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高二年级导数理科数学试题及答案


高二年级导数理科数学试题
(每题5分,共60分) 一、选择题: 选择题: f ( x0 + 2?x) ? f ( x0 ) 1. 若 lim = 1 ,则 f ′( x0 ) 等于( B ) ?x → 0 ?x 1 A.2 B.-2 B. 2 1 4 2.物体运动方程为 S = t ? 3 ,则 t = 2 时瞬时速度为(B 4 A.2 B.4 B. 6

r />B. ? ) B.8

1 2

π 3 3.函数 y = sin x 的图象上一点 ( , ) 处的切线的斜率为( B ) 3 2 3 2 1 A.1 B. B. B. 2 2 2
4.设 f ( x) = x ln x ,若 f '( x0 ) = 2 ,则 x0 = ( A. e 2 B. e B. B ) B. ln 2

ln 2 2

5.曲线 y = x 3 ? 2 x + 4 在点 (1, 处的切线的倾斜角为( B ) 3) A.30° B.45° B.60° B.120°

6.若 f ( x) = ? x2 + b ln( x + 2)在(-1,+∞)上是减函数,则 b 的取值范围是( B) A. [ ?1, +∞ ) B. ( ?1, +∞ ) B. ( ?∞, ?1] B. ( ?∞, ?1)

1 2

7.已知函数 f ( x ) = x 3 + ax 2 + ( a + 6) x + 1 有极大值和极小值,则实数 a 的取值范围是( B ) (A)-1<a<2 (B) -3<a<6 (B)a<-3 或 a>6 (B) a<-1 或 a>2
2

8.已知 f(x)是定义域 R 上的增函数,且 f(x)<0,则函数 g(x)=x f(x)的单调情况一定是( A (A) 在(-∞,0)上递增 (B)在(-∞,0)上递减 (B)在 R 上递增 (B)在 R 上递减

)

9.曲线 y = ln(2 x ? 1) 上的点到直线 2 x ? y + 3 = 0 的最短距离是 A. 5 B. 2 5 B. 3 5 B. 0

( A



10.如果函数 y=f(x)的图象如图所示,那么导函数 y= f ′(x ) 的图象可能是 (A

)

1

2

11. 已知 x≥0,y≥0,x+3y=9,则 x y 的最大值为 A.36 B.18 12.设函数 f ( x ) =

( A B.25

)+ B.42+

1 x ? ln x( x > 0), 则 y = f ( x) 3

A 在区间 ( ,1), (1, e) 内均有零点

1 1 B 在区间 ( ,1), (1, e) 内均无零点 e e 1 B 在区间 ( ,1) 内有零点,在区间 (1, e) 内无零点. e 1 B 在区间 ( ,1) 内无零点,在区间 (1, e) 内有零点. e 1 1 x?3 , f `( x ) > 0 得 x > 3 ; f `( x ) < 0 得 0 < x < 3 ; f `( x ) = 0 得 令 令 ? = 3 x 3x

解析: 由题得 f `( x ) =

x = 3 ,故知函数 f ( x ) 在区间 (0,3) 上为减函数,在区间 ( 3,+∞ ) 为增函数,在点 x = 3 处有极小值 1 ? ln 3 < 0 ;又 f (1) = 1 e 1 1 , f (e ) = ? 1 < 0, f ( ) = + 1 > 0 ,故选择 D。 3 3 e 3e

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上) 填空题
3

13.若 f(x)=x

+3ax2+3(a+2)x+1 没有极值,则 a 的取值范围为

[-1,2]

.+

14.已知 f ( x ) = lg x ,函数 f (x ) 定义域中任意的 x1 , x 2 ( x1 ≠ x 2 ) ,有如下结论: ① 0 < f ′(3) < f (3) ? f (2) < f ′(2) ; ② 0 < f ′(3) < f ′(2) < f (3) ? f (2) ;



f ( x1 ) ? f ( x 2 ) > 0; x1 ? x 2

④ f(

x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) . )< 2 2
.

