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2015届高考数学全程复习知识点同步学案:选修4-1 第1讲 相似三角形的判定及有关性质


1 第 1 讲 相似三角形的判定及有关性质 1.平行线的截割定理 (1)平行线等分线段定理 定理: 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等, 那么在其他直线上截得的线段也 相等. 推论 1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边. 推论 2:经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰. (2)平行线分线段成比例定理 定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线

段成比例. 推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. 2.相似三角形的判定与性质 (1)判定定理 内容 判定定理 1 判定定理 2 判定定理 3 (2)性质定理 内容 性质定理 1 性质定理 2 相似三角形对应边上的高、中线和角平分线以及它们 周长的比都等于相似比 相似三角形的面积比等于相似比的平方 两角对应相等的两个三角形相似 两边对应成比例,并且夹角相等的两个三角形相似 三边对应成比例的两个三角形相似 (3)推论:相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比,外接圆的面积比等于相似 比的平方. 3.直角三角形相似的判定定理与射影定理 (1)直角三角形相似的判定定理 定理 判定定理 1 判定定理 2 内容 如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们 相似 如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么 它们相似 判定定理 3 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三 角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直 角三角形相似 (2)直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项; 两直角边分别是它们在斜 边上射影与斜边的比例中项. 考点一__平行线分线段成比例定理______________ 如图,在△ABC 中,D 为 BC 的中点,E 在 CA 上且 AE= AF BF 2CE,AD,BE 交于 F,求 , . FD FE [解] 取 BE 的中点 G,连接 DG, 在△BCE 中,D、G 分别为 BC、BE 的中点, ∴DG∥EC, 1 且 DG= EC. 2 又∵AE=2CE,DG∥EC, AF EF AE AE ∴ = = = =4, FD FG DG 1 EC 2 又 BG=GE, BF BG+GF ∴ = EF EF GE+GF 2GF+EF = EF EF = 1 3 =2× +1= . 4 2 [规律方法] 平行线截割定理的作用 平行线截割定理一方面可以判定线段成比例; 另一方面, 当不能直接证明要证的比例成 立时,常用这个定理将两条线段的比转化为另外两条线段的比. 1.如图所示,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=4,CD=2,E,F 分别为 AD,BC 上的点,且 EF=3,EF∥AB,求梯形 ABFE 与梯形 EFCD 的面积比. 1 解:由 CD=2,AB=4,EF=3,得 EF= (CD+AB),所以 EF 是梯形 ABCD 的中位线, 2 1 1 则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 有相同的高,设为 h,则 S 梯形 ABFE∶S 梯形 EFCD= (3+4)h∶ (2+ 2 2 3)h=7∶5. 考点二__相似三角形的判定与性质______________ 如图, 在等腰梯形 ABCD 中, AD∥BC, AB=DC, 过点 D 作 AC 的平行线 DE, 交 BA 的延长线于点 E.求证: (1)△ABC≌△DCB; (2)DE· DC=AE· BD. [证明] (1)∵四边形 ABCD 是等腰梯形, ∴AC=BD. ∵AB=DC,B

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