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2014版陕西北师版数学文复习方略:课时提升作业第七章 第六节空间几何体的面积与体积


课时提升作业(四十五)
一、选择题 1.长方体的一个顶点上的三条棱长分别是 3,4,x,且它的 8 个顶点都在同一个球 面上,这个球面的表面积为 125π ,则 x 的值为( (A)5 (B)6 (C)8 ) (D)10

2.(2012·新课标全国卷)平面α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面 α 的距离为 ,则此球的体积为( (

A) π (B)4 π ) (C)4 π (D)6 π

3.(2013·西安模拟)已知三棱锥的三视图如图所示,则它的外接球表面积 为( )

(A)16π

(B)4π

(C)8π

(D)2π

4.某几何体的三视图如图所示,且主视图、左视图都是矩形,则该几何体的体积 是( )

-1-

(A)16

(B)12

(C)8

(D)6

5.(2013·六安模拟)如图是一个几何体的三视图,其中 主视图是腰长为 2 的等腰三角形,俯视图是半径为 1 的 半圆,则该几何体的体积为( (A) π (C) (B) π (D) π ) )

6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

(A)π + (C)π +

(B)2π + (D)2π +

7.(能力挑战题)已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图和左视图都是腰
-2-

长为 4 的等腰直角三角形,主视图为直角梯形,则此几何体的体积 V 的大小为 ( )

(A)

(B)12

(C)

(D)16

8.(2013·延安模拟)四面体 A-BCD 中,AB=CD=4,BC=AC=AD=BD=5,则四面体外 接球的表面积为( (A)33π 二、填空题 9.(2012· 江苏高考)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=3cm,AA1=2cm,则四棱 锥 A-BB1D1D 的体积为 cm3. ) (C)36π (D)18π

(B)43π

10.将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使 BD=a,则三棱锥 D -ABC 的体 积为 .

11.(2013·南昌模拟)用若干个体积为 1 的正方体搭成一个几何体,其主视图、 左视图都是如图所示的图形,则这个几何体的最大体积是
-3-

.

12.如图是某几何体的三视图(单位:m),则其表面积为

m2.

三、解答题 13.一个几何体的三视图如图所示,已知主视图是底边长为 1 的平行四边形,左视 图是一个长为 ,宽为 1 的矩形,俯视图为两个边长为 1 的正方形拼成的矩形.

-4-

(1)求该几何体的体积 V. (2)求该几何体的表面积 S. 14.(2013·榆林模拟)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底 面是直角梯形 ABCD, 其中 AD⊥AB, CD∥AB, AB=4, CD=2, 侧面 PAD 是边长为 2 的等边三角形, 且与底面 ABCD 垂 直,E 为 PA 的中点. (1)求证:DE∥平面 PBC. (2)求三棱锥 A-PBC 的体积.

答案解析
1.【解析】选 D.设球的半径为 r,则 4πr2=125π, ∴r2=
125 .又∵32+42+x2=(2r)2, 4

∴9+16+x2=125,∴x2=100,即 x=10. 2.【解析】选 B.

如图,设截面圆的圆心为 O′,M 为截面圆上任一点, 则 OO′= ,O′M=1, ∴OM= = ,即球的半径为 ,
-5-

∴V= π( )3=4 π. 3.【解析】选 B.由三视图可知该几何体是三棱锥,且三棱锥的高为 1,底面为 一个直角三角形,由于底面斜边上的中线长为 1,则底面三角形的外接圆半径为 1,顶点在底面上的投影落在底面三角形的外接圆的圆心上,由于顶点到底面的 距离,与底面三角形的外接圆的半径相等,则三棱锥的外接球半径 R 为 1,则三 棱锥的外接球表面积 S=4πR2=4π,选 B. 4.【思路点拨】由俯视图可知,该几何体是由四棱柱从中挖掉一个三棱柱所得到 的几何体. 【解析】 选 B.该几何体是一个四棱柱挖去一个三棱柱后得到的几何体,其体积为 2×3×4- ×2×3×4=12. 【变式备选】一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

(A) πcm3 (C) πcm3

(B)3πcm3 (D) πcm3

【解析】选 D.由三视图可知,此几何体为底面半径为 1cm、高为 3cm 的圆柱上部 去掉一个半径为 1cm 的半球,所以其体积为 V=3π- π= π(cm3).

