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安徽省宣城市2014-2015学年高二上学期期末考试数学(文)试卷 Word版含解析


2014-2015 学年安徽省宣城市高二(上)期末数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的 1.已知某厂的产品合格率为 90%,现抽出 10 件产品检查,则下列说法正确的是( ) A. 合格产品少于 9 件 B. 合格产品多于 9 件 C. 合格产品正好是 9 件 D. 合格产品可能是 9 件 2.用秦九韶算法计算多项式 f(x)=x +4x +3x +2x +1,当 x=5 的值时,乘法运算与加法运 算的次数和为( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 3.统计甲、乙两名篮球运动员在 10 场比赛得分,并绘制成如图所示的茎叶图,则甲、乙两 位运动员得分数据中位数之差的绝对值是( )
5 4 3 2

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4.某单位为了解用电量 y 度与气温 x℃之间的关系,随机统计了某 4 天的用电量与当天气 温: 气温(℃) 14 12 26 8 34 6 38 用电量 (度) 22

由表中数据得线性方程 = + x 中 =﹣2,据此预测当天气温为 5℃时,用电量的度数约为 ( ) A. 60 B. 50 C. 40 D. 30

5.下列抽样问题中最适合用分层抽样法进行抽样的是( ) A. 从 12 名学生中随机抽泣 8 人参加活动 B. 某单位有 210 名员工,其中老年员工 20 人,中年员工 40 人,青年员工 150 人,为 了解情况,要从中抽取一个容量为 21 的样本 C. 从参加期中考试的 1200 名高中生随机抽取 100 人分析作答情况 D. 从 1200 名观众中随机抽取 3 名幸运观众

6.在△ABC 中, “sinA>

”是“∠A>

”的(



A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

7. 若椭圆

+

=1 (a>b>0) 的离心率为

, 则双曲线



=1 的渐近线方程为 (



A. y=± x B. y=±2x C. y=±4x D. y=± x

8.已知 F1、F2 是椭圆

+

=1 的两焦点,过点 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,在△AF1B 中, )

若有两边之和是 10,则第三边的长度为( A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

9.已知 44(k)=36,把 67 转化为 k 进制数为( ) A. 55(k) B. 67(k) C. 103(k) D. 124(k) 10.一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数字 1,2,3,4,5,6,将这个玩具向 上抛掷 1 次,设事件 A 表示“向上的一面出现的点数不小于 3” ,事件 B 表示“向上的一面 出现奇数点” ,事件 C 表示“向上的一面出现的点数不超过 2” ,则( ) A. A 与 B 是互斥而非对立事件 B. A 与 B 是对立事件 C. A 与 C 是互斥而非对立事件 D. A 与 C 是对立事件

二、填空题:本大题有 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分 11.命题: “? x∈R,e <x”的否定是
x

. .

12.直线 y= x+b 是曲线 y=2lnx(x>0)的一条切线,则实数 b=

13.如图是抛物线形拱桥, 当水面在 l 时, 拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米. 水位下降 1 米后, 水面宽为 米.

14.1911 与 1183 的最大公约数是 15.有下列命题:



①x=0 是函数 y=x +1 的极值点; 3 2 2 ②三次函数 f(x)=ax +bx +cx+d 有极值点的充要条件是 b ﹣3ac>0; 3 2 ③奇函数 f(x)=mx +(m﹣1)x +48(m﹣2)x+n 在区间(4,+∞)上是递增的; 其中真命题的序号是 .

3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分 16.已知命题 p:方程
2

+

=1 所表示的图形是焦点在 y 轴上的双曲线,命题 q:方

程 4x +4(m﹣2)x+1=0 无实根,又 p∧q 为真,p∧q 为假,求实数 m 的取值范围. 17.在某次数学测试中,记答对题数:大于或等于 6 道为合格,小于 6 道为不合格,现从 A, B 两个班级随机抽取 5 人答对的题数进行分析,结果记录如下: A班 B班 5 m 5 4 8 7 8 n 9 8

由于表格受损,数据 m,n 看不清,统计人员只记得 m<n,且在抽取的数据中,A 班的平均 数比 B 班的平均数多 1 道题,两班数据的方差相同 (1)求表格中 m 和 n 的值; (2)若从抽取的 B 班 5 人中任取 2 人,求 2 人都合格的概率. 18.某大型连锁超市为迎接春节购物季,销售一批年货产品,已知每销售 1 份获利 30 元, 未销售的产品每份损失 10 元, 根据以往销售情况其市场需求量的频率分布直方图如图所示, 该超市欲购 8000 份. (1)根据直方图估计该购物季需求量的中位数和平均数; (2)根据直方图估计利润不少于 16 万的概率.

