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【走向高考】(新课标)2017高考数学一轮复习 第五章 数列 第1讲 数列的概念与表示习题


2017 高考数学一轮复习 第五章 数列 第 1 讲 数列的概念与表示习 题
A 组 基础巩固 一、选择题 2 3 4 5 1.数列 1, , , , ,…的一个通项公式 an= 导学号 25401203 ( 3 5 7 9 A. C. )

n
2n+1

B.

n
2n-1

n 2n-3

D. 2n+3

n

[答案] B 1 2 3 n [解析] 由已知得,数列可写成 , , ,…,故通项为 . 1 3 5 2n-1 2.数列{an}的前 n 项积为 n ,那么当 n≥2 时,an= 导学号 25401204 ( A.2n-1 C. ?n+1?
2 2

)

B.n

2

n

2

D. 2 ?n-1?

n2

[答案] D [解析] 设数列{an}的前 n 项积为 Tn,则 Tn=n , 当 n≥2 时,an=
2

Tn n2 = . Tn-1 ?n-1?2

1 * 3 .数列 {an} 满足 an + an + 1 = (n ∈ N ) , a2 = 2 , Sn 是数列 {an} 的前 n 项和,则 S21 为 2 导学号 25401205 ( A.5 C. 9 2 ) B. 7 2

13 D. 2

[答案] B 1 [解析] ∵an+an+1= ,a2=2, 2 3 ? ?- ,n为奇数, ∴an=? 2 ? ?2, n为偶数.

1

3 7 ∴S21=11×(- )+10×2= .故选 B. 2 2 4.在各项均为正数的数列{an}中,对任意 m,n∈N ,都有 am+n=am·an.若 a6=64,则 a9 等于 导学号 25401206 ( A.256 C.512 [答案] C [解析] 在各项均为正数的数列{an}中, 对任意 m, n∈N , 都有 am+n=am·an.∴a6=a3·a3 =64,a3=8. ∴a9=a6·a3=64×8,a9=512.故选 C. 5.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=kn ,若对所有的 n∈N ,都有 an+1>an,则实数 k 的 取值范围是 导学号 25401207 ( A.(0,+∞) C.(1,+∞) [答案] A [解析] 由 Sn=kn 得 an=k(2n-1).因为 an+1>an,所以数列{an}是递增的,因此 k>0, 故选 A. 6 .(2015·吉林长春调研 ) 已知 {an} 满足 an + 1 = an + 2n ,且 a1 = 33 ,则 的最小值为 导学号 25401208 ( A.21 C. 21 2 ) B.10 17 D. 2
2 2 * * *

) B.510 D.1 024

) B.(-∞,1) D.(-∞,0)

an n

[答案] C [解析] 由已知条件可知,当 n≥2 时,

an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)
=33+2+4+…+2(n-1) =n -n+33,又 n=1 时,a1=33 满足此式.
2

an 33 所以 =n+ -1. n n an 33 令 f(n)= =n+ -1,则 f(n)在[1,5]上为减函数, n n
53 21 在[6,+∞)上为增函数,又 f(5)= ,f(6)= , 5 2

2

an 21 则 f(5)>f(6),故 f(n)= 的最小值为 ,故选 C. n 2
二、填空题 7.已知数列{ [答案] 7 [解析]

n2
2

n +1

},则 0.98 是它的第________项. 导学号 25401209

n2

n2+1

49 =0.98= ,∴n=7. 50 1 , a11 = 2 , 则 a1 = 1-an

8 . (2014· 课 标 全 国 Ⅱ , 文 ) 数 列 {an} 满 足 an + 1 = ________. 导学号 25401210 [答案] 1 2 1 1 ,得 a10= . 1-an 2

[解析] 由 a11=2 及 an+1=

1 同理 a9=-1,a8=2,a7= ,… 2 1 所以数列{an}是周期为 3 的数列.所以 a1=a10= . 2 9.已知 an=

n- 98 * (n∈N ),则在数列{an}中的前 30 项中,最大项和最小项分别是第 n- 99

________项. 导学号 25401211 [答案] 10,9 [解析] an=

n- 98 n- 99+ 99- 98 = n- 99 n- 99
, 99- 98

=1+

99- 98

n- 99

当 1≤n≤9 时,

n- 99

<0,an 为递减函数.

当 n≥10 时,

99- 98

n- 99

>0,an 为递减函数.

∴最大项为 a10,最小项为 a9. 10 . 若 数 列 {an} 的 前 n 项 和 Sn = ________. 导学号 25401212 [答案] (-2)
n-1

2 1 an + , 则 {an} 的 通 项 公 式 是 an = 3 3

3

2 1 [解析] 由 Sn= an+ ,得当 n≥2 时, 3 3

Sn-1= an-1+ , ∴当 n≥2 时, an=-2an-1.又 n=1 时, S1=a1= a1+ , a1=1, ∴an=(-
2)
n-1

2 3

1 3

2 3

1 3

.