-6-

5.【解析】选 A.由三视图可知,该几何体是如图所示的半圆锥, V= π×12× × = π. 6.【解析】选 A.由三视图可知几何体是由一个圆柱和一个三棱 锥组合而成的,因为圆柱的底面半径和高均为 1,所以 V 圆柱=π× 12×1=π.三棱锥的底面是一个直角边长为 的等腰直角三角形,三棱锥的高为 ,所以 V 三棱锥= × × × × = .所以该几何体的体积 V 总=V 圆柱+V 三棱锥=π+ . 7.【思路点拨】由三视图得到几何体的直观图是解题的关键.注意该几何体是底 面为直角梯形且放倒了的四棱锥. 【解析】选 C.由三视图知,该几何体是一个四棱锥(如图),其底面是一个直角梯 形,高 h 为 4,

∴四边形 ABCD 的面积 S= ×(4+1)×4=10, ∴V= Sh= ×10×4= . 即该几何体的体积 V 为 . 8.【解析】选 A.分别取 AB,CD 的中点 E,F,连接相应的线段,由条件可知, 球心 G 在 EF 上,可以证明 G 为 EF 中点,

-7-

DE=

=

,DF=2,EF=

=

,所以 GF= = ,球半径 DG=

=

= ,

所以外接球的表面积为 4πDG2=4π× =33π,选 A. 【变式备选】长方体的三个相邻面的面积分别为 2,3,6,这个长方体的顶点都在 同一个球面上,则这个球的表面积为( (A) π (B)56π ) (C)14π (D)64π

【解析】选 C.设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为 a,b,c,同时不妨设 得 设球的半径为 R,则(2R)2=22+12+32=14, ∴R2= ,∴S 球=4πR2=14π. 9.【解析】连接 AC 交 BD 于 O,在长方体中, ∵AB=AD=3,∴BD=3 且 AC⊥BD. 又∵BB1⊥底面 ABCD,∴BB1⊥AC. 又 DB∩BB1=B,∴AC⊥平面 BB1D1D, ∴AO 为四棱锥 A -BB1D1D 的高且 AO= BD= ∵ ∴ 答案:6
-8-

.

=BD×BB1=3 ×2=6 , = 〃AO= ×6 × =6(cm3).

10.【解析】设正方形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 E,沿 AC 折起后依题意得, 当 BD=a 时,BE⊥DE,所以 DE⊥平面 ABC,于是三棱锥 D -ABC 的高为 DE= a,所以三 棱锥 D -ABC 的体积 V= × a2× a= a3. 答案: a3 11.【解析】由主视图和左视图可知,体积最大时,底层有 9 个小正方体,左上面 有 2 个小正方体,共 11 个. 答案:11 12. 【解析】依题意可得该几何体是一个组合体,它的上部分与下部分 都是四棱锥,中间部分是一个正方体.则上部分的表面积为 ×4×4× 2+ ×4×4 ×2=(16+16 )m2,中间部分的表面积为 4×4×4=64(m2), 下部分的表面积为 ×4×4× ×4=16 (m2), 故所求的表面积为(80+16 +16 )m2. 答案:(80+16 +16 ) 【变式备选】如图是一个组合几何体的三视图,则该几何体的体积是 .

-9-

【解析】由三视图还原可知该几何体是一个组合体,下面是一个圆柱,上面是一 个三棱柱,故所求体积为 V= ×3×4×6+16π×8=36+128π. 答案:36+128π 13.【解析】(1)由三视图可知,该几何体是一个平行六面体,如图所示,其底面是 边长为 1 的正方形,高为 ,

所以 V=1×1× = . (2)由三视图可知,该平行六面体中,A1D⊥平面 ABCD,CD⊥平面 BCC1B1,所以 AA1=2, 侧面 ABB1A1,CDD1C1 均为矩形, ∴S=2×(1×1+1× +1×2)=6+2 . 14.【思路点拨】第(1)问根据已知条件把问题转化为证明线线平行,然后根据 线面平行的判定定理得出结论.第(2)问题根据线面垂直的判定定理作出三棱锥 的高,然后根据三棱锥的体积公式进行计算. 【解析】(1)取 AB 的中点 F,连接 DF,EF. 因为在直角梯形 ABCD 中,CD∥AB,且 AB=4,CD=2, 所以 BF CD,

所以四边形 BCDF 为平行四边形, 所以 DF∥BC.
- 10 -

在△PAB 中,E,F 分别是 PA,AB 的中点, 所以 EF∥PB. 又因为 DF∩EF=F,PB∩BC=B, 所以平面 DEF∥平面 PBC, 因为 DE 平面 DEF,所以 DE∥平面 PBC.

(2)取 AD 的中点 O,连接 PO. 在△PAD 中,PA=PD=AD=2, 所以 PO⊥AD,PO= . 又因为平面 PAD⊥平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD, 所以 PO⊥平面 ABCD. 在直角梯形 ABCD 中,CD∥AB, 且 AB=4,AD=2,AB⊥AD, 所以 S△ABC= ×AB×AD= ×4×2=4, 故 VA-PBC=VP-ABC= ×S△ABC×PO = ×4× = .

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- 11 -


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