上述结论中正确结论的序号是 ①③ 15.对于函数 f ( x) = (2 x ? x 2 )e x (1) ( ? 2, 2) 是 f ( x) 的单调递减区间;

(2) f ( ? 2) 是 f ( x ) 的极小值, f ( 2) 是 f ( x ) 的极大值; (3) f ( x ) 有最大值,没有最小值; (4) f ( x ) 没有最大值,也没有最小值.
2

其中判断正确的是___________(2)(4)_____. 16.若函数 f ( x) = x 3 + ax 2 ? 2 x + 5 在区间( , 数 a 的取值范围是___.(

1 1 )上既不是单调递增函数,也不是单调递减函数,则实 3 2

5 5 , 4 2

)___________________

。 三、解答题(本题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) . 17. (12 分) 已知函数 f ( x) = x + bx + cx + d 的图象过点 P (0, 2) ,且在点 M ( ?1, f ( ?1)) 处的切线方
3 2

程为 6 x ? y + 7 = 0 .(Ⅰ)求函数 y

= f (x ) 的解析式; (Ⅱ)求函数 y = f (x ) 的单调区间.

(Ⅰ)由 f (x ) 的图象经过 P (0, 2) ,知 d = 2 , 所以 f ( x ) = x + bx + cx + 2 .所以 f ′( x ) = 3 x + 2bx + c .
3 2 2

由在 M ( ?1, f ( ?1)) 处的切线方程是 6 x ? y + 7 = 0 , 知 ?6 ? f ( ?1) + 7 = 0 ,即 f ( ?1) = 1 , f ′ 1) = 6 . (?

所以 ?

?3 ? 2b + c = 6, ?2b ? c = 3, 即? 解得 b = c = ?3 . ??1 + b ? c + 2 = 1. ?b ? c = 0.
3 2

故所求的解析式是 f ( x ) = x ? 3 x ? 3 x + 2 .
2 2 (Ⅱ)因为 f ′( x ) = 3 x 2 ? 6 x ? 3 , 令 3 x ? 6 x ? 3 = 0 ,即 x ? 2 x ? 1 = 0 ,

解得 x1 = 1 ? 2 , x2 = 1 + 2 . 当 x < 1 ? 2 或 x > 1 + 2 时, f ′( x ) > 0 , 当 1 ? 2 < x < 1 + 2 时, f ′( x ) < 0 , 故 f ( x) = x ? 3 x ? 3 x + 2 在 (?∞, 1 ? 2) 内是增函数,在 (1 ? 2, 1 + 2) 内是减函数,在 (1 +
3 2

2 ,+∞) 内

是增函数. 18.(12 分)已知函数 f ( x ) = x 3 ? 3 x (I)求函数 f ( x ) 在 [ ?3, ] 上的最大值和最小值.

(II)过点 P (2, ?6) 作曲线 y = f ( x ) 的切线,求此切线的方程. 解: (I) f '( x ) = 3( x + 1)( x ? 1) , ……………………………………………2 分
3

3 2

当 x ∈ [ ?3, ?1) 或 x ∈ (1, ] 时, f '( x ) > 0 ,

3 2

3 ∴[?3, ?1],[1, ] 为函数 f ( x) 的单调增区间 2 当 x ∈ ( ?1,1) 时, f '( x ) < 0 , ∴[?1,1] 为函数 f ( x) 的单调减区间
又因为 f ( ?3) = ?18, f (?1) = 2, f (1) = ?2, f ( ) = ? 所以当 x = ?3 时, f ( x) min = ?18 当 x = ?1 时, f ( x) max = 2
3

3 2

9 ,………………………………5 分 8

………………………………………………6 分

(II)设切点为 Q ( xo , xo ? 3 xo ) ,则所求切线方程为

y ? ( xo3 ? 3 xo ) = 3( xo2 ? 1)( x ? xo )
3 o

………………………………………………8 分
2

由于切线过点 P (2, ?6) ,∴?6 ? ( x ? 3 xo ) = 3( xo ? 1)(2 ? xo ) , 解得 xo = 0 或 xo = 3 ………………………………………………10 分 所以切线方程为 y = ?3 x或y + 6 = 24( x ? 2) 即