19.如图,抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点,点 P(1,2) 、A(x1,y1) 、B(x2, y2)均在抛物线上. (1)写出该抛物线的标准方程; (2)当直线 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求直线 AB 的斜率.

20.已知椭圆 E:

=1(a>b>0)的离心率为

,其长轴长与短轴长的和等于 6.

(1)求椭圆 E 的方程; (2)如图,设椭圆 E 的上、下顶点分别为 A1、A2,P 是椭圆上异于 A1、A2 的任意一点,直线 PA1、PA2 分别交 x 轴于点 N、M,若直线 OT 与过点 M、N 的圆 G 相切,切点为 T.证明:线段 OT 的长为定值.

21.设直线 l:y=5x+2 是曲线 C:f(x)= x ﹣x +2x+m 的一条切线,g(x)=ax +2x﹣25. (1)求切点坐标及 m 的值; (2)当 m∈Z 时,存在 x∈(0,+∞)使 f(x)≤g(x)成立,求实数 a 的取值范围.

3

2

2

2014-2015 学年安徽省宣城市高二 (上) 期末数学试卷 (文 科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的 1.已知某厂的产品合格率为 90%,现抽出 10 件产品检查,则下列说法正确的是( ) A. 合格产品少于 9 件 B. 合格产品多于 9 件 C. 合格产品正好是 9 件 D. 合格产品可能是 9 件 考点: 概率的意义. 专题: 综合题. 分析: 根据已知中某厂的产品合格率为 90%,现抽出 10 件产品检查,我们可以根据概率计 算出合格产品约是 9 件,但根据概率的意义,这只是一个估计值,并不是确定值,分析四个 答案,即可得到结论. 解答: 解:由已知中某厂的产品合格率为 90%, 则抽出 10 件产品检查 合格产品约为 10×90%=9 件 根据概率的意义,可得合格产品可能是 9 件 故选 D 点评: 本题考查的知识点是概率的意义,其中正确理解概率的意义是解答本题的关键. 2.用秦九韶算法计算多项式 f(x)=x +4x +3x +2x +1,当 x=5 的值时,乘法运算与加法运 算的次数和为( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 考点: 秦九韶算法. 专题: 算法和程序框图. 分析: 由 f(x)=x +4x +3x +2x +1=( ( ( (x+4)x+3)x+2)x)x+1,即可得出. 5 4 3 2 解答: 解:f(x)=x +4x +3x +2x +1=( ( ( (x+4)x+3)x+2)x)x+1, 当 x=5 的值时,乘法运算与加法运算的次数和=4+4=8, 故选:A. 点评: 本题考查了秦九韶算法,考查了计算能力,属于基础题. 3.统计甲、乙两名篮球运动员在 10 场比赛得分,并绘制成如图所示的茎叶图,则甲、乙两 位运动员得分数据中位数之差的绝对值是( )
5 4 3 2 5 4 3 2

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 考点: 众数、中位数、平均数. 专题: 概率与统计. 分析: 根据茎叶图,结合中位数的定义分别求出中位数即可得到结论. 解答: 解:由茎叶图可得甲的中位数为 (24+30)=27, 乙的中位数为 (26+30)=28, 则甲、乙两位运动员得分数据中位数之差的绝对值是|28﹣27|=1, 故选:B 点评: 本题主要考查茎叶图的应用,根据中位线的定义求出对应的中位数是解决本题的关 键. 4.某单位为了解用电量 y 度与气温 x℃之间的关系,随机统计了某 4 天的用电量与当天气 温: 气温(℃) 14 12 26 8 34 6 38 用电量 (度) 22