三、解答题 1 2 1 * 11. 已知 Sn 为正项数列{an}的前 n 项和, 且满足 Sn= an+ an(n∈N ). 导学号 25401213 2 2 (1)求 a1,a2,a3,a4 的值; (2)求数列{an}的通项公式. [答案] (1)a1=1,a2=2,a3=3,a4=4 (2)an=n 1 2 1 * [解析] (1)由 Sn= an+ an(n∈N ),可得 2 2

a1= a2 1+ a1,解得 a1=1; S2=a1+a2= a2 2+ a2,解得 a2=2;
同理,a3=3,a4=4. 1 2 1 (2)Sn= an+ an,① 2 2 1 2 1 当 n≥2 时,Sn-1= an-1+ an-1,② 2 2 ①-②得(an-an-1-1)(an+an-1)=0. 由于 an+an-1≠0,所以 an-an-1=1, ∴an=a1+(n-1)×1=n. 12.已知数列{an}满足前 n 项和 Sn=n +1,数列{bn}满足 bn= 设 cn=T2n+1-Tn. 导学号 25401214 (1)求数列{bn}的通项公式; (2)判断数列{cn}的增减性. 2 ? ?3?n=1?, (1)b =? 1 ? ?n?n≥2?.
n
2

1 2

1 2

1 2

1 2

2 ,且前 n 项和为 Tn, an+1

[答案]

(2)递减数列

[解析] (1)a1=2,an=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2).

4

2 ? ?3?n=1?, ∴b =? 1 ? ?n?n≥2?.
n

(2)∵cn=bn+1+bn+2+…+b2n+1 = 1 1 1 + +…+ , n+1 n+2 2n+1

1 1 1 ∴cn+1-cn= + - 2n+2 2n+3 n+1 = 1 1 -1 - = <0, 2n+3 2n+2 ?2n+3??2n+2?

∴cn+1<cn. ∴数列{cn}为递减数列. B 组 能力提升 1.(2015·东北三省三校一联)已知数列{an}满足 (n∈N ),则 a10= 导学号 25401215 ( A.e C.e
26 *

lna1 lna2 lna3 lnan 3n+2 · · ·…· = 2 5 8 3n-1 2

) B.e
29

32

D.e

35

[答案] C lna1 lna2 lna3 lna10 [解析] 当 n=10 时, · · … =16 2 5 8 29 lna1 lna2 lna9 lnan 29 当 n=9 时, · · … = 2 5 8 26 2 lna10 32 32 两式相除得 = ,∴lna10=32,∴a10=e ,故选 C. 29 29 2.(2015·吉林长春质检二)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,{Sn+nan}为常数列, 则 an= 导学号 25401216 ( A. C. 1 3
n-1

) B. 2

n?n+1?

6 ?n+1??n+2?

5-2n D. 3

[答案] B [解析] 由题意知,Sn+nan=2,当 n≥2 时,(n+1)an=(n-1)an-1, 从而 · · ·…·

a2 a3 a4 a1 a2 a3

an 1 2 n-1 = · ·…· , an-1 3 4 n+1

5

有 an=

2 ,当 n=1 时上式成立, n?n+1? 2

所以 an=

n?n+1?

.故选 B.

1 * 3. (2015·辽宁大连双基)数列{an}满足 an-an+1=an·an+1(n∈N ), 数列{bn}满足 bn= ,

an

且 b1+b2+…+b9=90,则 b4·b6 导学号 25401217 ( A.最大值为 99 C.最大值为 100 [答案] B

)

B.为定值 99 D.最大值为 200

[解析] 将 an-an+1=anan+1 两边同时除以 anan+1,可得

1

an+1 an

1 - =1,即 bn+1-bn=1,所以

9?b1+b9? {bn}是公差为 d=1 的等差数列,其前 9 项和为 =90,所以 b1+b9=20,将 b9=b1 2 +8d=b1+8,代入得 b1=6,所以 b4=9,b6=11,所以 b4b6=99,选 B. 4.(2015·湖北武汉质检)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{Sn}的前 n 项和为 Tn,满足

Tn=2Sn-n2,n∈N*. 导学号 25401218
(1)求 a1 的值; (2)求数列{an}的通项公式. [答案] (1)1 (2)an=3·2
n-1

-2,n∈N

*

[解析] (1)当 n=1 时,T1=2S1-1. 因为 T1=S1=a1,所以 a1=2a1-1,求得 a1=1. (2)当 n≥2 时,Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n -[2Sn-1-(n-1) ]=2Sn-2Sn-1-2n+1,所以 Sn =2Sn-1+2n-1,① 所以 Sn+1=2Sn+2n+1.② ②-①,得 an+1=2an+2, 所以 an+1+2=2(an+2),即
2 2

an+1+2 =2(n≥2), an+2 a2+2 =2. a1+2

求得 a1+2=3,a2+2=6,则

所以数列{an+2}是以 3 为首项,2 为公比的等比数列, 所以 an+2=3·2
n-1

,所以 an=3·2

n-1

-2,n∈N .
2

*

5 .(2015·新课标全国Ⅰ )Sn 为数列 {an} 的前 n 项和,已知 an > 0 , a n + 2an = 4Sn + 3. 导学号 25401219 (1)求{an}的通项公式;
6

(2)设 bn=

1

anan+1

,求数列{bn}的前 n 项和.

[答案] (1)an=2n+1 (2) 3?2n+3? [解析] (1)由 an+2an=4Sn+3,可知 an+1+2an+1=4Sn+1+3. 可得 an+1-an+2(an+1-an)=4an+1,即 2(an+1+an)=an+1-an=(an+1+an)(an+1-an). 由于 an>0,可得 an+1-an=2. 又 a1+2a1=4a1+3,解得 a1=-1(舍去)或 a1=3. 所以{an}是首项为 3,公差为 2 的等差数列,通项公式为 an=2n+1. (2)由 an=2n+1 可知
2 2 2 2 2 2 2

n

bn= = = ( - ). anan+1 ?2n+1??2n+3? 2 2n+1 2n+3
设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,则

1

1

1

1

1

Tn=b1+b2+…+bn
1 1 1 1 1 1 1 = [( - )+( - )+…+( - )] 2 3 5 5 7 2n+1 2n+3 =

n . 3?2n+3?

7


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