3 x + y = 0 或 24 x ? y ? 54 = 0
3

………………………………………………12 分

19.(12 分)已知函数 f(x)=x - x ++x++.+ (1)若 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,求 + 的取值范围;+ 2 (2)若 f(x)在 x=1 处取得极值,且 x∈[-1,2]时,f(x)<+ 恒成立,求 + 的取值范围.+ 解 (1) f ′(x ) =3x -x++,因 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,则 f ′(x ) ≥0.即 3x -x++≥0,+ 2 2 ∴+≥x-3x 在(-∞,+∞)恒成立.设 g(x)=x-3x .+
2 2

1 2

2

当 x= 时,g(x)max=

1 6

1 1 ,∴+≥ .+ 12 12

(2)由题意知 f ′(1) =0,即 3-1++=0,∴+=-2.+ 2 2 2 x∈[-1,2]时,f(x)<+ 恒成立,只需 f(x)在[-1,2]上的最大值小于 + 即可.因 f ′(x ) =3x -x-2,令 f ′(x ) =0, 得 x=1 或 x=- .∵f(1)=- ++,+ f(- ) =
2 3 22 1 + c, f (?1) = + c, f(2)=2++.+ 27 2
2

2 3

3 2

∴f(x)max=f(2)=2++,∴2++<+ .解得 +>2 或 +<-1,所以 + 的取值范围为(-∞,-1)∪(2,+∞). 给定函数 f ( x ) =

20.(本小题共 12 分)

x3 a2 ? ax 2 + (a 2 ? 1) x 和 g ( x) = x + 3 x

(I)求证: f (x ) 总有两个极值点;(II)若 f (x ) 和 g (x ) 有相同的极值点,求 a 的值.
4

证明: (I)因为 f ' ( x) = x ? 2ax + ( a ? 1) = [ x ? ( a + 1)][( x ? ( a ? 1)] ,
2 2

令 f ' ( x) = 0 ,则 x1 = a + 1, x2 = a ? 1 ,------------------------------------------2 分 则当 x < a ? 1 时, f ' ( x ) > 0 ,当 a ? 1 < x < a + 1 , f'( x ) < 0 所以 x = a ? 1 为 f (x ) 的一个极大值点, -----------------------4 分

同理可证 x = a + 1 为 f (x ) 的一个极小值点.-------------------------------------5 分 另解:(I)因为 f ' ( x) = x 2 ? 2ax + (a 2 ? 1) 是一个二次函数, 且 ? = (?2a ) 2 ? 4(a 2 ? 1) = 4 > 0 ,-------------------------------------2 分 所以导函数有两个不同的零点, 又因为导函数是一个二次函数, 所以函数 f ( x) 有两个不同的极值点.---------------------------------------5 分 (II) 因为 g ' ( x ) = 1 ?

a 2 ( x ? a )( x + a ) = , x2 x2
---------------------------------------6 分 且 x1 = a 和 a + 1, a ? 1 不可能相等, 当 ? a = a ? 1 时, a =

令 g ' ( x ) = 0 ,则 x1 = a, x2 = ? a 因为 f (x ) 和 g (x ) 有相同的极值点, 所以当 ? a = a + 1 时, a = ? 经检验, a = ?

1 , 2

1 , 2

1 1 和 a = 时, x1 = a, x2 = ? a 都是 g (x ) 的极值点.--------------8 分 2 2

21.(12 分)把边长为 a 的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形(如图阴影部分)后,用剩余部分做成一个 无盖的正三棱柱形容器(不计接缝),设容器的高为 x,容积为 V ( x) . (Ⅰ)写出函数 V ( x) 的解析式,并求出函数的定义域; (Ⅱ)求当 x 为多少时,容器的容积最大?并求出最大容积.