由表中数据得线性方程 = + x 中 =﹣2,据此预测当天气温为 5℃时,用电量的度数约为 ( ) A. 60 B. 50 C. 40 D. 30

考点: 线性回归方程. 专题: 应用题;概率与统计. 分析: 根据所给的表格做出本组数据的样本中心点,根据样本中心点在线性回归直线上, 利用待定系数法做出 a 的值,现在方程是一个确定的方程,根据所给的 x 的值,代入线性回 归方程,预报要销售的件数 解答: 解:由表格得 =(14+12+8+6)÷4=10, =(22+26+34+38)÷4=30 即样本中心点的坐标为: (10,40) , 又∵样本中心点(10,40)在回归方程 = + x 中 =﹣2 ∴30=10×(﹣2)+ , 解得:a =50, ∴ =50﹣2x 当 x=5 时,y=﹣2×(5)+50=40. 故选:C. 点评: 本题考查线性回归方程,两个变量之间的关系,除了函数关系,还存在相关关系, 通过建立回归直线方程, 就可以根据其部分观测值, 获得对这两个变量之间整体关系的了解. 5.下列抽样问题中最适合用分层抽样法进行抽样的是( )

A. 从 12 名学生中随机抽泣 8 人参加活动 B. 某单位有 210 名员工,其中老年员工 20 人,中年员工 40 人,青年员工 150 人,为 了解情况,要从中抽取一个容量为 21 的样本 C. 从参加期中考试的 1200 名高中生随机抽取 100 人分析作答情况 D. 从 1200 名观众中随机抽取 3 名幸运观众 考点: 分层抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 根据分层抽样的定义,判断样本是否差异明显即可. 解答: 解:A.样本数据较少,使用简单随机抽样. B.样本差异明显,使用分层抽样. C.样本个体无差异且数量较多,使用系统抽样 D.样本个体无差异且数量较多,使用系统抽样 故选:B 点评: 本题主要考查分层抽样的应用,比较基础.

6.在△ABC 中, “sinA>

”是“∠A>

”的(



A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;正弦函数的单调性. 专题: 常规题型. 分析: 在△ABC 中,0<A<π,利用三角函数的单调性来进行判断,然后再由然后根据必 要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断求解. 解答: 解:在△ABC 中,∴0<A<π, ∵sinA> ∴ <A< , , ”? “∠A> ” ,

∴sinA>

反之则不能, ∴, “sinA> ”是“∠A> ”的充分不必要条件,

故 A 正确. 点评: 此题主要考查三角函数的性质及其应用和必要条件、充分条件和充要条件的定义, 是一道基础题.

7. 若椭圆

+

=1 (a>b>0) 的离心率为

, 则双曲线



=1 的渐近线方程为 (



A. y=± x B. y=±2x C. y=±4x D. y=± x

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 运用椭圆的离心率公式可得 a,b 的关系,再由双曲线的渐近线方程,即可得到. 解答: 解:椭圆 + =1(a>b>0)的离心率为 ,

则 即有 = ,

=



则双曲线



=1 的渐近线方程为 y=

x,

即有 y=± x. 故选 A. 点评: 本题考查椭圆和双曲线的方程和性质,考查渐近线方程和离心率公式的运用,考查 运算能力,属于基础题.

8.已知 F1、F2 是椭圆

+

=1 的两焦点,过点 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,在△AF1B 中, )

若有两边之和是 10,则第三边的长度为( A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用椭圆定义,椭圆上的点到两焦点距离之和等于 2a,可求出在△AF1B 的周长,则 第三边的长度等于周长减另两边的和. 解答: 解:∵A,B 两点在椭圆 + =1 上,

∴|AF1|+|AF2|=8,|BF1|+|BF2|=8 ∴|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=16 ∴|AF1|+|BF1|+|AB|=16 ∵在△AF1B 中,有两边之和是 10, ∴第三边的长度为 16﹣10=6 故选:D.

点评: 本题主要考查应用椭圆定义求三角形的周长,做题时尽量数形结合. 9.已知 44(k)=36,把 67 转化为 k 进制数为( ) A. 55(k) B. 67(k) C. 103(k) D. 124(k) 考点: 进位制. 专题: 计算题. 分析: 首先由已知求 k 的值,然后依次除以 8,求余数,最后把余数从下到上连接起来即 为 8 进制数. 解答: 解:∵44(k)=36, 1 0 ∴4×k +4×k =36,可解得:k=8, ∴67÷8=8…3 8÷8=1…0 1÷8=0…1 即 67 转化为 k 进制数为:103(8) , 故选:C. 点评: 本题考查算法的概念,以及进位制的运算,属于基本知识的考查. 10.一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数字 1,2,3,4,5,6,将这个玩具向 上抛掷 1 次,设事件 A 表示“向上的一面出现的点数不小于 3” ,事件 B 表示“向上的一面 出现奇数点” ,事件 C 表示“向上的一面出现的点数不超过 2” ,则( ) A. A 与 B 是互斥而非对立事件 B. A 与 B 是对立事件 C. A 与 C 是互斥而非对立事件 D. A 与 C 是对立事件 考点: 互斥事件与对立事件. 专题: 综合题;概率与统计. 分析: 由题意可得事件 A、C 不会同时发生,而且 A∪C 为必然事件,从而得出结论. 解答: 解:由题意可得事件 A、C 不会同时发生,而且 A∪C 为必然事件, 故 A 与 C 是对立事件, 故选:D. 点评: 本题主要考查互斥事件、对立事件的定义,属于基础题. 二、填空题:本大题有 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分

