s [ ? ? ( 2 0 0 9 ? ? ? ) ] ? ? [ a s in ( 2 0 0 9 ? ? ? ) ? b c o s ( 2 0 0 9 ? ? ? ) ] ? 1 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤.) 17.解:∵ ? 是第三角限角, ∴ 1 ? sin ? ? 0 , 1 ? sin ? ? 0 , cos ? ? 0 , ∴
1 ? sin ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? 1 ? sin ? ? (1 ? sin ? )
2

(1 ? sin ? )( 1 ? sin ? )

?

(1 ? sin ? )

2

(1 ? sin ? )( 1 ? sin ? )

?

(1 ? sin ? ) 1 ? sin
2

2

?

?

(1 ? sin ? ) 1 ? sin
2

2

?

?

(1 ? sin ? ) cos
2

2

?
|? |

?

(1 ? sin ? ) cos
2

2

?
1 ? sin ? cos ? ? 1 ? sin ? cos ?

?|
?

1 ? sin ? cos ?
? 2 sin ? cos ?

1 ? sin ? cos ?

|? ?

? ? 2 tan ? .
5 | k |.

18. 解:设角 ? 终边上任一点 P ( k , 2 k ) ( k ? 0 ) ,则 x ? k , y ? 2 k , r ? 当 k ? 0 时, r ?
sin ? ? y r
5 k , ? 是第一象限角,

?

2k 5k

?

2 5

5

, cos ? ?

x r

?

k 5k

?

5 5

, tan ? ?

y x

?

2k k

? 2;

当 k ? 0 时, r ? ? 5 k , ? 是第三象限角,
sin ? ?
y x 2k k
2 5 5

y r

?

2k ? 5k

? ?

2 5

5



cos ? ?

x r

?

k ? 5k

? ?

5 5



tan ? ?

?

? 2.

综上,角 ? 的正弦、余弦和正切值分别为



5 5

,2 或?

2 5

5

,?

5 5

,2 .
5

用心 爱心 专心

19.解: (1)因为 cos

2

? ? 3 sin ? cos ? ?

cos

2

? ? 3 sin ? cos ?
2

sin

? ? cos

2

?

?

1 ? 3 tan ? tan
2

? ?1



且 tan ? ? 3 , 所以,原式 ?
1? 3?3 3
2 cos
3

2

?1
2

? ?

4 5

.
?
2

? ? sin

( 2 ? ? ? ) ? sin(
2

??)? 3 ?

(2) f (? ) ?

2 cos

3

? ? sin
2

2

? ? cos ? ? 3 ? ? cos ?

2 ? 2 cos

( ? ? ? ) ? cos( ? ? )

2 ? 2 cos

?

2 cos

3

? ? cos
2

2

? ? cos ? ? 2

2 ? 2 cos

? ? cos ?
2

?

2 (cos ? ? 1 )(cos

2

? ? cos ? ? 1 ) ? cos ? (cos ? ? 1 )
2

2 ? 2 cos

? ? cos ?

?

(cos ? ? 1 )( 2 cos 2 cos
2

? ? cos ? ? 2 )

? ? cos ? ? 2
1 2 2 cos(2 x ? ? 4

? cos ? ? 1 ,

∴ f ( ) ? cos
3

?

? 3

?1? ?

.
) ,所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 T ? 3? 8 ? k? ? x ? ? 8 2? 2 ? ? ,

20.解: (1)因为 f ( x ) ? 由?? ? 2k? ? 2 x ? 间为 [ ?
3? 8 ? k ?, ? 8 ? 4

得 ? 2k? , ?

故函数 f ( x ) 的递调递增区 ? k? ,

; ? k?] (k ? Z )
2 cos(2 x ? ? 8 ) ? ? 4 ) 在区间 [ ? ? 2 ) ? ? ? ? ? , ] 上为增函数,在区间 [ , ] 上为减函 8 8 8 2 2 cos( ? ? π 4
2 ,此时 x ?

(2)因为 f ( x ) ? 数,又 f ( ?
? 8

) ? 0, f (

2 , f(

) ? ? ? 8

2 cos

? 4

? ?1 , ? 2

故函数 f ( x ) 在区间 [ ?

? ? , ] 上的最大值为 8 2

;最小值为 ? 1 ,此时 x ?



21.解:存在 a ? ? 1 , b ? 1 满足要求. ∵
? 4 ? x ? 3? 4





2? 3

? 2x ?

? 6

?

5? 3



∴ ? 1 ? s in ( 2 x ?

? 6

) ?

3 2



若存在这样的有理 a , b ,则
?? ? 3 a ? 2 a ? b ? ? 3, 3 ? 1,

(1)当 a ? 0 时, ?

无解;

?2a ? 2a ? b ? ?

(2)当 a ? 0 时, ?

? 2 a ? 2 a ? b ? ? 3, ?? 3a ? 2a ? b ? 3 ? 1,

解得 a ? ? 1 , b ? 1 ,

即存在 a ? ? 1 , b ? 1 满足要求.
用心 爱心 专心 6

22. 解: (1)设 f ? x ? 的最小正周期为 T ,得 T ? 由T ? 又? ?
2?

1 1? 6

? (?

? 6

) ? 2? ,

?



得? ? 1 , ,解得 ? ?
? 2
A ? 2

B ? A ? 3

? B ? A ? ?1

?B ?1

令? ? ∴

5? 6

?? ?

,即

5? 6

?? ?

? 2

,解得 ? ? ?

? 3



f

?x?

? ? ? ? 2 s in ? x ? ??1 3 ? ?

.

(2)∵函数 y ? f ? k x ? ? 2 s in ? k x ?
?

?

? ? 2? , ? ? 1 的周期为 3 ? 3

又k ? 0 , 令t ? 3x ?
? 3

∴k ? 3,
? ?? 0, ? 3? ? ?

,∵ x ?



∴t ? [?

? 2? , ], 3 3

如图, sin t ? s 在 [ ?

3 ? 2? ,1 ) , , ] 上有两个不同的解,则 s ? [ 2 3 3

∴方程 f ? k x ? ? m 在 x ? [ 0 , 即实数 m 的取值范围是 ? 3 ? 1, 3 ?
?

? 3

] 时恰好有两个不同的解,则 m ? ? 3 ? 1, 3 ,
?

?

用心 爱心 专心

7


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