解: (Ⅰ)因为容器的高为 x,则做成的正三棱柱形容器的底边长为 (a ? 2 3 x) ----1 分.

5

则 V ( x) =

3 (a ? 2 3x) 2 x 4

. -------------------------3 分

函数的定义域为 (0,

3 a) . 6

------------------------- 4 分

(Ⅱ)实际问题归结为求函数 V ( x) 在区间 (0, 先求 V ( x) 的极值点.

3 a ) 上的最大值点. 6

3 3 2 a ) 内, V '( x) = 9 3 x 2 ? 6ax + a --------------------6 分 6 4 3 2 3 3 a = 0 ,解得 x1 = a, x2 = a( 舍去). 令 V '( x) = 0 ,即令 9 3 x 2 ? 6ax + 4 18 6 3 3 因为 x1 = a 在区间 (0, a ) 内, x1 可能是极值点. 当 0 < x < x1 时, V '( x) > 0 ; 18 6 3 当 x1 < x < a 时, V '( x) < 0 . ---------------------8 分 6 3 3 因此 x1 是极大值点,且在区间 (0, a ) 内, x1 是唯一的极值点,所以 x = x1 = a 是 V ( x) 的最大值 6 18 3 1 点,并且最大值 f ( a) = a3 18 54 3 1 即当正三棱柱形容器高为 a 时,容器的容积最大为 a 3 .---18 54
在开区间 (0,

22.(14 分)已知 x = 1 是函数 f ( x) = mx 3 ? 3( m + 1) x 2 + nx + 1 的一个极值点,其中 m, n ∈ R, m < 0 , (I)求 m 与 n 的关系式; (II)求 f ( x ) 的单调区间; (III)当 x ∈ [ ?1,1] 时,函数 y = f ( x ) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3 m ,求 m 的取值范围. 解 (I) f ′( x) = 3mx 2 ? 6( m + 1) x + n 因 为 x = 1 是 函 数 f ( x ) 的 一 个 极 值 点 , 所 以 f ′(1) = 0 , 即

3m ? 6( m + 1) + n = 0 ,所以 n = 3m + 6

……………………………………3 分

(II)由(I)知, f ′( x) = 3mx 2 ? 6(m + 1) x + 3m + 6 = 3m( x ? 1) ? x ? ?1 +

? ?

? ?

2 ?? ? ……4 分 m ?? ?

当 m < 0 时,有 1 > 1 +

x
f ′( x ) f ( x)

2? ? ? ?∞,1 + ? m? ?
单调递减

2 ,当 x 变化时, f ( x ) 与 f ′( x ) 的变化如下表: m 2 ? 2 ? 1+ 1 (1, +∞ ) ?1 + ,1? m ? m ?
0 极小值 + 单调递增
6

0 极大值

单调递减

………………………………………………………………………………………………8 分 故有上表知,当 m < 0 时, f ( x ) 在 ? ?∞,1 + 在 (1 +

? ?

2? ? 单调递减, m?

2 ,1) 单调递增,在 (1, +∞ ) 上单调递减.……………………………………………9 分 m 2 (III)由已知得 f ′( x) > 3m ,即 mx ? 2( m + 1) x + 2 > 0 …………………………10 分 2 2 2 2 又 m < 0 所以 x 2 ? (m + 1) x + < 0 即 x 2 ? ( m + 1) x + < 0, x ∈ [ ?1,1] ① m m m m 1 2 设 g ( x) = x 2 ? 2(1 + ) x + ,其函数开口向上,由题意知①式恒成立,……11 分 m m 2 2 ? ? g (?1) < 0 ?1 + 2 + + < 0 4 4 解之得 ? < m 又 m < 0 所以 ? < m < 0 所以 ? ?? m m 3 3 ? g (1) < 0 ? ?1 < 0 ?
即 m 的取值范围为 ? ? ,0 ? ………

? 4 ? 3

? ?

7


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