11.命题: “? x∈R,e <x”的否定是 ? x∈R,e ≥x . 考点: 专题: 分析: 解答: 命题的否定. 简易逻辑. 直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可. 解:因为全称命题的否定是特称命题,所以,
x x

x

x

命题: “? x∈R,e <x”的否定是:? x∈R,e ≥x. x 故答案为:? x∈R,e ≥x. 点评: 本题考查全称命题与特称命题的否定关系,基本知识的考查.

12.直线 y= x+b 是曲线 y=2lnx(x>0)的一条切线,则实数 b=

2ln5﹣2 .

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题;导数的概念及应用;直线与圆. 分析: 求出函数的导数,设出切点(m,n) ,求得切线的斜率,结合已知的切线方程,可得 m=5,进而得到切点,代入切线方程,即可得到 b. 解答: 解:y=2lnx 的导数为 y′= , 设切点为(m,n) , 则曲线的切线的斜率为 k= , 由切线方程 y= x+b, 可得 ,

解得 m=5, 切点为(5,2ln5) , 则 b=2ln5﹣2. 故答案为:2ln5﹣2. 点评: 本题考查导数的运用:求切线方程,主要考查导数的几何意义,设出切点和正确求 导是解题的关键. 13.如图是抛物线形拱桥, 当水面在 l 时, 拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米. 水位下降 1 米后, 水面宽为 2 米.

考点: 抛物线的应用. 专题: 计算题;压轴题.

分析: 先建立直角坐标系,将 A 点代入抛物线方程求得 m,得到抛物线方程,再把 y=﹣3 代入抛物线方程求得 x0 进而得到答案. 2 解答: 解:如图建立直角坐标系,设抛物线方程为 x =my, 2 将 A(2,﹣2)代入 x =my, 得 m=﹣2 ∴x =﹣2y,代入 B(x0,﹣3)得 x0= 故水面宽为 2 m. 故答案为:2 .
2



点评: 本题主要考查抛物线的应用.考查了学生利用抛物线解决实际问题 的能力. 14.1911 与 1183 的最大公约数是 91 . 考点: 用辗转相除计算最大公约数. 专题: 算法和程序框图. 分析: 利用辗转相除法,将 1911 与 1183 代入,即可求得 1911 与 1183 的最大公约数. 解答: 解:用辗转相除法求: ∵1911=1×1183+728, 1183=1×728+455, 728=1×455+273. 455=1×273+182, 273=1×182+91, 182=2×91, ∴1911 与 1183 的最大公约数是 91. 故答案为:91 点评: 本题考查的知识点是用辗转相除法,计算最大公约数,熟练掌握辗转相除法是解题 的关键. 15.有下列命题: ①x=0 是函数 y=x +1 的极值点; 3 2 2 ②三次函数 f(x)=ax +bx +cx+d 有极值点的充要条件是 b ﹣3ac>0; 3 2 ③奇函数 f(x)=mx +(m﹣1)x +48(m﹣2)x+n 在区间(4,+∞)上是递增的; 其中真命题的序号是 ②③ . 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 计算题;简易逻辑. 分析: ①用极值点的定义的来判断; ②通过导数有不等根来判断; ③当 x>4 时,f′(x)>0 恒成立来判断.
3

解答: 解:①y′=3x ≥0,无极值点,故①错误; 2 2 ②f′(x)=3ax +2bx+c=0 有解,需满足:b ﹣3ac>,故②正确; 2 ③f′(x)=3mx +2(m﹣1)x+48(m﹣2) ,当 x>4 时,f′(x)>0,故③正确; 故答案为:②③. 点评: 本题主要考查函数极值点的定义及有极值的条件,考查函数的单调性,比较基础. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分 16.已知命题 p:方程
2

2

+

=1 所表示的图形是焦点在 y 轴上的双曲线,命题 q:方

程 4x +4(m﹣2)x+1=0 无实根,又 p∧q 为真,p∧q 为假,求实数 m 的取值范围. 考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 先根据曲线的标准方程和一元二次方程无实根时△的取值即可求出命题 p, q 为真时 的 m 的取值范围,然后根据 p∨q 为真,p∧q 为假得到 p 真 q 假,或 p 假 q 真两种情况,求 出每种情况的 m 的取值范围再求并集即可. 解答: 解:若 p 为真,则: ∴m>2; 若命题 q 为真,则:△=16(m﹣2) ﹣16<0; ∴1<m<3; 由 p∨q 为真,p∧q 为假知 p,q 一真一假; ∴ ,或 ;
2



∴解得 m≥3,或 1<m≤2; ∴m 的取值范围是(1,2]∪[3,+∞) . 点评: 考查双曲线的标准方程,以及一元二次方程无实根时△的取值情况,p∨q,p∧q 的 真假和 p,q 真假的关系. 17.在某次数学测试中,记答对题数:大于或等于 6 道为合格,小于 6 道为不合格,现从 A, B 两个班级随机抽取 5 人答对的题数进行分析,结果记录如下: A班 B班 5 m 5 4 8 7 8 n 9 8

由于表格受损,数据 m,n 看不清,统计人员只记得 m<n,且在抽取的数据中,A 班的平均 数比 B 班的平均数多 1 道题,两班数据的方差相同 (1)求表格中 m 和 n 的值; (2)若从抽取的 B 班 5 人中任取 2 人,求 2 人都合格的概率. 考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率;众数、中位数、平均数. 专题: 概率与统计.

分析: (1)先求出 A 班平均数与方差,再根据 A 与 B 班的关系,列出 B 班平均数与方差的 式子,即可求出 m 和 n; (2)写出基本事件的个数和事件发生的个数,进而求出概率. 解答: 解: (1)A 班平均数为 =7,方差为 = ,

∵A 班的平均数比 B 班的平均数多 1 道题,两班数据的方差相同 ∴ 由 m<n,解得 m=4,n=7 (2)由(1)的结果可知,B 班 5 个人中,2 人不合格,3 人合格,分别设为 a,b,1,2,3, 从 B 班 5 人中任抽取 2 人共有 10 中情况:ab,a1,a2,a3,b1,b2,b3,12,13,23 其中满足条件的有:12,13,23, 故两人都合格的概率为 .

点评: 本题考查了平均数与方差的公式,以及随机事件的概率. 18.某大型连锁超市为迎接春节购物季,销售一批年货产品,已知每销售 1 份获利 30 元, 未销售的产品每份损失 10 元, 根据以往销售情况其市场需求量的频率分布直方图如图所示, 该超市欲购 8000 份. (1)根据直方图估计该购物季需求量的中位数和平均数; (2)根据直方图估计利润不少于 16 万的概率.

考点: 频率分布直方图;众数、中位数、平均数. 专题: 概率与统计. 分析: (1)通过中位数、平均数的定义直接计算即可; (2)通过利润=获利﹣损失,计算可得利润不少于 16 万,等价于需求量不小于 6000,进而 可得概率. 解答: 解:根据频率分布直方图可得: (1)由 ,得中位数为 70(百份) ,

平均数为:0.1×30+0.2×50+0.4×70+0.3×90=68(百份) ; (2)设需求量为 x 份时,由利润不少于 16 万,得: 30x﹣10(8000﹣x)≥160000,解得 x≥6000,

故只需要需求量不小于 6000 即可, ∴利润不少于 16 万的概率 P=1﹣0.3=0.7. 点评: 本题考查频率分布直方图,考查中位数,平均数,概率的求法,找出利润与需求量 之间的关系是解决本题的关键,属于中档题. 19.如图,抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点,点 P(1,2) 、A(x1,y1) 、B(x2, y2)均在抛物线上. (1)写出该抛物线的标准方程; (2)当直线 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求直线 AB 的斜率.

考点: 抛物线的简单性质;直线与圆锥曲线的关系. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由图与题意可设抛物线的标准方程为:y =2px. (p>0) .把点 P(1,2)代入 抛物线方程解得 p 即可得出; (2)由直线 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补,可得 k1+k2= + =0,化简可得
2

y1+y2=﹣4.再利用直线 AB 的斜率 kAB=

即可得出.
2

解答: 解: (1)由图与题意可设抛物线的标准方程为:y =2px. (p>0) . 2 把点 P(1,2)代入抛物线方程可得:2 =2p,解得 p=2, 2 ∴抛物线的方程为:y =4x. (2)∵直线 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补, ∴k1+k2= + = + = =0,

化简可得 y1+y2=﹣4. ∴直线 AB 的斜率 kAB= = = = =﹣1.

点评: 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、斜率计算公式,考查了推理能力与计算能 力,属于中档题.

20.已知椭圆 E:

=1(a>b>0)的离心率为

,其长轴长与短轴长的和等于 6.

(1)求椭圆 E 的方程; (2)如图,设椭圆 E 的上、下顶点分别为 A1、A2,P 是椭圆上异于 A1、A2 的任意一点,直线 PA1、PA2 分别交 x 轴于点 N、M,若直线 OT 与过点 M、N 的圆 G 相切,切点为 T.证明:线段 OT 的长为定值.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程;椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用椭圆的标准方程及其性质即可得出; (2)利用直线的方程、点在椭圆上满足的条件、切割线定理即可得出.

解答: 解: (1)由题意可得

,解得



∴椭圆 E 的方程为



(2)有(1)可知:A1(0,1) ,A2(0,﹣1) ,设 P(x0,y0) ,则



则直线 PA1 的方程为

,令 y=0,得 xN=



直线 PA2 的方程为

,令 y=0,得



由切割线定理可得:|OT| =|OM||ON|=

2

=

=4,

∴|OT|=2,即线段 OT 的长为定值 2. 点评: 熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线的方程、点在椭圆上满足的条件、切割线 定理是解题的关键.
3 2 2

21.设直线 l:y=5x+2 是曲线 C:f(x)= x ﹣x +2x+m 的一条切线,g(x)=ax +2x﹣25. (1)求切点坐标及 m 的值;

(2)当 m∈Z 时,存在 x∈(0,+∞)使 f(x)≤g(x)成立,求实数 a 的取值范围. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的概念及应用;导数的综合应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)设直线 l 与曲线 C 相切于点 P(x0,y0) ,利用导数的几何意义可得 f′(x0) =5 即可解得切点的横坐标 x0,进而得到切点坐标及 m 的值; (2)由 m∈Z,可得 m=13,设 h(x)=f(x)﹣g(x) ,则存在 x∈[0,+∞)使 f(x)≤g (x)成立?h(x)min≤0,利用导数和分类讨论即可得出. 解答: (1)解:设直线 l 与曲线 C 相切于点 P(x0,y0) , 2 2 ∵f′(x)=x ﹣2x+2∴x0 ﹣2x0+2=5,解得 x0=﹣1 或 x0=3, 代入直线 l 方程,得切点 P 坐标为(﹣1,﹣3)或(3,17) , ∵切点 P 在曲线 C 上,∴m= 或 m=11, 综上可知,切点 P(﹣1,﹣3) ,m= 或者切点 P(3,17) ,m=11. (2)∵m∈Z,∴m=11, 设 h(x)=f(x)﹣g(x)= x ﹣(1+a)x +36, 若存在 x∈[0,+∞)使 f(x)≤g(x)成立,则只要 h(x)min≤0, 2 h′(x)=x ﹣2(1+a)x=x[x﹣2(1+a)], 2 ①当 1+a=0 即 a=﹣1 时,h′(x)=x ≥0,h(x)是增函数,h(x)min=36>0 不合题意. ②若 1+a>0 即 a>﹣1, 令 h′(x)>0,得 x>2(1+a)或 x<0,∴h(x)在(2(1+a) ,+∞)上是增函数, 令 h′(x)≤0,解得 0≤x≤2(1+a) ,∴h(x)在[0,2(1+a)]上是减函数, ∴h(x)min=h(2(1+a) ) , 令 h(2(1+a) )≤0,解得 a≥2, ③若 1+a<0 即 a<﹣1, 令 h′(x)>0,解得 x<2(1+a)或 x>0,又∵x∈[0,+∞) , ∴h(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴h(x)min=h(0) ,令 h(0)≤0,不等式无解,∴a 不存在, 综上可得,实数 a 的取值范围为[2,+∞) . 点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、导数的几何意义,学会分类 讨论.
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